Chứng Minh Hai đoạn Thẳng, Hai Góc Bằng Nhau Trong Hình Vuông

Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuông ❮ Bài trước Bài sau ❯

Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuông

Tài liệu Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuông Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

A. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa và các tính chất của hình vuông

• Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
• Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
• Đường chéo của hình vuông vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng AM = BN.

Giải

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được

Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh BC, CD lấy hai điểm M, N sao cho , trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM.

Hãy tính:

a) Số đo góc KAN.

b) Chu vi tam giác MCN theo a.

Giải

a) Xét hai tam giác vuông ABM và ADK có

Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau ở trên và giả thiết, ta có:

b) Đặt BM = DK = x thì KN = x + DN, MC = a – x, CN = a – DN.

Xét hai tam giác AMN và AKN có

AN chung

Vậy chu vi tam giác MNC bằng MC + NC + NM = MC + NC + KN = a – x + a – DN + x + DN = 2a.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, qua A kẻ (điểm N thuộc tia đối của tia DC). Chứng minh rằng: AM = AN.

Giải

Ta có

Xét hai tam giác vuông ABM và AND có:

AB = AD

Do đó AM = AN.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình vuông có chu vi 28 cm. Độ dài cạnh hình vuông là:

A. 4 cm.

B. 7 cm.

C. 14 cm.

D. 8 cm.

Hiển thị đáp án

Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng 4a (a là độ dài một cạnh)

Từ giả thiết ta có 4a = 28 ⇔ a = 7cm . Vậy cạnh hình vuông là a = 7cm.

Đáp án: B.

Câu 2. Cho hình vuông có chu vi 32cm. Độ dài cạnh hình vuông là:

A. 10 cm.

B. 15 cm.

C. 5 cm.

D. 8 cm.

Hiển thị đáp án

Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng 4a (a là độ dài một cạnh) Từ giả thiết ta có: 4a = 32 ⇔ a = 8 cm. Vậy cạnh hình vuông là a = 8 cm.

Đáp án: D.

Câu 3. Cho hình vuông có chu vi 16 cm. Bình phương độ dài một đường chéo của hình vuông là:

A. 32.

B. 16.

C. 24.

D. 18.

Hiển thị đáp án

Gọi hình vuông ABCD có chu vi là 16 cm. Khi đó

4AB = 16 ⇒ AB = 4 = BC = CD = DA.

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Py-ta-go ta có:

Vậy bình phương độ dài một đường chéo là 32.

Đáp án: A.

Câu 4. Cho hình vuông có chu vi 20cm. Bình phương độ dài đường chéo của hình vuông là:

A. 32.

B. 50.

C. 25.

D. 25.

Hiển thị đáp án

Gọi hình vuông ABCD có chu vi là 20 cm. Khi đó:

4AB = 20 ⇒ AB = 5 = BC = CD = DA.

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có

Vậy bình phương độ dài đường chéo là 50.

Đáp án: B.

Câu 5. Cho hình vuông ABCD. M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Hãy chọn câu đúng.

Hiển thị đáp án

Gọi cạnh của hình vuông ABCD là a. Vì ABCD là hình vuông và M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA nên ta có

Từ đó 4 tam giác vuông bằng nhau là

Suy ra

Lại có .

Nên

Đáp án: C.

Câu 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là một điểm nằm giữa C và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Kẻ , FH cắt BC ở K. Tính độ dài AH

Hiển thị đáp án

Xét tam giác ADF và AHF có:

AF chung

Đáp án: A.

Câu 7. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa C và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Kẻ , FF cắt BC ở K. Tính số đo góc FAK.

Hiển thị đáp án

Xét tam giác ADF và AHF có:

AF chung

Xét tam giác AHK và ABK có:

AK chung

Đáp án: B.

Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh 8cm. M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, CA. Tính diện tích tứ giác MNPQ.

Hiển thị đáp án

Vì ABCD là hình vuông và M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA nên ta có

Đáp án: D.

Câu 9. Cho một hình vuông cạnh dài 1m. Vẽ hình vuông thứ hai nhận đường chéo của hình vuông đã cho làm cạnh. Tính độ dài đường chéo của hình vuông này.

A. 1m

B. 2m

C. 4m

D. 5m

Hiển thị đáp án

Xét hình vuông ABCD có AB = BC = 1m. Ta đi dựng hình vuông nhận đường chéo AC làm cạnh để tính đường chéo của hình vuông mới này.

Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BE = BF = 1m. Ta được tứ giác AFEC có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình vuông cạnh AC. Hình vuông này có đường chéo AE = 2m.

Đáp án: B.

Câu 10. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chọn câu đúng.

Hiển thị đáp án

Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho CM = AK.

Ta có: AK + CE = CM + CE = EM.

Ta cần chứng minh EM = BE.

Xét ΔABK và ΔMBC có:

AK = CM ( cách vẽ).

Ta có:

Suy ra: tam giác EBM cân tại E (định nghĩa tam giác cân).

⇒BE = EM.

⇒AK + CE = CM + CE = EM = BE.

⇒AK + CE = BE

Đáp án: A.