Chứng Minh Bất đẳng Thức Bằng Cô-si, Bunhiacopxki - Toán Lớp 8

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

• HOT Sale 40% sách Toán - Văn - Anh 8 ngày 25-01 trên Shopee mall

Trang trước Trang sau

Với Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki môn Toán lớp 8 phần Đại số sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

• Cách giải bài tập Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki
• Ví dụ minh họa bài tập Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki
• Bài tập tự luyện Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki
• Bài tập bổ sung Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTTXem Khóa học Toán 8 CTSTXem Khóa học Toán 8 CD

Dạng bài: Sử dụng bất đẳng thức Cô – si, bất đẳng thức Bunhiacopxki

A. Phương pháp giải

a) Bất đẳng thức Cô – si

Cho hai số không âm a, b, ta luôn có:

, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Mở rộng:

a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

b. Với n số  không âm, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho a1, a2, b1, b2 là những số thực, ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi 

Mở rộng: Với các số thực a1, a2, b1, b2, a3, b3, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi 

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho a,b>0. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

• Cho cặp số a, b, ta được:

 

• Cho cặp số , ta được:

     

Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được:

Dấu bằng xảy ra khi: 

Câu 2: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Giải.

Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

Câu 3: Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

Lời giải:

Ta có:

Lấy căn bậc hai của hai vế, ta đi đến:

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho 3 số dương x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng:

Câu 2: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: xyz=1. Chứng minh rằng:

Câu 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

Câu 4: Cho . Chứng minh rằng:

Câu 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

Câu 6: Hai số x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng

Câu 7: Cho các số không âm a, y thỏa mãn . Chứng minh rằng:

D. Bài tập bổ sung

Bài 1. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3. Chứng minh rẳng:

xx+2yz+yy+2xz+zz+2xy≥1

Bài 2. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rẳng:

x3x+2y+y3y+2z+z3z+2x≥x2+y2+z23

Bài 3. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh:

x3(2x2+y2)(2x2+z2)+y3(2y2+z2)(2y2+x2)+z3(2z2+x2)(2z2+y2)≤1x+y+z

Bài 4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:

2xyz(x+y+z)≤59+x4y2+y4z2+z4x2

Bài 5. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh:

1x2+xy+yz+1y2+yz+zx+1z2+zx+xy≤(x+y+zxy+yz+zx)2

(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTTXem Khóa học Toán 8 CTSTXem Khóa học Toán 8 CD

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (hay, chi tiết)
• Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương
• Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
• Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối
• Tổng hợp các cách chứng minh bất đẳng thức (hay, chi tiết)

👉 Giải bài nhanh với AI Hay:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

• HOT 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k)

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 (2025):

• Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 6 (303 trang - từ 99k)
• Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 7 (266 trang - từ 99k)
• Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 8 (302 trang - từ 99k)

TÀI LIỆU CLC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8

+ Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi file word có đáp án 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đề thi giữa kì, cuối kì 8

( 172 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 8....

( 40 tài liệu )

Giáo án word 8

( 78 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...8

( 74 tài liệu )

Đề thi HSG 8

( 5 tài liệu )

Trắc nghiệm đúng sai 8

( 12 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 8 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
• Lớp 8 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
• Giải sgk Toán 8 - KNTT
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
• Giải sgk Tin học 8 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
• Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 8 - CTST
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
• Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
• Giải sgk Tin học 8 - CTST
• Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
• Lớp 8 - Cánh diều
• Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều