Chủ đề 4: Phương Trình đẳng Cấp Bậc 2, Bậc 3 Lượng Giác - Lib24.Vn

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Cách giải:

Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không?

Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho coskx (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tanx.

Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.

Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx.

Ví dụ minh họa

Bài 1: 3sin2x + 8sinx.cosx + (8√3-9) cos2x = 0 (1)

Xét cos⁡x = 0 ⇒ sin2x = 1. Ta có (1) ⇔ 3=0 (vô lý)

Xét cos⁡x≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được :

Bài 2: sin3x + 2sinx.cos2x + 3cos3x = 0 (2)

Xét cos⁡x = 0. Ta có (2) ⇔ sin⁡x = 0 (vô lí do sin2x + cos2x = 1)

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos3x. Ta được :

(2) ⇔ tan3⁡x + 2 tan⁡x + 3 = 0

⇔ x = -π/4 + kπ (k ∈ Z)

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình sin2 x-(√3+1)sinxcosx+√3 cos2 x=0

Lời giải:

sin2⁡x - (√3+1) sin⁡x cos⁡x + √3 cos2⁡x = 0 (1)

Xét cos⁡x = 0. (1) sin2⁡x = 0 → vô lý

Xét cos⁡x≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

(1) ⇔ tan2⁡x - (√3+1) tan⁡x + √3 = 0

Bài 2: Giải phương trình: 2 cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0. Ta có . sin2⁡x = 0 → vô lý

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

2 - 3 tan⁡x + tan2⁡x = 0

Bài 3: Giải phương trình: 3cos4x – 4cos2x sin2x + sin4x = 0

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0: Ta có : sin4x = 0 (vô lý)

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos4x. Ta được :

3 - 4 tan2⁡x + tan4x = 0

Bài 4: Tìm m để phương trình (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 0 có nghiệm.

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0. Ta có : (m+1)sin2⁡x = 0 ⇔ m = -1

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

(m+1)tan2⁡x - 2 tan⁡x + 2 = 0

Δ' = 1-2m-2 = -2m-1

Để pt có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ - 2m-1 ≥ 0 ⇔ m ≤ -1/2

Vậy với m ≤ -1/2 thì pt đã cho có nghiệm

Bài 5: Tìm điều kiện để phương trình a.sin2x + a.sinxcosx + b.cos2x = 0 với a ≠ 0 có nghiệm.

Lời giải:

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

a tan2⁡x + atan⁡x + b = 0

Δ = a2 - 4ab

Để pt có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔a2 - 4ab ≥ 0 ⇔ a-4b ≥ 0 ⇔ a ≥ 4b

Được cập nhật: hôm kia lúc 5:32:58 | Lượt xem: 4378