Chương 1 Sự Kiện Ngẫu Nhiên Và Phép Tính Xác Suất

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUS

Chương 1 Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất

Mục tiêu1. Cung cấp cho sinh viên những khái niệm về phép thử, sự kiện, xác suất; mối quan hệ giữa các sự kiện; các công cụ tính toán cơ bản của lý thuyết xác suất (định lý, công thức).2. Với các kiến thức nền tảng đó, sinh viên biết tính xác suất của các sự kiện; biết thực hiện các bài tập ứng dụng của xác suất trong các lĩnh vực kỹ thuật, kinh tế, xã hội, quản lý ra quyết định. . .

Nội dung1. Sự kiện, quan hệ giữa các sự kiện2. Nhắc lại giải tích tổ hợp, quy tắc nhân, chỉnh hợp lặp3. Khái niệm và các định nghĩa xác suất (cổ điển, hình học, thống kê)4. Các định lý và công thức xác suất (xác suất điều kiện; công thức nhân xác suất; công thức cộng xác suất; công thức Béc-nu-li; công thức xác suất đầy đủ, công thức Bay-ét)

BÀI 1 (2 tiết)Các hiện tượng trong tự nhiên hay xã hội xảy ra một cách ngẫu nhiên (không biết trước kết quả) hoặc tất định (biết trước kết quả sẽ xảy ra). Chẳng hạn một vật nặng được thả từ trên cao chắc chắn sẽ rơi xuống đất, trong điều kiện bình thường nước sôi ở 100 ◦ C. . . Đó là những hiện tượng diễn ra có tính quy luật, tất nhiên. Trái lại, khi tung đồng xu ta không biết sẽ xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa; ta không thể biết trước có bao nhiêu cuộc gọi đến tổng đài; có bao nhiêu khách hàng đến điểm phục vụ trong khoảng thời gian nào đó; ta không thể xác định trước chỉ số chứng khoán trên thị trường chứng khoán. . . Đó là những hiện tượng ngẫu nhiên. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những hoàn cảnh như nhau, thì trong nhiều trường hợp ta có thể rút ra những kết luận có tính quy luật về những hiện tượng này. Lý thuyết xác suất nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho phép dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào. Chính vì vậy các phương pháp của lý thuyết xác suất được ứng dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên, kỹ thuật và kinh tế–xã hội.

1.1 Sự kiện. Quan hệ giữa các sự kiện1.1.1 Phép thử. Sự kiệnĐịnh nghĩa 1.1 (Phép thử. Sự kiện).

(a) Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó được gọi là một phép thử (experiment).(b) Hiện tượng, kết quả xét trong phép thử gọi là sự kiện hay biến cố (event).(c) Sự kiện sơ cấp hay kết cục của phép thử là một kết quả mà ta không chia nhỏ hơn được, ký hiệu là ω.(d) Sự kiện phức hợp là sự kiện có thể phân tích thành các sự kiện nhỏ hơn.(e) Tập hợp tất cả các kết cục của một phép thử tạo thành không gian các sự kiện sơ cấp, ký hiệu là { Ω = ω i , i ∈ I } I là tập chỉ số.

Ví dụ 1.1.(a) Gieo một con xúc xắc (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) là một phép thử. Xúc xắc xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm là các sự kiện.(b) Gieo một đồng xu (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) là một phép thử. Đồng xu xuất hiện mặt sấp, mặt ngửa là các sự kiện.

Ví dụ 1.2. Gieo một con xúc xắc, khi đó

(a) Sự kiện A i "xuất hiện mặt i chấm", i = 1, . . . , 6, là sự kiện sơ cấp.(b) Sự kiện A "xuất hiện mặt chấm chẵn" là sự kiện phức hợp vì có thể phân tích nó thành các sự kiện "xuất hiện mặt 2, 4, 6 chấm".

Ví dụ 1.3.(a) Phép thử gieo một đồng xu (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) có không gian các sự kiện sơ cấp là Ω = { S, N } , ở đây S là sự kiện "xuất hiện mặt sấp", N là sự kiện "xuất hiện mặt ngửa".(b) Phép thử gieo đồng thời hai đồng xu (cân đối, đồng chất, trên mặt phẳng cứng) có không gian các sự kiện sơ cấp là Ω = { SS, SN, NS, NN } .

Chú ý 1.1. (a) Chú ý rằng bản chất của các sự kiện sơ cấp không có vai trò đặc biệt gì trong lý thuyết xác suất. Chẳng hạn có thể mã hóa các kết quả và xem không gian các sự kiện sơ cấp của phép thử tung đồng xu là Ω = { 0, 1 } , trong đó 0 là sự kiện sơ cấp chỉ "mặt sấp xuất hiện" và 1 để chỉ "mặt ngửa xuất hiện".(b) Mỗi kết cục ω của phép thử C được gọi là kết cục thuận lợi cho sự kiện A nếu A xảy ra khi kết cục của phép thử C là ω.

Ví dụ 1.4. Nếu gọi sự kiện A "xuất hiện mặt chấm chẵn" trong phép thử gieo con xúc xắc thì A có các kết cục thuận lợi là 2, 4 và 6.

1.1.2 Phân loại sự kiệnCó 3 loại sự kiện.(a) Sự kiện chắc chắn là sự kiện nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện một phép thử. Ký hiệu là U hoặc S.(b) Sự kiện không thể có là sự kiện nhất định không xảy ra khi thực hiện một phép thử. Ký hiệu là V hoặc ∅.(c) Sự kiện ngẫu nhiên là sự kiện có thể xảy ra, cũng có thể không xảy ra khi thực hiện một phép thử. Ký hiệu là A, B, C, A 1 , A 2 . . .

Ví dụ 1.5. Gieo một con xúc xắc, khi đó(a) Sự kiện “xuất hiện mặt có số chấm ≤ 6 và ≥ 1” là sự kiện chắc chắn S.(b) Sự kiện “xuất hiện mặt 7 chấm” là sự kiện không thể ∅.(c) Sự kiện “xuất hiện mặt chấm chẵn” là sự kiện ngẫu nhiên A.

1.1.3 Quan hệ giữa các sự kiệnMột cách tương ứng với các phép toán của tập hợp, trong lý thuyết xác suất người ta xét các quan hệ sau đây cho các sự kiện trong cùng một phép thử.(a) Quan hệ kéo theo: Sự kiện A kéo theo sự kiện B, ký hiệu A ⊂ B, nếu khi A xảy ra thì B xảy ra. Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói hai sự kiện A và B trùng nhau, viết là A = B.(b) Tổng các sự kiện: Sự kiện A được gọi là tổng của các sự kiện A 1 , A 2 ,. . . , A n nếu A xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong các sự kiện A i xảy ra, i = 1, 2, . . . , n. Viết là:

A = A 1 + A 2 + · · · + A n hoặc A = A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n

Hình 1.1: Sơ đồ Venn của A ∪ B và A ∩ B (c) Tích các sự kiện: Sự kiện B được gọi là tích của các sự kiện A 1 , A 2 ,. . . , A n nếu B xảy ra khi và chỉ khi tất cả các sự kiện A i xảy ra, i = 1, 2, . . . , n. Viết là: B = A 1 A 2 . . . A n hoặc B = A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n (d) Sự kiện xung khắc: Hai sự kiện A và B được gọi xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử.Nếu A và B xung khắc thì A ∩ B = ∅. (e) Sự kiện đối lập: Sự kiện không xảy ra sự kiện A được gọi là sự kiện đối lập của A, ký hiệu là (f) Hiệu hai sự kiện: Hiệu của 2 sự kiện A và B, ký hiệu là A − B, là sự kiện xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra.Trường hợp hay sử dụng sự kiện hiệu: Trường hợp tổng quát, ta biến đổi thành sự kiện tích như sau: (g) Hệ (nhóm) đầy đủ các sự kiện: Hệ n sự kiện A 1 , A 2 ,. . . , A n được gọi là hệ đầy đủ các sự kiện nếu nhất định phải xảy ra một và chỉ một trong các sự kiện ấy sau phép thử. Như vậy hệ { A 1 , A 2 , . . . , A n } là hệ đầy đủ nếu Nhận xét 1.1. Các sự kiện trong cùng một phép thử với phép toán tổng, tích và lấy sự kiện đối tạo thành đại số Boole, do đó các phép toán này có các tính chất như các phép toán hợp, giao, lấy phần bù đối với các tập con của không gian các sự kiện sơ cấp. Chẳng hạn Chú ý 1.2. (a) Mọi sự kiện ngẫu nhiên đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một số sự kiện sơ cấp nào đó. Sự kiện chắc chắn S là tổng của mọi sự kiện sơ cấp có thể. Do đó S còn được gọi là không gian các sự kiện sơ cấp Ω. (b) Đối với một sự kiện A thì ta có hệ đầy đủ Đối với hai sự kiện A và B, một hệ đầy đủ là Tính chất 1.1. (a) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (giao hoán).(b) A ∪ B ∪ C = ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) , A ∩ B ∩ C = ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (kết hợp).(c) A ∩ ( B ∪ C ) = A ∩ B ∪ A ∩ C (phân phối của phép cộng và phép nhân). Đặc biệt A ∪ A = A; A ∩ A = A; A ∪ S = S; A ∩ S = A; A ∪ ∅ = A; A ∩ ∅ = ∅.Tà đây ta sẽ sử dụng dấu ” + ” thay cho ” ∪ ” và dấu ”.” thay cho ” ∩ ”. Ví dụ 1.6.(a) Một mạng điện gồm ba bóng đèn mắc nối tiếp. Gọi A i là sự kiện “bóng đèn thứ i bị cháy”, i = 1, 2, 3. Gọi A là sự kiện “mạng mất điện”. Ta thấy rằng mạng bị mấtđiện khi ít nhất một trong ba bóng bị cháy. Vậy A = A 1 + A 2 + A 3 .(b) Một mạng điện gồm ba bóng đèn mắc song song. Gọi B i là sự kiện “bóng đèn thứ i bị cháy”, i = 1, 2, 3. Gọi B là sự kiện “mạng mất điện”. Ta thấy rằng mạng bị mất điện khi cả ba bóng bị cháy. Vậy B = B 1 B 2 B 3 .(c) Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất ra cùng một loại sản phẩm. Giả sử rằng mỗi sản phẩm của nhà máy chỉ do một trong ba phân xưởng này sản xuất. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, gọi C i là sự kiện "sản phẩm được chọn do phân xưởng thứ i sản xuất", i = 1, 2, 3. Khi đó hệ ba sự kiện { C 1 , C 2 , C 3 } là hệ đầy đủ. Ví dụ 1.7. Ba xạ thủ A, B, C mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu. Gọi A 1 , A 2 , A 3 lần lượtlà các sự kiện "A, B, C bắn trúng mục tiêu".(a) Hãy mô tả các sự kiện (b) Biểu diễn các sự kiện sau theo A 1 , A 2 , A 3 :A: Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng;B: Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng;C: Chỉ có xạ thủ A bắn trúng;D: Chỉ có một xạ thủ bắn trúng.(c) Các sự kiện A 1 , A 2 , A 3 có xung khắc không? Lời giải Ví dụ 1.7 (a) (b) (c) Các sự kiện A 1 , A 2 , A 3 không xung khắc vì có thể cả ba xạ thủ đều bắn trúng mục tiêu. 1.2 Giải tích kết hợp1.2.1 Quy tắc cộng. Quy tắc nhân1.2.1a Quy tắc cộngĐịnh nghĩa 1.2 (Quy tắc cộng). Nếu một công việc được chia ra thành k trường hợp để thực hiện, trường hợp một có n1 cách thực hiện xong công việc, trường hợp hai có n2 cách thực hiện xong công việc,. . . , trường hợp k có nk cách thực hiện xong công việc và không có một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với một cách thực hiện ở trường hợp khác. Khi đó ta có n = n 1 + n 2 + · · · + n k cách thực hiện công việc. 1.2.1b Quy tắc nhânĐịnh nghĩa 1.3 (Quy tắc nhân). Giả sử một công việc nào đó được chia thành k giai đoạn. Có n1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất, n2 cách thực hiện giai đoạn thứ hai,. . . , nk cách thực hiện giai đoạn thứ k. Khi đó ta có n = n 1 n 2 . . . n k cách thực hiện công việc.Ví dụ 1.8. Giả sử để đi từ A đến C có thể đi qua B, trong đó có 2 đường khác nhau đi trực tiếp từ A đến C, có 3 đường khác nhau để đi từ A đến B và có 2 đường khác nhau để đi từ B đến C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C?Lời giải Ví dụ 1.8 Đi từ A đến C có 2 lựa chọn: Đi trực tiếp từ A đến C có n 1 = 2 cách; đi gián tiếp từ A đến C thông qua B có n 2 = 3 × 2 = 6 (cách).Tổng số cách đi từ A đến C là n = n 1 + n 2 = 2 + 6 = 8 (cách). 1.2.2 Chỉnh hợpĐịnh nghĩa 1.4 (Chỉnh hợp). Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho (k ≤ n).Ký hiệu và công thức tính: Ví dụ 1.9. Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?Lời giải Ví dụ 1.9 Số các số được lập là A35 = 5 × 4 × 3 = 60 (số). 1.2.3 Chỉnh hợp lặpĐịnh nghĩa 1.5 (Chỉnh hợp lặp). Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử có thể giống nhau lấy từ n phần tử đã cho.Ký hiệu và công thức tính: Ví dụ 1.10. Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số?Lời giải Ví dụ 1.10 Chọn 3 chữ số từ 5 chữ số có thứ tự và có thể lặp lại. Số các số được lập là 1.2.4 Hoán vịĐịnh nghĩa 1.6 (Hoán vị). Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử đã cho. Nói cách khác, hoán vị là một chỉnh hợp chập n của n phần tử.Ký hiệu và công thức tính: Ví dụ 1.11. Có 6 người khách cần xếp vào 6 ghế trên một bàn tròn 6 chỗ.(a) Nếu có quan tâm đến khung cảnh xung quanh thì có bao nhiêu cách sắp xếp?(b) Nếu chỉ quan tâm đến người ngồi xung quanh là ai thì sẽ có bao nhiêu cách?Lời giải Ví dụ 1.11 (a) P 6 = 6! = 720 (cách); (b) P 5 = 5! = 120 (cách). 1.2.5 Tổ hợpĐịnh nghĩa 1.7 (Tổ hợp). Tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho (k ≤ n).Ký hiệu và công thức tính: Ví dụ 1.12. Mỗi đề thi gồm 3 câu hỏi lấy trong 25 câu hỏi cho trước. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi có nội dung khác nhau?Lời giải Ví dụ 1.12 Số đề thi có thể lập nên là Chú ý 1.3. (a) Qui ước 0! = 1.