Chứng Minh Rằng Dãy Fermat Fn=2^2^n+1( Nthuộc MathbbN ) Là Dãy ...

KHỞI ĐỘNG CHO MÙA THI ĐẠI HỌC 2026

Ôn đúng trọng tâm – Học chắc từ hôm nay

BẮT ĐẦU NGAY Chứng minh rằng dãy Fermat Fn=2^2^n+1( nthuộc mathbbN ) là dãy số nguy

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh rằng dãy Fermat \({{F}_{n}}={{2}^{{{2}^{n}}}}+1\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right)\) là dãy số nguyên tố cùng nhau.

A. B. C. D.

Đáp án đúng:

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Gọi d là ƯCLN của dãy Fermat. Ta đi chứng minh   .

Ta có: \({{F}_{n}}={{2}^{{{2}^{n}}}}+1\) có thể viết thành \({F_k} = {a^{{2^k}}} + {b^{{2^k}}}\,\,\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\) với \(\left( a;b \right)=1\) và \(2|ab\).

Vì \(2|ab\) và  \(\left( {a;b} \right) = 1\) nên giả sử \(a\) là số chẵn thì \(b\) phải là số lẻ.

Giả sử \(m>n\) với \(m,\,\,n\) là các số tự nhiên bất kỳ.

Gọi \(\left( {{F}_{m}};{{F}_{n}} \right)=d\)  (\(d\) là số lẻ vì \({{F}_{m}},\,\,{{F}_{n}}\) lẻ )

Ta có \({a^{2n + 1}} - {b^{2n + 1}}|{\left( {{a^{2n + 1}}} \right)^{m - n - 1}} - {\left( {{b^{2n + 1}}} \right)^{m - n - 1}}\)  vì \(x-y|{{x}^{k}}-{{y}^{k}}\).

Mà \({{a}^{2n}}+{{b}^{2n}}|{{\left( {{a}^{{{2}^{n}}}} \right)}^{2}}-{{\left( {{b}^{{{2}^{n}}}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{F}_{n}}|{{F}_{m}}-2{{b}^{{{2}^{m}}}}\)

Từ \(d|{{F}_{n}}\)  và \(d|{F_m}\) \(\Rightarrow d|2{{b}^{{{2}^{m}}}}\Rightarrow d|{{b}^{{{2}^{m}}}}\). Mà \(d|{{F}_{m}}\Rightarrow d|{{a}^{{{2}^{m}}}}\).

Kết hợp giả thuyết \(\left( a;b \right)=1\Rightarrow d=1\)  (đpcm).

Ý kiến của bạn Hủy

Luyện tập

• Phòng tự luyện, thi thử
• Khóa học, tài liệu
• Cách tự học

Câu hỏi liên quan

• 

  Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?

  Chi tiết
• 

  Khối nón có chiều cao bằng 12 cm, đường sinh bằng 15 cm thì có thể tích là:

  Chi tiết
• 

  Phương trình nào sau đây có đúng hai nghiệm phân biệt:

  Chi tiết
• 

   (1 điểm) Vẽ đồ thị của hàm số y = -2x2.

  Chi tiết
• 

  Diện tích mặt cầu có bán kính bằng 2 cm là:

  Chi tiết
• 

  Cho đường tròn (O; 25 cm) và dây AB = 40 cm. Khi đó khoảng cách từ tâm O đến dây AB là:

  Chi tiết
• 

  Hàm số nào đồng biến trên R:

  Chi tiết
• 

  Hàm số nào sau đây không phải là hàm số bậc nhất?

  Chi tiết
• 

   Phương trình 3x2 – 5x – 2015 có tổng hai nghiệm là:

  Chi tiết
• 

  (1 điểm) Giải phương trình:  2x2 + x – 15 = 0

  Chi tiết

×

Đăng ký

Năm sinh 20012002200320042005200620072008200920102011201220132014201520162017201820192020 hoặc Đăng nhập nhanh bằng: (*) Khi bấm vào đăng ký tài khoản, bạn chắc chắn đã đoc và đồng ý với Chính sách bảo mật và Điều khoản dịch vụ của Tự Học 365.