Chứng Minh Rằng Các Vectơ Là độc Lập Tuyến Tính. Sự Phụ Thuộc ...

Vectơ, thuộc tính của chúng và hành động với chúng

Vectơ, hành động với vectơ, không gian vectơ pháp tuyến.

Vectơ là một tập hợp có thứ tự của một số hữu hạn các số thực.

Hành động: 1. Nhân một vectơ với một số: lambda * vectơ x \ u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4, 0. 7) * 3 \ u003d (9, 12,0.21 )

2. Phép cộng các vectơ (chúng thuộc cùng một không gian vectơ) vectơ x + vectơ y \ u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vectơ 0 = (0,0… 0) --- n E n - n chiều (không gian tuyến tính) vectơ x + vectơ 0 = vectơ x

Định lý. Để một hệ gồm n vectơ trong không gian tuyến tính n chiều phụ thuộc tuyến tính, cần và đủ rằng một trong các vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác.

Định lý. Bất kỳ tập hợp n + vectơ thứ nhất của không gian tuyến tính n chiều yavl. phụ thuộc tuyến tính.

Phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với số. Phép trừ vectơ.

Tổng của hai vectơ là vectơ có hướng từ đầu của vectơ đến cuối vectơ với điều kiện điểm đầu trùng với điểm cuối của vectơ. Nếu các vectơ được cho bởi các khai triển của chúng theo các vectơ cơ sở, thì việc cộng các vectơ sẽ tạo ra các tọa độ tương ứng của chúng.

Hãy xem xét điều này bằng cách sử dụng ví dụ về hệ tọa độ Descartes. Để cho được

Hãy để chúng tôi cho thấy điều đó

Hình 3 cho thấy

Số lượng bất kỳ số giới hạn vectơ có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng quy tắc đa giác (Hình 4): để xây dựng tổng của một số hữu hạn vectơ, nó đủ để kết hợp phần đầu của mỗi vectơ tiếp theo với phần cuối của vectơ trước đó và xây dựng một vectơ nối đoạn đầu của vectơ đầu tiên với kết thúc của vectơ cuối cùng.

Các thuộc tính của phép toán cộng vectơ:

Trong các biểu thức này, m, n là các số.

Hiệu của vectơ được gọi là vectơ Số hạng thứ hai là một vectơ ngược chiều với vectơ chỉ phương nhưng bằng độ dài của nó.

Do đó, phép toán trừ vectơ được thay thế bằng phép toán cộng

Vectơ, điểm đầu tại gốc tọa độ và điểm cuối tại điểm A (x1, y1, z1), được gọi là vectơ bán kính của điểm A và được ký hiệu là hoặc đơn giản. Vì tọa độ của nó trùng với tọa độ của điểm A nên khai triển của nó theo vectơ có dạng

Một vectơ bắt đầu tại điểm A (x1, y1, z1) và kết thúc tại điểm B (x2, y2, z2) có thể được viết là

với r 2 là vectơ bán kính của điểm B; r 1 - vectơ bán kính của điểm A.

Do đó, khai triển của vectơ về mặt quả cầu có dạng

Độ dài của nó bằng khoảng cách giữa hai điểm A và B

PHÉP NHÂN

Vì vậy, trong trường hợp vấn đề máy bay tích của một vectơ với a = (ax; ay) và một số b được tìm bằng công thức

a b = (ax b; ay b)

Ví dụ 1. Tìm tích của vectơ a = (1; 2) bằng 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Vì vậy, trong trường hợp vấn đề không gian tích của vectơ a = (ax; ay; az) và số b được tìm bằng công thức

a b = (ax b; ay b; az b)

Ví dụ 1. Tìm tích của vectơ a = (1; 2; -5) bằng 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Tích chấm của vectơ và đâu là góc giữa các vectơ và; nếu một trong hai, thì

Từ định nghĩa của tích vô hướng, nó theo sau rằng

trong đó, ví dụ, là giá trị của hình chiếu của vectơ lên ​​hướng của vectơ.

Bình phương vô hướng của một vectơ:

Tính chất sản phẩm chấm:

Chấm sản phẩm theo tọa độ

Nếu một sau đó

Góc giữa các vectơ

Góc giữa các vectơ - góc giữa phương của các vectơ này (góc nhỏ nhất).

Tích vectơ (Tích vectơ của hai vectơ.) -đây là một kẻ giả mạo, vuông góc với mặt phẳng, được xây dựng bởi hai yếu tố, là kết quả của phép toán nhị phân "phép nhân vectơ" trên vectơ trong không gian Euclid ba chiều. Sản phẩm không có tính chất giao hoán hay liên kết (nó không có tính chất nghịch biến) và khác với tích số chấm của các vectơ. Trong nhiều bài toán kỹ thuật và vật lý, cần phải có khả năng xây dựng một vectơ vuông góc với hai cái hiện có - tích vectơ cung cấp cơ hội này. Tích chéo hữu ích để "đo" độ vuông góc của vectơ - độ dài của tích chéo của hai vectơ bằng tích độ dài của chúng nếu chúng vuông góc và giảm xuống 0 nếu các vectơ song song hoặc phản song song.

Tích vectơ chỉ được xác định trong không gian ba chiều và bảy chiều. Kết quả của một tích vectơ, giống như một tích vô hướng, phụ thuộc vào số liệu của không gian Euclide.

Không giống như công thức tính tích số chấm từ tọa độ của vectơ trong hệ tọa độ hình chữ nhật ba chiều, công thức tính tích số phụ thuộc vào hướng hệ thống hình chữ nhật tọa độ, hay nói cách khác, "độ chirality" của nó

Tính cộng tuyến của vectơ.

Hai vectơ khác không (không bằng 0) được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên các đường thẳng song song hoặc trên cùng một đường thẳng. Chúng tôi cho phép, nhưng không được khuyến nghị, một từ đồng nghĩa - vectơ "song song". Các vectơ collinear có thể được hướng bằng nhau ("đồng hướng") hoặc được hướng ngược lại (trong trường hợp cuối cùng chúng đôi khi được gọi là "antollinear" hoặc "antiparallel").

Tích hỗn hợp của các vectơ ( a, b, c)- Tích vô hướng của vectơ a và tích vectơ của vectơ b và c:

(a, b, c) = a ⋅ (b × c)

đôi khi được gọi là ba sản phẩm vô hướng vectơ, rõ ràng là do kết quả là một đại lượng vô hướng (chính xác hơn là một giả phương trình).

cảm giác hình học: Môđun của tích hỗn hợp về số bằng thể tích của hình bình hành được tạo thành bởi các vectơ (a, b, c) .

Tính chất

Một sản phẩm hỗn hợp là đối xứng lệch đối với tất cả các đối số của nó: nghĩa là e. một hoán vị của hai yếu tố bất kỳ làm thay đổi dấu của tích. Từ đó sản phẩm hỗn hợp ở bên phải Hệ thống Descartes tọa độ (theo cơ sở trực chuẩn) bằng định thức của ma trận bao gồm các vectơ và:

Tích hỗn hợp trong hệ tọa độ Descartes bên trái (theo cơ sở trực chuẩn) bằng với định thức của ma trận bao gồm các vectơ và được lấy với dấu trừ:

Đặc biệt,

Nếu hai vectơ bất kỳ song song thì với vectơ thứ ba bất kỳ chúng tạo thành một tích hỗn hợp bằng không.

Nếu ba vectơ phụ thuộc tuyến tính (tức là đồng phẳng, nằm trong cùng một mặt phẳng), thì tích hỗn hợp của chúng bằng không.

Cảm quan hình học - Sản phẩm hỗn hợp của giá trị tuyệt đối bằng thể tích của hình bình hành (xem hình vẽ) được tạo thành bởi các vectơ và; dấu phụ thuộc vào việc bộ ba vectơ này là bên phải hay bên trái.

Tính hợp quy của vectơ.

Ba vectơ (hoặc hơn) được gọi là đồng phẳng nếu chúng, được giảm xuống khởi đầu chung, nằm trong cùng một mặt phẳng

Thuộc tính tuân thủ

Nếu ít nhất một trong số ba vectơ- bằng không thì ba vectơ cũng được coi là đồng phẳng.

Bộ ba vectơ chứa một cặp vectơ thẳng hàng là đồng phẳng.

Tích hỗn hợp của vectơ đồng phẳng. Đây là một tiêu chí cho tính đồng quy của ba vectơ.

Vectơ đồng phương phụ thuộc tuyến tính. Đây cũng là một tiêu chí để đánh giá tính đồng hợp.

Trong không gian 3 chiều, 3 vectơ không đồng phẳng tạo thành một cơ sở

Phụ thuộc tuyến tính và vectơ độc lập tuyến tính.

Hệ thức phụ thuộc tuyến tính và độc lập của vectơ.Sự định nghĩa. Hệ thức các vectơ được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu có ít nhất một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của các vectơ này bằng vectơ không. Nếu không, tức là nếu chỉ một tổ hợp tuyến tính nhỏ của các vectơ đã cho bằng với vectơ rỗng, các vectơ được gọi là độc lập tuyến tính.

Định lý (tiêu chí phụ thuộc tuyến tính). Để một hệ thống các vectơ trong không gian tuyến tính phụ thuộc tuyến tính, cần và đủ rằng ít nhất một trong các vectơ này là tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác.

1) Nếu có ít nhất một vectơ 0 trong số các vectơ thì toàn bộ hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Thật vậy, nếu, ví dụ, giả sử, chúng ta có một tổ hợp tuyến tính không tầm thường. ▲

2) Nếu trong số các vectơ, một số có dạng tuyến tính hệ thống phụ thuộc, thì toàn bộ hệ thống phụ thuộc tuyến tính.

Thật vậy, để các vectơ, phụ thuộc tuyến tính. Do đó, tồn tại một tổ hợp tuyến tính không tầm thường bằng vectơ không. Nhưng sau đó, giả sử , chúng ta cũng thu được một tổ hợp tuyến tính không tầm thường bằng vectơ không.

2. Cơ sở và thứ nguyên. Sự định nghĩa. Hệ thống các vectơ độc lập tuyến tính không gian vector triệu tập nền tảng không gian này, nếu bất kỳ vectơ nào từ có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ của hệ này, tức là đối với mỗi vectơ có số thực sao cho bình đẳng được giữ vững. Bình đẳng này được gọi là phân hủy vector theo cơ sở và các con số triệu tập tọa độ vectơ so với cơ sở(hoặc trên cơ sở) .

Định lý (về tính duy nhất của khai triển theo cơ sở). Mỗi vectơ không gian có thể được mở rộng theo cơ sở theo một cách độc đáo, tức là tọa độ của mỗi vectơ trong cơ sở được xác định rõ ràng.

một 1 = { 3, 5, 1 , 4}, một 2 = { –2, 1, -5 , -7}, một 3 = { -1, –2, 0, –1}.

Quyết định.Đang tìm quyết định chung hệ phương trình

một 1 x 1 + một 2 x 2 + một 3 x 3 = Θ

Phương pháp Gaussian. Để làm điều này, chúng tôi viết hệ thống thuần nhất này dưới dạng tọa độ:

Ma trận hệ thống

Hệ thống được phép trông giống như: (r A = 2, N= 3). Hệ thống nhất quán và không xác định. Giải pháp chung của nó ( x 2 - biến tự do): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o =. Ví dụ: sự hiện diện của một nghiệm riêng khác 0 cho biết rằng các vectơ một 1 , một 2 , một 3 phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 2

Tìm hiểu xem nó có phải là hệ thống này vectơ phụ thuộc tuyến tính hoặc độc lập tuyến tính:

1. một 1 = { -20, -15, - 4}, một 2 = { –7, -2, -4}, một 3 = { 3, –1, –2}.

Quyết định. Xét hệ phương trình thuần nhất một 1 x 1 + một 2 x 2 + một 3 x 3 = Θ

hoặc mở rộng (theo tọa độ)

Hệ thống là đồng nhất. Nếu nó không suy biến, thì nó có một giải pháp duy nhất. Khi nào hệ thống đồng nhất là nghiệm không (tầm thường). Do đó, trong trường hợp này hệ thống các vectơ là độc lập. Nếu hệ thống suy biến, thì nó có các nghiệm khác không và do đó, nó phụ thuộc.

Kiểm tra hệ thống xem có bị thoái hóa không:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Hệ thống không suy biến và do đó, các vectơ một 1 , một 2 , một 3 độc lập tuyến tính.

Nhiệm vụ. Tìm hiểu xem hệ vectơ đã cho là phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính:

1. một 1 = { -4, 2, 8}, một 2 = { 14, -7, -28}.

2. một 1 = { 2, -1, 3, 5}, một 2 = { 6, -3, 3, 15}.

3. một 1 = { -7, 5, 19}, một 2 = { -5, 7 , -7}, một 3 = { -8, 7, 14}.

4. một 1 = { 1, 2, -2}, một 2 = { 0, -1, 4}, một 3 = { 2, -3, 3 }.

5. một 1 = { 1, 8 , -1}, một 2 = { -2, 3, 3}, một 3 = { 4, -11, 9}.

6. một 1 = { 1, 2 , 3}, một 2 = { 2, -1 , 1}, một 3 = { 1, 3, 4 }.

7. một 1 = {0, 1, 1 , 0}, một 2 = {1, 1 , 3, 1}, một 3 = {1, 3, 5, 1}, một 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. một 1 = {-1, 7, 1 , -2}, một 2 = {2, 3 , 2, 1}, một 3 = {4, 4, 4, -3}, một 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Chứng minh rằng một hệ thống các vectơ sẽ phụ thuộc tuyến tính nếu nó chứa:

a) hai vectơ bằng nhau;

b) hai vectơ tỉ lệ thuận.

Để kiểm tra xem một hệ thống các vectơ có phụ thuộc tuyến tính hay không, cần phải lập một tổ hợp tuyến tính của các vectơ này và kiểm tra xem nó có thể bằng 0 hay không nếu ít nhất một hệ số bằng 0.

Trường hợp 1. Hệ thức đã cho bởi vectơ

Chúng tôi tạo sự kết hợp tuyến tính

Ta thu được một hệ phương trình thuần nhất. Nếu nó có nghiệm khác 0, thì định thức phải bằng không. Hãy tạo một định thức và tìm giá trị của nó.

Định thức bằng không, do đó, các vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Trường hợp 2. Hệ thức vectơ được cho bởi hàm giải tích:

một) , nếu danh tính là đúng, thì hệ thống phụ thuộc tuyến tính.

Hãy tạo một tổ hợp tuyến tính.

Cần phải kiểm tra xem có a, b, c (ít nhất một trong số đó không bằng 0) mà biểu thức đã cho bằng không hay không.

Chúng tôi viết các hàm hyperbolic

, , sau đó

thì tổ hợp tuyến tính của các vectơ sẽ có dạng:

Ở đâu , lấy ví dụ, khi đó kết hợp tuyến tính bằng 0, do đó, hệ thống phụ thuộc tuyến tính.

Trả lời: Hệ thống phụ thuộc tuyến tính.

b) , chúng tôi tạo ra một kết hợp tuyến tính

Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ, phải bằng 0 với bất kỳ giá trị nào của x.

Hãy kiểm tra các trường hợp đặc biệt.

Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ chỉ bằng 0 nếu tất cả các hệ số bằng 0.

Do đó, hệ thống là độc lập tuyến tính.

Trả lời: Hệ thống độc lập tuyến tính.

5.3. Tìm một số cơ sở và xác định số chiều của không gian tuyến tính của các nghiệm.

Hãy tạo một ma trận mở rộng và đưa nó về dạng hình thang bằng phương pháp Gauss.

Để có một số cơ sở, chúng tôi thay thế các giá trị tùy ý:

Nhận phần còn lại của tọa độ

Trả lời:

5.4. Tìm tọa độ của vectơ X trong cơ sở, nếu nó được cho trong cơ sở.

Tìm tọa độ của vectơ ở cơ sở mới rút gọn thành giải hệ phương trình

Phương pháp 1. Tìm bằng cách sử dụng ma trận chuyển tiếp

Soạn ma trận chuyển tiếp

Hãy tìm vectơ trong cơ sở mới bằng công thức

Tìm ma trận nghịch đảo và thực hiện phép nhân

,

Phương pháp 2. Tìm bằng cách lập một hệ phương trình.

Soạn các vectơ cơ sở từ các hệ số của cơ sở

, ,

Tìm một vectơ trong một cơ sở mới có dạng

, ở đâu d Cái này vector cho trước x.

Phương trình kết quả có thể được giải theo bất kỳ cách nào, câu trả lời sẽ giống nhau.

Trả lời: vector trong cơ sở mới .

5.5. Cho x = (x 1 , x 2 , x 3 ) . Các phép biến hình sau có tuyến tính không.

Chúng ta hãy lập ma trận của các toán tử tuyến tính từ các hệ số của các vectơ đã cho.

Hãy để chúng tôi kiểm tra tính chất của các phép toán tuyến tính cho mỗi ma trận của một toán tử tuyến tính.

Phía bên trái được tìm thấy bằng phép nhân ma trận NHƯNG mỗi vectơ

Chúng ta tìm vế phải bằng cách nhân vectơ đã cho với một vô hướng .

Chúng ta thấy rằng vì vậy phép biến hình không tuyến tính.

Hãy kiểm tra các vectơ khác.

, phép biến hình không tuyến tính.

, phép biến hình là tuyến tính.

Trả lời: Ồ- không phải Chuyển đổi tuyến tính, Vx- không tuyến tính Cx- tuyến tính.

Ghi chú. Bạn có thể hoàn thành nhiệm vụ này dễ dàng hơn nhiều bằng cách xem xét cẩn thận các vectơ đã cho. TẠI Ồ chúng tôi thấy rằng có những thuật ngữ không chứa các phần tử X, không thể có được do hoạt động tuyến tính. TẠI Vx có một yếu tố Xđến lũy thừa thứ ba, cũng không thể có được bằng cách nhân với một vectơ X.

5.6. Được cho x = { x 1 , x 2 , x 3 } , Cây rìu = { x 2 –x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . Thực hiện thao tác đã cho: (Một (B – Một )) x .

Hãy để chúng tôi viết ra các ma trận của các toán tử tuyến tính.

Hãy thực hiện một phép toán trên ma trận

Khi nhân ma trận kết quả với X, chúng ta nhận được

Trả lời:

Nhiệm vụ 1. Tìm xem hệ các vectơ có độc lập tuyến tính hay không. Hệ thống vectơ sẽ được xác định bởi ma trận của hệ thống, các cột của nó bao gồm tọa độ của các vectơ.

.

Quyết định.Để kết hợp tuyến tính bằng không. Viết đẳng thức này trong các tọa độ, chúng tôi nhận được hệ thống tiếp theo phương trình:

.

Hệ phương trình như vậy được gọi là tam thức. Cô ấy có giải pháp duy nhất. . Do đó các vectơ độc lập tuyến tính.

Nhiệm vụ 2. Tìm hiểu xem có tuyến tính không hệ thống độc lập vectơ.

.

Quyết định. Vectơ là độc lập tuyến tính (xem Vấn đề 1). Hãy chứng minh rằng vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ . Hệ số mở rộng vectơ được xác định từ hệ phương trình

.

Hệ thống này, giống như một hệ thống tam giác, có một giải pháp duy nhất.

Do đó, hệ thức vectơ phụ thuộc tuyến tính.

Nhận xét. Các ma trận như trong bài toán 1 được gọi là hình tam giác và trong vấn đề 2 - bước tam giác . Câu hỏi về sự phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ sẽ dễ dàng giải được nếu ma trận gồm các tọa độ của các vectơ này là tam giác bậc. Nếu ma trận không Loại đặc biệt, sau đó sử dụng biến đổi chuỗi cơ bản , bảo toàn các mối quan hệ tuyến tính giữa các cột, nó có thể được rút gọn thành dạng tam giác bậc.

Các phép biến đổi cơ bản dòng ma trận (EPS) được gọi là các phép toán sau trên ma trận:

1) hoán vị của các dòng;

2) nhân một chuỗi với một số khác 0;

3) thêm vào chuỗi một chuỗi khác, nhân với một số tùy ý.

Nhiệm vụ 3. Tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại và tính hạng của hệ vectơ

.

Quyết định. Hãy để chúng tôi giảm ma trận của hệ thống với sự trợ giúp của EPS thành dạng tam giác bậc. Để giải thích quy trình, dòng có số ma trận cần biến đổi sẽ được ký hiệu bằng ký hiệu. Cột sau mũi tên hiển thị các hành động được thực hiện trên các hàng của ma trận được chuyển đổi để thu được các hàng của ma trận mới.

.

Rõ ràng, hai cột đầu tiên của ma trận kết quả là độc lập tuyến tính, cột thứ ba là tổ hợp tuyến tính của chúng và cột thứ tư không phụ thuộc vào hai cột đầu tiên. Vectơ được gọi là cơ bản. Chúng tạo thành hệ thống con độc lập tuyến tính tối đa của hệ thống , và thứ hạng của hệ thống là ba.

Cơ sở, tọa độ

Nhiệm vụ 4. Tìm cơ sở và tọa độ của vectơ trong cơ sở này trên tập vectơ hình học, có tọa độ thỏa mãn điều kiện .

Quyết định. Tập hợp là một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ. Một cơ sở tùy ý trên mặt phẳng bao gồm hai vectơ không thẳng hàng. Tọa độ của các vectơ trong cơ sở đã chọn được xác định bởi nghiệm của hệ tương ứng Các phương trình tuyến tính.

Có một cách khác để giải quyết vấn đề này, khi bạn có thể tìm thấy cơ sở bằng tọa độ.

Tọa độ không gian không phải là tọa độ trên mặt phẳng, vì chúng được liên kết với nhau bằng quan hệ , tức là chúng không độc lập. Các biến độc lập và (chúng được gọi là tự do) xác định duy nhất vectơ trên mặt phẳng và do đó, chúng có thể được chọn làm tọa độ trong. Sau đó, cơ sở bao gồm các vectơ nằm trong và tương ứng với các tập hợp các biến tự do và , I E .

Nhiệm vụ 5. Tìm cơ sở và tọa độ của các vectơ trong cơ sở này trên tập tất cả các vectơ trong không gian mà tọa độ lẻ của chúng bằng nhau.

Quyết định. Như trong bài toán trước chúng ta chọn tọa độ trong không gian.

Như , sau đó là các biến miễn phí xác định duy nhất một vectơ từ và do đó, là tọa độ. Cơ sở tương ứng bao gồm các vectơ.

Nhiệm vụ 6. Tìm cơ sở và tọa độ của vectơ trong cơ sở này trên tập hợp tất cả các ma trận có dạng , ở đâu là các số tùy ý.

Quyết định. Mỗi ma trận từ có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Mối quan hệ này là sự mở rộng của vectơ từ cơ sở với tọa độ .

Nhiệm vụ 7. Tìm kích thước và cơ sở của nhịp tuyến tính của một hệ thống các vectơ

.

Quyết định. Sử dụng EPS, chúng tôi biến đổi ma trận từ tọa độ của vectơ hệ thống sang dạng tam giác bậc.

.

cột của ma trận cuối cùng là độc lập tuyến tính và các cột được thể hiện tuyến tính thông qua chúng. Do đó các vectơ hình thành cơ sở , và .

Nhận xét. Cơ sở trong được chọn một cách mơ hồ. Ví dụ, vectơ cũng tạo thành cơ sở .

Sự định nghĩa. Sự kết hợp tuyến tính của các vectơ a 1, ..., a n với các hệ số x 1, ..., x n được gọi là vectơ

x 1 a 1 + ... + x n a n.

không đáng kể, nếu tất cả các hệ số x 1, ..., x n đều bằng không.

Sự định nghĩa. Tổ hợp tuyến tính x 1 a 1 + ... + x n a n được gọi là không tầm thường, nếu ít nhất một trong các hệ số x 1, ..., x n không bằng 0.

độc lập tuyến tính, nếu không có sự kết hợp không tầm thường của các vectơ này bằng vectơ không.

Tức là các vectơ a 1, ..., a n độc lập tuyến tính nếu x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 nếu và chỉ khi x 1 = 0, ..., x n = 0.

Sự định nghĩa. Các vectơ a 1, ..., a n được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại một tổ hợp không tầm thường của các vectơ này bằng vectơ không.

Tính chất của vectơ phụ thuộc tuyến tính:

Đối với vectơ 2 và 3 chiều.

Hai tuyến tính vectơ phụ thuộc- thẳng hàng. ( Vectơ thẳng hàng phụ thuộc tuyến tính.).

Đối với vectơ 3 chiều.

Ba vectơ phụ thuộc tuyến tính là đồng phẳng. (Ba vectơ đồng phẳng phụ thuộc tuyến tính.)

• Đối với vectơ thứ n.

  n + 1 vectơ luôn phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ về các nhiệm vụ đối với sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của vectơ:

Ví dụ 1. Kiểm tra xem các vectơ a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) có độc lập tuyến tính không .

Quyết định:

Các vectơ sẽ phụ thuộc tuyến tính, vì số chiều của các vectơ nhỏ hơn số vectơ.

Ví dụ 2. Kiểm tra xem các vectơ a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) có độc lập tuyến tính hay không.

Quyết định:

x1 + x2 = 0

x1 + 2x2 - x3 = 0

x1 + x3 = 0

1	1	0	0	~
1	2	-1	0
1	0	1	0

~	1	1	0	0	~	1	1	0	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1	0
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1	0

trừ thứ hai khỏi hàng đầu tiên; thêm dòng thứ hai vào dòng thứ ba:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1	0
	0	1	-1	0		0	1	-1	0
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0	0

Bài giải này chứng tỏ rằng hệ có nhiều nghiệm, tức là có một tổ hợp khác không của các giá trị x 1, x 2, x 3 sao cho hợp tuyến tính của các vectơ a, b, c bằng vectơ không, ví dụ:

A + b + c = 0

có nghĩa là các vectơ a, b, c phụ thuộc tuyến tính.

Trả lời: các vectơ a, b, c phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 3. Kiểm tra xem các vectơ a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) có độc lập tuyến tính hay không.

Quyết định: Hãy tìm giá trị của các hệ số mà tại đó tổ hợp tuyến tính của các vectơ này sẽ bằng vectơ không.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Phương trình vectơ này có thể được viết dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính

x1 + x2 = 0

x1 + 2x2 - x3 = 0

x1 + 2x3 = 0

Chúng tôi giải quyết hệ thống này bằng phương pháp Gauss

1	1	0	0	~
1	2	-1	0
1	0	2	0

trừ dòng thứ nhất xuống dòng thứ hai; trừ hàng đầu tiên khỏi hàng thứ ba:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1	0
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2	0

trừ thứ hai khỏi hàng đầu tiên; thêm dòng thứ hai vào dòng thứ ba.