Chuỗi Fourier Sine Và Cosine | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

Khai triển Fourier của hàm số trên nửa đoạn [0; π]

Để tìm được khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [0; π] ta có thể thác triển hàm f(x) trên cả đoạn ${[- \pi ; \pi ]}$ , rồi sử dụng công thức đã có ở phần khai triển Fourier cho hàm số trên đoạn ${[- \pi ; \pi ]}$ .

Thông thường có 3 cách thác triển:

1. Thác triển chẵn: (khai triển thành chuỗi Fourier cosin)

$g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ f(-x) & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.$

2. Thác triển lẻ: (khai triển thành chuỗi Fourier sin)

$g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ - f(-x) & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.$

3. Thác triển tự do:

$g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} f(x) & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 0 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.$

Khi đó, khai triển Fourier của hàm số g(x) trên đoạn [0 ; π ] chính là khai triển Fourier của hàm số f(x) trên đoạn [0 ; π ]

Ví dụ: Tìm khai triển Fourier và khai triển Fourier theo các hàm số cosin, sin của hàm số $f(x) = 1 , 0 \le x \le \pi$

1. Thác triển Fourier thông thường:

Xét hàm số : $g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 0 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.$

Ta có:

$a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} ) = { \dfrac{1}{2}}$

$a_{n} = { \frac{1}{\pi}} { \int_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0.cos(nx) \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1.cos(nx) \, dx} ) \\ \qquad = { \dfrac{1}{\pi}} \Big [ { \dfrac{sin(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = 0$

$b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 0.sin(nx) \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1.sin(nx) \, dx} \Big ) \\ \qquad = { \dfrac{1}{\pi}} \Big [ - { \dfrac{cos(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( - { \dfrac{(-1)^{n} - 1}{n}} \Big ) .$

Vậy:

$a_{0} = { \dfrac{1}{2}} , a_{n} = 0 , b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{2}{\pi}}.{ \dfrac{1}{2n+1}}$

Nên khai triển Fourier của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

$f(x) \sim { \dfrac{1}{2}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{{ \dfrac{2}{\pi .(2n+1)}}sin((2n+1)x)}$

2. Thác triển Fourier cosin:

Xét hàm số : $g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ 1 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.$

Ta có:

$a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} 1 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} \Big ) = 1$

$a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{0}^{\pi} 1.cos(nx) \, dx} \Big ) = { \dfrac{2}{\pi}} \Big [ { \dfrac{sin(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} = 0$

$b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{1}{\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{\pi} 1.sin(nx) \, dx} \Big ) = 0 , \forall n \ge 1$

Vậy: $a_{0} = 1 , a_{n} = 0 , b_{n} = 0$

Nên khai triển Fourier cosin của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

$f(x) \sim 1$

3. Thác triển Fourier sin:

Xét hàm số : $g(x) = \left \{ \begin{array}{cll} 1 & , & x \in [0 ; \pi ] \\ -1 & , & x \in [-\pi ; 0 ] \end{array} \right.$

Ta có:

$a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx} = { \dfrac{1}{2\pi}} \Big ( { \int\limits_{-\pi}^{0} -1 \, dx} + { \int\limits_{0}^{\pi} 1 \, dx} \Big ) = 0$

$a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).cos(nx) \, dx} = 0, \forall n \ge 1$

$b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}}{ \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x).sin(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}}{ \int\limits_{0}^{\pi} sin(nx) \, dx} = { \dfrac{2}{\pi}} \Big [ - { \dfrac{cos(nx)}{n}} \Big {]_{0}^{\pi}} \\ \qquad = { \dfrac{2}{\pi}} \Big ( - { \dfrac{(-1)^{n}}{n}} + { \dfrac{1^{n}}{n}} \Big )$

Vậy: $a_{n} = 0 , \forall n ; b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{4}{\pi}}.{ \dfrac{1}{2n+1}}$

Nên khai triển Fourier sin của hàm số đã cho trên đoạn [0 ; π ] là:

$f(x) \sim \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \dfrac{4}{\pi .(2n+1)}}sin((2n+1)x)$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Thảo luận

9 bình luận về “Chuỗi Fourier Sine và Cosine”

Thầy giúp e kh triển fourier của f(x)=x^2 trên khoảng (0;π) vs. Thanks thầy.

ThíchThích
Được đăng bởi Minh pham | 04/07/2017, 11:02 Reply to this comment
Thưa thầy ,cách dùng công thức cho một hàm chẵn va một hàm lẻ là hoàn toàn khacs nhau phải không thầy

ThíchThích
Được đăng bởi trần thị thu sương | 28/02/2012, 09:05 Reply to this comment
thanks! e đang gặp khó khăn trong bài giải giờ đọc bài này e hiểu rất nhiều. cám ơn thầy!

ThíchThích
Được đăng bởi choat | 18/06/2010, 10:28 Reply to this comment
thua thay!co phai khai trien theo sin la khong phai tinh he so a0.phai khong a?

ThíchThích
Được đăng bởi gf | 08/06/2010, 20:21 Reply to this comment
Em chào thầy! Thầy ơi, em muốn hỏi thầy một bài khai triển Fourier nhưng em không biết làm sao để đánh công thức ở đây. Thầy chỉ cho em cách làm được không ạ? Em cảm ơn thầy nhiều.

ThíchThích
Được đăng bởi Anh Tran | 02/11/2009, 17:37 Reply to this comment
Em chào thầy! Thầy cho em hỏi về tích phân Fourier, em tìm tài liệu trên mạng và trong sách thì thấy có 2 dạng công thức (link: http://vi.wikipedia.org và http://dangtuanhiep.files.wordpress.com/2008/10/ch8.pdf ) nhưng em thấy hai công thức này không trùng với nhau ( không biết em có hiểu sai không)? Tìm chuỗi và tích phân Fourier có phải là biến đổi Fourier rời rạc và liên tục không thầy? Học trò cũ :))

ThíchThích
Được đăng bởi mh | 20/09/2009, 23:52 Reply to this comment
Thưa thầy sao trong blog của em ,em đã chọn chế độ reading summary nhưng sao khi post bài nó cứ hiện full text dzậy thầy .

ThíchThích
Được đăng bởi huynhchidung | 22/08/2008, 12:07 Reply to this comment
- Chế độ reading summary chỉ có hiệu lực khi em click vào 1 category bất kỳ. Khi đó nó mới hiện các bài viết trong mục đó dưới dạng summary.
  
  Còn trang home, nếu em chọn chế độ Show new post thì nó vẫn hiện toàn bộ bài viết. Nếu em muốn ngắt trang bài viết để người đọc muốn theo dõi tiếp phải nhấn readmore thì trong quá trình soạn thảo bài viết, em đặt con trỏ ở đầu đoạn cần ngắt rồi nhấn vào nút Insert More Tags (nút hình trang giấy bị đứt đôi có đoạn kẻ nét đứt ở giữa), hoặc trong thẻ HTML em đặt đoạn code ở đầu đoạn cần ngắt.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 22/08/2008, 13:06 Reply to this comment
Your blog is interesting!

Keep up the good work!

ThíchThích
Được đăng bởi Alex | 17/08/2008, 11:13 Reply to this comment