Chuyên đề 7 Hằng đẳng Thức đáng Nhớ - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.doc) (14 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Tư liệu khác

Chuyên đề 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (359.11 KB, 14 trang )

TOÁN 8 HÈ 2015- 2016CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIMCHỦ ĐỀ 2:NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚA.TÓM TẮT LÝ THUYẾTCho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau:1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B22) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2A2 + B2 = (A + B)2 – 2AB = (A - B)2 + 2AB3) A2 – B2 = (A + B)(A – B)4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B35) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B36) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)*Chú ý:Các công thức 4) và 5) còn được viết dưới dạng:(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)(A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B)- Từ công thức 1) và 2) ta suy ra các công thức:(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2ACChứng minh: ((A + B) + C)2 = (A+B)2 + 2(A+B)C + C2= A2 + 2AB + B2 + 2AC + 2BC + C2= A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC(A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC(A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC(A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC)(A + B)2 = (A –B)2 + 4AB(A – B)2 = (A +B)2 – 4AB(A + B + C)³ = A³ + B³ + C³ + 3(A + B)(A + C)(B + C)*) Hướng dẫn học sinh học thuộc n hằng đẳng thức mà không cần nhớ nhiều+) Xây dụng tam giác đẹp bộ số 1 1 1ĐỉnhDòng 1(n = 1)Dòng 2(n = 1)Dòng 3(n = 3)Dòng 4(n = 4)Dòng 5(n = 5)1Dòng 6(n = 6)1+) Kiến thức liên quan:1111121345613641015110201515161- 10 = 1; 20 = 1; (-2)0 = 1; ........; a0 = 1; (a+b)0 = 1-11 = 1; 21 = 2; (-2)1 = -2; ........; a1 = a; (a+b) = a+b = 1a +1bGiáo viên: Nguyễn Quốc Dũng1Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 2016CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIMTrong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k(k ≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 =1 + 2dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …Với n = 2 thì: (a + b)2 = a2b0 + 2a1b1 + a0b2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2( Lũy thừa của cơ số a giảm dần bắt đầu từ số mũ ban đầu, VD: a 2 a1 + a0 và với cơ số bngược lại)( Đối với dấu trừ (vd +1=1”đúng”, -1=1” sai”. Vậy dấu đan xen nhau, qua 1 hạng tự đổidấu)Với n = 3 thì: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a - b)3 = + a3 - 3a2b + 3ab2 - b3Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6(a + b)n = anb0 + nan - 1 b1 + …+ a0bn( Chú ý kiểm tra lại tổng số mũ của các hạng tử chính bằng số mũ của hằng đẳng thứcvừa khai triển, Nhìn vào tam giác pascan ta thấy hệ số đối nhau)+) Xây dụng hẳng đẳng thức hiệu 2 lập phương và n hằng đẳng thứcA2 + B2 = (A + B)2 – 2AB = (A - B)2 + 2ABA2 – B2 = (A + B)(A – B)A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)A4 + B4 = (A + B)(A3 - A2B + AB2 - B3)A4 - B4 = (A - B)(A3 + A2B + AB2 + B3)An + Bn = (A + B) (An-1 – An-2 B + An-3 B2 – An-4 B3 +…….. +(-1)n-1 B n-1)An - Bn = (A + B) (An-1 + An-2 B + An-3 B2 + An-4 B3 +…….. + B n-1)B.VÍ DỤ:*Ví dụ 1: Khai triển:Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng2Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 201622CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM2 2a) (5x + 3yz) = 25x + 30xyz + 9y zb) (y2x – 3ab)2 = y4x2 – 6abxy2 + 9a2b2c) (x2 – 6z)(x2 + 6z) = x4 – 36z2d) (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27e) (a + 2b)3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3g) (x2 + 3)(x4 + 9 – 3x2) = (x2)3 + 33 = x6 + 27h) (y – 5)(25 + 2y + y2 + 3y) = (y – 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 – 125*Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:a) A = (x + y)2 – (x – y)2= x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 = 4xyHoặc: A = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xyb) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2= x2 + 2xy + y2 – 2x2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 – 2y3= 6x2y*Ví dụ 3: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2acTa có: VT = (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2=(a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VPVậy đẳng thức được chứng minh.*Ví dụ 4: Chứng minh:a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)Ta có : VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VTÁp dụng: Tìm tổng lập phương của hai số biết rằng tích hai số đó bằng 6 và tổng hai sốđó bằng – 5Gọi hai số đó là a và b thì ta có:a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (- 5)3 – 3.6 (- 5) = - 125 + 90 = -35b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b)Ta có: VP = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 – b3*Ví dụ 5: Tính nhanh:a) 1532 + 94 .153 + 472 = 1532 + 2.47.153 + 472 = (153 + 47)2 = 2002 = 40000b) 1262 – 152.126 + 5776 = 1262 – 2.126.76 + 762 = (126 – 76)2 = 502 = 2500c) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) = 158 – (158 – 1) = 1d) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + 1 == (2 – 1)(2 + 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + 1 == (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + 1 == (24 – 1)(24 + 1) … (220 + 1) + 1 ==…= (220 – 1)(220 + 1) + 1 = 240 – 1 + 1 = 240C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP :Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng3Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 2016CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM*Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay mộthiệu:a) x2 + 5x +25555= x2 + 2. x + ( )2 = (x + )24222b) 16x2 – 8x + 1 = (4x)2 – 2.x.4 + 12 = (4x – 1)2c) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2.2x.3y + (3y)2 = (2x + 3y)2d) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + 1 = (x + 3)(x + 6)(x + 4)(x + 5) + 1= (x2 + 6x + 3x + 18)(x2 + 4x + 5x + 20) + 1= (x2 + 9x + 18)(x2 + 9x + 18 + 2) + 1= (x2 + 9x + 18)2 + 2(x2 + 9x + 18).1 + 12 = (x2 + 9x + 18 + 1)2 = (x2 + 9x + 19)2e) x2 + y2 + 2x + 2y + 2(x + 1)(y + 1) + 2= x2 + y2 + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + 2 + 2= x2 + y2 + 22 + 4x + 4y + 2xy = (x + y + 2)2g) x2 – 2x(y + 2) + y2 + 4y + 4= x2 – 2xy – 4x + y2 + 4y + 4= x2 + y2 + 22 – 2xy – 4x + 4y = (x – y – 2 )2h) x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 = x2 + 2x(y + 1) + (y + 1)2= (x + y + 1)2*Bài tập 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hay mộthiệu:a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3b) 27y3 – 9y2 + y -11111= (3y)3 – 3.(3y)2. + 3.3y.( )2 – ( )3 = (3y - )3273333c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 = (2x2)3 + 3.(2x2)2.y + 3.(2x2).y2 + y3 = (2x2 + y)3d) (x + y)3(x – y)3 = [(x + y)(x – y)]3 = (x2 – y2)3*Bài tập 3: Rút gọn biểu thức:a) (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 = (2x + 3 – 2x – 5)2 = (-2)2 = 4b) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) = (x2 + 1 + x)(x2 + 1 – x)(x2 – 1)= [(x2 + 1)2 – x2] (x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 1)2 – x2(x2 – 1) = (x4 – 1)(x2 + 1) – x4 + x2= x6 + x4 – x2 – 1 – x4 + x2 = x6 – 1c) (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2= a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac – 2b2 + 4bc – 2c2= 2a2d) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac + b2 + c2 + a2 – 2bc + 2ac– 2ab + c2 + a2 + b2 – 2ac + 2ab – 2bc= 4a2 + 4b2 + 4c2 = 4(a2 + b2 + c2)*Bài tập 4: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu *a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3= (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = (2x + 3y)3= 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng4Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 201632CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM233= (2x) + 3.(2x) .y + 3.2x.y + y = (2x + y)= 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3= x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = (x – 2y)3*Bài tập 5: CMR với mọi giá trị của biến x ta luôn có:a) – x2 + 4x – 5 < 0Ta có: – x2 + 4x – 5 = - (x2 – 4x + 5) = - (x2 – 4x + 4 + 1) = - [(x – 2)2 + 1]Mà (x – 2)2 ≥ 0 nên (x – 2)2 + 1 > 0Do đó – [(x – 2)2 + 1] < 0 với mọi giá trị của biến xb) x4 + 3x2 + 3 > 0Ta có: x4 ≥ 0 ; 3x2 ≥ 0 nên x4 + 3x2 + 3 > 0 , với mọi xc) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0Ta có: (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 = (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 3 + 1) + 3= (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 3) + 1 + 2 = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 1) + 5= (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5Ta có: (x2 + 2x + 3)2 ≥ 0; (x + 1)2 ≥ 0nên (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5 > 0 , với mọi x*Bài tập 6: So sánh:a) 2003.2005 và 20042Ta có: 2003.2005 = (2004 – 1)(2004 + 1) = 20042 – 1 < 20042b) 716 – 1 và 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)Ta có: 716 – 1 = (78)2 – 1 = (78 + 1)(78 – 1)= (78 + 1)(74 + 1)(74 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(72 – 1)= (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(7 + 1)(7 – 1) ==(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)8.6 > (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8*Bài tập 7: Cho a – b = m ; a.b = n .Tính theo m, n giá trị của các biểu thức sau:a) (a + b)2 = (a 2 + 2ab + b2 – 4ab + 4ab = (a – b)2 + 4abThay a – b = m, a.b = n vào biểu thức ta được :(a + b)2 = m2 + 4nb) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = m2 – 2nc) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) = m3 + 3m.n = m(m2 + 3n)*Bài tập 8: Cho a + b = p ; a – b = q . Tìm theo p,q giá trị của các biểu thức sau:a) a.b = ?Ta có: (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab⇒ ab =( a + b) 2 − ( a − b) 2p2 − q2=44p2 − q2=44 p 3 − 3 p ( p 2 − q 2 ) 4 p 3 − 3 p 3 + 3 pq 2 p 3 + 3 pq 2p ( p 2 + 3q 2 )===4444b) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = p3 – 3p.D.BÀI TẬP NÂNG CAO:Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng5Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 2016CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIMBài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:a/ A = x2 – 4x + 7b/ B = x2 + 8xc/ C = - 2x2 + 8x – 15Giảia/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 4 = 0 ⇔ x = 4Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.* Chú ý:* Phương pháp tìm GTNN (Giá trị nhỏ nhất) của f(x):Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a > 0, b và m là hằng số)Nhận xét f(x): (x + b)2 > 0 với∀xa(x + b)2 > 0 với∀xa(x + b)2 + m > m với∀xDấu "=" xảy ra  (x + b)2 = 0 x=mbTừ đó kết luận giá trị nhỏ nhất của f(x).* Muốn tìm GTLN ( giá trị lớn nhất) của f(x) thì biến đổi :Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a < 0, b và m là hằng số)Nhận xét f(x): (x + b)2 ≥ 0 với ∀ xa(x + b)2 ≤ 0 với ∀ xa(x + b)2 + m ≤ m với ∀ xDấu "=" xảy ra ⇔ (x + b)2 = 0=> x= m bTừ đó kết luận GTLN của f(x)*Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng6Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 20162CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM22a) M = x – 4x + 7 = x – 4x + 4 + 3 = (x – 2) + 3Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 nên M ≥ 3Hay GTNN của M bằng 3Giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49N = (x2 – 4x – 5 )(x2 – 4x – 5 – 14) + 49N = (x2 – 4x – 5)2 – 14(x2 – 4x – 5) + 49N = (x2 – 4x – 5)2 - 2.7(x2 – 4x – 5 ) + 72N = (x2 – 4x – 5 – 7 )2 = (x2 – 4x – 12 )2Ta thấy : (x2 – 4x – 12)2 ≥ 0 nên N ≥ 0Hay GTNN của N bằng 0Giá trị này đạt được khi x2 – 4x – 12 = 0 ⇔ (x – 6)(x + 2) = 0⇔ x = 6 ; hoặc x = -2c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12P = x2 – 6x + 9 + y2 – 2y + 1 + 2 = (x – 3)2 + (y – 1)2 + 2Ta thấy: (x – 3)2 ≥ 0; và (y – 1)2 ≥ 0 nên P ≥ 2Hay GTNN của P bằng 2Giá trị này đạt được khi x – 3 = 0 và y – 1 = 0⇔ x = 3 và y = 1*Chú ý về GTNN và GTLN của một biểu thức:Cho một biểu thức A, ta nói rằng số k là GTNN của A nếu ta c/m được 2 điều kiện:a) A ≥ k với mọi giá trị của biến đối với biểu thức Ab) Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của A để khi thay vào, A nhậngiá trị k.Tương tự, cho một biểu thức B, ta nói rằng số h là GTLN của B nếu ta c/m được 2điều kiện:a) B ≤ h với mọi giá trị của biến đối với biểu thức B.b) Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của B để khi thay vào, B nhậngiá trị h.* Có hai loại sai lầm thường gặp của HS:1) Khi chứng minh được a), vội kết luận mà quên kiểm tra điều kiện b)2) Đã hoàn tất được a) và b), tuy nhiên, bài toán đòi hỏi xét trên một tập số nào đóthôi, tức là thêm các yếu tố ràng buộc, mà HS không để ý rằng giá trị biến tìm đượcở bước b) lại nằm ngoài tập cho trước đó.*Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A = (x2 + 1)2 + 4Giả sử lời giải như :Vì (x2 + 1)2 ≥ 0 nên A ≥ 4 .Vậy GTNN của biểu thức là 4.Kết luận về GTNN như thế là mắc phải sai lầm loại 1), tức là quên kiểm tra điều kiện b) .Thực ra để cho A bằng 4, ta phải có (x2 + 1)2 = 0 , nhưng điều này không thể xảy ra đượcvới mọi giá trị của biến x.Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng7Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 2016CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM*Ví dụ 2: Cho x và y là các số hữu tỉ và x ≠ y .Tìm GTNN của biểu thứcB=1(x – y)2 + 22Giả sử lời giải như sau:Vì1(x – y)2 ≥ 0 nên B ≥ 22Mặt khác khi thay x = y = 1, B nhận giá trị 2Vậy GTNN của biểu thức B là 2.ở đây, kết luận về GTNN như thế là mắc phải sai lầm loại 2), tức là quên kiểm tra điềukiện ràng buộc x ≠ y .*Bài tập 3: Tìm GTNN của các biểu thức sau:a) A = x2 – 4x + 9Ta có : A = x2 – 4x + 4 + 5 = (x – 2)2 + 5Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + 5 ≥ 5Hay GTNN của A bằng 5 , giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0⇔ x–2=0 ⇔ x=2b) B = x2 – x + 1121 313+ = (x - )2 +4 42431Vậy GTNN của B bằng , giá trị này đạt được khi x =4239 939c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2[(x2 – 2. x + ) − ] = 2(x - )2 24 42293Vậy GTNN của C bằng - , giá trị này đạt được khi x =22Ta có: B = x2 – 2. x +*Bài tập 4: Tìm GTLN của các đa thức:a) M = 4x – x2 + 3 = - x2 + 4x – 4 + 7 = 7 – (x2 – 4x + 4) = 7 – (x – 2)2Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 ; nên - (x – 2)2 ≤ 0 .Do đó: M = 7 – (x – 2)2 ≤ 7Vậy GTLN của biểu thức M bằng 7, giá trị này đạt được khi x = 211 111+ = − (x − ) 224 44211Vậy GTLN của N bằng , giá trị này đạt được khi x =421119c) P = 2x – 2x2 – 5 = 2( - x2 + x – 5) = 2[( - x2 + 2. x – ) – ]244191 219= - (x - ) ≤ 222191Vậy GTLN của biểu thức P bằng , giá trị này đạt được khi x =22b) N = x – x2 = - x2 + 2. x -*Chú ý: Dạng toán này tương tự dạng : Chứng minh 1 biểu thức luôn dương, hoặcluôn âm, hoặc lớn hơn, nhỏ hơn 1 số nào đó.*Bài tập 5 : Tìm x , biết rằng:Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng8Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 2016CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM2a) 9x – 6x – 3 = 09x2 – 2.3x.1 + 1 – 4 = 0(3x – 1)2 – 4 = 0(3x – 1 + 2)(3x – 1 – 2) = 0(3x + 1)(3x – 3) =01x=−3 x + 1 = 03 x = −133 x − 3 = 0 ⇔ 3 x = 3 ⇔ x = 1b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = 0x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 – 8 =0(x + 3)3 – 8 = 0(x + 3)3 – 23 = 0(x + 3 – 2)[(x + 3)2 + 2(x + 3) + 4] = 0(x + 1)(x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + 4) =0(x + 1)(x2 + 8x + 19) = 0(x + 1)[x2 + 2.4x + 16 + 3] = 0(x + 1)[(x + 4)2 + 3] = 0x + 1 = 0 Vì (x + 4)2 + 3 > 0 , với mọi giá trị của biến x.x = -1c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3x(x2 – 25) – (x3 + 8) – 3 = 0x3 – 25x – x3 – 8 – 3 = 0- 25x = 11x=-1125*Bài tập 6 : Tìm x, y, z biết rằng:x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0(x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) + (4z2 – 4z + 1) = 0(x + 1)2 + (y – 3)2 + (2z – 1)2 = 0 x = −1x + 1 = 0⇔ y − 3 = 0 ⇔ y = 32 z − 1 = 01z =2*Bài tập 7 : Cho a + b = 1 .Tính a3 + 3ab + b3Ta có: a3 + 3ab + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) + 3ab = (a + b)3 – 3ab + 3ab= (a + b)3 = 1 ( Vì a + b = 1)* Bài tập 8: Chứng minh các biểu thức sau nhận giá trị dương với mọi giá trị củabiến:a) A = x2 – x + 112A = x2 – 2. x +1 313+ = (x - ) 2 +4 424Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng9Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 2016CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM113Vì (x - )2 ≥ 0 nên (x - ) 2 + > 0 , với mọi giá trị của biến224Hay A > 0 , với mọi giá trị của biến.b) B = (x – 2)(x – 4) + 3 = x2 – 4x – 2x + 8 + 3 = x2 – 6x + 9 + 2= (x – 3)2 + 2Vì (x – 3)2 ≥ 0 nên (x – 3)2 + 2 > 0, với mọi giá trị của biếnHay B > 0, với mọi giá trị của biến.c) C = 2x2 – 4xy + 4y2 + 2x + 5C = x2 – 4xy + 4y2 + x2 + 2x + 1 + 4 = (x – 2y)2 + (x + 1)2 + 4Vì (x – 2y)2 ≥ 0 , và (x + 1)2 ≥ 0 nên (x – 2y)2 + (x + 1)2 + 4 > 0, với mọi xHay C > 0, với mọi x.*Bài tập 9 : Chứng minh các đẳng thức sau:a) (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a + b)2(a – b)2Ta biến đổi vế trái:VT = (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a2 + b2)2 – (2ab)2 = (a2 + b2 + 2ab)(a2 + b2 – 2ab)= (a + b)2(a – b)2 = VP.Vậy đẳng thức được chứng minh.b) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2Ta có:VT = (a2 + b2)(x2 + y2) = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2= a2x2 – 2ax.by + b2y2 + a2y2 + 2ay.bx + b2x2 = (ax – by)2 + (bx + ay)2 = VP.Vậy đẳng thức được chứng minh.c) a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)2Ta có : VT = a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b)= (a – b)(a2 + ab + b2 + ab) = (a – b)(a + b)2d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)VT = (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + b3 – 3b2c + 3bc2 – c3 + c3 – 3c2a + 3ca2 – a3= - 3a2b + 3ab2 – 3b2c + 3bc2 – 3c2a + 3ca2VP = 3(a – b)(b – c)(c – a)= 3(ab – ac – b2 + bc)(c – a)= 3(abc – a2b – ac2 + a2c – b2c + ab2 + bc2 – abc)= - 3a2b – 3ac2 + 3a2c – 3b2c + 3ab2 + 3bc2Vậy VT = VP Do đó đẳng thức được chứng minh.*Bài tập 10 : Giải các phương trình sau:a) x2 – 4x + 4 = 25(x – 2)2 – 25 = 0(x – 2 + 5)(x – 2 – 5) = 0(x + 3)(x – 7) = 0x + 3 = 0 hoặc x – 7 = 0x = -3 hoặc x = 7Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng10Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 2016CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM2b) (5 – 2x) – 16 = 0(5 – 2x + 4)(5 – 2x – 4) = 0(9 – 2x)(1 – 2x) = 09 – 2x = 0 hoặc 1 – 2x = 09 = 2x hoặc 2x = 1x=91hoặc x =22c) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15x3 – 9x2 + 27x – 27 – x3 + 27 + 9x2 + 18x + 9 – 15 = 027x + 18x + 9 – 15 = 045x = 6x=215Bài tập 11 : Tính giá trị của các biểu thức:a) A = 49x2 – 56x + 16 , với x = 2Ta có: A = (7x – 4)2Với x = 2 thì: A = (7.2 – 4)2 = 102 = 100b) B = 27x3 + 54x2 + 36x + 8 , với x = - 2Ta có: B = (3x)3 + 3.(3x)2.2 + 3.(3x).4 + 23 = (3x + 2)3Với x = -2 thì:B = [3.(-2) + 2]3 = (-4)3 = - 64c) C = (x – 1)3 – 4x(x + 1)(x – 1) + 3(x – 1)(x2 + x + 1) + 3(x – 1)2 , với x = -25Ta có:C = (x – 1)3 – 4x(x2 – 1) + 3(x3 – 1) + 3(x2 – 2x + 1)C = x3 – 3x2 + 3x – 1 – 4x3 + 4x + 3x3 – 3 + 3x2 – 6x + 3C=x–1Với x = -227thì: C = - - 1 = 555Bài tập 12 : CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương.Giải:Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n , n + 1 , n + 2 , n + 3 . Khi đó ta có:Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là:A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+ 1A= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2Vì n là số tự nhiên nên (n2 + 3n + 1)2 là một số chính phương.Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là một số chính phương.Bài tập 13: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :1 ( A + B + C ) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2( AB + BC + AC )2. ( A + B + C ) 3 = A3 + B 3 + C 3 + 3( A + B ).( B + C ).( A + C )Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng11Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 2016CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM3. 2( A 2 + B 2 ) = ( A + B ) 2 + ( A − B ) 24. ( A 2 + B 2 ).( X 2 + Y 2 ) = ( AX − BY ) 2 + ( AX + BY ) 2Bài tập 14. Tính :a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264Giảia/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264B=…B =(232 - 1)(232 + 1) – 264B = 264 – 1 – 264B=-1Bài tập 15.Cho a + b + c = 0(1)2222a +b +c =x(2)444Tính a + b + c . theo xTheo (1) ta có a = -(b+c) Suy ra a2 = (b+c)2Suy ra a2 - b2 - c2 = 2bcSuy ra (a2 - b2 - c2 )2 = 4b2c2Suy ra a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 +2a2c2Suy ra 2(a4 + b4 + c4 ) = (a2 + b2 + c2 )2= x4Suy rax4(a + b + c ) =2444NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚBài 1. Tínha) (x + 2y)2;Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũngb) (x - 3y)(x + 3y);12c) (5 - x)2.Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 2016d) (x - 1)2;CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM1f) (x - )2.2e) (3 - y)2Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:a) x2 + 6x + 9;b) x2 + x +1;4c) 2xy2 + x2y4 + 1.Bài 3. Rút gọn biểu thức:a) (x + y)2 + (x - y)2;b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z).Bài 4. ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau;a) (y - 3)(y + 3);b) (m + n)(m2 - mn + n2);c) (2 - a)(4 + 2a + a2);d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3;f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);Bài 5. Hãy mở các dấu ngoặc sau:a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m)b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b);d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).Bài 6. Tính giá trị biểu thức:a) x2 - y2 tại x = 87với y = 13;32b) x - 3x + 3x - 1Với x = 101;32c) x + 9x + 27x + 27với x = 97;2d) 25x - 30x + 9với x = 2;2e) 4x - 28x + 49với x = 4.Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng:a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy)với x = - 5, y = -3;3322b) a + b - (a - 2ab + b )(a - b)với a = -4, b = 4.Bài 8. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau:a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1).Bài 9. Tìm x, biết:a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9;b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36;d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau:a) 192; 282; 812; 912;b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;222222c) 29 - 8 ; 56 - 46 ; 67 - 56 ;Bài 11. Chứng mih các hằng đẳng thức sau:a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab;b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2;c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2].Các bài toán nâng caoBài 12. Hãy viết các biểu thức dưới dạng tổng của ba bình phưong:(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2.Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng13Gmail: TOÁN 8 HÈ 2015- 2016CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM222Bài 13. Cho (a + b) = 2(a + b ). Chứng minh rằng a = b.Bài 14. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b =c.Bài 15. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chứng minh rằng a = b = c.Bài 16. cho a + b + c = 0. Chứng minh đẳng thức:a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2);b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;444c) a + b + c =(a2+ b2 + c22)2;Bài 17. Cho a + b + c = 0(1)222a +b +c =2(2)444Tính a + b + c .Bài 18. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị củabiến.a) 9x2 - 6x +2;b) x2 + x + 1;c) 2x2 + 2x + 1.Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:a) A = x2 - 3x + 5;b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2;Bài 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:a) A = 4 - x2 + 2x;b) B = 4x - x2;Bài 21. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3.Bài 22. Cho x + y = a; xy = b.Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b:a) x2 + y2;b) x3 + y3;c) x4 + y4;d) x5 + y5;Bài 24. a) cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy.b) cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy.Bài 25. Cho a + b = 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b).Bài 26. Rút gọn các biểu thức sau:a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2;b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1);c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2;d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a).Bài 28. Chứng minh các đẳng thức sau:a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2;b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).Bài 29. Cho a + b + c = 0. chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc.Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng14Gmail:

Tài liệu liên quan

Chuyên đề Các HĐT đáng nhớ.doc
- 3
- 561
- 5
Hệ thống bài tập Toán lớp 9 chuyên đề Các hằng đẳng thức đáng nhớ, Phân tích đa thức thành nhân tử
- 15
- 1
- 7
tiểu chuyên đề:Những Hằng Đẳng Thức
- 4
- 382
- 3
Skkn 7 hang dang thuc dang nho
- 18
- 471
- 1
Chuyên đề 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
- 14
- 6
- 128
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 6 bất đẳng thức và giá trị lớn nhất nhỏ nhất lê hoành phò file word
- 38
- 239
- 0
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 6 bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lê hoành phò file word
- 38
- 250
- 2
Toán 8 Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ
- 10
- 320
- 0
Chuyên đề: Những hằng đẳng thức đáng nhớ HSG toan 8
- 14
- 559
- 0
Chuyên đề 1 hằng đẳng thức
- 37
- 294
- 1