Chứng Minh đa Thức Không Có Nghiệm

Đa thức một biến

• A. Nghiệm của đa thức một biến
• B. Cách chứng minh đa thức không có nghiệm
• C. Bài tập chứng minh đa thức không có nghiệm

GiaiToan.com biên soạn và đăng tải tài liệu Bài tập Toán lớp 7 Đa thức một biến giúp học sinh hiểu rõ về đa thức một biến, nghiệm của đa thức và cách xác định nghiệm của đa thức một biến, cách chứng minh đa thức một biến không có nghiệm Toán lớp 7 nhanh và chính xác nhất. Chi tiết mời các em học sinh cùng tham khảo. Chúc các bạn học tập tốt!

A. Nghiệm của đa thức một biến

- Giá trị x = a được gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0

+ Nếu P(a) = 0 thì x = a là nghiệm của đa thức P(x)

- Đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm

- Đa thức bậc hai có không quá hai nghiệm

- Đa thức bậc ba có không quá ba nghiệm; …

Chú ý:

+ Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm; … hoặc không có nghiệm.

+ Số nghiệm của đa thức không vượt quá bậc của nó.

B. Cách chứng minh đa thức không có nghiệm

Đa thức P(x) không có nghiệm khi P(x) ≠ 0 với mọi x.

Áp dụng tính chất để chứng minh đa thức không có nghiệm:

A2 ≥ 0; |A| ≥ 0

Khi nhân hai vế với một số âm thì đổi chiều dấu so sánh. Khi nhân hai vế với một số dương thì giữ nguyên dấu so sánh.

- Khi cộng trừ hai vế cho một số thì giữ nguyên dấu so sánh.

C. Bài tập chứng minh đa thức không có nghiệm

Ví dụ 1: Chứng minh đa thức f(x) = 8x2 + 100 không có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: x2 ≥ 0 với mọi x

8x2 ≥ 0 với mọi x

8x2 + 100 ≥ 100 > 0 với mọi x

Do đó f(x) ≠ 0 với mọi x

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm.

Ví dụ 2: Chứng minh các đa thức sau không có nghiệm

a) f(x) = 6x2 + 9

b) f(x) = - x4 - 1

c) f(x) = -|2x + 1| - 3

d) f(x) = (x - 1)2 + 0,1

e) f(x) = x2 + x + 2

f) f(x) = - x8 + x5 - x2 + x + 1

Hướng dẫn giải

a) f(x) = 6x2 + 9

Ta có: x2 ≥ 0 với mọi x

6x2 ≥ 0 với mọi x

6x2 + 9 ≥ 9 > 0 với mọi x

Do đó f(x) ≠ 0 với mọi x

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm.

b) f(x) = -x4 – 1

Ta có: x4 ≥ 0 với mọi x

- x4 ≤ 0 với mọi x

- x4 – 1 ≤ -1 < 0

Do đó f(x) ≠ 0 với mọi x

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm.

c) f(x) = - |2x + 1| - 3

Ta có: |2x + 1| ≥ 0 với mọi x

-|2x + 1| ≤ 0 với mọi x

-|2x + 1|-3 ≤ -3 < 0 với mọi x

Do đó f(x) ≠ 0 với mọi x

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm.

d) f(x) = (x - 1)2 + 0,1

Ta có: (x - 1)2 ≥ 0 với mọi x

(x - 1)2 + 0,1 ≥ 0,1 > 0 với mọi x

Do đó f(x) ≠ 0 với mọi x

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm.

e) f(x) = x2 + 10x + 27

= x2 + 5x + 5x + 25 + 2

= x(x + 5) + 5(x + 5) + 2

= (x + 5)(x + 5) + 2

= (x + 5)2 + 2

Ta có: (x + 5)2 ≥ 0 với mọi x

(x + 5)2 + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x

Do đó f(x) ≠ 0 với mọi x

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm.

f) f(x) = - x8 + x5 - x2 + x + 1

= x5 . (1 - x3) + x (1 - x) - 1

Nếu x ≥ 1 thì 1 - x3 ≤ 0 và 1 - x ≤ 0. Suy ra f(x) < 0

Nếu 0 ≤ x ≤ 1 thì f(x) = - x8 + x2(x3 - 1) + (x - 1) < 0

Nếu x < 0 thì f(x) < 0

Vậy đa thức f(x) không có nghiệm.

---------------------------------------------