Chuyên đề : Các Bài Toán Cực Trị Hình Học 8 - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.doc) (11 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Tư liệu khác

Chuyên đề : Các bài toán Cực trị Hình học 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (166.81 KB, 11 trang )

Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC LỚP 8I.TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC LÀ GÌ?Đó là những bài toán có dạng sau:Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học y (độ dài của mộtđoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của mộthình, diện tích của một hình v.v...) sao cho:y1 ≤ y ≤ y2Trong đó y1, y2 là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của y, đồng thời phải chỉrõ vị trí hình học của y (hoặc hình có chứa y) để tại đó y đạt giá trị cực tiểu y = y1hoặc cực đại y = y2.II. ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌCCăn cứ vào đầu bài, người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo ba cáchsau đây:• Cách 1:Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiệncủa đại lượng đó bằng các điều kiện tương đương (có khi phải chọn một đại lượngnào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượngkhác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng có thểdo ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn số theocác đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thứcvừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm từ đó suy ravị trí của hình để đạt cực trị).Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: "Tìm một hình nàođó thỏa mãn các điều kiện cực trị của bài toán"* Các ví dụ:Ví dụ 1: Trong tam giác có cùng đáy và cùngdiện tích, tam giác nào có chu vi nhỏ nhất?Giải (h.1)Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và cócùng diện tích là S. Gọi AH là đường caotương ứng với đáy BC. Ta có:aS2AHBC.AH21S=⇒= (không đổi)Vậy đỉnh A di động trên đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng bằng aS2.Ta cần xác định vị trí của A trên xy để chu vi ∆ABC có giá trị nhỏ nhất.1B'yCBAox(h.1)AHGiáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Chu vi ∆ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a, vì a không đổi nên chu vi ∆ABCnhỏ nhất khi và chỉ khi AB + AC nhỏ nhất.Gọi B' là điểm đối xứng của B qua x, y; B'C cắt xy tại Ao. Xét ∆AB'C ta có:AB' + AC ≥ B'C (1)Thay AB' = AB; AoB' = AoB vào (1)AB + AC ≥ AoB + AoC (2)(2) có dấu "=" khi và chỉ khi B', A, C thẳng hàng. Khi đó A ≡ Ao. Vì AoB = AoB' =AoC nên ∆AoBC cân tại Ao.Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏnhất.Ví dụ 2: Cho ∆ABC có các góc B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Xét cáchình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác có M ∈ AB; N ∈ AC; P, Q ∈ BC. Xácđịnh vị trí của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất.Giải: Vị trí của hình chữ nhật MNPQ sẽ được hoàn toàn xác định nếu ta xác định được vịtrí của MN.Đặt MQ = x; MN = y ⇒ AK = h - x ∆AMN ∆ABC⇒ AHAKBCMN= h)xh(ayhxhay−=⇒−= Gọi S là diện tích hình chữ nhật MNPQ thì:S = xy = ha x (h - x) (*) (h2)S = ha(hx - x2) = ha(hx - x2 + )4h4h22−= ha+−−)4h2h.x2x(4h222= ha−−22)2hx(4h = 4ah)2hx(ha4ah2≤−− dấu "=" xảy ra khi x - 2hx02h=⇔= khi đó K là trung điểm của AH hay MN làđường trung bình của ∆ABC.Vậy max S = 2hx4ah=⇔Chú ý: Ta có thể giải cách khác bằng cách áp dụng hệ quả của bất đẳng thứcCauchy. Từ (*) ta nhận thấy: a, h đều là các hằng số dương nên S lớn nhất khi và chỉkhi x(h - x) lớn nhất. Do x > 0, x < h ⇒ h - x > 0; hai số dương x và h - x có tổng làh không đổi nên tích x(h - x) sẽ lớn nhất khi và chỉ khi: x = h - x ⇔ x = 2h.• Cách 2:2SMANPCHQKyBxhHAxEa - xBa - yFyCGD(h.4)Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếutố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưara.Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đãđược nói rõ trong đầu bài.Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tamgiác cân có chu vi nhỏ nhất.Giải:Đây là bài toán ta đã đề cập trong ví dụ 1, nhưng ở đây đầu bài đã nói rõ hình taphải chứng minh là một tam giác cân, nên ta đưa ra một tam giác cân AoBC (h.1),rồi xét một tam giác không cân ABC có cùng đáy BC, đỉnh A chạy trên đường thẳngxy // BC, ta chỉ việc chứng minh chu vi ∆ABC ≥ chu vi ∆AoBC tức là AB + AC ≥AoB + AoC như đã trình bày trong cách giải của ví dụ 1.• Cách 3:Thay việc tìm cực đại của một đại lượng này bằng việc tìm cực tiểu của một đạilượng khác hoặc ngược lại.Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Xét các hình thang có 4 đỉnh ở trên 4 cạnhcủa hình vuông và hai đáy song song với một đường chéo của hình vuông. Tìm hìnhthang có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất ấy.Giải: Gọi EFGH là hình thang có các đỉnhnằm trên các cạnh hình vuông và haiđáy FG; EH song song với đường chéoBD của hình vuông.Đặt AE = x ⇒ EB = a - x CF = y ⇒ FB = a - yDễ thấy ∆DHG = ∆BEF(c-g-c)Các tam giác EAH, FCG vuông cân tạiA và CGọi S là hiệu của diện tích hình vuông và diện tích hình thang EFGH thì:S = SAEH + SCFG + SBEF+ SDHG= SAEH + SCFG + 2SBEF= BE.BFFC21AE2122++ = )ya)(xa(2y2x22−−++= 2a2)yx(a2xy2yx222++−++ = [ ]22a2)yx(a2)yx(21++−+= [ ]22a)ayx(21+−+SEFGH lớn nhất khi và chỉ khi S lấy giá trị nhỏ nhất. 3Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Điều này xảy ra khi x + y - a = 0 ⇔ x + y = a ⇒ x = a - y hay AE = BF; khi đó cácđường chéo EG và HF song song với các cạnh của hình vuông và diện tích lớn nhấtcủa hình thang phải tìm là 2a2.* Chú ý quan trọng:1. Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng A, ta chia A thành tổng của nhiềuđại lượng khác: A = B + C + ... rồi đi tìm cực trị của B và C... từ đó suy ra cực trịcủa A, ta cần chứng minh: Khi B đạt cực trị thì C cũng đồng thời đạt cực trị vàngược lại.Ví dụ 5: Qua đỉnh A của tam giác ABC, dựng đường thẳng d sao cho tổng khoảngcách từ các đỉnh B và C tới d là lớn nhất.(Thi vô địch toán cấp II, CHLB Nga)Giải:Ta xét hai trường hợp:Trường hợp I (h.6): d cắt cạnh BC tại EGọi BB' và CC' là các khoảng cách từ các đỉnhB và C tới d. Hai tam giác ABE và ACE cóchung đáy AE và các đường cao tương ứng vớiđáy đó là BB' và CC'. Ta có:SABC = SABE + SACE = AES2'CC'BB'CC.AE21'BB.AE21ABC=+⇒+Ta thấy BB' + CC' nhận giá trị lớn nhất khi AE nhận giá trị nhỏ nhất, khi đó AE làđường cao kẻ từ đỉnh A của ∆ABC, tức là d ⊥ BC. Nếu gọi AH là độ dài đường caokẻ từ đỉnh A thì min (AE) = AH, do đó:BCAH)BC.AH21(2'CC'BB==+ (1)Trường hợp II (h.7): Đường thẳng d không cắt BC Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ MM' ⊥ d. Tứgiác BB'C'C là hình thang nhận MM' làm đườngtrung bình nên: BB' + CC' = 2MM'mà MM' ≤ AM (đường vuông góc và đường xiên kẻ từ M tới d) do đó BB' + CC' lớn nhất khiM' ≡ A lúc đó BB' + CC' = 2AM và d ⊥ AM tại A (2)Như vậy, ứng với 2 trường hợp ta được 2 kết quả (1) và (2), do đó ta hãy so sánhBC với 2AM.1. Nếu ∧A< 900 (h.8)4B EC'dCB'A(h.6)AB'BMCdC'M'//(h.7)//Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Kéo dài AM một đoạn MN = MA. Tứ giác ABNC là hình bình hành vì có hai đườngchéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra AB=CN; ∧∧−=A180ACN0mà 0090ACN90A>⇒<∧∧hay ∧∧>CABACNXét hai tam giác BAC và NCA chúng có:AB = CN, AC chung, ∧∧>CABACN nên cạnh đốidiện với góc CAB nhỏ hơn cạnh đối diện với gócACN : BC < AN hay BC < 2AM.2. Nếu 090A=∧: Tứ giác ABNC là hình bình hành có một góc vuông nên là hìnhchữ nhật nên hai đường chéo BC và AN bằng nhau hay BC = 2AM.3. Nếu 090A>∧: Chứng minh tương tự ta được: BC > 2AMTừ kết quả trên ta suy ra:- Nếu tam giác ABC cho trước có 090A<∧ thì đường thẳng d đi qua A phải dựng làđường thẳng vuông góc với trung tuyến AM của ∆ABC.- Nếu 090A=∧ bài toán có hai lời giải: Dựng đường thẳng d qua A và vuông gócvới AM hoặc d' qua A và vuông góc với BC.- Nếu 090A>∧: Đường thẳng d qua A và vuông góc với BC.III. CÁCH VẬN DỤNG CÁC KIẾN THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ1. BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BCVí dụ 1: Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng cóbờ là xy.a. Tìm điểm M thuộc xy sao cho MA + MB là nhỏ nhấtb. Tìm điểm N thuộc xy sao cho NBNA− là lớn nhất.Giải:a. (Hình 1). Gọi A' là điểm đối xứng của A quaxy thì Á hoàn toàn xác định.Xét tổng MA + MB = MA' + MBNối A' với B và áp dụng bất đẳng thức tamgiác cho 3 điểm A', M, B ta có:MA' + MB ≥ A'B dấu "=" xảy ra khi M ∈ A'B khi đó M ≡ Mo Vậy min (MA + MB) = A'B ⇔ M ≡ Mo 5yBNAxNo(h.2)(h.8)ABCNBAMMoA'x y(h.1)

Tài liệu liên quan

Cách giải ,các bài toán,cực trị, cho học sinh
- 14
- 5
- 7
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
- 5
- 1
- 9
Chuyên đề : Các bài toán Cực trị Hình học 8
- 11
- 18
- 258
Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9 trung học cơ sở
- 25
- 2
- 3
Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ không gian
- 14
- 19
- 20
Rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải quyết một số bài toán cực trị hình học
- 15
- 1
- 2
skkn tìm hiểu bài toán cức trị hình học giải tích trong mặt phẳng oxy
- 34
- 1
- 0
ứng dụng số phức trong các bài tóan cực trị hình học
- 11
- 991
- 1
Ứng dụng tâm tỉ cự giải bài toán cực trị hình học
- 10
- 1
- 11
Bài toán cực trị hình học trong không gian
- 20
- 633
- 10