Cho Hình Chóp (S.ABCD ) Có đáy Là Hình Vuông Cạnh (a ), Các Cạn

Một sản phẩm của Tuyensinh247.comCho hình chóp (S.ABCD ) có đáy là hình vuông cạnh (a ), các cạnh bên bằng (acăn 2 ). Gọi (M ) là trung điểm của (SD ). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (( (ABM) ) ).Câu 48824 Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), các cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\).

Đáp án đúng: a

Phương pháp giải

Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {ABM} \right)\), nhận xét hình dạng thiết diện và tính diệ tích.

Xem lời giải

Lời giải của GV Vungoi.vn

Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\).

Ta có \(AB\) song song với \(\left( {SDC} \right)\) nên suy ra \(AB\) song song với \(\Delta \).

Gọi \(N\) là trung điểm \(SC\), ta có \(N \in \Delta \).

Do đó thiết diện là hình thang cân \(ABNM\).

Kẻ \(MH \bot AB\) tại \(H\), \(H \in AB\). Do \(AB = CD\) và \(MN < CD\) nên \(H\) thuộc đoạn \(AB\).

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến, ta có

\(AM = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + 2{a^2}}}{2} - \dfrac{{2{a^2}}}{4}}  = a\).

Mặt khác \(AH = \dfrac{{AB - MN}}{2} = \dfrac{{a - \dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}\) nên \(MH = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{4}\).

Suy ra ${S_{ABNM}} = \dfrac{{MH.\left( {MN + AB} \right)}}{2} = \dfrac{{3\sqrt {15} {a^2}}}{{16}}$.

 

Đáp án cần chọn là: a

...

Bài tập có liên quan

Tổng hợp câu hay và khó chương 7 Luyện Ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi liên quan

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(M\) là trung điểm của \(DO\), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với $AC$ và $SD$. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là hình gì.

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(AC\) sao cho \(AC = 3MC\). Lấy \(N\) trên cạnh \(C'D\) sao cho \(C'N = xC'D\). Với giá trị nào của \(x\) thì \(MN\;{\rm{//}}\;BD'\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(G\) là điểm nằm trong tam giác \(SCD\). \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và $AD$. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) là

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = 6\), \(CD = 8\). Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với \(AB\), \(CD\) để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng

Cho tứ diện $ABCD$ có \(AB = a\), $CD = b$. Gọi \(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm \(AB\) và \(CD\), giả sử \(AB \bot CD\). Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $M$ nằm trên đoạn $IJ$ và song song với \(AB\) và \(CD\). Tính diện tích thiết diện của tứ diện $ABCD$ với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ biết $IM = \dfrac{1}{3}IJ$.

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), gọi \(M\) là trung điểm \(CD\), \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với \(B'D\) và \(CD'\). Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) là hình gì?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, mặt bên \(SAB\) là tam giác vuông tại \(A\), \(SA = a\sqrt 3 \), \(SB = 2a\). Điểm \(M\) nằm trên đoạn \(AD\) sao cho \(AM = 2MD\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(M\) và song song với \(\left( {SAB} \right)\). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Thiết diện của một mặt phẳng với một tứ diện chỉ có thể là:

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC\) và \(BC\). Trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) lấy một điểm \(M\) tùy ý (điểm \(M\) có đánh dấu tròn như hình vẽ). Nêu đầy đủ các trường hợp (TH) để thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( {MEF} \right)\) với tứ diện \(ABCD\) là một tứ giác.

Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo $d = \sqrt {21} $. Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội $q = 2$. Thể tích của hình hộp chữ nhật là:

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Trên các cạnh \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) lần lượt lấy ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) sao cho \(\dfrac{{A'M}}{{AA'}} = \dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{{B'N}}{{BB'}} = \dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{{C'P}}{{CC'}} = \dfrac{1}{2}\). Biết mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) cắt cạnh \(DD'\) tại \(Q\). Tính tỉ số \(\dfrac{{D'Q}}{{DD'}}\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), các cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình thang \(\left( {AB//CD} \right)\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD,\,BC\)và $G$ là trọng tâm tam giác \(SAB\). Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {IJG} \right)\) là hình bình hành. Hỏi khẳng định nào sao đây đúng?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm \(SD\), \(N\) là trọng tâm tam giác \(SAB\). Đường thẳng \(MN\) cắt mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tại điểm \(I\). Tính tỷ số \(\dfrac{{IN}}{{IM}}\).

Cho hình bình hành \(ABCD\). Qua \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) lần lượt vẽ các nửa đường thẳng $Ax$, \(By\), \(Cz\), \(Dt\) ở cùng phía so với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), song song với nhau và không nằm trong \(\left( {ABCD} \right)\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt $Ax$, \(By\), \(C{\rm{z}}\), \(Dt\) tương ứng tại \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) sao cho $AA' = 3$, \(BB' = 5\), \(CC' = 4\). Tính $DD'$.

Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Các điểm \(M,\,N,\,P\) theo thứ tự đó thuộc các cạnh \(BB',\)\(C'D',\,\,DA\) sao cho \(BM = C'N = DP = \dfrac{a}{3}\). Tìm diện tích thiết diện \(S\) của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng \((MNP)\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(A'\) là điểm trên \(SA\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A'S} \). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(A'\) cắt các cạnh \(SB\), \(SC\), \(SD\) lần lượt tại \(B'\), \(C'\), \(D'\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SD}}{{SD'}} - \dfrac{{SC}}{{SC'}}\).