Chuyên đề 4: Nguyên Hàm, Tích Phân, ứng Dụng

• Trang Chủ
• Đăng ký
• Đăng nhập
• Upload
• Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 12›Giải Tích Lớp 12 Chuyên đề 4: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng

Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM

1. Định nghĩa:

Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên

K nếu F' (x)= f (x) ∀x  ∈K

2. Các tính chất

Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f

trên K đều có dạng F (x)+ C, C ∈
R . Do vậy F (x)+ C, gọi là họ nguyên hàm của

hàm f trên K và được kí hiệu:

55 trang ngochoa2017 2272 0 Download Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề 4: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênŀ Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 309 Chuyên đề IV NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu ( ) ( )F' x f x x K= ∀ ∈ . 2. Các tính chất Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng ( )F x C, C+ ∈
. Do vậy ( )F x C+ gọi là họ nguyên hàm của hàm f trên K và được kí hiệu: ( ) ( )f x dx F x C= +∫ . Định lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Định lí 3. Nếu f ,g là hai hàm liên tục trên K thì: a) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( )k.f x dx k f x dx=∫ ∫ với mọi số thực k 0≠ . Định lí 4. Nếu ( ) ( )f x dx F x C= +∫ thì ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f u x .u' x dx f u x .d u x F u x C= = +∫ ∫ . 3. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp ( )( )u u x= * xdx x C= +∫ * 1x x dx C ( 1) 1 α+ α = + α ≠ − α +∫ * dx ln| x | C x = +∫ * x xe dx e C= +∫ * x x aa dx C lna = +∫ * sinxdx cosx C= − +∫ * cosxdx sinx C= +∫ * udu u C= +∫ * 1u u du C 1 α+ α = + α +∫ * du ln|u| C u = +∫ * u ue du e C= +∫ * u u aa du C lna = +∫ * sinu.du cosu C= − +∫ * cosudu sinu C= +∫ Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 310 Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp ( )( )u u x= * 2 dx tanx C cos x = +∫ * 2 dx cot x C sin x = − +∫ * dx 2 x C x = +∫ * 2 du tanu C cos u = +∫ * 2 du cot u C sin u = − +∫ * dx 2 u C u = +∫ Nếu u ax b= + thì ta có: * dx 1 ln|ax b| C ax b a = + + +∫ * ax b ax b 1 e dx e C a + += +∫ * ( ) ( ) cos ax b sin ax b dx C a + + = − +∫ * ( ) ( ) sin ax b cos ax b dx C a + + = +∫ * ( ) ( )2 dx 1 tan ax b C acos ax b = + + +∫ * ( ) ( )2 dx 1 cot ax b C asin ax b = − + + +∫ * dx 2 ax b C aax b = + + +∫ 4. Các phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp phân tích: Để tìm nguyên hàm ( )f x dx∫ , ta phân tích ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nf x k .f x k .f x ... k .f x= + + + Trong đó: ( ) ( ) ( )1 2 nf x , f x ,...,f x có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nf x dx k f x dx k f x dx ... k f x dx= + + +∫ ∫ ∫ ∫ . Phương pháp từng phần: Cho hai hàm số u và v liên tục trên [ ]a;b và có đạo hàm liên tục trên [ ]a;b . Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 311 Khi đó: ( )udv uv vdu 1= −∫ ∫ Để tính tích phân ( )I f x dx= ∫ bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: B1: Chọn u,v sao cho ( )f x dx udv= (chú ý: ( ) dv v’ x dx= ). Tính v dv= ∫ và du u'.dx= . B2: Thay vào công thức ( )1 và tính vdu∫ . Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu∫ dễ tính hơn udv∫ . Ta thường gặp các dạng sau Dạng 1: ( )I x .sinxdx (x).cosxdx= ∫ ∫hoaëc , trong đó ( )P x là đa thức Với dạng này, ta đặt ( )u P x , dv sinxdx. dv cosxdx.= = =hoaëc . Dạng 2: ( ) ax bI P x e dx+= ∫ Với dạng này, ta đặt ( ) ax b u P x dv e dx+  =  = , trong đó ( )P x là đa thức Dạng 3: ( ) ( )I P x ln mx n dx= +∫ Với dạng này, ta đặt ( ) ( ) u ln mx n dv P x dx  = +  = . Dạng 4: x xI sinxe dx I cosxe dx= =∫ ∫hoaëc Với dạng này, ta đặt x sinx u cosx dv e dx    =      = để tính vdu∫ ta đặt x sinx u cosx dv e dx    =      = . Phương pháp đổi biến số Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm ( )I f x dx= ∫ , trong đó ta có thể phân tích ( ) ( )( ) ( )f x g u x u' x dx= thì ta thực hiện phép đổi biến số ( ) ( )t u x dt u' x dx= ⇒ = . Khi đó: ( ) ( ) ( )( )I g t dt G t C G u x C= = + = +∫ Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay ( )t u x= Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 312 Ví dụ 1. Tính họ nguyên hàm: 3 1 I x dx x  = −   ∫ Lời giải Ta có : 3 3 3 1 3 1 x x 3x x x x  − = − + −    nên suy ra : 4 2 3 3 2 3 1 x 3x 1 I x 3x dx 3ln x C x 4 2x 2x   = − + − = − + + +   ∫ . Ví dụ 2. Tính họ nguyên hàm: ( )2x xI e 2e dx−= +∫ Lời giải Ta có: ( )2x x 2x 2xe 2e e 4 4.e− −+ = + + Suy ra: ( )2x 2x 2x 2x1I e 4 4e dx e 4x 2e C 2 − −= + + = + − +∫ Ví dụ 3. Tính họ nguyên hàm: 2 x 2 I dx 2x 5x 2 + = − +∫ Lời giải Ta có: ( )( )22x 5x 2 2x 1 x 2− + = − − và ( ) ( )4 5x 2 2x 1 x 2 3 3 + = − − − Suy ra: 4 1 5 1 I dx 3 x 2 3 2x 1  = − − − ∫ 4 5 ln x 2 ln 2x 1 C 3 6 = − − − + . Ví dụ 4. Tính họ nguyên hàm: ( )3I cos3x.cos4x sin 2x dx= +∫ Lời giải Ta có : [ ]1cos3x.cos4x cos7x cosx , 2 = + 3 3 1 sin 2x sin2x sin6x 4 4 = − Nên suy ra: 1 1 3 1 I cos7x cosx sin2x sin6x dx 2 2 4 4  = + + −   ∫ 1 1 3 1 sin7x sinx cos2x cos6x C 14 2 8 24 = + − + + . Ví dụ 5. Tính họ nguyên hàm: 4I cos 2xdx= ∫ Lời giải Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 313 Ta có: ( ) ( )24 21 1cos 2x 1 cos4x 1 2cos4x cos 4x 4 4 = + = + + ( )1 1 cos8x 11 2cos4x 3 4cos4x cos8x 4 2 8 + = + + = + +    ( )1 1 1I 3 4cos4x cos8x dx 3x sin4x sin8x C 8 8 8  ⇒ = + + = + + +   ∫ 5) Ta có: 2 2 1 I cos x 2 dx cos x   = + −   ∫ ( ) dx 1 tanx 2x cos2xd 2x 2 4 = − + +∫ ∫ 3 1 tanx x sin2x C 2 4 = − + + . Ví dụ 6. Tính họ nguyên hàm: 3 2 x 2x 1 I dx x 2x 1 + + = + +∫ Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( )3 23x 2x 1 x 1 3 x 1 5 x 1 2+ + = + − + + + − Suy ra ( )2 5 2 I x 2 dx x 1 x 1    = − + −  + +  ∫ 2x 2 2x 5ln x 1 C 2 x 1 = − + + + + + . Ví dụ 7. Tính họ nguyên hàm: 2 3 2 2x x 6 I dx x 5x 6x + + = + +∫ Lời giải Vì ( )( )3 2x 5x 6x x x 2 x 3+ + = + + nên ta phân tích: ( ) ( )( ) ( )22x x 6 ax x 2 b x 2 x 3 cx x 3+ + = + + + + + + (1) Để xác định các hệ số a,b,c ta co các cách sau Cách 1: Đồng nhất các hệ số (1) ( ) ( )2 22x x 6 a b c x 2a 5b 3c x 6b⇔ + + = + + + + + + a b c 2 2a 5b 3c 1 a 7,b 1,c 6 6b 6 + + =  ⇔ + + = ⇔ = = = −  = Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 314 Do đó, 2 3 2x x 6 7 1 6 dx dx x 3 x x 2x 5x 6 + +  = + − + + + +∫ ∫ Suy ra: I 7ln x 3 ln x 6ln x 2 C= + + − + + . Cách 2: Thay lần lượt x 0,x 2,x 3= = − = − vào (1) ta có được a 7,b 1,c 6= = = − và ta có kết quả như trên. Ví dụ 8. Tính họ nguyên hàm: sin2xdx I 1 4sinx = +∫ Lời giải Ta có: sinxcosxdx I 2 1 4sinx = +∫ Đặt t 1 1 t 1 4sinx sinx cosxdx dt 4 4 − = + ⇒ = ⇒ = Suy ra: ( ) t 1 1 dt 1 1 14 4I 2 1 dt t ln t C t 8 t 8 −   = = − = − +   ∫ ∫ . ( )1 1 4sinx ln 1 4sinx C 8 = + − + + . Ví dụ 9. Tính họ nguyên hàm: 3 sin2x 3cosx I dx 1 1 2sinx + = + +∫ Lời giải Ta có: ( ) 3 2sinx 3 cosxdx I 1 1 2sinx + = + +∫ Đặt ( )33 t 1 1t 1 1 2sinx sinx 2 − − = + + ⇒ = ( )23cosxdx t 1 dt 2 ⇒ = − ( ) ( ) ( )( )2 2 2 23t 1 2 t 1 dt t 2t 3 t 2t 1 dt32I t 2 t  − + − − + − +  ⇒ = =∫ ∫ 3 2 3 3 t 4t 8t 8 dt 2 t   = − + − +   ∫ 4 3 23 t 4t 4t 8t 3ln t C 2 4 3   = − + − + +     với 3t 1 1 2sinx= + + . Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 315 Ví dụ 10. Tính họ nguyên hàm: x 1 I dx x 2 − = +∫ Lời giải Đặt ( ) 2 2 22 x 1 2t 1 6t t x dx dt x 2 1 t t 1 − + = ⇒ = ⇒ = + − − ( ) ( ) 2 2 2 22 2 6t 1 1 I dt 6 dt t 1t 1 t 1     ⇒ = = +  − − −   ∫ ∫ Mà: ( ) ( ) ( )( )2 t 1 t 11 1 1 1 1 2 t 1 t 1 2 t 1 t 1t 1 + − −  = = − − + − +−   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 t 1 t 11 1 4 t 1 t 1t 1  + − − = − +− ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 4 t 1 t 1t 1 t 1    = + + − + − − +  Suy ra: 2 dt 1 t 1 ln 2 t 1t 1 − = +−∫ ; ( )22 dt 1 t 1 1 1 ln 4 t 1 t 1 t 1t 1  − = − + + + − + − ∫ . Vậy: 2 3 t 1 3t I ln C 2 t 1 t 1 − = − + + − với x 1 t x 2 − = + . Ví dụ 11. Tính họ nguyên hàm: x x e 4 I dx 4e 1 + = +∫ Lời giải Đặt ( ) x 2 x x x 2 22 e 4 t 4 30t t e e dx dt 4e 1 4t 1 4t 1 + − = ⇒ = − ⇒ = − + − − ( )( )2 2 30t dx dt t 4 4t 1 ⇒ = − − Suy ra ( )( ) 2 2 22 2 t dt 1 4 I 30 2 dt t 4 4t 1t 4 4t 1   = = −  − − − − ∫ ∫ Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 316 1 t 2 2t 1 ln ln C 2 t 2 2t 1 − − = − + + + với x x e 4 t 4e 1 + = + . Ví dụ 12. Tính họ nguyên hàm: ( ) lnx.dx I x 1 3lnx 2 = + + ∫ Lời giải Đặt 2t 2 dx 2 t 3lnx 2 lnx tdt 3 x 3 − = + ⇒ = ⇒ = Suy ra 2 2 t 2 2 . tdt 2 13 3I t t 1 dt 1 t 9 t 1 −   = = − − + + + ∫ ∫ ( ) 3 22 t t t ln t 1 C 9 3 2   = − − + + +     , với t 3lnx 2= + . Ví dụ 13. Tính họ nguyên hàm: 3xI sin2x.e dx= ∫ Lời giải Cách 1 : Ta có : ( ) ( )3x 3x 3x 3x1 2sin2x.e sin2x e ' sin2x '.e cos2xe 3 3  = + −   ( ) ( ) ( )3x 3x 3x 3x1 2 4sin2x.e ' cos2x. e ' cos2x 'e sin2x.e 3 9 9  = − + −   ( ) ( )3x 3x 3x13 1 2sin2x.e sin2x.e ' cos2x.e ' 9 3 9 ⇒ = − 3x 3x 1 2 sin2x.e cos2xe ' 3 9   = −    Suy ra : 3x 3x 3x 3 2 sin2xe dx sin2xe cos2xe ' 13 13   = −    ( )3x1I e 3sin2x 2cos2x C 13 = − + . Cách 2 : Ta giả sử : 3x 3x 3xsin2x.e dx a.sin2x.e b.cos2x.e C= + +∫ Lấy đạo hàm hai vế ta có : ( ) ( )3x 3x 3x 3x 3xsin2x.e a 2cos2xe 3sin2x.e b 3cos2x.e 2sin2x.e= + + − 3a 2b 1 3 2 a ,b 13 132a 3b 0 − = ⇔ ⇔ = = − + = Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 317 Vậy ( )3x1I e 3sin2x 2cos2x C 13 = − + . Bài tập tự luyện 1. Tìm họ nguyên hàm: 3 2x 1 I dx x 3x 2 + = − + ∫ Hướng dẫn giải: ( ) ( ) ( )3 2 2 2x 1 2x 1 a b c x 1 x 2x 3x 2 x 1 x 2 x 1 + + = = + + − +− + − + − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a x 2 b x 1 x 2 c x 1 x 1 x 2 + + − + + − = − + ( ) ( )( ) ( ) ( )22x 1 a x 2 b x 1 x 2 c x 1 1⇔ + = + + − + + − Ở ( )1 ta cho x 1;x 2;x 0= = − = ta có tìm được: 1 1a 1;b ;c 3 3 = = = − ( )2 1 1 1 1 1 I dx 3 x 1 3 x 2x 1    ⇒ = + −  − +−  ∫ 1 1 1 1 1 x 1 ln x 1 ln x 2 C ln C x 1 3 3 x 1 3 x 2 − = − + − − + + = − + + − − + Chú ý: ( )( ) ax b dx cx dx + −α −β∫ • Tách phân thức trong tích phân trở thành: 1 1 p q cx dx    +   −α −β    • Lấy nghiệm của cx −α thay vào ax b dx + −β ta được p • Lấy nghiệm của dx −β thay vào ax b cx + −α ta được q 2. Tìm họ nguyên hàm: 3 5x 1 I dx x 3x 2 + = − +∫ Hướng dẫn giải: Vì ( )( )3 2x 5x 6x x x 2 x 3+ + = + + nên ta phân tích: ( ) ( )( ) ( )22x x 6 ax x 2 b x 2 x 3 cx x 3+ + = + + + + + + ( )1 Để xác định các hệ số a,b,c ta co các cách sau Cách 1: Đồng nhất các hệ số ( )1 ( ) ( )2 22x x 6 a b c x 2a 5b 3c x 6b⇔ + + = + + + + + + Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 318 a b c 2 2a 5b 3c 1 a 7,b 1,c 6 6b 6 + + =  ⇔ + + = ⇔ = = = −  = Do đó, 2 3 2x x 6 7 1 6 dx dx x 3 x x 2x 5x 6 + +  = + − + + + +∫ ∫ Suy ra: I 7ln x 3 ln x 6ln x 2 C= + + − + + . Cách 2: Thay lần lượt x 0,x 2,x 3= = − = − vào ... một hình tròn có bán kính ( )R |f x |= nên diện tích thiết diện bằng ( ) ( )2 2S x R f x= pi = pi . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: ( ) ( ) b b 2 a a V S x dx f x dx= = pi∫ ∫ . Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường ( ) ( )y f x ,y g x ,= = x a, x b= = (Với ( ) ( ) [ ]f x .g x 0 x a;b≥ ∀ ∈ ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi công thức: ( ) ( ) b 2 2 a V f x g x dx= pi −∫ . Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường ( )x g y , y a, y b, Oy= = = quanh trục Oy được tính theo công thức: ( ) b 2 a V g y dy= pi∫ . Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường sau 2x y 4 , 4 = − 2x y 4 2 = x ( )y f x= a b y x 0 Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 356 Lời giải Xét PTHĐ giao điểm của hai đồ thị 2x y 4 4 = − và 2x y 4 2 = : 2 2 2 4 2x x x x4 4 x 8 x 2 2 4 4 324 2 − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± . Trên 2 2;2 2 −  , ta có: 2 2x x 4 4 4 2 − ≥ nên diện tích cần tính là: 2 2 2 2 2 22 2 2 2 D 0 02 2 x x 1 S 4 dx 16 x dx x dx 4 4 2 2 2 −    = − − = − −     ∫ ∫ ∫ Ta có: 2 22 2 3 2 0 0 x 16 2 x dx 3 3 = =∫ Đặt x 4sint dx 4costdt= ⇒ = . Khi đó: ( ) 2 2 4 4 2 2 0 0 0 16 x dx 16 cos tdt 8 1 cos2x dx 2 4 pi pi − = = + = pi+∫ ∫ ∫ Vậy: D 4 S 2 3 = pi+ . Ví dụ 2. Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P): 2y x= và phía trên bởi đường thẳng đi qua ( )A 1;4 có hệ số góc k . Tìm k để (H) có diện tích nhỏ nhất. Lời giải Đường thẳng ∆ đi qua A , hệ số góc k có phương trình : ( )y k x 1 4 kx k 4= − + = − + . Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và ∆ : ( )2 2x kx k 4 x kx k 4 0 1= − + ⇔ − + − = Dễ thấy (1) luôn có hai nghiệm 1 2x x< . Khi đó, diện tích (H) là: ( ) x2 2 x1 S kx k 4 x dx= − + −∫ ( ) x23 2 x1 k x x 4 k x 2 3   = + − −     ( ) ( )( ) ( )2 2 3 32 1 2 1 2 1k 1x x 4 k x x x x2 3= − + − − − − ( ) ( ) ( )22 1 1 2 1 2 1 2 x x 3k x x 6 4 k 2 x x 2x x 6 −  = + + − − + +   Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 357 ( )22 1x x k 4k 16 6 − = − + . Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 1 2x x x x 4x x k 2 12 12− = + − = − + ≥ 2 3 S .12 4 3 6 ⇒ ≥ = . Đẳng thức xảy ra k 2⇔ = . Vậy k 2= là giá trị cần tìm. Bài tập tự luyện 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4x 3, x 0, x 3= − + − = = và Ox . Hướng dẫn giải: ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − − + − + − + −∫ ∫ 1 3 3 3 2 2 0 1 x x 8 2x 3x 2x 3x 3 3 3     = − − + − + − + − =           . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 3 2y x 11x 6, y 6x= + − = , x 0, x 2= = . Hướng dẫn giải: Đặt ( ) ( )3 2 3 2h x x 11x 6 6x x 6x 11x 6= + − − = − + − ( )h x 0 x 1 x 2 x 3= ⇔ = ∨ = ∨ = (loại). ( ) ( ) 1 2 3 2 3 2 0 1 S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= − − + − + − + −∫ ∫ 1 2 4 2 4 2 3 3 0 1 x 11x x 11x 5 2x 6x 2x 6x 4 2 4 2 2     = − − + − + − + − =           . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4 x 3= − + và trục hoành. Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0− + = ⇔ − + = = ≥ x 1t 1 x 1 t 3 x 3x 3  == = ±  ⇔ ⇔ ⇔ = = ±=  3 3 2 2 3 0 S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx − ⇒ = − + = − +∫ ∫ Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 358 ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx    = − + + − +    ∫ ∫ 1 3 3 3 2 2 0 1 x x 16 2 2x 3x 2x 3x 3 3 3      = − + + − + =              . 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 4x 3= − + và y x 3= + . Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 4x 3 x 3− + = + 2 2 x 3 0 x 0 x 4x 3 x 3 x 5 x 4x 3 x 3 + ≥  =⇔ ⇔− + = +  =  − + = − − . ( ) ( ) ( ) 1 3 5 2 2 2 0 1 3 S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx⇒ = − + − + − + −∫ ∫ ∫ 1 3 5 3 2 3 2 3 2 0 1 3 x 5x x 3x x 5x 109 6x 3 2 3 2 3 2 6      − = − + + − + − =                 . 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y xlnx,x e= = và Ox Hướng dẫn giải: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành: x 0 x 0 xlnx 0 lnx 0 x 1 = =  = ⇔ ⇔ = =  Nhận xét: [ ]xlnx 0 , x 1;e≥ ∀ ∈ Gọi S là diện tích cần tìm: e e 1 1 S xlnxdx xlnxdx= =∫ ∫ Đặt: 2 dx du u lnx x dv xdx x v 2  ==  ⇒  =  = ee e2 1 11 e e2 2 2 11 x 1 S xlnxdx lnx xdx 2 2 x 1 e 1 lnx x ( vdt) 2 4 4 = = − + = − = ∫ ∫ ® 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2y x 3x 2= − + và y x 1= − Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 359 Hướng dẫn giải: . Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: 2 2 x 1 x 3x 2 x 1 x 4x 3 0 x 3 = − + = − ⇔ − + = ⇔  = Gọi S là diện tích cần tìm: ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 S x 3x 2 x 1 dx x 4x 3dx= − + − − = − +∫ ∫ Cách 1. ( Dựa vào đồ thị ) [ ]2 2x 3x 2 x 1 x 4x 3 0, x 1;3− + ≤ − ⇔ − + ≤ ∀ ∈ ( ) 33 4 2 2 1 1 x 4 S x 4x 3 dx 2x 3x 4 3   = − + − = − + − =     ∫ (đvdt) Cách 2. ( Không dựa vào đồ thị ) ( ) 3 3 3 3 1 1 S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= − + = − +∫ ∫ 3 4 2 1 x 4 4 2x 3x 4 3 3   = − + = − =     (đvdt) 7. Tìm m để đồ thị ( )C : 4 2y x 2mx m 2= − + + cắt Ox tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi ( )C và Ox bằng diện tích hình phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi ( )C và Ox . Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và Ox : ( )4 2x 2mx m 2 0 1− + + = Đặt 2t x , t 0= ≥ , ta có phương trình: ( )2t 2mt m 2 0 2− + + = . Yêu cầu bài toán ( )2⇔ có hai nghiệm t 0> phân biệt 2' m m 2 0 S 2m 0 m 2 P m 2 0 ∆ = − − >  ⇔ = > ⇔ >  = + > . Gọi 1 2 1 2t ,t (0 t t )< < là hai nghiệm của ( )2 . Khi đó (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là: 1 2 2 1 3 1 4 2x t ;x t ;x t ;x t= − = − = = . Do tính đối xứng của ( )C nên yêu cầu bài toán Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 360 ( ) ( ) x x3 4 4 2 4 2 0 x3 x 2mx m 2 dx x 2mx m 2 dx⇔ − + + = − + − −∫ ∫ ( ) ( ) 5 3 4 24 4 4 4 4 x 2mx m 2 x 0 3x 10mx 15 m 2 0 5 3 ⇔− + − + = ⇔ − + + = 4x⇒ là nghiệm của hệ: ( ) 4 2 4 4 4 2 4 4 x 2mx m 2 0 3x 10mx 15 m 2 0  − + + =  − + + = ( ) ( )2 24 4 3 m 2 4mx 12 m 2 0 x m + ⇒ − + = ⇒ = thay vào hệ ta có được ( ) ( ) ( ) 2 2 2 m 2 9 6 m 2 m 2 0 9 m 2 5m 0 m + − + + + = ⇔ + − = (do m 2> ) 25m 9m 18 0 m 3⇔ − − = ⇔ = 4x 5⇒ = . Với ( ) 4 2 x 1 m 3 1 x 6x 5 0 x 5 = ± = ⇒ ⇔ − + = ⇔  = ± . Vậy m 3= là giá trị cần tìm. 8. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2y 4 x , x 3y 0= − − + = quay quanh Ox Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm 2 2 2x4 x x 3 x 3 3 − − = − ⇔ = ⇔ = ± ( ) 3 4 2 3 x V 4 x dx 9 − ⇒ = pi − −∫ ( ) 33 5 2 4 3 0 0 2 2 x 36 9x x dx 36x 3x 9 9 5  pi pi = − − = − −     ∫ . Vậy 28 3 V 5 pi = (đvtt). 9. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2x y 5= − + , x 3 y= − quay quanh Oy . Hướng dẫn giải: Tung độ giao điểm: 2 y 1 y 5 3 y y 2 = − − + = − ⇔  = . Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 361 ( ) ( ) 2 2 22 1 V y 5 3 y dy − ⇒ = pi − + − −∫ ( ) 2 4 2 1 y 11y 6y 16 dy − = pi − + +∫ 2 5 3 2 1 y 11y 153 3y 16y 5 3 5 −   pi = pi − + + =     . 10. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: xy xe ,y 0,x 0,x 2= = = = và quay quanh trục Ox . Hướng dẫn giải: Gọi V là thể tích cần tìm: ( ) 2 22x 2 2x 0 0 V xe dx x e dx= pi = pi∫ ∫ Đặt: 2 2x2x du 2xdx u x 1 v edv e dx 2 = =  ⇒  ==   2 2 22 2x 2x 4 2x 0 00 x e V xe dx 2 e xe dx 2 pi = −pi = pi −pi∫ ∫ Đặt: 2x2x du dxu x 1 v edv e dx 2 ==  ⇒  ==   22 22x 4 2x 4 2x 0 00 xe V 2 e xe dx 2 e e dx 2 2   pi pi = pi −pi = pi − −     ∫ ∫ ( ) ( ) 2 4 4 2x 4 4 4 4 0 2 e e e 2 e e e 1 5e 1 4 4 4  pi pi pi = pi − pi − = pi −pi + − = −     (đvtt). 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = và quay quanh trục Ox . Hướng dẫn giải: Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox ( ) ( ) 22 2 3 2 2 2 1 0 0 0 4x 32 V 2x 4 dx 4x 16x 16 dx 8x 16x 3 3   pi = pi − = pi − + = pi − + =     ∫ ∫ Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 362 Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2y x 4,y 2x 4,x 0,x 2= − = − = = quay quanh trục Ox ( ) ( ) 22 2 5 322 4 2 2 0 0 0 x 8x 256 V x 4 dx x 8x 16 dx 16x 5 3 15   pi = pi − = pi − + = pi − + =     ∫ ∫ Gọi V là thể tích cần tìm: 2 1 256 32 32 V V V 15 3 5 pi pi pi = − = − = (đvtt) 12. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường: 2y xcosx sin x , y 0,x 0,x 2 pi = + = = = Hướng dẫn giải: Ta có thể tích khối tròn xoay cần tính là: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 V y dx xcosx sin x dx xcosxdx sin xdx pi pi pi pi = pi = pi + = pi + pi∫ ∫ ∫ ∫ Ta có: ( ) 2 2 22 00 0 1 1 1 sin xdx 1 cos2x dx x sin2x 2 2 2 4 pi pi pi pi  = − = − =   ∫ ∫ . Đặt u x du dx dv cosxdx v sinx = =  ⇒  = =  2 2 2 0 0 0 xcosxdx xsinx sinxdx 1 2 pi pi pi pi ⇒ = − = −∫ ∫ Vậy ( )3 4 V 1 2 4 4 pi pi−pi pi = pi − + pi =    ( đvtt ) 13. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường: xy xe ,y 0,x 0,x 1= = = = Hướng dẫn giải: Thể tích khối tròn xoay cần tính là: 1 2 2x 0 V x e dx= ∫ Đặt 2 2x2x du 2x u x 1 v edv e dx 2 = =  ⇒  ==   1 1212 2x 2x 2x 0 0 0 1 e V x e xe dx xe dx 2 2   pi  ⇒ = pi − = −pi     ∫ ∫ Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 363 Đặt 2x2x du dxu x 1 v e dxdv e dx 2 ==  ⇒  ==   11 1 2 2x 212x 2x 2x 0 0 0 0 1 1 e e e 1 xe dx xe e dx 2 2 2 4 4 + ⇒ = − = − =∫ ∫ 2 2 2e e 1 e 1 V 2 4 4  + − ⇒ = pi − = pi    ( đvtt ) 14. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường: ( )2y x ln 1 x ,y 0,x 1= + = = Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường ( )2y x ln 1 x= + và y 0= : ( )2x ln 1 x 0 x 0+ = ⇔ = . Thể tích cần tính: ( ) 1 2 2 0 V x ln 1 x dx= pi +∫ . Đặt ( )2 2 32 2x du dx u ln 1 x 1 x xdv x dx v 3  = = +  + ⇒   = = ( ) ( ) 11 13 4 2 2 2 2 0 00 x 2 x x ln 1 x dx ln 1 x dx 3 3 1 x ⇒ + = + − +∫ ∫ 1 2 2 0 ln2 2 1 x 1 dx 3 3 1 x   = − − +   + ∫ 1 13 2 00 ln2 2 x 2 dx x 3 3 3 3 1 x   = − − −   +  ∫ ln2 4 2 12ln2 16 6 . 3 9 3 4 36 pi + − pi = + − = (đvtt).

Tài liệu đính kèm:

• nguyen ham tich phan du dang.pdf

Tài liệu liên quan

• Đề và đáp án thi tuyển sinh cao đẳng năm 2011 môn thi: Toán, Khối D

  Lượt xem: 1387 Lượt tải: 0

• Tài liệu Ứng dụng công nghệ thông tin đổi mới phương pháp dạy học và đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh môn toán trung học phổ thông

  Lượt xem: 1370 Lượt tải: 0

• Bài 2: Khái niệm mặt tròn xoay (tiết 19)

  Lượt xem: 1770 Lượt tải: 0

• Đề thi chất lượng học kỳ II môn Toán 12 ( chương trình không phân ban)

  Lượt xem: 1719 Lượt tải: 0

• Bộ đề luyện thi Đại học môn Toán có lời giải - Đề 26

  Lượt xem: 1541 Lượt tải: 0

• Kiểm tra học kỳ 1 môn: Toán lớp 12 – THPT

  Lượt xem: 978 Lượt tải: 0

• Giáo án Giải tích 12 CB tiết 53: Tích phân (tt)

  Lượt xem: 1216 Lượt tải: 0

• Giáo án Giải tích 12 nâng cao tiết 51, 52: Các phương pháp tìm nguyên hàm

  Lượt xem: 1631 Lượt tải: 0

• Giáo án ôn tốt nghiệp môn Toán 12

  Lượt xem: 1898 Lượt tải: 0

• Giáo án môn Giải tích 12 tiết 12: Luyện tập

  Lượt xem: 1486 Lượt tải: 0

Copyright © 2025 Lop12.net - Giáo án điện tử lớp 12, Sáng kiến kinh nghiệm hay, chia sẻ thủ thuật phần mềm