Chuỗi Fourier | Toán Cho Vật Lý | Trang 2

Trang chủ » Chuỗi Fourier Giải Tích 3 » Chuỗi Fourier | Toán Cho Vật Lý | Trang 2

Có thể bạn quan tâm

2.2 Các Ví dụ.

Ví dụ 1: Tìm khai triển Fourier của hàm số: f(x) = x , {-\pi \le x \le \pi }

Giải: Do f(x) là hàm lẻ, nên an = 0, với mọi n ≥ 0. Do đó, ta chỉ cần xác định các hệ số bn. Với bất kỳ n ≥ 0, ta có:

img22.gif

Hay:

img23.gif

Do đó, ta có khai triển Fourier:

img24.gif

pic01.gif

Ví dụ 2: Tìm khai triển Fourier của hàm số:

img25.gif

Giải: Ta có:

a_{0} = { \dfrac{1}{2\pi}} { ({ \int\limits_{-\pi}^{0}0 \, dx} + {\int\limits_{0}^{\pi} \pi \, dx} )} = { \dfrac{\pi}{2}}

a_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{0}^{\pi} {\pi .cos(nx) \, dx} } = 0 , n \ge 1

b_{n} = { \dfrac{1}{\pi}} { \int\limits_{0}^{\pi} {\pi .sin(nx) \, dx} } = { \dfrac{1}{n} {(1 - cos(n\pi))}} = { \dfrac{1}{n} {(1 - (-1)^{n})}}, n \ge 1

Theo kết quả trên, ta có:

b_{2n} = 0 , b_{2n+1} = { \dfrac{2}{(2n+1)}}

Vì vậy, khai triển Fourier của hàm số f (x) là:

img29.gif

pic02.gif

Ví dụ 3: Tìm khai triển Fourier của chuỗi:

img30.gif

Giải:

Ta có thể tính trực tiếp các hệ số a_{0} , a_{n} , b_{n} như hai ví dụ trên. Tuy nhiên, ở đây, ta thấy: hàm số trong ví dụ này chính là hiệu của hàm số cho ở ví dụ 2 trừ đi π . Nên, khai triển Fourier của hàm số trên sẽ là:

img32.gif

pic03.gif

2.3 Điều kiện đủ của khai triển Fourier:

2.3.1 Định nghĩa:

Hàm số f(x) được gọi là đơn điệu từng khúc trên đoạn [a ; b], nếu có thể chia đoạn [a;b] bởi một số hữu hạn điểm x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} (a < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n} < b ) thành các khoảng (a; x_{1}) , (x_{1};x_{2}), ... , (x_{n}; b) sao cho f (x) đơn điệu trên các khoảng đó.

Như vậy, f đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [a; b] thì hoặc f liên tục, hoặc f có điểm gián đoạn loại 1 ( nghĩa là: \lim f(x_{0-}) \ne \lim f(x_{0+})

2.3.2 Định lý Dirichlet:

Nếu f(x) đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [-π ; π] thì chuỗi Fourier hội tụ từng điểm trên đoạn ấy và tổng của chuỗi bằng:

  1. f(x), -\pi < x < \pi và f(x) liên tục tại x.

  2. { \dfrac{1}{2}} (f(x-) + f(x+)), -\pi < x < \pi và x là điểm gián đoạn loại 1 của f(x).

  3. { \dfrac{1}{2}} (f(-\pi) + f(\pi)), x = \pm \pi

Ví dụ: Xét ví dụ 3 ở phần trên. Khi đó, theo định lý Dirichlet ta có:

  1. F(1) = 2(sin1 + { \dfrac{sin3}{3}} + { \dfrac{sin5}{5}} + ... ) = f(1) = - { \dfrac{\pi}{2}}
  2. F(0) = { \dfrac{1}{2}}(f(0-) + f(0+)) = { \dfrac{1}{2}}({ \dfrac{-\pi}{2}} + { \dfrac{-\pi}{2}}) = 0
  3. F(\pi) = { \dfrac{1}{2}}(f(-\pi) + f(\pi)) = { \dfrac{1}{2}}({ \dfrac{-\pi}{2}} + { \dfrac{-\pi}{2}}) = 0

Đánh giá:

Chia sẻ:

  • Email
  • In
  • Facebook
Thích Đang tải... Trang: 1 2

Từ khóa » Chuỗi Fourier Giải Tích 3