Cho Tích Phân Từ 0 đến 1 Của F(x)dx = 1. Tính Tích Phân Từ 0 đến Pi/4...

I. Khái niệm tích phân

1. Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a;x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x),trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Với mỗi x∈[a;b], kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.

Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) +C.

Vì S(a) = 0 nên F(a) +C = 0hay C =–F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

2. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu ∫abf⁢(x)⁢𝑑x.

Ta còn dùng kí hiệu F⁢(x)|ab để chỉ hiệu số F(b) – F(a).

Vậy ∫abf⁢(x)⁢𝑑x=F⁢(x)|ab=F⁢(b)-F⁢(a).

Ta gọi ∫ablà dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

- Chú ý.

Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

∫aaf⁢(x)⁢𝑑x=0;∫abf⁢(x)⁢𝑑x=-∫baf⁢(x)⁢𝑑x.

Ví dụ 1.

a) ∫02(x+2)⁢𝑑x=(x22+  2⁢x)|02= 6-0=6;

b) ∫0π2(2+cos⁡x)⁢𝑑x=(2⁢x+sin⁡x)|0π2=(π⁢⁢ +1)-0=π+ 1.

- Nhận xét.

a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là ∫abf⁢(x)⁢𝑑x hay ∫abf⁢(t)⁢𝑑t. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t.

b) Ý nghĩa hình học của tích phân.

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân ∫abf⁢(x)⁢𝑑x là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. Vậy S=∫abf⁢(x)⁢𝑑x.

II. Tính chất của tích phân.

- Tính chất 1:

∫abk.f⁢(x)⁢d⁢x=k.∫abf⁢(x)⁢𝑑x (k là hằng số).

- Tính chất 2:

∫ab[f⁢(x)±g⁢(x)]⁢𝑑x=∫abf⁢(x)⁢𝑑x±∫abg⁢(x)⁢𝑑x.

Ví dụ 2.Tính: ∫0π⁢(3⁢x- 4⁢sin⁡x)⁢𝑑x.

Lời giải:

Ta có:

∫0π⁢(3⁢x- 4⁢sin⁡x)⁢𝑑x=  3⁢∫0π ⁢x⁢𝑑x- 4⁢∫0π⁢sin⁡x⁢d⁢x=  3.x22|0π+4⁢c⁢osx|0π=3⁢π22+(-4-4)=3⁢π22-  8

- Tính chất 3.

∫abf⁢(x)⁢𝑑x=∫acf⁢(x)⁢𝑑x+∫cbf⁢(x)⁢𝑑x (a < c < b).

Ví dụ 3. Tính ∫-22|x|⁢𝑑x.

Lời giải:

Ta có: |x|={-x khi-2≤x≤0x khi  0≤x≤2

Do đó; ∫-22|x|⁢𝑑x⁢=∫-20|x|⁢𝑑x+∫02|x|⁢𝑑x

=-∫-20x⁢𝑑x+∫02x⁢𝑑x=-x22|-20+x22|02=(0+ 2)+(2-0)=4

III. Phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x=φ⁢(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ⁢(α)=a;φ⁢(β)=b.

Khi đó: ∫abf⁢(x)⁢𝑑x=∫αβ ⁢f⁢(φ⁢(t)).φ'⁢(t)⁢d⁢t.

Ví dụ 4. Tính ∫011-x2⁢𝑑x.

Lời giải:

Đặt x = sint; suy ra: dx = costdt.

Đổi cận:

x= 0⇒t=  0⁢x= 1⇒t=π2

Ta có:

∫011-x2⁢𝑑x=∫0π21-sin2⁡t.c⁢ostdt=∫0π2cos2⁢t.c⁢ost.dt=∫0π2cost.c⁢ost.dt

=∫0π2cos2⁡t⁢d⁢t=∫0π212⁢(1+c⁢os2t)⁢𝑑t

=12.(t+sin⁡2⁢t2)|0π2=π4- 0=π4.

- Chú ý:

Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính ∫abf⁢(x)⁢𝑑x, đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục và u⁢(x)∈[α;β].

Giả sử có thể viết: f(x) = g(u(x)). u’(x) với x∈[a;b] với g(u) liên tục trên đoạn [α;β].

Khi đó, ta có: ∫abf⁢(x)⁢𝑑x=∫u⁢(a)u⁢(b)g⁢(u)⁢𝑑u.

Ví dụ 5. Tính ∫0π⁢⁢ x.sin⁡x2⁢d⁢x.

Lời giải:

Đặt t = x2. Suy ra: dt = 2xdx ⇒x⁢d⁢x=d⁢t2

Đổi cận:

x	0	π⁢⁢
t	0	π

Ta có:

∫0π⁢x.sin⁡x2⁢d⁢x=∫0π⁢sin⁡t.d⁢t2

=12⁢∫0π⁢sin⁡t.d⁢t=12⁢(-c⁢ost)|0π=12-(-12)=1.

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

- Định lí.

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

∫abu(x).v'(x)dx=[u(x).v(x)]|ab-∫abv(x).u'(x)dx

Hay ∫abu⁢𝑑v=u⁢v|ab-∫abv⁢𝑑u.

Ví dụ 6. Tính I=∫0π2x⁢sin⁡x⁢d⁢x.

Lời giải:

Đặt {u=x⁢dv=sin⁡x⁢d⁢x

Do đó I=∫0π2x⁢sin⁡x⁢d⁢x⁢⁢ =(-x⁢cos⁡x)|0π2+∫0π2cos⁡x⁢d⁢x⁢ =0+sin⁡x|0π2=1.

Ví dụ 7.Tính I=∫0e-1x⁢ln⁡(x+1)⁢𝑑x.

Lời giải:

Đặt {u=ln⁡(x+1)⁢dv=x⁢d⁢x ta có {d⁢u=1x+1⁢d⁢x =x2-12

I=∫0e-1xln(x+1)dx =[ln(x+1)x2-12]|0e-1-12∫0e-1(x-1)dx=e2-2⁢e2-12(x22-x)|0e-1

=e2-2⁢e2-12.e2-4⁢e+32=e2-34.