Chương I – Bài 1: Hàm Số đơn điệu | Trinh Tran Math's Blog

Trang chủ » Số điểm Tới Hạn Của Hàm Số » Chương I – Bài 1: Hàm Số đơn điệu | Trinh Tran Math's Blog

Có thể bạn quan tâm

I. Hàm số đơn điệu

*f(x) tăng trên (a;b) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \forall x_1 ,x_2 \in \left( {a;b} \right) \\ x_1 < x_2 \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) < f\left( {x_2 } \right) \end{array} \right.

*f(x) giảm trên (a;b) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \forall x_1 ,x_2 \in \left( {a;b} \right) \\ x_1 < x_2 \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \end{array} \right.

– Hàm số tăng còn gọi là Hàm số đồng biến.

– Hàm số giảm còn gọi là Hàm số nghịch biến.

– Tính tăng/giảm của hàm số còn được gọi là tính đơn điệu của hàm số đó.

II. Định lý Lagrang

1. Định lý: Cho hàm số y = f\left( x \right) liên tục trên \left[ {a,b} \right] và có đạo hàm trên \left( {a,b} \right), ta có:

\exists c \in \left( {a,b} \right):{\rm{ }}f'(c) = \frac{{f(a) - f(b)}}{{b - a}}

hay               f'\left( c \right)\left( {b - a} \right) = f\left( a \right) - f\left( b \right)

2. Ví dụ CMR: nếu 0 < b < a thì \frac{{a - b}}{a} < \ln \left( {\frac{a}{b}} \right) < \frac{{a - b}}{b}

Ta có áp dụng định lý như sau:  D=(0,+∞)

Ta xét hàm số y = f\left( x \right) = \ln x là hàm liên tục trên \left[ {a,b} \right] và có đạo hàm trên \left( {a,b} \right) là f'\left( x \right) = \frac{1}{x}.

Áp dụng định lý ta có: \begin{array}{l} \exists c \in \left( {b,a} \right):{\rm{ }}f'(c) = \frac{{f(a) - f(b)}}{{a - b}} \\ {\rm{ }} \Rightarrow \frac{1}{c} = \frac{{\ln a - \ln b}}{{a - b}} \\ {\rm{ }} \Rightarrow \frac{1}{c} = \frac{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}}{{a - b}} \\ \end{array} Mặt khác:

\begin{array}{l} b < c < a \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{c} < \frac{1}{b} \\ \Leftrightarrow \frac{{a - b}}{a} < \ln \left( {\frac{a}{b}} \right) < \frac{{a - b}}{b} \\ \end{array}

=> đpcm

III. Tính đơn điệu của hàm số

1. Hàm hằng: Cho hàm số y = f\left( x \right) có đạo hàm trên \left( {a,b} \right) nếu f'\left( x \right) = 0,{\rm{ }}\forall x \in \left( {a,b} \right) thì f\left( x \right) là hàm hằng trên \left( {a,b} \right)

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Cho hàm số y= f(x) xác định và có đạo hàm trên (a,b) thì ta có:

*f tăng trên (a,b) \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {a,b} \right) *f giảm trên (a,b) \Rightarrow f'\left( x \right) \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {a,b} \right)

3. Điều kiện đủ để hàm số có tính đơn điệu: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a,b)

**Nếu  f'(x) < 0 thì f tăng trên (a,b)

**Nếu   f'(x) > 0 thì f giảm trên (a,b)

4. Định lý mở rộng: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a,b) và f'(x) = 0 chỉ với 1 số hữu hạn điểm, khi đó:

f tăng trên (a,b) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {a,b} \right) f giảm trên (a,b) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {a,b} \right)

V. Điểm tới hạn

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của xo. Điểm xo được gọi là điểm tới hạn của hàm số y = f(x) nếu f ‘(xo) không tồn tại hoặc f'(xo) = 0

2. Ví dụ: Tìm điểm tới hạn của các hàm số a. y = 3x + \frac{3}{x} - 5 b. y = \sqrt[3]{x} Giải: a. Ta có: D = R\{0} y' = 3 - \frac{3}{{x^2 }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 - 1 = 0 \\ x \ne 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 1 Vậy hàm số y có hai điểm tới hạn là x = 1 hay x = -1

b. Ta có: D = R y' = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{x^2 }}}} \Rightarrow y' \ne 0{\rm{ }}\forall x \ne 0 => y’ không xác định tại x = 0 Vậy hàm số y có điểm tới hạn là x = 0

**Xét tính đơn điệu của các hàm số thường gặp >>

**Bải tập rèn luyện >>

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

This page has the following sub pages.

  • Xét tính đơn điệu của một số hàm thường gặp

Từ khóa » Số điểm Tới Hạn Của Hàm Số