CHƯƠNG VI : PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN - TaiLieu.VN

Mạng xã hội chia sẻ tài liệu Upload Đăng nhập Nâng cấp VIP Trang chủ » Khoa Học Tự Nhiên » Toán học - Thống kê9 trang 9497 lượt xem 2380CHƯƠNG VI : PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

I. Các khái niệm cơ bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm có tập xác định thuộc Z gọi là hàm số có đối số nguyên. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa sai phân: Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số tại hai giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un Sai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai...

Chủ đề:

01663642596

Phương trình vi phân

Bài giảng Phương trình vi phân

SaveLikeShareReport Download AI tóm tắt /9 1CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN I. Các khái niệm cơ bản 1. Hàm số đối số nguyênHàm có tập xác định thuộc Z gọi là hàm số có đối số nguyên. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa sai phân: Sai phân của hàm số Unlà chênh lệch giá trị của hàm số tại hai giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un Sai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai phân cấp m-1 của hàm số đó : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn sai phân cấp 2 được tính : Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + Un Tương tự ta có thể biểu diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+m I. Phƣơng trình sai phân Định nghĩa : là PT với hàm số phải tìm là 1 hàm đối số rời rạc f(n) = Uncó mặt dưới dạng sai phân các cấp.PT sai phân cấp m có dạng tổng quát : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0 Hay có thể viết dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0 Nghiệm của PT sai phân là hàm số đối số rời rạc Un =f(n) mà khi thay Un = f(n), Un+1 =f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng nhất thức trên tập hợp các số nguyên n 0. Nghiệm tổng quát của một PT sai phân cấp n có dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) trong đó C1, C2,...,Cnlà các hằng số bất kì,khi gán cho mỗi kí tự C1, C2,...,Cnmột số xác định ta được một nghiệm riêng của PT. PT sai phân Ôtônôm là PT có dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 2 II. Phƣơng trình sai phân tuyến tính 1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 Định nghĩa: Là phương trình có dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1) Trong đó an, bn, fn là các hàm đối số nguyên. Un và Un+1là hai giá trị kề nhau của hàm Un đối số nguyên cần tìm.Nếu an và bn là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng.Phương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng của (1). Ví dụ: Một khách hàng có số tiền là A đồng, đem gửi tiết kiệm, lãi xuất mỗi tháng là 1%. Lập mô hình về tìnhhình tiền vốn của khách hàng.Ta có un+1 = un + 1100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A 2. Phương trình sai phân cấp cao a. Phương trình sai phân cấp 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fn Nếu an, bn và cn là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng.Nếu fn= 0 thì ta có phương trình thuần nhất liên kếtan.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0 Nếu U*n là một nghiệm của PT sai phân tuyến tính không thuần nhất và U1n, U2n là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất liên kết thì nghiệm tổng quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ: Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã cho Fibonacci một bài toán như sau: “Hôm nay, người ta tặng tôi một cặp thỏ. Biết thỏ hai tháng tuổi bắt đầu đẻ và sau đó mỗi tháng đẻ một lứa, mỗi lứa là một cặp thỏ.Hết năm, tôi có bao nhiêu cặp thỏ ?” Giải: Gọi Fnlà số cặp thỏ có được ở tháng thứ n.Tháng trước có Fn-1 cặp, trong đó chỉ có số thỏ tháng trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 với F1 = 1, F2 = 1. b. Phương trình saiphân cấp kLà phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 3III. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng 1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUn Nghiệm tổng quát : Un = C(- p) n Ví dụ: Năm 1990 dân số Hà Nội là 1,6 triệu người, tốc độ tăng dân số là 1% một năm. Hỏi dân số Hà Nội năm 2050 là bao nhiêu?Giải: Gọi unlà dân số Hà Nội năm thứ n + 1990 Ta có un+1 = un + 1100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n. Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu. 2. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Dạng Un+1 + pUn = q (1) với q0. PT thuần nhất liên kết Un+1 + pUn = 0 (2). Định lý : Nếu U*nlà một nghiệm của PT sai phân tuyến tính không thuần nhất (1) và U1nlà một nghiệm của PT thuần nhất liên kết (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) n Ta tìm nghiệm riêng của (1) : +) Nếu p -1 nghiệm riêng là U*n = 1qp +) Nếu p = -1 nghiệm riêng là U*n = qn. IV. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất : Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0(3) Bổ đề 1: Nếu xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3). Chứng minh: Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 4Hệ phương trình Định nghĩa: x0 x1 Nếu 0 thì xn và yn độc lập tuyến tính y0 y1 Bổ đề 2: Nếu xn, ynlà nghiệm riêng độc lậptuyến tínhcủa (3) thì Un = A.xn + B.yn là nghiệm tổng quát của (3). Chứng minh: Gọi Un là một nghiệm bất kỳ của (3). Ta chứng minh rằng tồn tại Au và Bu sao cho Un = Au.xn + Bu.yn (Au, Bu là các hằng số phụ thuộc un). Ax0 + By0 = U0 Ax1 + By1 = U1 Có nghiệm duy nhất Au và Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2. Chứng minh bằng quy nạp, ta có Un = Au.xn + Bu.yn mọi nghiệm của (3) đều biểu diễn qua xn và yn đ.p.c.m Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng xn = λn (λ 0). Thay vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương trình (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3). Trường hợp 1: Nếu (4) có hai nghiệm thực phân biệt λ1 và λ2 (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính xn = λ1n và yn = λ2n . Nghiệm tổng quát Un = C1 λ1n + C2 λ2n Trường hợp 2: Nếu (4) có nghiệm kép là λ0, (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính xn= λ0n và yn = n.λ0n . Nghiệm tổng quát Un = (C1+ nC2) λ0nTrường hợp 3: Nếu (4) có hai nghiệm phức λ1,2 = .2pi = A Bi (A = 2p, B = 2) và với r = A2 + B2 và α = arctgBA . λ1,2 = r(cosα i.sinα) PT (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính là xn = rn.cosnα và yn = rn.sinnα Nghiệm tổng quát Un = rn [C1 cosnα +C2 sinnα]. 5Ví dụ 1: Tìm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0 Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 và λ2 = 2 Vậy nghiệm tổng quát un = A + B.2n. u0 = A + B = 1 u1 = A + 2B = 0 A = 2 và B = -1. Vậy nghiệm riêng thoả mãn là un = 2 – 2n Ví dụ 2: Tìm nghiệm un+2 = 52 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- 52 λ+1 = 0 λ1 = 12 và λ2 = 2 Vậy nghiệm tổng quát un = A 12n + B.2n. u0 = A + B = 0 u1 = A2 + 2B = 1 A = -23 và B = 23 . Vậy nghiệm riêng cần tìm là un = 23(2-n– 2n) Ví dụ 3: Tìm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25un Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5 Vậy nghiệm tổng quát un = (A + Bn)5n Ví dụ 4: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2 Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1 Vậy nghiệm tổng quát un = A + Bn u0 = A = 1 u1 = A + B = 2 A = B = 1. Vậy nghiệm riêng cần tìm là un = 1 + n Ví dụ 5: Tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0 Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- λ+1 = 0 λ1,2 = 1 i32 , r = (12)2 + ( 32 )2 = 1, tgα = 3212 = 3 Hệ phương trình Hệ phương trình Hệ phương trình

Tài liệu liên quan

Bài giảng Giải tích B2: Làm quen với phương trình vi phân

28 trang

Bài giảng Vi tích phân 2B: Phương trình vi phân

21 trang

Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân thường - Nguyễn Thị Cẩm Vân

56 trang

Tóm tắt bài giảng Phương trình vi phân - Lê Văn Hiện

35 trang

Bài giảng chương 4: Tích phân số - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

46 trang

Bài giảng chương 5: Phương trình vi phân - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

54 trang

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 8: Hệ phương trình vi phân thường bậc I và Phương trình vi phân bậc cao

81 trang

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 7: Phương trình vi phân thường bậc I

62 trang

Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 3: Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

47 trang

Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I (tiếp theo)

37 trang

Tài liêu mới

Bài giảng Thống kê kinh doanh: Bài 9 - TS. Phạm Ngọc Hưng

42 trang

Bài giảng Thống kê kinh doanh: Bài 8 - TS. Phạm Ngọc Hưng

31 trang

Bài giảng Thống kê kinh doanh: Bài 6+7 - TS. Phạm Ngọc Hưng

22 trang

Bài giảng Thống kê kinh doanh: Bài 5 - TS. Phạm Ngọc Hưng

17 trang

Bài giảng Thống kê kinh doanh: Bài 4 - TS. Phạm Ngọc Hưng

39 trang

Bài giảng Thống kê kinh doanh: Bài 3 - TS. Phạm Ngọc Hưng

29 trang

Bài giảng Thống kê kinh doanh: Bài 2 - TS. Phạm Ngọc Hưng

47 trang

Bài giảng Thống kê kinh doanh: Bài 1 - TS. Phạm Ngọc Hưng

40 trang

Bài tập Xác suất thống kê - Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội

18 trang

Bài tập xác suất và thống kê

55 trang

Bài tập Lý thuyết xác suất và thống kê

31 trang

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 5 - Đỗ Đắc Thiểm

6 trang

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 4 - Đỗ Đắc Thiểm

19 trang

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 3 - Đỗ Đắc Thiểm

14 trang

Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2 - Đỗ Đắc Thiểm

15 trang

AI tóm tắt

- Giúp bạn nắm bắt nội dung tài liệu nhanh chóng!

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

Zalo/Tel:

093 303 0098

Email:

[email protected]

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok

Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Công Hà Doanh nghiệp quản lý: Công ty TNHH Tài Liệu trực tuyến Vi Na - GCN ĐKDN: 0307893603 Địa chỉ: 54A Nơ Trang Long, P. Bình Thạnh, TP.HCM - Điện thoại: 0283 5102 888 - Email: [email protected]ấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015