Chuyên đề 36 Cực Trị Số Phức đáp án - 123doc

Môđun của số phức:  Số phức zabi được biểu diễn bởi điểm Ma; b trên mặt phẳng Oxy... NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghi

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Một số tính chất cần nhớ

1 Môđun của số phức:

 Số phức zabi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài của véctơ OM

được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b 2 2

Chuyên đề 36

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R0zz0 R Tìm z Max, z Min Ta có

 Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường tròn tâm I a b bán kính  ;  R

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R(Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

     (Chia cả hai vế cho z0 )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện zc  zc 2 ,a a c Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là Elip:

a a c 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

1 2 0

Goi M a b ;  là điểm biểu diễn của số phức z

Theo giả thiết ta có: z 4 3i  5a42b32 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức

z là đường tròn tâm I4;3 bán kính R  5

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

65

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z  2 i z 4 7i 6 2 Gọi , m M lần lượt

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i Tính Pm M

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , E2;1 ,  F4; 7 và N1; 1  

Từ AEA F  z  2 i z 4 7i 6 2 và EF 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF Gọi

H là hình chiếu của N lên EF, ta có 3 3;

Gọi M N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức , z z 1, 2

N

D

A

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

2 m 1 x 2 m 2 y 3 0

Suy ra M N thuộc đường thẳng , d: 2m1x2m2y 3 0

Do đó M N là giao điểm của đường thẳng , d và đường tròn  C

Ta có z1z2 MN nên z1z2 lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất

MN

 đường kính của  C Khi đó z1z2 2OI2

Câu 4 (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 Số phức z i có môđun

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn hình học của số phức w

Từ giả thiết z 2 2i 1 ta được:

55cos

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

M

53

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4

Câu 8 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn zz zz 4 Gọi M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2i Đặt AMm Mệnh đề nào sau

1 1

I B

E

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy giá trị lớn nhất của w là 4  130

Câu 11 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có

điểm biểu diễn là M và M Số phức z4 3 i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

N và N Biết rằng M, M, N, N là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Thử lại ta thấy M11; 1 thỏa mãn Vậy z 1 i

Câu 14 (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Cho số phức z thỏa mãn zz  zz 4 Gọi M m lần lượt ,

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2 i Đặt AMm Mệnh đề nào sau đây là

Vậy M m 22 55,88

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 15 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z  1 i z 1 2i , số

phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

Ta có z OM z nhỏ nhất OM nhỏ nhất  M là hình chiếu của O trên d

Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: x2y0

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

C không có điểm chung

Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z1z2 là đoạn thẳng MN  z1z2 nhỏ nhất khi và chỉ

M'

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Giả sử M N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và , w Suy ra OM  ON OF 2OI,

a

b

I

F E

N

M O

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 20 Cho số phức z thoả mãn z  Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm M E và N   sao cho MN nhỏ nhất

Đường thẳng d song song với  có dạng : 5d x4y  , c 0 c  20

d tiếp xúc với  E khi và chỉ khi 2 2  2 17

5 9 4 4 289

17

c c

20 17 37,

Gọi M a b ;  là điểm biểu diễn số phức z  a bi

A

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Nên H thuộc đoạn AB

z nhỏ nhất OM nhỏ nhât, mà M thuộc đoạn AB

Câu 23 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho số phức thỏa mãn

Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Tính

K x y biểu diễn số phức z thuộc cạnh các cạnh của trong hình thoi ABCD như hình vẽ

đạt giá trị lớn nhất khi KM lớn nhất, theo hình vẽ ta có KM lớn nhất khi

K D hay K  4;0 suy ra M  49 9  58

đạt giá trị nhỏ nhất khi KM nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có KM nhỏ nhất khi

K F (F là hình chiếu của E trên AB

Suy ra F2;1 do AE AB nên F là trung điểm của AB

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 24 (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải Chọn A

2 2 cos 3 4 cos 2 cos 2

2 2 cos 4 cos 4 cos 1

 1;1 

13max

4

y

  Do đó giá trị lớn nhất của P z2z  z2  là z 1 13

4

Câu 25 (Chuyên Đại Học Vinh -2019) Giả sửz z1, 2là hai trong các số phức thỏa mãnz6 8  zilà số

thực Biết rằng z1z2 4, giá trị nhỏ nhất của z13z2 bằng

A 5 21 B 20 4 21 C 20 4 22 D 5 22

Lời giải Chọn C

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Giả sử z xyi, x y , Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z z1, 2 Suy ra

* Xét điểm M thuộc đoạn ABthỏa MA3MB  0 OA3OB4OM

.Gọi Hlà trung điểm

AB Ta tính đượcHI2R2HB2 21;IM HI2HM2  22, suy ra điểm M thuộc đường tròn  C tâm I3; 4, bán kính r  22

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

d I AB   , suy ra AB không cắt đường tròn

Gọi K là hình chiếu của I2;1 lên AB Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB

Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn  C

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng

Câu 29 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho các số phức z1   , 2 i z2   và số phức 2 i z thay đổi thỏa

mãn zz12 zz2216 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

3

y

  ; z 3 3i 1 điểm M nằm trên đường tròn tâm I3;3 và bán kính bằng 1 Biểu thức P z2  AM trong đó A2; 0, theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của P z2 đạt được khi M4;3 nên  2  2

22 5917

Câu 32 (SGD Cần Thơ - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z22 z i 2 Môđun của số phức wMmi

là

A w 3 137 B w  1258 C w 2 309 D w 2 314

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Lời giải

- Đặt zxyi, với x y  ,

Ta có: z 3 4i  5  x3  y4i  5x32y42 5, hay tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C có tâm I3; 4, bán kính r  5

P z  ax  by  ax  bx

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Từ (1) ta có I3; 2, bán kính r 1 Gọi H là hình chiếu của I trên d y:  x

t t

Câu 35 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Cho số phức z thỏa z  Gọi m , 1 M lần lượt là

giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 5 3 4

Gọi z x yi, với x y  , Khi đó M x y ;  là điểm biểu diễn cho số phức z

Theo giả thiết, 5w2 i z45 w i  2 i z45i2 i wi  z 3 2i

3 2i 3

z

    Suy ra M x y ;  thuộc đường tròn   C : x32y229

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Gọi M a b ;  là điểm biểu diễn số phức zabi Đặt I 3; 2, A  1; 2 và B2;5

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn  C có tâm I , bán kính R 2 sao cho biểu thức

Vì BI2 123210R2 4 nên B nằm ngoài  C

Vì KI2 1 R2 nên 4 K nằm trong  C

Ta có MA2MB2MK2MB2MKMB2KB

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK

Do đó MA2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của  C và đoạn thẳng BK

Phương trình đường thẳng BK x : 2

Phương trình đường tròn   C : x32y224

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

Gọi M , 1 M , 2 M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z , 1 2z , 2 z trên hệ trục tọa độ Oxy Khi

đó quỹ tích của điểm M là đường tròn 1  C tâm 1 I3; 4, bán kính R 1;

quỹ tích của điểm M là đường 2 C2 tròn tâm I6;8, bán kính R 1;

quỹ tích của điểm M là đường thẳng d: 3x2y120

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM1MM2 2

min MM MM 2 min MM MM 2 với M3 C3

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I I với 1 3  C , 1  C3 Khi đó với mọi điểm

Câu 39 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên - 2019) Trong các số phức thỏa mãn: z 1 i  z 1 2i ,

số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

3

O

y

x B

A

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải Chọn D

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 41 (Bình Giang-Hải Dương 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 42 (SGD Hưng Yên 2019) Cho số phức z thoả mãn z  Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn 1

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 z2  Tính z 1 M m

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Từ bảng biến thiên suy ra 13

Gọi M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z Ta có z  z2i  y 1 0,tức biểu diễn hình học của số phức thỏa mãn giả thiết là đường thẳng y  1 0 Xét điểm A(0;1) và B(4;0)

thìP z i  z4 MA MB Dễ thấy A B, cùng phía với đường thẳng y  1 0 nên

MAMB nhỏ nhất bằng BA trong đó A(0; 3) đối xứng với A qua đường thẳng y  1 0

Do đó MA MB nhỏ nhất bằng BA 5

Câu 44 (SGD Bến Tre 2019) Cho các số phức z1 1 3i, z2  5 3i Tìm điểm M x y ;  biểu diễn số

phức z , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng 3 x2y 1 0 và mô đun số phức w3z3z22z1 đạt gí trị nhỏ nhất

Trắc nghiệm: Thay tọa độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng kết quả bằng 0 thỏa ta được đáp án A

B

A'

M

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

55sin

33

Do đó tập hợp điểm biểu diễn của z là đường thẳng :x2y 3 0

Ta có min z dO, Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với d: 2x y 0

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 50 (Kim Liên - Hà Nội 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z 3 2i  z  3 i 3 5 Gọi M , m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z2 z 1 3i Tìm M , m

A M  17 5; m 3 2 B M  262 5; m  2

C M  262 5; m 3 2 D M  17 5; m  3

Lời giải Chọn C

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , F 1 3; 2, F23; 1 , A  2;0 và B1;3

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 52 (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho các số phức ,z z z1, 2 thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau:

iz  2i 4 3, phần thực của z1 bằng 2, phần ảo của z2 bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức T  z z12 z z22

Lời giải Chọn D

Đặt z x yi x y, ,  , ta có M z M x y ; 

Khi đó: iz   2i 4 3 i x yi       2i 4 3  y 4 x 2i 3

 2 2 4 2 9 Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn  C tâm I 2 4 ; , bán kính R  3

Mặt khác: z1  2 bi A z 1 A 2;b  Tập hợp điểm A là đường thẳng d1: x 2

z2  a i B z2 B a 1  Tập hợp điểm B là đường thẳng d2: y 1

Giao điểm của d1 và d2 là P 2 1 ;

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên d1 và d2

I

P M

d1

d2

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

5

x

P y

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 55 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho số phức zabi (a , b) thỏa mãn z 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A z22z2

Lời giải Chọn B

Vậy giá trị lớn nhất của A là 5 2

Câu 56 (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn

a a i a







Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z Khoảng

cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và I  3; 4 (khi a thay đổi) là

Lời giải Chọn C

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Ta có: OI 5 Do đó: OMmin OM1OIR  5 1 4

Câu 57 (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Xét số phức z thỏa mãn z 2 4i  5 Gọi a và

b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức 2 2

a b bằng

Lời giải Chọn A

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z x yi với ,x y  

Ta có z 2 4i  5x22y42 5 tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một

GọiM N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức , z z1, 2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi OM ONMN là đường kính của  C vuông góc với OI

Câu 59 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Giả sử z z1, 2 là hai trong các số phức thỏa mãn z6 8  zi là

số thực Biết rằng z1z2 4 Giá trị nhỏ nhất của z13z2 bằng

A 5 21 B 20 4 21 C 20 4 22 D 5 22

Lời giải Chọn C

Vậy điểm biểu diễn số phức z z1, 2 thuộc đường tròn tâm I3, 4, bán kính R 5

Giả sử z1x1y i1 có điểm biểu diễn A x y 1, 1; z2x2y i2 có điểm biểu diễn B x y 2, 2