CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: SỐ CHÍNH PHƯƠNG - Tài Liệu Text

Tải bản đầy đủ (.doc) (16 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Lớp 6
>>
3. Toán học

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (141.48 KB, 16 trang )

CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNGA/ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNGSố chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên (chẳng hạn: 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ;144 ; …).I/ PHƯƠNG PHÁP 1: Nhìn chữ số tận cùng.1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phảicó chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9.Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn khôngphải là số chính phương. Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa: Nếu số chính phương chia hết cho sốnguyên tố p thì phải chia hết cho p2.Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu:+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ;+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ;+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ;+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ;+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ.2. BÀI TẬP VẬN DỤNG.Bài 1: Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính phương.HD:Vì chữ số tận cùng của các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1.Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.Bài 2: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.HD:Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì haichữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.Chú ý: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4(vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương.Bài 3: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.HD:Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng cácchữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương.Bài 4: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương:16a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn)b) N = 20042004k + 2003Gợi ý: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ;5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau:Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng: p8n +3.p4n - 4 chia hết cho 5.Gợi ý: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán:Bài 6: Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7n + 2 không thể là số chính phương.HD:Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}).Ta có 74 - 1 = 2400 M100. Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2.Vậy hai chữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7 r + 2 (r = 0, 2, 3) nên chỉ cóthể là 03, 51, 45.Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4.Bài 7: Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chính phương.HD:- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhưng không chia hết cho 25 (vìhai chữ số tận cùng bằng 90).- Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.Chú ý: Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tậncùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phương.Bài 8: Chứng minh rằng xnếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.HD:Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9. Nên số cótổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Do đó số này không phải là số chínhphương.Bài 9: Tổng sau có là số chính phương hay không A = 3 + 32 + 33 + …+ 320HD:Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. A chia hết cho 3, nhưng chia 9 dư 3 , dođó A không là số chính phương.Bài 10: Chứng minh tổng sau không là số chính phương: B = 11 + 112 + 113HD:B tận cùng bằng 3 nên không là số chính phươngBài 11: Chứng minh 1010 + 5 không là số chính phương16HD:1010 + 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương.Bài 12: Chứng minh 10100 + 1050 +1 không là số chính phươngHD:10100 + 1050 + 1 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương.Bài 13: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phươnga) ababb) abcabcc) abababHD:Giả sử các số trên đều là số chính phương. Ta cóa) n 2 = abab = ab.102 + ab = 101ab ⇒ ab M101 (vô lí )b) n 2 = abcabc = abc.103 + abc = 1001abc = 3.11.13.abcVì 3, 11, 13 là số nguyên tố nên abcM1001 (vô lí )c) n 2 = ababab = ab.10 4 + ab.102 + ab = 10101ab = ab3.7.13.37Vì 3, 7, 13, 37 là số nguyên tố nên abM10101 (vô lí)Vậy các số trên đều không phải là số chính phương.Bài 14: Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 233 . Hỏi A có là số chính phương không? Vì sao?HD:234530313233Ta có A = 1 + 2 + ( 2 + 2 + 2 + 2 ) + ... + ( 2 + 2 + 2 + 2 )= 3 + 22. ( 1 + 2 + 22 + 23 ) + ... + 230. ( 1 + 2 + 2 2 + 23 )= 3 + 2.30 + ... + 2 29.30 = 3 + ( 2 + ... + 2 29 ) .3.10 .Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3.Mà số chính phương không có chữ số tận cùng là 3. Do đó, A không là số chính phương.Vậy A không là số chính phương.Bài 15: Cho A = 102012 + 102011 + 102010 + 10 2009 + 8 . Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.HD:Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0Nên A = 102012 + 102011 + 102010 + 10 2009 + 8 có chữ số tận cùng là 8Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ;916Bài 16: Chứng minh rằng tổng sau: P = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 361 + 362 không là số chính phương.HD:P = (1 + 3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + ... + (356 + 357 + 358 + 359) + 360 + 361 + 362= (40 + 34. 40 + ... + 356. 40) + 360 + 361 + 362.- Các số hạng trong ngoặc đều có tận cùng là 0.- Số 360 = (32)30 = 930 => chữ số tận cùng là 1.- Số 361 = 3.360 => có chữ số tận cùng là 3.- Số 362 = 9.360 => có chữ số tận cùng là 9.Vậy tổng P có chữ số tận cùng là 3 => P không là số chính phương.Bài 17: Cho A= 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2 2010 + 2 2011 . Hỏi số A + 8 có phải là số chính phương không?HD:Tính được A + 8 = 22012 − 1 + 8 = 2 4.503 + 7 = ....6 + 7 = ....3Vì SCP không có tận cùng bằng 3, nên A+8 không phải là SCP.II/ PHƯƠNG PHÁP 2: Dùng tính chất của số dưMột số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư 0 hoặc 1Bài 18: Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương.HD:* Phân tích:- Khi nói đến tổng các chữ số thì chúng ta nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9. Nhưng bài toán này“không giống” như bài toán 3.- Với bài toán này mặc dù chúng ta vẫn nghĩ tới chia cho 3 nhưng không chia hết cho 9, do đó chúng taphải dựa vào số dư của phép chia cho 3 “số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1” (tự chứngminh)Giải chi tiết:- Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là sốchính phương.Bài 19: Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương.Bài 20: Chứng minh số: n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là số chính phương.Bài 21: Chứng minh số: n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số chính phương.Phân tíchNếu xét n chia cho 3 thì số dư là 1=> không “bắt chước” được cách giải của các bài toán 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nếu xét chữ số tận cùng thì chữ sốtận cùng của n là 9 nên không làm “tương tự” được như các bài toán 1 ; 2.16=> Do đó chúng ta cần kiểm tra số dư của phép chia n cho 4 vì “Một số chính phương khi chia cho 4sẽ cho số dư 0 hoặc 1” (các em tự chứng minh).HD:Vì số này chia cho 4 dư 3 nên số này không là số chính phương.Bài 22: Giả sử N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1không có số nào là số chính phương.HD:a) Ta có 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1Có 2N M3 => 2N – 3 ⋮ 3 => 2N – 3 = 3k => 2N - 1 = 3k + 2 (k ∈ N)=> 2N – 1 chia cho 3 dư 2=> 2N - 1 không là số chính phương.b) 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N chẵn.Ta có N lẻ (vì N là tích các số tự nhiên lẻ) => N không chia hết cho 2=> Mặc dù 2N M2 nhưng 2N không chia hết cho 4.=> 2N không là số chính phương.c) 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 12N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 42N không chia hết cho 4 nên 2N + 1 không chia cho 4 dư 1.=> 2N + 1 không là số chính phương.Bài 23: Chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là cácsố chính phương.HD:Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (trong đó có 2 là số nguyên tố chẵn, còn lại tất cả là các sốnguyên tố lẻ) => pM2 và p không thể chia hết cho 4 (1)a) Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m2 ( m ∈ N).Vì p chẵn nên p + 1 lẻ => m2 lẻ => m lẻ.Đặt m = 2k + 1 (k ∈ N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 => p + 1 = 4k2 + 4k + 1=> p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) M4 mâu thuẫn với (1).=> p + 1 không phải là số chính phương.b) p = 2.3.5... là số chia hết cho 3 => p – 3 ⋮ 3 => p – 3 = 3k => p - 1 = 3k + 2.=> p – 1 chia cho 3 dư 2 => p - 1 không là số chính phương.Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính phương.Bài 24: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương.HD:16a và b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m ∈ N).=> a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1= 4 (k2 + k + m2 + m) + 2=> a2 + b2 chia cho 4 dư 2=> a2 + b2 không thể là số chính phương.III/ PHƯƠNG PHÁP 3: “Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp”Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 thì k không là số chính phương.Bài 25: Chứng minh số 4014025 không là số chính phương.Phân tíchSố này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Nên các cách làm trước đềukhông vận dụng được. => cần giải theo một hướng khác (dùng phương pháp 3).HD:Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042. Chứng tỏ 4014025 không là sốchính phương.Bài 26: Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0.Nhận xétĐây là biểu thức khá quen thuộc, nhận thấy A + 1 là số chính phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp8). Các em lớp 6, lớp 7 cũng có thể chịu khó đọc lời giải.HD:Ta có:A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2.Mặt khác: (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A.Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1.Chứng tỏ: (n2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2.=> A không là số chính phương.Bài 27: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n ∈ N và n >1 không phải là số chính phương.HD:n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]= n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)Với n ∈ N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 => n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương.Bài 28: Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chính phương.16Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4.Bài 29: Chứng minh rằng: Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương.Gợi ý: Nghĩ tới phép chia cho 4.Bài 30: Chứng minh rằng số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính phương.Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho … một chục (?)B/ CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNGI/ PHƯƠNG PHÁP 1: Dựa vào định nghĩa.“số chính phương là bình phương của một số tự nhiên”:Bài 31: Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.HD:Ta có: an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiênTheo định nghĩa, an là số chính phương.Bài 32: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứngminh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.HD:Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ.Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1,3,5,7,9=> Tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.II/ PHƯƠNG PHÁP 2: Dựa vào tính chất đặc biệt.“Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều làcác số chính phương”.Bài 33: Chứng minh rằng: Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m 2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1đều là số chính phương.HD:Ta có: 3m2 + m = 4n2 + n  4(m2 - n2) + (m - n) = m2 (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 là số chính phương (*)Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m+ 1 chia hết cho d.Mặt khác, từ (*) ta có: m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d.Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các sốchính phương.16III/ PHƯƠNG PHÁP 3: VẬN DỤNG CÁCH BIỄU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ THẬP PHÂN.N = an an −1 ...a1 a0 = 10n an + 10n −1 an −1 + ... + 10a1 + a0Đặc biệt : a.a...a = a 11...1{ =n so 1aa(99...9)= (10 n − 1){9 n so 99Công thức bổ trợ:A2 + 2AB + B2 = (A + B)2A2 – B2 = (A – B).(A + B)A2 - 2AB + B2 = (A - B)214 2 43 14 2 43 + 1Bài 34: Chứng minh rằng số sau là một số chính phương N = 11111...1.10000...051995 so 1HD:Ta có :101995 − 1N =101995 + 5 ) + 1(9199510− 1) ( 101995 + 5 ) + 9(=9( 10 )=19952+ 4.101995 + 492 101995 + 2 =÷32 101995 − 1=+ 1÷323=  ( 101995 − 1) + 1 = 33333...3421424391994 so 3Vậy số N là một số chính phương*14 2 43 , B = 11111...11 44 2 4 43 , c = 666...614 2 43 .Bài 35: Cho m ∈ N , A = 11111....12m so 1m+1 so 1m so 6Chứng minh rằng A + B + C + 8 là một số chính phương với ∀m ∈ N *HD:Ta có :161994 so 01102 m − 1)(91B = ( 10m +1 − 1)91C = ( 10m − 1)9A=Vậy A + B + C =1 2m(9 10 − 1) + 19 ( 10m+1 − 1) + 96 ( 10m − 1) + 8=1 2m10 − 1 + 10.10m − 1 + 6.10 m − 6 + 72 )(9=1( 102m + 16.10m + 64 )9=21 m10 + 8 )(91=  ( 10m + 8 ) 92Là một số chính phương123 123Bài 36: Chứng minh rằng A = 244999...91000...09là số chính phươngn − 2 so 9n so 0HD:Ta có:A = 244999...91000...09123 123n − 2 so 9= 244.102n= 244.102nn so 0n+2+ 999...9.10+ 10 n +1 + 9123n − 2 so 9+ ( 10 n −2 − 1) 10n +2 + 10n +1 + 9= 244.10 2 n − 90.10 n + 9= ( 5.10n − 3 )2(5.10n – 3)2 là bình phương của một số tự nhiên .Vậy A là số chính phươngBài 37: Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n thìA = (10n + 10n-1 + …+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + 1Là số chính phương nhưng không thể là lập phương của một số tự nhiên đượcHD:Đặt B = 10n+1 ta có1610n +1 − 1B −1A=10n +1 + 5 ) + 1 =( B + 5) + 1(10 − 19B2 + 4B + 4 ( B + 2)2⇒A=== ( 3.3.3...34 )2932(1)2Ta có A = ( 3.3.3...34 )2= 2 . 1666...61 2 3 7÷ n −1 so 6 2(2)Từ (1) ta thấy A là một số chính phương nhưng từ (2) ta lại thấy A chia hết cho 4 mà không chia hết cho8 nên A không thể là lập phương của một số tự nhiên được.C/ TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC ĐÃ CHO LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNGCông thức nâng cao dùng để khai triển:A2 – B2 = (A – B).(A + B)A2 + 2A + 1 = (A + 1)2A2 - 2A + 1 = (A - 1)2A2 + 2AB + B2 = (A + B)2A2 - 2AB + B2 = (A - B)2Bài 38: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phươnga) n2 + 2n + 12b) n(n + 3)c) 13n + 3d) n2 + n + 1589HD:a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k ∈ N)⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n + 1)2 = 11 ⇔ (k + n + 1)(k – n - 1) = 11Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương.=> Ta có thể viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 ⇔ k + n + 1 = 11 k = 6=> k − n − 1 = 1n = 4b) đặt n(n + 3) = a2 (n ∈ N) ⇒ n2 + 3n = a2 ⇔ 4n2 + 12n = 4a2⇔ (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2⇔ (2n + 3)2 – 4a2 = 9⇔ (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương 2n + 2a + 3 = 9n = 1⇔=>  2n − 2a + 3 = 1a = 2Ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1c) Đặt 13n + 3 = y2 (y ∈ N) ⇒ 13(n - 1) = y2 – 1616⇔ 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)⇒ (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13⇒ y = 13k ± 4 (với k ∈ N)⇒ 13(n - 1) = (13k ± 4)2 – 16 = 13k.(13k ± 8)⇒ 13k2 ± 8k + 1Vậy n = 13k2 ± 8k + 1 (với k ∈ N) thì 13n + 3 là số chính phươngd) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m ∈ N)⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2⇔ (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ=> Ta có thể viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28Bài 39: Tìm a để các số sau là những số chính phươnga) a2 + a + 43b) a2 + 81c) a2 + 31a + 1984HD:a) 2; 42; 13b) 0; 12; 40c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728Bài 40: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương.HD:Giả sử 2010 + n2 là số chính phương thì 2010 + n2 = m2 (m ∈ N )Từ đó suy ra m2 - n2 = 2010 ⇔ (m + n) (m – n) = 2010Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)Từ (1) và (2) ⇒ m + n và m – n là 2 số chẵn.⇒ (m + n) (m – n)  4 nhưng 2006 không chia hết cho 4⇒ Điều giả sử sai.Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.Bài 41: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương.(Đề thi HSG lớp 6 - Phòng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc)HD:Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phươngVới n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương16Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 là số chính phươngVới n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó1! + 2! + 3! + … n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương.Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3.Bài 42: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.HD:Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n + 1 ≤ 199.Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng12; 24; 40; 60; 84Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.Vậy n = 40Bài 43: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phươngHD:Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a ∈ N) thì2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48)2p. 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q ∈ N ; p + q = n và p > q⇒ a + 48 = 2p và a – 48 = 2q⇒ 2p - 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q – 1) = 25.3⇒ q = 5 và p – q = 2 ⇒ p = 7⇒ n = 5 + 7 = 12Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802Bài 44: Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) sao cho ab − ba là số chính phương.HD:ab − ba = ( 10a + b ) − ( 10b + a ) = 9a − 9b = 9 ( a − b ) = 32 ( a − b )Do ab − ab là số chính phương nên a-b là số chính phương.Ta thấy 1 ≤ a − b ≤ 8 nên a-b ∈ {1;4}Với a - b = 1 thì ab ∈ { 21;32;43;54;65;76;87;98} loại các số là hợp số 21;32;54;65;76;87;98. Còn 43 là sốnguyên tố.Với a - b = 4 Thì ab ∈ { 51;62;73;84;95} loại các hợp số 51; 62; 84; 95. Còn 73 là số nguyên tố.Vậy ab = 43;73D/ TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG VÀ BÀI TOÁN TÌM SỐ LIÊN QUAN.16Bài 45: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được sốchính phương B. Hãy tìm các số A và B.HD:Gọi A = abcd = k 2 . Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có sốB = (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = m 2 với k, m ∈ N và 32 < k < m < 100 ; a, b, c, d = 1; 9⇒ Ta có: A = abcd = k 2B = abcd + 1111 = m 2 . Đúng khi cộng không có nhớ⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m - k)(m + k) = 1111(*)Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101Do đó: m – k = 11 và m + k = 101⇔ m = 56 và n = 45⇔ A = 2025 và B = 3136Bài 46: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.HD:Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9Ta có: n2 = aabb = 11. a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b)(1)Nhận xét thấy aabb  11 ⇒ a + b  11Mà 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + b = 11Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phươngBằng phép thử với a = 1; 2;…; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn ⇒ b = 4Số cần tìm là: 7744Bài 47: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.HD:Gọi số chính phương đó là abcd .Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 với x, y ∈ NVì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương.Ta có : 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương⇒ y = 16 ⇒ abcd = 4096Bài 48: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số abcd = k2 sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, số k có tổngcác chữ số là một số chính phương.HD:16Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b, c, d ≤ 9abcd chính phương ⇒ d ∈ { 0,1, 4, 5, 6, 9}d nguyên tố ⇒ d = 5Có số chính phương abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5 ⇒ k tận cùng bằng 5Tổng các chữ số của k là một số chính phương ⇒ k = 45⇒ abcd = 2025Vậy số phải tìm là: 2025Bài 49: Tìm một số chính phương có 4 chử số sao cho khi viết 4 chử số đó theo thứ tự ngược lại ta củng đượcmột số chính phương và số chính phương này là bội số của số chính phương cần tìm.HD:Đặt số phải tìm là abcd = M 2 thì 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50Ta lại có dcba = N 2 . Tính tổng và hiệu hai số chính phương này ta đượcabcd + dcba = 1001( a + d ) + 110 ( b + c ) M11abcd − dcba = 999 ( d − a ) + 90 ( c − b ) MVì dcba là bội của abcd=> abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho 3 tức là bội số của 33Mà 31 < M < 50 nên M = 33 và ta cóabcd = 332 = 1089, dcba = 9801 = 992Bài 50: Tìm số chính phương abcd biết rằng ab − cd = 1HD:()Giả sử n 2 = abcd = 100ab + cd = 100 cd + 1 + cd = 101cd + 10022Suy ra : 101cd = n − 10 = ( n − 10 ) ( n + 10 )Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy ra n = 91Thử lại abcd = 912 = 8281 có 82 – 81 =1Vậy số cần tìm là 8281Bài 51: Tìm số chính phương có 4 chữ số mà hai chử số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhauHD:Giả sử xxyy là một số chính phương ta có:11xxyy = 1000 x + 100 x + 10 y + y = 1100 x + 11 y = 11( 100 x + y ) M16Do121 ⇒ 100 x + y M11 ⇒ x + y M11 ( vi 99xM11)xxyy là số chính phương nên xxyy M2Do 0 < x + y ≤ 11 nên x + y = 11; xxyy = 11( 100 x + y ) = 11( 99 x + 11) = 11 ( 9 x + 1)Suy ra 9x + 1 là số chính phương suy ra x = 7, y = 4Vậy số cần tìm là 7744.Bài 52: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bở hai chữ số của sốđó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phươngHD:Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm là ab (a, b ∈ N, 1 ≤ a, b ≤ 9)Số viết theo thứ tự ngược lại baTa có ab 2 - ba 2 = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2)  11 ⇒ a2 – b2  11Hay (a - b) (a + b)  11Vì 0 < a – b ≤ 8, 2 ≤ a + b ≤ 18 nên a + b  11 ⇒ a + b = 11Khi đó: ab 2 - ba 2= 32 . 112 . (a – b)Để ab 2 - ba 2 là số chính phương thì a – b phải là số chính phương do đó a – b = 1 hoặc a – b = 4Nếu a – b = 1 kết hợp với a + b = 11 ⇒ a = 6, b = 5 , ab = 65Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332Nếu a – b = 4 kết hợp với a + b = 11 ⇒ a = 7,5 loạiVậy số phải tìm là 65Bài 53: Tìm một số chính phương có 4 chử số sao cho khi viết 4 chử số đó theo thứ tự ngược lại ta củng đượcmột số chính phương và số chính phương này là bội số của số chính phương cần tìm.HD:Đặt số phải tìm là abcd = M 2 thì 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50Ta lại có dcba = N 2 . Tính tổng và hiệu hai số chính phương này ta đượcabcd + dcba = 1001( a + d ) + 110 ( b + c ) M11abcd − dcba = 999 ( d − a ) + 90 ( c − b ) M3Vì dcba là bội của abcd nên abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho 3 tức là bội số của33 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 và ta có: abcd = 332 = 1089, dcba = 9801 = 992Bài 54: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chínhphương. Tìm số chính phương ban đầu.Đáp số: 1156Bài 55: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.16HD:Gọi số phải tìm là ab với a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 92Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3⇒ ab là một lập phương và a + b là một số chính phươngĐặt ab = t3 (t ∈ N), a + b = 12 (1 ∈ N)Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 hoặc ab = 64Nếu ab = 27 ⇒ a + b = 9 là số chính phươngNếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 không là số chính phương ⇒ loạiVậy số cần tìm là ab = 2716

Tài liệu liên quan

• Đại Số 8 - Chuyển Font Times New Roman
  • 120
  • 488
  • 4
• Chuyên đề bồi dưỡng HSG Đại số 8
  • 16
  • 776
  • 10
• Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn toán
  • 108
  • 1
  • 2
• chuyen de boi duong HSG dai so
  • 13
  • 374
  • 1
• Kinh nghiệm bồi dưỡng một số kỹ năng biện luận tìm công thức hóa học
  • 23
  • 1
  • 2
• Công Nghệ 10- Chuyển Font Times New Roman
  • 16
  • 343
  • 0
• Chuyên đề bồi dưỡng HSG Số học
  • 20
  • 490
  • 3
• Một số chuyên đề Toán học chọn lọc bồi dưỡng HSG
  • 174
  • 716
  • 0
• SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG MỘT SỐ KỸ NĂNG BIỆN LUẬN TÌM CÔNG THỨC HOÁ HỌC CHO HỌC SINH GIỎI
  • 21
  • 677
  • 0
• CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG HÓA HỌC TỰ LUẬN TRẮC NGHIỆM 10 CAO THIÊN AN, NGUYỄN KHOA PHƯỢNG
  • 223
  • 725
  • 4

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(722.5 KB - 16 trang) - CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Tải bản đầy đủ ngay ×