Chuỗi Số Dương (Infinitive Series) | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-31

1. Các dấu hiệu so sánh (The basic comparison test):

Xét chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} ,{u_n} {\ge} 0 (1)$

Khi đó nếu tổng riêng phần $S_{n}$ là dãy không giảm và nếu nó bị chặn trên thì chuỗi (1) hội tụ.

1.1 Dấu hiệu so sánh hai chuỗi số dương :

1.1.1 Dấu hiệu so sánh 1:

Cho hai chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n} (1), \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} (2)$ thỏa điều kiện: ${\exists} {n_{0}} : 0 {\le} {u_{n}} {\le} {v_{n}} , { \forall} n {\ge} n_{o}$ (*). Khi đó:

Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{v_n}$ hội tụ thì $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n}$ hội tụ.

Ngược lại, nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {u_n}$ phân kỳ thì $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n}$ phân kỳ.

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, giả sử $n_0 = 1$ .

Gọi Sn và Tn là tổng riêng phần tương ứng của chuỗi (1) và chuỗi (2)

Do (*) ta có: Sn ≤ Tn

Vì chuỗi (2) hội tụ nên Tn → T

Vì các số hạng của chuỗi luôn dương nên Tn < T

Suy ra: Sn < T

Vậy Sn bị chặn trên nên nó có giới hạn

1.1.2 Dấu hiệu so sánh 2 :

Cho hai chuỗi số dương $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n} (1), \sum\limits_{n=1}^{\infty} {v_n} (2)$ , $({u_{n}} {\ge} 0, {v_{n}} {\ge} 0 )$

Giả sử $\lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = k}$

1. Nếu k = 0 thì chuỗi (2) hội tụ suy ra chuỗi (1) hội tụ.

2. $0 \langle k \langle \infty$ thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

3. $k = + \infty$ thì chuỗi (1) hội tụ suy ra chuỗi (2) hội tụ.

Chứng minh

Chứng minh kết quả 1:

Do $\lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = 0}$ nên:

$\forall \epsilon \ge 0, \exists N: \forall n \ge N \Rightarrow \dfrac{u_n}{v_n} \le \epsilon \Rightarrow u_n \le {{\epsilon}.{v_{n}}}$ .

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Chứng minh kết quả 2:

Giả sử $k \langle + \infty$ . Khi đó, do $\lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = k}$ nên:

$\forall \epsilon \ge 0, \exists N: \forall n \ge N \Rightarrow \dfrac{u_n}{v_n} \langle k + \epsilon \Rightarrow u_n \langle (k+ \epsilon )v_n$

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Mặt khác do $k \rangle 0 \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} {{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} = 1/k} \langle + \infty$ .

Vì vậy, theo trên, nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) hội tụ.

Vậy mệnh đề 2 đúng

Kết quả 3 được suy ra từ kết quả 1 và 2.

1.1.3 Tiêu chuẩn tích phân:

Xét hàm số $f: [1;+\infty) \to R , f(x) \ge 0$ và f giảm. Với mọi $n \in N$ , đặt ${a_{n} = f(n)}$

Khi đó: tích phân suy rộng $\int\limits_{1}^{\infty} {f(x)}$ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {a_n}$ hội tụ.

1.2 Tiêu chuẩn D’Alambert và Cauchy:

Image by mseery via Flickr

1.2.1. Tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn căn thức) – Cauchy’s root test ( Cauchy’s radical test):

Cho $\sum a_n$ là chuỗi số dương. Giả sử rằng:

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} = C$

Khi đó chúng ta có:

1. Nếu C < 1, thì chuỗi $\sum a_n$ là hội tụ.

2. Nếu C > 1, thì chuỗi $\sum a_n$ là phân kỳ.

3. Nếu C = 1, thì chuỗi $\sum a_n$ có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

1.2.2 Tiêu chuẩn D’Lambert – ratio test:

Cho $\sum a_n$ là chuỗi số dương sao cho $a_n \ne 0$ . Giả sử rằng:

$\lim\limits_{n \to \infty} { \dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = D$

Khi đó chúng ta có:

1. Nếu D < 1, thì chuỗi $\sum a_n$ là hội tụ.

2. Nếu D > 1, thì chuỗi $\sum a_n$ là phân kỳ.

3. Nếu D = 1, thì chuỗi $\sum a_n$ có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

85 bình luận về “Chuỗi số dương (Infinitive Series)”

Chào thày ạ! Mong thầy giúp em xét sự hội tụ của chuỗi Sigma a(n) với : 0<a(0)< pi/2. a(n)=sin a(n-1). Em xin chân thành cám ơn thầy!

ThíchThích
Được đăng bởi Tien_Ha | 20/03/2009, 00:24 Reply to this comment
thầy ơi,giải cho em bài này được ko? xét sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát như sau: Un=a^n/(n+b^n) (a,b>0)

ThíchThích
Được đăng bởi viet0410 | 03/03/2009, 15:50 Reply to this comment
- Bài này em dùng dấu hiệu so sánh. Ta có: $U_n ={ \dfrac{a^n}{n+b^n}} \le { \dfrac{a^n}{b^n}} = \left({ \dfrac{a}{b}}\right)^n = V_n$ Xét chuỗi $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} V_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty}q^n , (q = \dfrac{a}{b} > 0)$ Đây là chuỗi cơ bản, em dễ dàng suy được kết quả: Nếu $a \ge b$ thì chuỗi phân kỳ, nếu $a < b$ thì chuỗi hội tụ
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 03/03/2009, 16:21 Reply to this comment
  - thầy ơi,em thấy lời giải của thầy có vấn đề..với a>=b thì chuỗi q^n là phân kỳ,lúc đó làm sao so sánh được Un với Vn đây?chỉ so sánh được như thế khi Vn là hội tụ thôi(ứng với trường hợp a<b)…
    
    ThíchThích
    Được đăng bởi viet0410 | 04/04/2009, 16:13 Reply to this comment
  - Ở đây $a \ge b$ thì chuỗi phân kỳ không phải do ta so sánh Un với Vn. Khi $a\ge b$ thì Un không tiến về 0 khi n tiến đến vô cùng. nên nó không hội tụ. Hoặc ta có thể dùng quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé, khi đó chuỗi Un tương đương với chuỗi Vn. Hoặc em xét tỉ số $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{Un}{Vn} = 1$ thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Tất nhiên không thể từ $U_n \le V_n$ mà $V_n$ phân kỳ nên $U_n$ phân kỳ được.
    
    ThíchThích
    Được đăng bởi 2Bo02B | 04/04/2009, 19:41 Reply to this comment
thầy giải kỹ giúp em bài ấy được không ạ em hơi kém phần này. em xin cảm ơn

ThíchThích
Được đăng bởi fabergas | 02/03/2009, 18:37 Reply to this comment
Thầy ơi, với bài $\sum\limits_{n=1}^{\infty} { \dfrac{(3n+1)!}{n^28^n}}$ nếu em áp dụng quy tắc D’Alembert thì sẽ tính được giới hạn bằng vô cùng. Em không biết kết luận như thế nào cả. Thầy xem giúp em với

ThíchThích
Được đăng bởi fabergas | 02/03/2009, 08:24 Reply to this comment
- Theo tiêu chuẩn D’Alambert , giả sử $\lim\limits_{n \to \infty} { \dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = D$ . Nếu D > 1 thì chuỗi phân kỳ, D < 1: chuỗi hội tụ. D = 1 thì chưa kết luận được, và khi đó phải sử dụng tiêu chuẩn khác. Vậy chuỗi của em là chuỗi phân kỳ
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 02/03/2009, 11:57 Reply to this comment
Thầy ơi, cho em hỏi, nếu muốn tính tổng của chuỗi, mình áp dụng Cauchy hoặc D’Alambert để tính, kết quả tìm được có phải là tổng của chuỗi không ah??? Em xin cảm ơn Thầy

ThíchThích
Được đăng bởi Phongkts | 01/03/2009, 20:47 Reply to this comment
- Tiêu chuẩn Cauchy hoặc D’Alambert chỉ dùng để xét sự hội tụ chứ không thể tính được tổng của chuỗi. Em chú ý: Với tiêu chuẩn D’Alambert: $\lim\limits_{n \to \infty} { \dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = D$ thì D là giới hạn của tỉ số giữa $a_{n+1}$ với $a_{n}$ chứ không phải $D = \lim\limits_{n \to \infty} S_n = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i = 1}^n a_i$ Tương tự với dấu hiệu Cau chy. Ngoài ra, mọi dấu hiệu so sánh khác cũng vậy, nó chỉ dùng để xét sự hội tụ chứ không thể cho biết tổng của chuỗi đó bằng bao nhiêu.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi hoangtruc | 01/03/2009, 21:46 Reply to this comment
Thầy ơi, giải dùm em bài này tí: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} { \dfrac{7^n*(n!)^2}{n^{2n}}}$ Thầy trình bày kỹ giúp em nha. Em cảm ơn Thầy

ThíchThích
Được đăng bởi fabergas | 01/03/2009, 10:37 Reply to this comment
- Bài này trong số hạng tổng quát $a_n$ có chứa giai thừa, nên thông thường ta hay chọn tiêu chuẩn D’Alambert để xét. Khi đó: $a_{n+1} = { \dfrac{7^{n+1}((n+1)!)^2}{(n+1)^{2n+2}}} , a_n = { \dfrac{7^n(n!)^2}{n^{2n}}}$ Khi đó, xét tỉ số: $\lim\limits_{n \to \infty} { \dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = 7 \left({ \dfrac{n}{n+1}} \right)^{2n} = 7 \left(1 - { \dfrac{1}{n+1}} \right)^{2n}$ Ta chú ý: $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1-{ \dfrac{1}{n}} \right)^n = { \dfrac{1}{e}}$ Vậy $\left(1 - { \dfrac{1}{n+1}} \right)^{2n} = \left(1 - { \dfrac{1}{n+1}} \right)^{(n+1)*(2n/n+1)} = { \dfrac{1}{e^2}}$ Do đó: $\lim\limits_{n \to \infty} { \dfrac{a_{n+1}}{a_n}} = { \dfrac{7}{e^2}} < 1$ Vậy theo tiểu chuẩn D’Alambert , chuỗi đã cho hội tụ.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 01/03/2009, 12:29 Reply to this comment
em chào thầy thầy ơi cho em hỏi đối với bài như thế này thì dùng tiêu chuẩn tích phân thì em phải làm như thế nào.thật sự đối với dạng này em không hiểu và cũng không biết làm như thế nào .thầy có thể giúp em bài này được không ;chuổi số dương của 1/k*m với k=1,2,3……..với m thuộc R .xét bản chất của chuổi số

ThíchThích
Được đăng bởi hoahongmau | 18/02/2009, 12:32 Reply to this comment
- Xét hàm số $f:[1;+\infty) \rightarrow R , f(x) \ge 0$ và f giảm. Với mọi n ∈ℕ, đặt: $a_n = f(n)$ .Khi đó: tích phân suy rộng $\int\limits_{1}^{+ \infty} f(x) \, dx$ hội tụ ⇔ chuỗi hội tụ. Với bài trên thì do $a_k = { \dfrac{1}{k^m}}$ , nên em xét hàm $f(x) = { \dfrac{1}{x^m}} , (m \in R)$ Rõ ràng: $f(x) \ge 0 , \forall x \ge 1, f(x)$ giảm. Vậy chuỗi $\sum\limits_{k=1}^{+\infty} { \dfrac{1}{k^m}}$ hội tụ khi và chỉ khi tích phân $\int\limits_{1}^{\infty} { \dfrac{dx}{x^m}} \,$ hội tụ Mà tích phân này em đã biết nó hội tụ khi m lớn hơn 1, và phân kỳ khi m nhỏ hơn bằng 1.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 19/02/2009, 08:33 Reply to this comment
Thầy ơi, giúp em giải bài toán này với: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{n^{\frac{3}{4}}}}$ Em cảm ơn nhiều.

ThíchThích
Được đăng bởi Nguyenbaloi | 15/02/2009, 22:25 Reply to this comment
- Để giải bài này, em cần biến đổi chút xíu: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{n^{\frac{3}{4}}}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \dfrac{2}{n^{\frac{3}{4}}.(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}}$ Sau đó, em dùng dấu hiệu so sánh 2, so sánh chuỗi trên với chuỗi số sau: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} { \dfrac{1}{n^{5/4}}}$ thì sẽ có kết quả
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 15/02/2009, 23:31 Reply to this comment
bạn ơi,câu trên chỉ cần áp dụng qui tắc cauchy là ok mà..^^..thử đi nhá..

ThíchThích
Được đăng bởi viet0410 | 14/02/2009, 22:54 Reply to this comment
Xin quý vị đưa ra một số cách tính tổng của chuỗi số hội tụ vd> tính tổng của chuỗi sigma(n=1-oo) (((n!)^2))/(2n)!)

ThíchThích
Được đăng bởi liem | 06/09/2008, 15:35 Reply to this comment
có phải bạn Linh cần tìm sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} {n^{ \dfrac{1}{n^2 +1} -1}}$

ThíchThích
Được đăng bởi 2Bo02B | 27/08/2008, 20:10 Reply to this comment
Xet su hoi tu cua chuoi : Sigma(n=1-oo) (n mu (1/n2 +1 – 1)

ThíchThích
Được đăng bởi Pham Ngoc Linh | 27/08/2008, 10:54 Reply to this comment