Chủ đề: Hàm Hợp Và Hàm Số Tuần Hoàn - 123doc

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

hàm số hợp và hàm số tuần hoàn

I Kiến thức cơ bản

1 Hàm số hợp

Định nghĩa. Cho hàm số u=f(x) có miền xác định X, miền giá trị T và hàm

số y=g(u) có miền xác định Y chứa T Khi đó với mỗi giá trị x∈X ta có một giá trị xác định của u cho bởi f và với mỗi giá trị u này ta có một giá trị xác định y cho bởi g Ta có y=g(u)=g[f(x)], và ta nói y là một hàm số h theo biến số x với: h(x) =g[f(x)]

Rõ ràng miền xác định của h cũng là X

Hàm số h(x) gọi là hàm số hợp của các hàm số f và g theo thứ tự này Ký hiệu h=g0f

2 phơng pháp giải toán

Bài toán 1. Tìm hàm số thoả mãn điều kiện cho trớc

phơng pháp chung

Muốn tìm hàm số thoả mãn điều kiện cho trớc, ta lựa chọn một trong bốn phơng pháp sau:

Phơng pháp 1 Sử dụng định nghĩa

Phơng pháp 2 Dùng phơng pháp đổi biến và áp dụng định nghĩa hàm số

hợp

Phơng pháp 3 Lựa chọn giá trị đặc biệt để đa bài toán về việc giải hệ phơng

trình

Phơng pháp 4 Dự đoán hàm số , rồi chứng minh công thức đó bằng phơng

pháp qui nạp toán học

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x)= x , g(x)=

1 x

1 x

−

a Tìm hàm số g[f(x)] và miền xác định của nó

b Tìm hàm số f[g(x)] và miền xác định của nó

Giải

a Ta có:

g[f(x)]= ((xx))−11

+

=

1 x

1 x

−

Để hàm số g[f(x)] xác định ta phải có:









≠

≥

1 x

0

x

⇔ 0≤x≠1

Vậy miền xác định của hàm số là D=[0, +∞)\{1}

b Ta có:

f[g(x)]= ( x ) =

1 x

1 x

−

Để hàm số f[g(x)] xác định ta phải có:

1 x

1 x

−

+





−

≤

>

1 x 1 x

Vậy miền xác định của hàm số là D=(-∞, -1]∪(1, +∞)

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x)=-x2+4, g(x)=







>

+

≤

−

0 x khi 1 x

0 x khi x

1

Tìm hàm số g[f(x)] và f[g(x)]

Giải

Ta có:

g[f(x)]=







>

+

≤

−

0 )x (f khi 1 )x (f

0 )x (f khi )x (f

1

=









> +

− +

−

≤ +

−

−

+

0 4 x khi 1 x 4

0 4 x khi 4 x

1

2 2

2 2

=









<

−

≥

−

2

| x

|

khi

x

5

2

| x

|

khi

3

x

2

2

f[g(x)]=-[g(x)]2+4=









> +

+

−

≤ +

−

−

0 x khi 4 )1 x(

0 x khi 4 )x

1(

2

2

=









>

+

−

−

≤ +

+

−

0 x khi 3

x2

x

0 x khi 3

x2

x

2

2

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x)=2x+1, tìm hàm số g(x) biết rằng: g[f(x)]=7x+5 Giải

Đặt u=f(x)=2x+1 ⇒ x= u2−1

Vì g[f(x)]=7x+5 ⇔ g(u)=7 u2−1+5 =

2

3 u

7 + Vậy g(x)= x2+3

Ví dụ 4: Tìm các hàm số f(x) và g(x) biết:

f(3x-1)+g(6x-1)=3x và f(x+1)+x2g(2x+3)=2x2+x

Giải

Đặt u+1=3x-1, hệ thức f(3x-1)+g(6x-1)=3x đợc viết thành:

f(u+1)+g(2u+3)=u+2 ⇒ f(x+1)+g(2x+3)=x+2

Từ đó ta có hệ:







+

= + +

+

+

= + +

+

)2 ( x x )3 x2 (g x )1 x(

f

)1 ( 2 x )3 x2 (g )1 x(

f

2 2

Từ (1) & (2)

⇒ (x2-1)g(2x+3)=2(x2-1)

Vậy:

g(2x+3)=









=

−

≠

−

0 1 x khi k

0 1 x khi

2

2

2

Lại đặt v=2x+3 ⇒ x= v2−3 , ta đợc :

g(v)=















=

−







 −

≠

−







 −

0 1 2

3 v khi k

0 1 2

3 v khi 2

2

2

=







=

=

≠

≠

5 v

&

1 v khi k

5 v

&

1 v khi

2

hay g(x) =







=

=

≠

≠

5 x

&

1 x khi k

5 x

&

1 x khi

2

Thay (3) vào (1), ta đợc:

f(x+1)=









=

−

− +

≠

−

0 1 x khi k 2 x

0 1 x khi

x

2 2

Lại đặt w=x+1 ⇒ x=w-1, ta đợc :

[ ]









=

−

−

− +

−

≠

−

−

−

0 1 1 w khi k 2 1 w

0 1 1 w khi 1

w

2

2

=







=

=

−

+

≠

≠

−

2 w

&

1 w khi

k

1

w

2 w

&

1 w

khi

1

w

hay f(x) =







=

=

− +

≠

≠

−

2 x

&

1 x khi k 1 x

2 x

&

1 x khi 1

x

Ví dụ 5: Cho hàm f1(x)=3 3

x 1

x + Đặt:









∈

∀

=

=

− 1 1 * n

n

1 1 2

Z n )], x(

f[

f )x ( f

)]

x(

f[

f )x (

f

a Tính f2(x), f3(x)

b Tính fn(x)

Giải

a Ta có: f2(x)= f1[f1(x)]= 3 3

1

1 )]

x ( f 1

) x ( f

3

3

3 3

3 3

x 1

x 1

x 1 x















 + +

+

x 1

x

f3(x)= f2[f1(x)]= 3 3

1

1 )]

x ( f 2 1

) x ( f

3

3

3 3

3 3

x 1

x 2 1

x 1 x















 + +

+

=

31 x3

x

b Chứng minh bằng quy nạp ta đợc fn(x)=3 3

nx 1

x

3 Hàm tuần hoàn

3.1 Định nghĩa

Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số

d-ơng T sao cho với mọi x∈D ta có: x-T∈D và x+T∈D (1)

Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có các tính chất trên gọi là chu kỳ cơ

sở của hàm tuần hoàn f(x)

3.2 Phơng pháp

Bài toán 2. CMR hàm số y=f(x) tuần hoàn

phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:

1 Xét hàm số y=f(x), tập xác định là D

Vậy hàm số y=f(x) là tuần hoàn

2 Ta đi chứng minh rằng T0 là chu kỳ của hàm số, tức là chứng minh T0 là số nhỏ nhất (1), (2) Ta đi chứng minh bằng phản chứng

Giả sử có số T sao cho 0<T< T0 thoả mãn tính chất (2), tức là:

∀x∈D, f(x+T)=f(x) ⇔ ⇒ mâu thuẫn với giải thiết 0<T<T0

Mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số dơng nhỏ nhất thoả mãn (2)

Vậy hàm số y=f(x) là tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T0

Ví dụ 6: CMR hàm số y=sinx tuần hoàn

Giải

Xét hàm số y=sinx, tập xác định là R

Vậy hàm số y=sinx là tuần hoàn

Ta đi chứng minh rằng 2π là chu kỳ của hàm số, tức là chứng minh 2π là số nhỏ nhất thoả mãn (1), (2) Ta đi chứng minh bằng phản chứng

Giả sử có số T sao cho 0<T<2π thoả mãn tính chất (2), tức là:

∀x∈R, sin(x+T)=sinx ⇒ sin( 2π+T)=sin

2

π

=1 ⇔ T=2kπ, k∈Z

Điều này mâu thuẫn với giải thiết 0<T<2π

Mâu thuẫn này chứng tỏ 2π là số dơng nhỏ nhất thoả mãn tính chất (2) Vậy hàm số y=sinx là tuần hoàn với chu kỳ cơ sở 2π

3.3 Các đấu hiệu để biết hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn

Hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau

bị vi phạm:

a Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn

b Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x>a hoặc x<a

c Phơng trình f(x)=k có nghiệm nhng số nghiệm hữu hạn

d Phơng trình f(x)=k có vô số nghiệm sắp thứ tự <xn<xn+1< mà

| xn-xn+1|→0 hay ∞

Ví dụ 7: Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dới đây là hàm tuần hoàn và xác định chu kỳ nhỏ nhất của chúng:

a f(x)=Acosλx+Bsinλx

b f(x)=sinx+ 21 sin2x+31 sin3x

c f(x)=2tg

2

x -3tg 3

x

d f(x)=sin2x

e f(x)=sin(x2)

f f(x)= tgx

g f(x)=tg x

h f(x)=sinx+sin(x 2 )

Giải

a Ta có: f(x+T)=Acosλ(x+T)+Bsinλ(x+T)

=A[cosλx cosλT- sinλx.sinλT]+ B[sinλx cosλT- cosλx.sinλT]

= Acosλx+Bsinλx=f(x)

nếu: cosλT=1 ⇔ λT=2kπ, k∈Z

Vậy, T=

λ

π

2

là chu kỳ bé nhất

b Ta có: hàm sinx tuần hoàn với chu kỳ 2π,

hàm sin2x tuần hoàn với chu kỳ π,

hàm sin3x tuần hoàn với chu kỳ 2 π 3.

Do đó: hàm f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ là bội chung nhỏ nhất, nghĩa

là số 2π, là chu kỳ nhỏ nhất của hàm f(x)

c Ta có: hàm tg

2

x tuần hoàn với chu kỳ 2π, hàm tg

3

x

tuần hoàn với chu kỳ 3π

Do đó: hàm f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ là bội chung nhỏ nhất, nghĩa

là số 6π, là chu kỳ nhỏ nhất của hàm f(x)

d Ta có: sin2x=

2

1 (1-cos2x) mà cos2x là hàm tuần hoàn với chu kỳ π, nên hàm f(x)=sin2x cũng là hàm tuần hoàn với chu kỳ π

e Hàm f(x)=sin(x2) không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp của nó dần tới 0:

π + 1 )

k

f Hàm số xác định với kπ≤x< π2 +kπ (k=0, ±1, ±2, )

Ta có: hàm tgx tuần hoàn do đó hàm f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ là số

T nhỏ nhất thoả mãn:

f(x+T)= tg ( x + T )= tgx =f(x) ⇔ tg(x+T)=tgx ⇒ T=π

g Hàm f(x)=tg x không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp của nó dần tới +∞:

(k+1)2π2-k2π2→∞ khi k→∞ (dấu hiệu d)

h Ta có: hàm sinx tuần hoàn với chu kỳ 2π,

hàm sin(x 2 ) tuần hoàn với chu kỳ

2

2π , Nhng vì 1 và 2 không khả ớc, nghĩa là không tồn tại bội số chung bé nhất đối với các chu kỳ 2π và

2 2π , nên hàm f(x) không tuần hoàn

3.4 Các bài toán cơ bản

Bài toán 3. Tồn tại hay không tồn tại một hàm số f(x) không phải là hằng số, tuần hoàn trên R nhng không có chu kỳ cơ sở

Giải

Xét hàm Dirichle:

f(x)=







∉

∈

Q x khi 1

Q x khi 0

Khi đó f(x) là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a∈Q+ tuỳ ý

Vì trong Q+ không có số nhỏ nhất nên hàm f(x) không có chu kỳ cơ sở

Bài toán 4. Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kỳ lần

l-ợt là a và b với ba ∈Q CMR F(x)=f(x)+g(x) và G(x)= f(x).g(x) cũng tuần hoàn trên M

Chứng minh

Từ giả thiết ∃m, n∈N+, (m, n)=1 sao cho

b

a

= n

m

Đặt T=na=mb Khi đó:

• Ta có:

F(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x+na)+g(x+mb)= f(x)+g(x)=F(x), ∀x∈M G(x+T)=f(x+T)g(x+T)=f(x+na)g(x+mb)= f(x)g(x)=G(x), ∀x∈M Vậy F(x), G(x) là những hàm tuần hoàn trên M

Mở rộng: hàm F(x)=mf(x)+ng(x) tuần hoàn với chu kỳ T là bội số chung nhỏ nhất của a, b

II Bài tập đề nghị

Bài tập 1 Cho hàm số f(x)=lnx, g(x)=

1 x

1 x

−

+

a Tìm hàm số g[f(x)] và miền xác định của nó

b Tìm hàm số f[g(x)] và miền xác định của nó

Bài tập 2 Cho hàm số f(x) xác định với x≠ 21 Tìm hàm số này biết rằng

f(x)+x.f(

1 x

x

Bài tập 3 Tìm hàm số f(x) biết rằng f(1+ x1 )=x2-1, x≠0

Bài tập 4 Cho hàm f1(x)=

x 1 1

− Đặt :







∈

∀

=

=

− 1 1 * n

n

1 1 2

Z n )], x(

f[

f )x (

f

)]

x(

f[

f )x (

f

Tính f2(x), f3(x) từ đó suy ra fn(x)

Bài tập 5 Giả sử fn(x)=

lan n

))) x (f (

f

(f

Tìm fn(x) nếu f(x)= 2

x 1

x +

Bài tập 6 Chứng minh rằng hàm Dirichle:

f(x)=







∉

∈

Q x khi 1

Q x khi 0

là hàm tuần hoàn có chu kỳ là số hữu tỷ bất kỳ

Bài tập 7 Chứng minh rằng nếu hàm f(x) (x∈R) thoả mãn đẳng thức f(x+T)=kf(x), trong đó k và T là các hằng số dơng, thì f(x)=axg(x), trong đó a là hằng số và g(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T