Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp - Tỷ Mỷ Làm Toán. Độc Lập Suy Nghĩ.

Tổ hợp. Mỗi bộ gồm $ k$ phần tử không phân biệt thứ tự được lấy ra từ $ n$ phần tử cho trước được gọi là một tổ hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử. Số tổ hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử được ký hiệu là $ C_{n}^{k}$ và được tính theo công thức

$ C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}.$

Ví dụ 1. Một lớp học gồm có 10 học sinh và cần chọn ra 3 bạn để đi lao động đầu năm. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải. Đây là bài toán chọn 3 người trong 10 người, và mỗi bộ ba được chọn không phân biệt thứ tự. Do đó số cách chọn cũng chính là số tổ hợp chập $ 3$ của $ 10$ phần tử

$ C_{10}^{3}=\frac{10!}{3!\left( 10-3 \right)!}=120.$

Chú ý 1. Giả sử đã chọn được ba bạn là A, B, C. Vì đối với tổ hợp là không phân biệt thứ tự nên các bộ gồm ba phần tử ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA là một, vì thực ra 6 bộ này cũng cùng là một chuyện 3 bạn A, B và C đi lao động mà thôi. Chỉnh hợp. Mỗi bộ gồm $ k$ phần tử có phân biệt thứ tự được lấy ra từ $ n$ phần tử cho trước được gọi là một chỉnh hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử. Số chỉnh hợp chập $ k$ của $ n$ phần tử được ký hiệu là $ A_{n}^{k}$ và được tính theo công thức

$ A_{n}^{k}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}.$

Ví dụ 2. Một lớp học có 10 học sinh và cần chọn ra 3 bạn để bầu ban cán sự lớp: lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Hỏi có bao nhiêu cách ?

Giải. Đây là bài toán chọn 3 người trong 10 người, và khi đã chọn xong rồi ta lại bầu 3 bạn được chọn này vào 3 vị trí cán sự khác nhau. Như vậy các bộ ba này là các bộ ba có phân biệt thứ tự. Do đó số cách chọn chính là số chỉnh hợp chập $ 3$ của $ 10$ phần tử

$ A_{10}^{3}=\frac{10!}{\left( 10-3 \right)!}=720.$

Chú ý 2. Giả sử đã chọn được ba bạn là A, B, C. Nhưng nhớ rằng 6 trường hợp sau đây là hoàn toàn khác nhau

Điều này làm nên sự khác biệt ở hai kết quả của Ví dụ 1 và Ví dụ 2. Chú ý 3. Như vậy chỉnh hợp và tổ hợp giống nhau ở chỗ cùng là các bộ gồm $ k$ phần tử được chọn ra từ $ n$ phần thử cho trước. Tuy nhiên, điểm khác nhau ở đây là tổ hợp là các bộ không phân biệt thứ tự, còn chỉnh hợp là các bộ có phân biệt thứ tự. Theo định nghĩa ta có

$ \frac{A_{n}^{k}}{C_{n}^{k}}=k!$

Như vậy số chỉnh hợp nhiều hơn số tổ hợp $ k!$ lần. Bài toán lựa chọn. Một lô hàng có $ N$ sản phẩm, trong đó có $ {{N}_{A}}$ sản phẩm loại $ A$. Ta rút ngẫu nhiên từ lô hàng $ n$ sản phẩm. Yêu cầu đặt ra là trong $ n$ sản phẩm được rút ra có đúng $ k$ sản phẩm loại $ A$. Có bao nhiêu cách rút thỏa mãn yêu cầu ?

Giải. Từ giả thiết suy ra trong lô hàng có $ N-{{N}_{A}}$ sản phẩm loại khác và số sản phẩm loại khác được rút ra là $ n-k$ sản phẩm.

Bước 1: Rút $ k$ sản phẩm từ $ {{N}_{A}}$ sản phẩm loại $ A$: có $ C_{{{N}_{A}}}^{k}$ cách rút;

Bước 2: Sau khi đã thực hiện bước 1, ta rút $ n-k$ sản phẩm trong $ N-{{N}_{A}}$ sản phẩm loại khác: có $ C_{N-{{N}_{A}}}^{n-k}$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có $ C_{{{N}_{A}}}^{k}C_{N-{{N}_{A}}}^{n-k}$ cách rút thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 3. Một hộp gồm có 10 viên bi, trong đó có 6 bi đỏ và 4 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp 3 bi sao cho có đúng 2 bi đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách rút như vậy ?

Giải. Ta áp dụng bài toán lựa chọn cho $ N=10,{{N}_{A}}=6,n=3,k=2,$ ta được số cách rút là $ C_{6}^{2}C_{4}^{1}=60$.

Hai tính chất của tổ hợp

$ \begin{array}{l}\left( i \right)\,\,\,\,C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k};\\\left( ii \right)\,\,\,C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}.\end{array}$

Chứng minh. Ta có

$ C_{n}^{n-k}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!\left[ n-\left( n-k \right) \right]!}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!k!}=C_{n}^{k}.$

Như vậy ta đã có $ \left( i \right).$ Biến đổi vế trái của $ \left( ii \right)$, ta cũng có

$ \begin{array}{l}C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}+\frac{n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k-1 \right)!}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{n!\left( k+1 \right)+n!\left( n-k \right)}{\left( k+1 \right)!\left( n-k \right)!}=\frac{n!\left( n+1 \right)}{\left( k+1 \right)!\left( n-k+1 \right)!}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( n+1 \right)!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k \right)!}=C_{n+1}^{k+1}.\end{array}$$

Vậy ta đã có $ \left( ii \right)$.

Bài tập (nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)