Chương 2 Hệ Dàn (Cơ Học Kết Cấu) - 123doc

1. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu a. Đối tượng nghiên cứu: là vật rắn biến dạng đàn hồi ở dạng thanh hoặc hệ thanh, tức là vật thể có thể bị thay đổi hình dạng dưới tác dụng của các nguyên nhân bên ngoài như tải trọng, thay đổi nhiệt độ và chuyển vị lệch của các gối tựa và do chế tạo lắp ráp không chính xác... b. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toàn bộ công trình gồm nhiều cấu kiện riêng lẻ liên kết lại với nhau tạo thành một hệ kết cấu có khả năng chịu được lực. Nghiên cứu phương pháp tính toán của kết cấu đó. So sánh với nội dung nghiên cứu môn Sức bền vật liệu đã học, hai môn học này có cùng nội dung nghiên cứu nhưng đối tượng nghiên cứu có khác nhau, Sức bền vật liệu nghiên cứu về khả năng chịu lực và phương pháp tính toán của từng cấu kiện riêng lẻ. 2. Nhiệm vụ của môn học Nhiệm vụ chủ yếu của môn Cơ học kết cấu là đi xác định nội lực (ứng lực) và chuyển vị trong công trình nhằm xây dựng công trình thỏa mãn: a. Điều kiện về độ bền: Đảm bảo cho công trình không bị phá hoại dưới tác dụng của các nguyên nhân bên ngoài. b. Điều kiện về độ cứng: Đảm bảo cho công trình không có chuyển vị và biến dạng vượt quá giới hạn cho phép nhằm đảm bảo sự làm việc bình thường của công trình. c. Điều kiện về ổn định: Đảm bảo cho công trình có khả năng bảo toàn vị trí và hình dạng ban đầu của nó dưới dạng cân bằng trong trạng thái biến dạng. Với yêu cầu về độ bền, cần đi xác định nội lực; với yêu cầu về độ cứng, cần đi xác định chuyển vị; với yêu cầu về ổn định, cần đi xác định lực tới hạn mà kết cấu có thể chịu được. 3. Các bài toán môn học giải quyết a. Bài toán kiểm tra: Ở bài toán này, khi đã có một công trình có sẵn, như vậy ta đã biết trước hình dạng, kích thước cụ thể của các cấu kiện trong công trình và các nguyên nhân tác động bên ngoài. Yêu cầu: kiểm tra, phán đoán công trình theo ba điều kiện trên (độ bền, độ cứng ổn định) có đảm bảo hay không? Và ngoài ra còn kiểm tra công trình thiết kế có tiết kiệm nguyên vật liệu hay không? b. Bài toán thiết kế: Ở bài toán này, cần thiết kế một công trình, ta mới chỉ biết nguyên nhân tác động bên ngoài. Yêu cầu: Xác định hình dạng, kích thước của các cấu kiện trong công trình một cách hợp lý mà vẫn đảm bảo ba điều kiện trên. Để giải quyết bài toán này, thông thường, dựa vào kinh nghiệm hoặc dùng phương pháp thiết kế sơ bộ để giả thiết trước hình dạng, kích thước của các cấu kiện. Sau đó tiến hành giải bài toán kiểm tra như đã nói ở trên. Và trên cơ sở đó người thiết kế điều chỉnh lại giả thiết ban đầu của mình, tức là đi giải bài toán lặp.

2.6 HỆ DÀN

2.6.1 Phân tích hệ

1 Định nghĩa: là hệ gồm các thanh thẳng liên kết với nhau chỉ bằng các khớp lý

tưởng ở hai đầu mỗi thanh để tạo thành hệ BBH

2 Cấu tạo của dàn

- Khoảng cách giữa hai gối tựa gọi là nhịp dàn

- Các khớp của dàn gọi là các mắt dàn

- Các thanh dàn nằm trên đường biên dàn gọi là các thanh biên (gồm biên trên và

biên dưới)

- Các thanh dàn nằm bên trong biên gọi là các thanh bụng (gồm thanh đứng và

thanh xiên)

- Khoảng cách giữa hai mắt dàn thuộc cùng một đường biên gọi là đốt

3 Các giả thiết để tính dàn

- Các trục của thanh dàn phải đồng qui tại một điểm (mắt dàn) Mắt dàn là một

khớp lý tưởng (không ma sát)

- Bỏ qua trọng lượng bản thân của các thanh dàn

- Tải trọng chỉ tác dụng lên mắt dàn

Vậy các thanh dàn, chỉ tồn tại lực dọc

4 Tính chất của hệ dàn

- Chịu lực tốt, có thể vượt qua được những nhịp lớn

- Tiết kiệm vật liệu

- Trọng lượng bản thân bé

- Khó thi công, lắp dựng

2.6.2 Xác định nội lực trong các thanh dàn

Có nhiều phương pháp khác nhau Ở đây chỉ trình bày phương pháp giải tích

1 Phương pháp tách mắt: Nội dung của phương pháp là đi khảo sát sự cân

bằng của từng mắt được tách ra khỏi dàn Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp

mặt cắt với hệ lực khảo sát là hệ lực đồng quy

Các bước tiến hành như sau:

- Bước 1: Xác định các thành phần phản lực (nếu cần)

- Bước 2: Lần lượt tách các mắt ra khỏi dàn bằng các mặt cắt quanh mắt

- Bước 3: Thay thế tác dụng của thanh dàn bị cắt bằng lực dọc trong thanh đó Lúc

đầu, các lực dọc chưa biết, giả thiết lực dọc có chiều dương (vẽ hướng ra ngoài mắt

đang xét) Sau khi thay thế, tại mỗi mắt ta có hệ lực đồng quy

nhịp dàn

đốt

Mắt Biên trên

Thanh xiên

H.2.14a

Biên dưới

Thanh đứng

- Bước 4: Khảo sát sự cân bằng của từng mắt Vì hệ lực phẳng và đồng quy nên

tại mỗi mắt có 2 phương trình cân bằng, thường sử dụng hai phương trình hình chiếu

theo hai phương không song song

- Bước 5: Khảo sát cân bằng cho tất cả các mắt, sẽ được hệ thống các phương

trình Giải hệ phương trình sẽ xác định được các lực dọc cần tìm Nếu kết quả mang

dấu dương thì lực dọc gây kéo (đúng chiều đã giả định) và ngược lại

Ví dụ 1: Tách và xét cân bằng mắt số 3 của hệ dàn trên hình (H.2.14b)

- Hai phương trình cân bằng hình chiếu theo hai phương có thể thiết lập:

- Mắt số 3:

X = 0  - N3-2 - N3-6.cos + N3-8.cos + N3-4 = 0

Y = 0  N3-6.sin + N3-7 + N3-8.sin = 0

Nhận xét:

- Mắt số 3, chỉ có 2 phương trình nhưng có 5 ẩn số Do vậy để giải được, phải kết

hợp với các mắt khác

+ Toàn hệ có: 8 mắt  Số phương trình: 8.2 = 16

+ Toàn hệ có: 13 thanh + 3 phản lực  Số ẩn: 13 + 3 = 16

 Để tránh giải hệ phương trình toán học, ta đi thiết lập điều kiện cân bằng sao

cho trong mỗi phương trình chỉ chứa một ẩn số Cách tiến hành như sau:

- Tách mắt theo thứ tự sao cho tại mỗi mắt chỉ có tối đa hai ẩn số chưa biết

- Để tìm lực dọc trong thanh chưa biết thứ nhất, ta thiết lập phương trình cân bằng

hình chiếu lên phương vuông góc với thanh chứa lực dọc chưa biết thứ hai

Ví dụ 2: Trở lại ví dụ cho trên hình (H.2.14b) ta có thể tách mắt theo thứ tự: 1 →

2 → 6 → 7 → 3

• Chẳng hạn, tách mắt 1:

Y = 0  VA + N1-6.sin = 0

 N1-6 = 1, 5.

sin

P



− (< 0, gây nén)

X = 0  N1-2 + N1-6.cos = 0

 N1-2 = - N1-6.cos = 1,5 .cos

sin

P 

 (> 0, gây kéo)

• Tách mắt 2:

X = 0  N2-1 + N2-3 = 0

N2-3 = - N2-1 = 1,5 .cos

sin

P 

 (> 0, gây kéo)

Y = 0  N2-6 = 0

 Các hệ quả rút ra từ phương pháp tách mắt:

H.2.14b

 Nội lực, phản lực

y

x

o

0

0

X

Y

 =



 =



- - Hệ quả 1: Tại một mắt chỉ có hai thanh không

thẳng hàng và không có tải trọng tác dụng thì lực

dọc trong hai thanh đó bằng không

N4-1 = N4-5 = 0; N6-5 = N6-3 = 0 (H.2.14c)

Hệ quả 2: Nếu một mắt có ba thanh, trong đó có hai thanh thẳng hàng và không

chịu tải trọng tác dụng thì nội lực trong thanh không thẳng hàng bằng không, còn nội

lực trong hai thanh thẳng hàng thì bằng nhau về giá trị và cùng gây kéo hay gây nén

N2-5 = 0, N2-1 = N2-3 (H.2.14c)

* Chú ý: Khí tính dàn, nên sử dụng hai hệ quả trên để loại bỏ những thanh dàn

không làm việc ngay từ đầu

Ví dụ 3: Dùng các hệ quả 1, 2 xác định nội lực trong các thanh được đánh dấu

trên hình (H.2.14d)

- Áp dụng hệ quả 1, loại bỏ các thanh dàn không làm việc: (4-3), (4-8), (8-7) Kết

quả của hệ cho trên hình H.2.14d

- Tách mắt số 3:

3 2

3 7 3 7

0 0

0 0 ( 0)

X N

Y N P N P

−

− −

 =  =



 =  − − =  = − 



- Tách mắt số 2:

2 3 2 1 2 1

2 6 2 6

0 0 0

0 0 ( 0)

X N N N

Y N P N P

− − −

− −

 =  − − =  =



 =  − − =  = − 



- Tách mắt số 7:

7 10 7 10

7 6 7 10 7 6

0 sin 45 0 2( 0)

0 cos 45 0 ( 0)

o

o

Y P N N P

X N N N P

− −

− − −

 =  − − =  = − 





 =  − + =  = 



Kết luận: N2-1 = 0; N2-6 = 0; N7-6 = P; N7-10 = - P 2

* Ghi chú: Phương pháp tách mắt có ưu điểm là đơn giản, dễ áp dụng, nhưng dễ

mắt sai lầm dắt dây

2 Phương pháp mặt cắt đơn giản

a Đặt vấn đề: Phương pháp tách mắt đơn giản, nhưng dễ sai sót dây chuyền,

không linh hoạt (muốn xác định nội lực trong 1 thanh bất kỳ, cần phải xét lần lượt các

mắt đơn giản ngay từ ban đầu) Do đó, đưa ra phương pháp mặt cắt khắc phục nhược

điểm trên

H.2.14d

H.2.14c

Phương pháp mặt cắt đơn giản được áp dụng khi chỉ dùng 1 mặt cắt là có thể xác

định được nội lực trong thanh cần tìm Trường hợp này xảy ra khi mặt cắt qua không

quá 3 thanh chưa biết nội lực (mặt cắt này gọi là “mặt cắt đơn giản”)

Các bước tiến hành như sau:

- Bước 1: Xác định các thành phần phản lực (nếu cần)

- Bước 2: Thực hiện "mặt cắt đơn giản" qua thanh dàn cần xác định lực dọc Yêu

cầu: mặt cắt phải chia dàn ra làm hai phần độc lập Giữ lại và xét cân bằng một phần

bất kỳ

- Bước 3: Thay thế tác dụng của thanh dàn bị cắt bằng lực dọc tương ứng trong

thanh đó Lúc đầu, các lực dọc chưa biết, giả thiết có chiều dương ( hướng ra ngoài

mặt cắt đang xét)

- Bước 4: Thiết lập các điều kiện cân bằng: Lúc này, ta có thể thiết lập ba phương

trình cân bằng Giải hệ thống ba phương trình, sẽ xác định được lực dọc cần tìm Kết

quả về dấu của nội lực, tương tự phương pháp tách mắt

b Minh họa:

- Mặt cắt a-a trên hình (H.2.14e) là "mặt cắt đơn giản" Các thành phần lực dọc

cần xác định thuộc mặt cắt là N6-7, N6-3, N2-3

- Mặt cắt b-b trên hình (H.2.14e) cắt qua bốn thanh chưa biết lực dọc N8-7, N8-3,

N8-4, N5-4, nên không phải là "mặt cắt đơn giản"

 Để tránh phải giải hệ các phương trình, cần thiết lập sao cho trong mỗi phương

trình chỉ có một ẩn số Cách thực hiện như sau:

- Trường hợp 3 thanh chưa biết cắt nhau từng đôi một, để tìm nội lực trong thanh

thứ nhất, nên sử dụng phương trình cân bằng dưới dạng tổng mô men của các lực đối

với giao điểm của 2 thanh còn lại

- Trường hợp trong số ba thanh chưa biết nội lực, có 2 thanh song song, để tìm nội

lực trong thanh không song song, ta sử dụng phương trình cân bằng dưới dạng tổng

hình chiếu của các lực lên phương vuông góc với hai thanh không song song

Ví dụ 4: Xác định nội lực trong thanh dàn (6-7), (6-3) trên hình (H.2.14e) bằng

phương pháp mặt cắt đơn giản

- Xác định phản lực HA ; VA; VB

X = 0  HA = 0

MA = 0  VB.4a - P.a - P.2a - P.3a = 0  VB = 1,5P

MB = 0  VA.4a - P.a - P.2a - P.3a = 0  VA = 1,5P

Dùng mặt cắt a-a cắt qua các thanh cần xác định nội lực, mặt cắt chia hệ thành 2

thành phần độc lập, xét cân bằng bên trái

- Xác định N6-7: Viết phương trình cân bằng tổng mômen xoay quanh nút 3

 tr

M3 = 0  VA.2a - P.a + N6-7.a= 0  N6-7 = - 2.1,5P + P = - 2P (< 0)

H.2.14e

- Xác định N6-3: Viết phương trình cân bằng tổng hình chiếu theo phương Y

Y = 0  VA - P - N6-3.cos45o = 0

 N6-3 = 0 1,5 2 2

cos 45 2 2

A

V −P P P− P

= = (>0)