Chuỗi Taylor - Vườn Toán

Trang chủ » Khai Triển Maclaurin Là Gì » Chuỗi Taylor - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Chuỗi Taylor

Kỳ trước nhân dịp ngày số $\pi$, chúng ta được giới thiệu một hằng đẳng thức rất đẹp của Euler $$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}$$ Nhà toán học Euler có một phương pháp rất độc đáo để thiết lập công thức này. Phương pháp của Euler sử dụng phép khai triển Taylor, và vì vậy, hôm nay chúng ta sẽ làm quen với chuỗi Taylor, rồi kỳ sau chúng ta sẽ học về cách chứng minh của Euler. Ví dụ về đa thức bậc 2 Trước khi đi vào tìm hiểu chuỗi Taylor, các bạn thử tìm câu trả lời cho một câu đố nhỏ sau đây:
Cho đa thức bậc 2, $$p(x) = a x^2 + b x + c$$Tìm một công thức cho hệ số $c$ dựa vào hàm số $p$.
Các bạn đã tìm ra câu trả lời chưa? Công thức cho hệ số $c$ là: $$c = p(0)$$ Câu đố tiếp theo là như sau
Cho đa thức bậc 2, $$p(x) = a x^2 + b x + c$$ Tìm một công thức cho hệ số $b$ dựa vào hàm số $p$. (Gợi ý: lấy đạo hàm của $p$.)
Lấy đạo hàm của $p$ chúng ta có $$p'(x) = 2 a x + b$$ Vậy $$b = p'(0)$$ Đến đây chắc các bạn đã đoán ra công thức cho hệ số $a$ rồi phải không?! Lấy đạo hàm một lần nữa chúng ta có $$p''(x) = 2a$$ Vậy chúng ta có $$c = p(0), ~~ b = p'(0), ~~ a = \frac{1}{2} p''(0).$$ Thay các hệ số này vào công thức bậc 2, chúng ta có $$p(x) = a x^2 + bx + c=\frac{1}{2} p''(0) x^2 + p'(0) x + p(0)$$ Ví dụ về đa thức bậc 5 Bây giờ, giả sử chúng ta có đa thức bậc 5 như sau: $$p(x) = a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$ Làm tương tự như trên chúng ta dễ dàng tìm ra công thức cho các hệ số $a_i$. Đầu tiên chúng ta có $$a_0 = p(0)$$ Lấy đạo hàm bậc 1 chúng ta có $$p'(x) = 5 a_5 x^4 + 4 a_4 x^3 + 3 a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1$$ Vậy $$a_1 = p'(0)$$ Lấy đạo hàm bậc 2 chúng ta có $$p''(x) = 5 \times 4 \, a_5 x^3 + 4 \times 3 \, a_4 x^2 + 3 \times 2 \, a_3 x + 2 a_2$$ Vậy $$a_2 = \frac{p''(0)}{2}$$ Lấy đạo hàm bậc 3 chúng ta có $$p'''(x) = 5 \times 4 \times 3 \, a_5 x^2 + 4 \times 3 \times 2 \, a_4 x + 3 \times 2 \times 1 \, a_3$$ Vậy $$a_3 = \frac{p'''(0)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{p'''(0)}{3!}$$ (Ký hiệu $n!$ đọc là $n$ giai thừa, $n!= 1 \times 2 \times \dots \times (n-1) \times n$) Lấy đạo hàm bậc 4 chúng ta có $$p''''(x) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \, a_5 x + 4 \times 3 \times 2 \times 1 \, a_4$$ Vậy $$a_4 = \frac{p''''(0)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{p^{(4)}(0)}{4!}$$ (Để cho gọn, chúng ta sẽ dùng ký hiệu $p^{(n)}(x)$ để chỉ đạo hàm bậc $n$ của $p(x)$) Cuối cùng, lấy đạo hàm bậc 5 chúng ta có $$p^{(5)}(x) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \, a_5$$ Và $$a_5 = \frac{p^{(5)}(0)}{5!}$$ Chúng ta thấy công thức tổng quát là $$a_n = \frac{p^{(n)}(0)}{n!}$$ vậy, $$p(x) = a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$ $$= \frac{p^{(5)}(0)}{5!} x^5 + \frac{p^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \frac{p^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{p''(0)}{2!} x^2 + p'(0) x + p(0)$$ $$= p(0) + p'(0) x + \frac{p''(0)}{2!} x^2 + \frac{p^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{p^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \frac{p^{(5)}(0)}{5!} x^5$$ Chuỗi Taylor Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để học về phép khai triển chuỗi Taylor.
Khai triển chuỗi Taylor của một hàm số $f(x)$ là như sau:$$f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \dots$$
Nếu sau này các bạn nhỡ quên về công thức này thì các bạn có thể dùng ví dụ về đa thức bậc 2, bậc 3,... để nhớ lại. Bây giờ chúng ta sẽ tìm chuỗi Taylor cho hàm số $e^x$. Hàm số mũ tự nhiên $e^x$ Trong toán học có hai hằng số quan trọng nhất, đó là số $\pi \approx 3.14$ và hằng số Euler $e \approx 2.72$. Chúng ta có $$\lim_{n \to \infty}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n} = e$$ Hàm số mũ tự nhiên $f(x) = e^x$ là một hàm số rất đặc biệt vì hàm số này có đạo hàm bằng chính nó. Do đó, nếu chúng ta lấy đạo hàm bao nhiêu lần đi nữa thì kết quả vẫn là $e^x$: $$f(x) = f'(x) = f''(x) = f^{(3)}(x) = f^{(4)}(x) = f^{(5)}(x) = \dots = e^x$$ Vì vậy $$f(0) = f'(0) = f''(0) = f^{(3)}(0) = f^{(4)}(0) = f^{(5)}(0) = \dots = e^0 = 1$$ Khai triển chuỗi Taylor của hàm số $f(x) = e^x$ là như sau: $$f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \dots$$ $$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{4!} x^4 + \dots + \frac{1}{n!} x^n + \dots$$
$$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$$
Thay $x = \pm 1$ chúng ta có hai hằng đẳng thức sau đây: $$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \dots $$ $$\frac{1}{e} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots $$ Chúng ta tạm dừng ở đây. Kỳ sau chúng ta sẽ dùng công thức chuỗi Taylor để chứng minh hằng đẳng thức Euler $$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}$$ Hẹn gặp lại các bạn. Bài tập về nhà. 1. Dùng khai triển chuỗi Taylor cho hàm số $g(x)$ $$g(x) = g(0) + g'(0) x + \frac{g''(0)}{2!} x^2 + \frac{g^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \frac{g^{(4)}(0)}{4!} x^4 + \dots + \frac{g^{(n)}(0)}{n!} x^n + \dots$$ Sau đó đặt $f(x+a) = g(x)$, chứng minh rằng $$f(x+a) = f(a) + f'(a) x + \frac{f''(a)}{2!} x^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!} x^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!} x^4 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} x^n + \dots$$ Từ đó suy ra $$f(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!} (x-a)^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!} (x-a)^4 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \dots$$ Công thức này gọi là khai triển chuỗi Taylor tại điểm $x =a$. 2. Chứng minh rằng công thức khai triển chuỗi Taylor cho hàm số $\sin(x)$ là như sau: $$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \dots$$ 3. Chứng minh rằng công thức khai triển chuỗi Taylor cho hàm số $\cos(x)$ là như sau: $$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \dots$$ 4. Tìm công thức khai triển chuỗi Taylor cho hàm số $f(x) = \log_{e}(1 + x)$. 5. Tìm công thức khai triển chuỗi Taylor cho hàm số $f(x) = \sqrt{x + 1}$. 6. Dùng google.com để tìm hiểu về hằng số Euler $e$ và ứng dụng của nó trong việc tính lãi suất ngân hàng. Labels: đạo hàm, Euler, giải tích, giới hạn, khai triển chuỗi Maclaurin, khai triển chuỗi Taylor Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2015 (12)
    • ▼  tháng 4 (4)
      • Bàn cờ vua và kim tự tháp
      • 0.9999999... có bằng 1 không?
      • Tổng nghịch đảo bình phương
      • Chuỗi Taylor

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Khai Triển Maclaurin Là Gì