CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM TT - Tài Liệu Text

Tải bản đầy đủ (.doc) (15 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM TT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (97.36 KB, 15 trang )

Chứng minh phương trình sau có nghiệm với mọi m∈ ¡a). m ( x − 1) ( x + 2) + 2x + 1 = 0 (1)b). ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = 0 (1)()()c). m3 − 1 x2001 − 1 ( x + 2)2002+ 2x + 3 = 0 (1)d). cosx + mcos2x = 0a). m ( x − 1) ( x + 2) + 2x + 1 = 0 (1)LỜI GIẢIĐặt f ( x) = m ( x − 1) ( x + 2) + 2x + 1 .Tập xác định của hàm số f(x) là D = R . Vì f(x) là hàm đa thức ⇒ f ( x) liêntục trên R.Ta có f ( −2) = m ( −2 − 1) ( −2 + 2) + 2( −2) + 1 = −3 và cóf ( 1) = m ( 1− 1) ( 1+ 2) + 2.1+ 1 = 3 . Vì f ( −2) .f ( 1) = −3.3 = −9 < 0 với mọi m.Do đó f ( x) = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng x0 ∈ ( −2,1) với mọim.Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.b). ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = 0 (1)Đặt f ( x) = ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m . Tập xác định của hàm số f(x) là D = R .Vì f(x) là hàm đa thức ⇒ f ( x) liên tục trên R.Ta có f ( 0) = m và có f ( −1) = ( 4m + 1) ( −1) − ( m + 1) ( −1) + m = −2m . Từ đó suy3ra f ( −1) .f ( 0) = −2m2 < 0 ∀m ≠ 0 ⇒ f ( x) = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệmx0 ∈ ( −1;0)Xét trường hợp: m = 0( 4.0+ 1) .x3 − ( 0+ 1) x + 0 = 0 ⇔ x3 − x = 0 ⇔ x = ±1∨x= 0Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.()()Đặt f ( x) = ( m − 1) ( xc). m3 − 1 x2001 − 1 ( x + 2)320012002+ 2x + 3 = 0 (1))− 1 ( x + 2)2002+ 2x + 3 . Tập xác định của hàm số f(x)là D = R . Vì f(x) là hàm đa thức ⇒ f ( x) liên tục trên R.()200120023− 1 ( −2 + 2)+ 2( −2) + 3 = −1.Ta có: f ( −2) = m − 1 ( −2)()()Ta có: f ( 1) = m3 − 1 12001 − 1 ( 1+ 2)Vì f ( −2) f ( 1) = −5 < 0 với mọi m.20002+ 2.1+ 3 = 5⇒ f ( x) = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm x0 ∈ ( −2;1) với mọi m.Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.()2d). cosx + mcos2x = 0 ⇔ cosx + m 2cos x − 1 = 0 (1)()2Đặt f ( x) = cosx + m 2cos x − 1 . Tập xác định của hàm số f(x) là D = R . Vìf(x) là hàm đa thức ⇒ f ( x) liên tục trên R.1x=cosx =12222cosx−1=0⇔cosx=⇔⇔Chọn nghiệm, cho2cosx = − 1x =2π43π4πππ 2Ta có: f  ÷ = cos + m  2cos2 − 1÷ =4442  3π 3π22 3π− 1÷ = −.Ta có: f ÷ = cos + m  2cos4442 π   3π 2 21. −÷ = − < 0 ⇒ f ( x) luôn có ít nhất 1 nghiệmVì f  ÷.f ÷=÷44222   π 3π x0 ∈  ; ÷ . Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.4 4 Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm:a). x3 − 5x2 + 7 = 0b). x5 + x − 3 = 0LỜI GIẢIa). Đặt f ( x) = x − 5x + 7 . Tập xác định của hàm số f(x) là D = R . Vì f(x) là32hàm đa thức ⇒ f ( x) liên tục trên R.Ta có f ( −1) = −1− 5.1+ 7 = 1 và f ( −2) = −21, nên suy ra f ( −1) f ( −2) = −21 < 0 vớimọi m. Do đó f ( x) = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm x0 ∈ ( −2; −1) với mọi m.b). Đặt f ( x) = x5 + x − 3 . Tập xác định của hàm số f(x) là D = R . Vì f(x) làhàm đa thức ⇒ f ( x) liên tục trên R.Ta có f ( 1) = −1 và có f ( 2) = 31 , nên suy ra f ( 1) f ( 2) = 31.( −1) = −31 < 0 vớimọi m.Do đó f ( x) = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm n0 ∈ ( 1;2) với mọi m.Chứng minh các phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :a). 4x4 + 2x2 − x − 3 = 0b).x5 + x4 − 2x3 + 4x2 − 1 = 0LỜI GIẢIa). Đặt f ( x) = 4x4 + 2x2 − x − 3 . Tập xác định của hàm số f(x) là D = R . Vìf(x) là hàm đa thức ⇒ f ( x) liên tục trên R.Ta có f ( 0) = −3 , f ( −1) = 4, f ( 1) = 2Vì f ( −1) f ( 0) = −12 < 0,∀m ⇒ phương trình ( 1) luôn có ít nhất 1 nghiệm∈ ( −1;0)( 2)Vì f ( 0) f ( 1) = −6 < 0 ∀m ⇒ phương trình ( 1) có ít nhất 1 nghiệm∈ ( 0;1) ( 3)Từ ( 2) ,( 3) ⇒ phương trình (1) luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.Chứng minh phương trình x2 cosx + xsinx + 1 = 0 ( 1) có ít nhất mộtnghiệm thuộc khoảng ( 0;π )Đặt f ( x) = x cosx + xsin x + 1LỜI GIẢI2Tập xác định của hàm số f(x) là D = R . Vì f(x) là hàm đa thức ⇒ f ( x) liêntục trên R.Ta có f ( 0) = 02.cosx + 0.sin0 + 1 = 1 và f ( π ) = π2.cos π + π.sin π + 1 = −9 .Vì f ( 0) f ( π ) = −9 < 0 ⇒ phương trình ( 1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng( 0; π ) .Chứng minh phương trình x3 + x + 1 = 0( 1)có ít nhất một nghiệm âm lớnhơn −1 .LỜI GIẢIĐặt f ( x) = x + x + 1 . Tập xác định của hàm số f(x) là D = R . Vì f(x) là hàm3đa thức ⇒ f ( x) liên tục trên R.Ta có: f ( −1) = −1 , và f ( 0) = 1 . Từ đó suy ra f ( −1) f ( 0) = −1 < 0 . Vậy phươngtrình (1) luôn có nghiệm thuộc khoảng ( −1;0) .Kết luận phương trình ( 1) luôn có ít nhất 1 nghiệm âm lớn hơn −1 .Cho hàm số f ( x) = ax2 + bx + c( c ≠ 0) và 3a + 4b + 6c = 0 . Chứng minh phươngtrình f ( x) = 0 luôn có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .f ( x) = ax2 + bx + c( c ≠ 0)LỜI GIẢITập xác định của hàm số f(x) là D = R . Vì f(x) là hàm đa thức ⇒ f ( x) liêntục trên R.Ta có f ( 0) = c và f ( 1) = a + b + c−3a − 4b6−3a − 4b −3a − 4b 3a + 4b 3a + 2b×Ta có : f ( 0) f ( 1) = c( a + b + c) =a+ b+÷= −6666Theo đề bài có 3a + 4b + 6c = 0 ⇒ c =1fx=Cho hàm số ( )  x−1x≠ 0x=0a). Chứng minh f ( −1) f ( 2) < 0b). Chứng minh phương trình f ( x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng( −1;2)LỜI GIẢI1⇒ f ( −1) f ( 2) < 02b. Vì hàm số f ( x) không liên tục trên ( −1;2) ⇒ f ( x) không có nghiệma. Ta có f ( −1) = −1 và f ( 2) =n0 ∈ ( −1;2)6. Chứng minh rằng phương trình cos5 x + cosx − 1 = 0 có nghiệm.LỜI GIẢIĐặt cosx = t ( −1 ≤ t ≤ 1) , phương trình đã cho trở thành t5 + t − 1 = 0( ∗)Hàm số f ( t) = t5 + t − 1 liên tục trên R.Ta có : f ( 1) = 1,f ( −1) = −3.Do f ( 1) .f ( −1) = −3 < 0 , suy ra phương trình ( ∗) có nghiệm thuộc ( −1;1)Vậy phương trình đã cho có nghiệm.7. Chứng minh các phương trình sau có nghiệm:a) x4 − 4x + 1 = 0b) 2x5 + 3x + 3 = 0 c) x4 − 4x3 − 2 = 0d)5x3 + 10x + 6 = 0LỜI GIẢIa). Đặt f ( x) = x − 4x + 1 thì f ( x) liên tục trên R và f ( 0) = 1;f ( 1) = −2.4Hàm số f ( x) liên tục trên R, có f ( 0) .f ( 1) < 0 suy ra phương trình cónghiệm thuộc khoảng ( 0;1) . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.b). Đặt f ( x) = 2x5 + 3x + 3 thì f ( x) liên tục trên R và f ( −1) = −2;f ( 0) = 3.Hàm số f ( x) liên tục trên R, có f ( −1) .f ( 0) < 0 suy ra phương trình cónghiệm thuộc khoảng ( −1;0) , suy ra phương trình có nghiệm.c). Đặt f ( x) = x4 − 4x3 − 2 thì f ( x) liên tục trên R và f ( −1) = 3;f ( 0) = −2.Hàm số f ( x) liên tục trên R, có f ( −1) .f ( 0) < 0 suy ra phương trình cónghiệm thuộc khoảng ( −1;0) . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.d). Đặt f ( x) = 5x3 + 10x + 6 thì f ( x) liên tục trên R và f ( −1) = −9;f ( 0) = 6.Hàm số f ( x) liên tục trên R, có f ( −1) .f ( 0) < 0 suy ra phương trình cónghiệm thuộc khoảng ( −1;0) . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.10. Chứng minh rằng nếua b c+ += 0;k > n > m > 0 và km ≤ n2 thìk n mphương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .LỜI GIẢIĐặt f ( x) = ax + bx + c thì f ( x) liên tục trên R.2 nn2nTa có f ( 0) = c;f  ÷ = a. 2 + b. + ckkk  n2  a b c   nn2  n2 a b c⇒ f ( 0) .f  ÷ = c   + + ÷+ c 1−÷ = c2  1−÷ (do + +=0 )÷÷km  km k n m k  k n m  kVì c2 ≥ 0;n2 ≥ km > 0 ⇒ nn2 n22÷≤ 0≥ 1 do đó f ( 0) .f  ÷ = c  1−km ÷kmk-Với c = 0: phương trình đã cho ( kí hiệu là phương trình ( 1) trở thànhax2 + bx = 0Suy ra x = 0 hoặc ax + b = 0.( 2)+Nếu a = 0 thì từ c = a = 0 và điều kiệna b c+ += 0 suy ra b = 0 . Khi đók n mphương trình ( 2) có nghiệm là ∀x ∈ R , suy ra phương trình ( 1) cónghiệm x ∈ ( 0;1)+ Nếu a ≠ 0 thì b ≠ 0 (vì nếu b = 0,c = 0 thì từ điều kiệnra a = 0 )suy ra phương trình ( 2) có nghiệm x = −Khi đó từ điều kiệnx= −b n= ∈ ( 0;1)a ka b c+ += 0 suyk n mbaa b c+ += 0;k > n > m > 0 và c = 0 suy rak n mDo đó phương trình ( 1) có nghiệm x ∈ ( 0;1)-Với 1− nn2n= 0⇒ f  ÷= 0⇒là nghiệm thuộc ( 0;1) .kmkk- Với c ≠ 0 và 1− nn2≠ 0 ⇒ f ( 0) .f  ÷ < 0 ⇒ f ( x) có ít nhất một nghiệmkmk nthuộc khoảng  0; ÷ k nnMà  0; ÷ ⊂ ( 0;1) (vì 0 < < 1 ) nên phương trình ( 1) có nghiệm x ∈ ( 0;1)kkVậy phương trình ( 1) luôn có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .12. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình( x − a) ( x − b) + ( x − b) ( x − c) + ( x − c) ( x − a) = 0 có ít nhất một nghiệm.LỜI GIẢIĐặt f ( x) = ( x − a) ( x − b) + ( x − b) ( x − c) + ( x − c) ( x − a) thì f ( x) liên tục trên R.Không giảm tính tổng quát, giả sử a ≤ b ≤ c-Nếu a = b hoặc b = c thì f ( b) = ( b − a) ( b − c) = 0. suy ra phương trình cónghiệm x = b-Nếu a < b < c thì f ( b) = ( b − a) ( b − c) < 0 và f ( a) = ( a − b) ( a − c) > 0 do đó tồntại x0 thuộc khoảng ( a;b) để f ( x0 ) = 0.Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.8. Chứng minh phương trình 2x3 − 6x + 3 = 0 có ba nghiệm trên khoảng( −2;2) .LỜI GIẢIĐặt f ( x) = 2x − 6x + 3 thì f ( x) liên tục trên R.3f ( −2) = −16 + 12 + 3 = −1 < 0;f ( −1) = −2 + 6 + 3 > 0f ( 1) = 2 − 6 + 3 = −1 < 0;f ( 2) = 16 − 12 + 3 = 7 > 0Do đó f ( −2) .f ( −1) < 0;f ( −1) .f ( 1) < 0;f ( 1) .f ( 2) < 0. từ tính chất của hàm số liêntục , suy ra f ( x) có nghiệm thuộc khoảng ( −2; −1) ,( −1;1) ,( 1;2) suy raphương trình có ba nghiệm trên khoảng ( −2;2) .10. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôncó nghiệm.LỜI GIẢI32Đặt f ( x) = x + ax + bx + c thì f ( x) liên tục trên R.f ( x) = +∞ ⇒ ∃x1 > 0 để f ( x1 ) > 0.Ta có: xlim→+∞lim f ( x) = −∞ ⇒ ∃x2 > 0 để f ( x2 ) < 0.x→−∞Như vậy có x1 ,x2 để f ( x1 ) .f ( x2 ) < 0 suy ra phương trình có nghiệmx ∈ ( x1;x2 ) vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.11. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x4 + ax3 + bx2 + cx − 1 = 0có ít nhất hai nghiệm phân biệt.LỜI GIẢIĐặt f ( x) = x4 + ax3 + bx2 + cx − 1 thì f ( x) liên tục trên R.Ta có: f ( 0) = −1;lim f ( x) = +∞ ⇒ ∃x1 > 0 để f ( x1 ) > 0.x→+∞lim f ( x) = +∞ ⇒ ∃x2 < 0 để f ( x2 ) > 0.x→−∞Do đó f ( 0) .f ( x2 ) < 0 suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng ( x2 ;0)f ( 0) .f ( x1 ) < 0 suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng ( 0;x1 ) mà cáckhoảng ( x2 ;0) và ( 0;x1 ) không giao nhau, do đó phương trình có ít nhấthai nghiệm phân biệt.12. Chứng minh rằng phương trình 64x6 − 96x4 + 36x2 − 3 = 0 có nghiệm x0mà2+ 2+ 2< x0 3,4 > 1,84.3Nên f  2 + 2 ÷ < 1,85 − 3.1,84 − 1 < 6,35 − 5,52 − 1 < 0Và2 + 3 < 3,74 < 1,94; 2 + 3 > 3,73 > 1,93.2Do đó f  2 + 3 ÷ > 1,93 − 3.1,94 − 1 > 7,18 − 5,82 − 1 > 0 Suy ra f  2 + 2 ÷.f  2 + 3 ÷ < 0 vậy phương trình ( 3) có nghiệm t ∈  2 + 2; 2 + 3 ÷ từ đó suy ra điều phải chứng minh.Cách 2: (sử dụng lượng giác)1+ cos2α2 + 2cos2αTừ công thức cos2 α =⇒ cosα =.22Do đóαcos =2πvới 0 < α < .22 + 2cos2 + 2cosαα;cos =242αα2 hay cos =42 + 2 + 2cosα2Từ công thức này suy ra: cos π = 2 + 2 + 2 ;cos π = 2 + 2 + 3162242Nghiệm x0 của phương trình đã cho có thể tìm được dưới dạng : x0 = cosβππ 5 36 ⇔ x0 − 1 > 5 36 ⇔ x0 > 1+ 5 36 .Chứng minh khi m ∈ ( 2;3) thì phương trình 2x3 − 9x2 + 12x − 2 − m = 0 có banghiệm dương phân biệt.LỜI GIẢIĐặt f ( x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 2 − mm − 2 > 0Vì m ∈ ( 2;3) ⇔ 2 < m < 3 ⇒ .m − 3 < 0Ta có f ( 0) = −2 − m < 2 − m < 0 , f ( 1) = 3 − m > 0 , f ( 2) = 2 − m < 0 , f ( 3) = 7 − m > 0 .f ( 0) .f ( 1) < 0Từ đó có f ( 1) .f ( 2) < 0 (1). Vì hàm số liên tục và xác định trên R nên hàmf ( 2) .f ( 3) < 0số liên tục trên các đoạn 0;1 , 1;2 ,  2;3 (2). Từ (1) và (2) suy raphương trình f ( x) = 0 có ba nghiệm dương phân biệt lần lượt thuộc cáckhoảng ( 0;1) , ( 1;2) , ( 2;3) .Cho α và β thỏa 0 < α < β . Chứng minh rằng phương trình sau cónghiệm : sin10 x − x =α sin10 α + β sin10 β − α 2 − β2.α +βLỜI GIẢIĐặt f ( x) = sin10 x − x −α sin10 α + β sin10 β − α 2 − β2. Có hàm số f(x) liên tụcα +βtrên đoạn α;β (1).Ta có f ( α ) = sin10 α − α −=α sin10 α + β sin10 β − α 2 − β 2α +β(1010α sin10 α − α 2 + β sin10 α − αβ − α sin10 α − β sin10 β + α 2 + β 2 β sin α − α − sin β + β=α +βα +β).f ( β ) = sin10 β − β −α sin10 α + β sin10 β − α 2 − β2α +β(α sin10 α − α − sin10 β + βα sin10 β − αβ + β sin10 β − β2 − α sin10 α − β sin10 β + α 2 + β 2==−α +βα +β.⇒ f ( α ) .f ( β ) = −(αβ sin10 α − α − sin10 β + β( α + β)2)2< 0,∀α ,β > 0 (2).Từ (1) và (2) suy ra phương trình f ( x) = 0 có nghiệm x0 ∈ α;β .Chứng minh với mọi tham số m phương trình sau luôn có nghiệm thực :(m2)− 3m + 5 x3 + 2x − 2 = 0LỜI GIẢI()23Đặt f ( x) = m − 3m + 5 x + 2x − 2 .23  11Ta có f ( 0) = −2 < 0 và f ( 1) = m2 − 3m + 5 =  m − ÷ +> 0,∀m nên24f ( 0) .f ( 1) < 0 (1). Vì hàm số f(x) xác định và liên tục trên R nên f(x) liên tụctrên đoạn 0;1 (1). Từ (1) và (2) suy ra phương trình f ( x) = 0 luôn cónghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .)()232 22Chứng minh rằng phương trình m + 1 x − 2m x − 4x + m + 1 = 0 có banghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.()232 22Đặt f ( x) = m + 1 x − 2m x − 4x + m + 1 . Ta có :()f ( −3) = −27m2 − 27 − 18m2 + 12 + m2 + 1 = −44m2 − 14 = − 44m2 + 14 < 0,∀m ∈ ¡ .f ( 0) = m2 + 1 > 0 .f ( 1) = m2 + 1− 2m2 − 4 + m2 + 1 = −2 < 0 .()f ( 2) = 8 m2 + 1 − 8m2 − 8 + m2 + 1 = m2 + 1 > 0,∀ m ∈ ¡ .f ( −3) .f ( 0) < 0Từ đó ta có f ( 0) .f ( 1) < 0 (1). Hàm số f(x) xác định và liên tục trên R dof ( 1) .f ( 2) < 0đó f(x) liên tục trên các đoạn  −3;0 , 0;1 , 1,2 (2). Từ (1) và (2) suy raphương trình f ( x) = 0 có ba nghiệm phân biệt lần lượt thuộc các khoảng( −3;0) ,( 0;1) ,( 1;2) .Chứng minh phương trình −2x4 + mx3 + nx2 + px + 2011 = 0 có ít nhất 2nghiệm với ∀ m,n,p ∈ R .Xét phương trình:−2x4 + mx3 + nx2 + px + 2011 = 0 (1)Xét hàm số: f(x) = −2x4 + mx3 + nx2 + px + 2011lim f(x) = lim (−2x4 + mx3 + nx2 + px + 2011) = −∞ ⇒ ∃b > 0 sao cho f ( b) < 0 .x→+∞x→+∞lim f(x) = lim (−2x4 + mx3 + nx2 + px + 2011) = −∞ ⇒ ∃a > 0 sao cho f ( a) < 0x→−∞x→−∞f ( 0) = 2011 > 0Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn a;0 và 0;bf(a).f(0) < 0f(0).f(b) < 0⇒ phương trình có ít nhất 1 nghiệm x1 ∈ ( a;0) và ít nhất 1 nghiệmx2 ( 0;b) .Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.Cho phương trình: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0a). Với d < 0 chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phânbiệt.4b). Với d = 1, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a2 + b2 + c2 ≥3LỜI GIẢIa)Đặt f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d liên tục trên R.Ta có: f ( 0) = d < 0f(x) = +∞ , nên tồn tại 2 số α < 0 và β > 0 sao cho f(α ) > 0,Mặt khác xlim→±∞f(0).f(α) < 0f(β) > 0 . Do đó . Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phânf(0).f(β) < 0biệt thuộc hai khoảng (α ,0) và (0,β) .b). d = 1 Gọi x0 là nghiệm của phương trình ( x0 ≠ 0 )x04 + ax03 + bx02 + cx0 + 1 = 0 ⇔ b = −x02 +−1x02− ax0 − c1x02 2 1  2 2  2 −11   2 1Ta có: a + b + c  x0 + 2 + 1÷ = a + c +  −x0 + 2 − ax0 − c ÷   x0 + 2 + 1÷÷÷x0 ÷x0x0x0   (222)221−111≥  ax0 + c − x02 + 2 − ax0 − c ÷ =  x02 + 2 ÷x0x0 ÷x0x0 ÷2(Suy ra: a2 + b2 + c2) 2 1 x0 + 2 ÷122x0 ÷ = t với t = x0 + 2 ≥ 2≥x01t+1x02 + 2 + 1x0t24≥ ⇔ 3t2 − 4t − 4 ≥ 0 ⇔ (t − 2)(3t + 2) ≥ 0 (đúng do t ≥ 2 ).t+1 34Vậy a2 + b2 + c2 ≥ .32Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = − (ứng với x0 = 1 ).322a = c = ,b = − (ứng với x0 = −1 ).33Mặt khác:Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = 0 . Chứng minh rằngphương trình ax2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).LỜI GIẢIĐặt f ( x) = ax2 + bx + c ⇒ f ( x) liên tục trên R. 2 421cc• f ( 0) = c , f  ÷ = a + b + c = ( 4a + 6b + 12c) − = − .3933 3 9 22• Nếu c = 0 thì f  ÷ = 0 ⇒ phương trình đã cho có nghiệm ∈ (0;1)3 3 2c2• Nếu c ≠ 0 thì f(0).f  ÷ = −< 0 ⇒ phương trình đã cho có nghiệm3 3 2α ∈  0; ÷ ⊂ (0;1) . 3Kết luận phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng(0; 1).

Tài liệu liên quan

• Sáng kiến kinh nghiệm điều kiện cần và đủ để hẹ phương trình có nghiệm duy nhât
  • 24
  • 6
  • 26
• Tài liệu Chứng minh phương trình nguồn tăng trưởng Solow pdf
  • 2
  • 652
  • 1
• Tài liệu XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM pptx
  • 10
  • 6
  • 72
• tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
  • 77
  • 37
  • 6
• Giới hạn hàm số - Chứng minh phương trình có nghiệm
  • 36
  • 6
  • 4
• SKKN - Ứng dụng định lí Lagrange vào việc giải và chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình
  • 3
  • 944
  • 13
• tìm m để phương trình có nghiệm ((bài rất rất khó)) đố ai giải được
  • 1
  • 4
  • 16
• Tìm điều kiện để bất phương trình có nghiệm
  • 21
  • 38
  • 333
• Chứng minh phương trình bậc 4 và bậc 6 vô nghiệm
  • 4
  • 2
  • 11
• Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình có ẩn dưới dấu căn ở đại số lớp 10
  • 31
  • 822
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(990 KB - 15 trang) - CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM TT Tải bản đầy đủ ngay ×