Chứng Minh 3 điểm Thẳng Hàng Trong đường Tròn

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 9 Môn: Toán Dạng tài liệu: Chuyên đề Loại: Tài liệu Lẻ Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Chuyên đề thi vào lớp 10: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

• I. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng
• II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn
• III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

Trong chương đường tròn Toán lớp 9, dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng là nội dung quan trọng, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề luyện thi vào lớp 10. Dạng bài này yêu cầu học sinh phải kết hợp linh hoạt các kiến thức về góc, tiếp tuyến, dây cung và tính chất hình học.

Bài viết này sẽ hệ thống cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn theo hướng logic, dễ hiểu, giúp học sinh nắm chắc phương pháp và vận dụng hiệu quả khi làm bài.

I. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng

+ Chứng minh một điểm thuộc đường thẳng chứa hai điểm còn lại

+ Chứng minh qua 3 điểm xác định được một góc bẹt

+ Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau

+ Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song với một đường thẳng thứ ba

+ Dùng tính chất đường trung trực

+ Dùng tính chất tia phân giác

+ Sử dụng tính chấy đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác

+ Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt

+ Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn

+ Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau

II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

Bài 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Lấy điểm C nằm giữa O và B, lấy điểm D trên đường tròn (O) sao cho AD = BC. Kẻ CH vuông góc với AD (H thuộc AD). Tia phân giác của góc DAB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và cắt CH tại F. DF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N

a, Chứng minh CH // BD

b, Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp

c, Chứng minh ba điểm N, C, E thẳng hàng

Hướng dẫn giải

a, + Có \(\widehat {ADB}\) nhìn đường kính AB nên  suy ra AD vuông góc với DB

+ Có CH vuông góc với AD (giả thiết)

Suy ra CH song song với BD (từ vuông góc đến song song)

b, + CH // BD suy ra \(\widehat {HCA} = \widehat {DBA}\) (đồng vị)

lại có \(\widehat {AND} = \widehat {ABD}\) (cùng chắn cung AD)

Suy ra \(\widehat {AND} = \widehat {HCA}\left( { = \widehat {ABD}} \right)\)

+ Tứ giác AECN có:

\(\widehat {AND} = \widehat {HCA}\)

Hai góc cùng nhìn một cạnh

Suy ra 4 điểm A, E, N, C thuộc một đường tròn hay tứ giác AECN nội tiếp

c, + Tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn có \(\widehat {NAF} + \widehat {NCF} = {180^0}\) (3) và \(\widehat {AFC} + \widehat {ANC} = {180^0}\)(4)

Ta có \(\widehat {AFC} + \widehat {CFE} = {180^0}\)(5) (2 góc kề bù)

+ Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat {ANC} = \widehat {CFE}\)

+ Xét tam giác NAE và tam giác FCE có

Góc \(\widehat {CEF}\) chung

\(\widehat {ANC} = \widehat {CFE}\)

Suy ra hai tam giác NAE đồng dạng với tam giác FCE

Suy ra hai góc \(\widehat {FCE} = \widehat {NAF}\)(2 góc tương ứng bằng nhau) (3)

Từ (3) và (6) suy ra \(\widehat {NCF} + \widehat {FCE} = {180^0}\)

Suy ra N, C, E thẳng hàng

Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng AO cắt (O) tại E và đường thẳng AO’ cắt (O’) tại F. Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

+ Có \(\widehat {ABE}\) nhìn đường kính AE nên \(\widehat {ABE} = {90^0}\)

+ Có \(\widehat {ABF}\) nhìn đường kính AF nên \(\widehat {ABF} = {90^0}\)

+ Có \(\widehat {ABE} + \widehat {ABF} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Suy ra 3 điểm E, B, F thẳng hàng

Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE)

a, Chứng minh  AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.

b, Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng

Hướng dẫn giải

a, Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.

+ Có AE là tiếp tuyến của đường tròn O \(\Rightarrow \widehat {OAE}= 90^0\)

Có EM là tiếp tuyến của đường tròn O \(\Rightarrow \widehat {EMO}= 90^0\)

+ Xét tứ giác AEMO có:

\(\widehat {OAE} + \widehat {OME} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

mà hai góc ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn.

+ Xét tứ giác APMQ có:

\(\widehat {PAQ} = \widehat {AQM} = \widehat {MPA} = {90^0}\)

Suy ra tứ giác APMQ là hình chữ nhật (dhnb)

b, Chứng minh O, I, E thẳng hàng

+ Nối A với M và E với O

+ Có AE và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E nên EO đi qua trung điểm AM (1)

+ Có APMQ là hình chữ nhật, suy ra AM và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường (tính chất) (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, I, O thẳng hàng.

Bài 4: Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \((O)\) với trực tâm \(H\). Giả sử \(M\) là một điểm trên cung \(BC\) không chứa \(A\) (với \(M \neq B;N \neq C\)). Gọi \(N;P\) theo thứ tự là điểm đối xứng của \(M\) qua các đường thẳng \(AB;AC\).

a) Chứng minh \(AHCP\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(N;H;P\) thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của điểm \(M\) để độ dài đoạn thẳng \(NP\) lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Gọi \(I = CH \cap AB;K = AH \cap BC\)

Ta có: \(\widehat{IBK} = \widehat{AMC}\) (cùng chắn cung \(AC\))

\(\widehat{AMC} = \widehat{APC}\) (do \(P\) đối xứng với \(M\) qua \(AC\))

\(\Rightarrow \widehat{IBK} = \widehat{APC}(*)\)

Ta thấy \(BIHK\) nội tiếp nên \(\widehat{IBK} + \widehat{AHC} = 180^{0}(**)\)

Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat{AHC} + \widehat{APC} = 180^{0}\)

Vậy \(AHCP\) là tứ giác nội tiếp.

b) Do tứ giác \(AHCP\) là tứ giác nội tiếp đường tròn nên \(\widehat{AHP} = \widehat{ACP}\) (cùng chắn cung \(AP\))

Mà \(\widehat{ACP} = \widehat{ACM}\)(tính chất đối xứng) \(\Rightarrow \widehat{AHP} = \widehat{ACM}(1)\)

Tương tự ta chứng minh được tứ giác \(AHBN\) nội tiếp nên \(\widehat{AHN} = \widehat{ABN}\)(cùng chắn cung \(AP\))

Suy ra \(\widehat{AHN} = \widehat{ABM}(2)\)

Vì tứ giác \(ABMC\) nội tiếp nên \(\widehat{ACM} + \widehat{ABM} = 180^{0}(3)\)

Từ (1); (2); (3) suy ra \(\widehat{AHP} = \widehat{AHN} = 180^{0}\)

Vậy \(N;H;P\) thẳng hàng.

c) Từ \(\left\{ \begin{matrix} \widehat{MAN} = 2\widehat{BAM} \\ \widehat{MAP} = 2\widehat{MAC} \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \widehat{NAP} = 2\left( \widehat{BAM} + \widehat{MAC} \right) = 2\widehat{BAC}\) không đổi

Ta có: \(NP = 2AP.\sin\widehat{BAC} =2AM.\sin\widehat{BAC}\)

Do đó \(NP\) lớn nhất khi và chỉ khi \(AM\) lớn nhất. Khi đó \(AM\) là đường kính đường tròn \((O)\).

Vậy \(NP\) lớn nhất khi và chỉ khi \(M\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(O\).

Bài 5: Cho hai đường tròn \((O)\) và