CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA Potx - 123doc

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA 1.. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.. + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số lớn hơn 1 th

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA

1 Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn

+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn

2 Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân

(a<b thì a.c<b.c với c>0)

Ví dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn hơn

Hướng dẫn:

Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa 3210 và 1615

về luỹ thừa cùng cơ số 2

3210 = (25)10 = 250

1615 = (24)15 = 260

Vì 250 < 260 suy ra 3210 < 1615

Bài tập 1: So sánh:

Bài 1: So sánh các số sau?

a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n  N* )

Hướng dẫn:

a) Đưa về cùng cơ số 3 b) Đưa về cùng cơ số 5

c) Đưa về cùng số mũ 12 d) Đưa về cùng số mũ n

Bài 2: a) 523 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 2115 và 275.498

Hướng dẫn:

a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522

b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213

c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3

Bài 3: a) 19920 và 200315

b) 339 và 1121

Hướng dẫn :

a) 19920 < 20020 = (23 52)20 = 260 540

200315 > 200015 = (2.103)15 = (24 53)15 =

260.545

b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121

Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?

72 45-7244và 72 44-7243

Hướng dẫn:

7245-7244=7245(72-1)=7245.71

7244-7244=7244(72-1)=7244.71

Bài 5: 27 và 72

Ta có: 27 = 128 ; 72 = 49

Vì 128 > 49 nên 27 > 72

Bài 6 a) 95 và 273 b) 3200 và 2300 a) Ta có: 95 = (32)5 = 310

273 = (33 )3 = 39

Vì 310 > 39 nên 95 > 273 b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100

2300 = (23) 100 = 8100

Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300

c, 3500 và 7300

3500 = 35.100 = (35)100 = 243100 Nếu m>n thì am>an (a>1)

Nếu a>b thì an>bn ( n>0)

7300 = 73.100 (73 )100 = (343)100

Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300

d, 85 và 3 47 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47

=> 85 < 3 47

e, 202303 và 303202

202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101

Ta so sánh 2023 và 3032

2023 = 23 101 1013 và 3032 =>

3032 < 2023

3032 = 33 1012 = 9.1012

vậy 303202 < 2002303

f, 321 và 231

321 = 3 3 20 = 3 910 ; 231 = 2 230 = 2 810

3 910> 2 810 => 321 > 231

g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660

371320 = (372)660 = 1369660

Vì 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979

Bài 7: So sách các cặp số sau:

a/ A = 275 và B = 2433 Ta có A = 275 = (33)5 = 315

và B = (35)3 = 315 Vậy A = B

b/ A = 2 300 và B = 3200

A = 2 300 = 33.100 = 8100 và B = 3200 = 32.100 = 9100

Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B

Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau:

3111 và 1714

Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1)

1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)

Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714

nên 3111 < 1714

Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn

a) 30

10 và 100

2 b) 444

333 và 333

444 c) 40

13 và 161

2 d) 300

5 và 453

3

Bài 2: So sánh các số sau

a) 217

5 và 72

119 b) 100

2 và 9

1024 c) 12

9 và 7

27 d) 80

125 và 118

25 e) 40

5 và 10

620 f) 11

27 và 8

81

Bài 3: So sánh các số sau

a) 36

5 và 24

11 b) 5

625 và 7

125 c) 2

3 n và 3

2 n *

(nN ) d) 23

5 và 22

6.5

Bài 4: So sánh các số sau

a) 13

7.2 và 16

2 b) 15

21 và 5 8

27 49 c) 20

199 và 15

2003 d) 39

3 và 21

11

Bài 5: So sánh các số sau

a) 45 44

72  72 và 44 43

72  72 b) 500

2 và 200

5 c) 11

31 và 14

17 d) 24680

3 và 37020

2 e) 1050

2 và 450

5 g) 2

5 n và

5

2 ; (n )

nN

Bài 6: So sánh các số sau

a) 500

3 và 300

7 b) 5

8 và 7

3.4 c) 20

99 và

10

9999

d) 303

202 và 202

303 e) 21

3 và 31

2 g) 1979

11 và

1320

37

h) 10

10 và 5

48.50 i) 10 9

1990  1990 và 10

1991

Bài 7: So sánh các số sau

a) 50

107 và 75

73 b) 91

2 và 35

5 c) 4

54 và 12

21

Bài 8: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân

Bài giải:

Muốn biết 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh

2100 với 1030

và 1031

* So sánh 2100 với 1030

Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10

1030 = (103)10 = 100010

Vì 102410 > 100010

nên 2100 > 1030 (*)

* So sánh 2100 với 1031

Ta có: 2100 = 231 269 = 231 263 26

= 231 (29)7 (22)3 = 231 .5127 43 (1)

1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53

= 231 6257 53 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

231 5127 43 < 231 5127 53

Hay 2100 < 1031 ( **)

Từ (*),( **) ta có:

1031 < 2100 < 1031

Số có 31 chữ số nhỏ nhất Số có 32 chữ số nhỏ nhất

Nên 2100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân

Bài 10: So sánh A và B biết

a) A =

5 19

5 19

31 30





5 19

5 19

32 31





b)

3 2

3 2

20

18





; B =

3 2

3 2

22 20





c) A = 2 8

9 2

5

5 5 1

5

5 5 1

















; B = 2 8

9 2

3

3 3 1

3

3 3 1

















Bài giải:

A =

5 19

5 19

31

30



 Nên 19A =

5 19

) 5 19 (

19

31 30



 =

5 19

95 19

31 31



 = 1 +

5 19

90

31



B =

5 19

5 19

32

31



 nên 19B =

5 19

) 5 19 (

19

32 31



 =

5 19

95 19

32 32





= 1 +

5 19

90

32



Vì

5 19

90

31

 >

5 19

90

32

Suy ra 1 +

5 19

90

31

 > 1 +

5 19

90

32

 Hay 19A > 19B Nên A > B b) A =

3 2

3 2

20 18



 nên 22 A =

3 2

) 3 2 (

2

22

18 2



 =

3 2

12 2

20 20



 = 1 -

3 2

9

20



B =

3 2

3 2

22 20



 nên 22.B =

3 2

) 3 2 (

2

22

20 2



 =

3 2

12 2

22 22



 = 1-

3 2

9

22



Vì

3 2

9

20

 >

3 2

9

22

 Suy ra 1 -

3 2

9

20

 < 1-

3 2

9

22

 Hay 22 A < 22

B

Nên A < B

c) Ta có:

A = 2 8

9 2

5

5 5 1

5

5 5 1

















=

) 1 ( 5 5 5

5 5 1

1 5

5 5 1

) 5

5 5 1 ( 5 1 5

5

5

1

) 5

5

5

(

1

8 2

8 2

8 2

8 2

9 2



















































Tương tự B = 3 4 ( 2 )

3

3 3 1

1

8







 Từ (1) và (2) Ta có

A = 2 8

5

5 5 1

1







 + 5 > 5 > 4 > 2 8

3

3 3 1

1







 + 3 =B nên A > B

Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + +230

Viết A + 1 dưới dạng một lũy thừa

Bài 4: Tìm x  N biết

a) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2

b) 1 + 3 + 5 + + 99 = (x -2)2

Bài giải:

a) 13 + 23 + 33 + + 103 = (x +1)2

( 1+ 2 + 3+ + 10)2 = ( x +1)2

552 = ( x +1) 2

55 = x +1

x = 55- 1

x = 54

b) 1 + 3 + 5 + + 99 = ( x -2)2

2

1 2

1

99

















= ( x - 2)2

502 = ( x -2 )2

50 = x -2

x = 50 + 2

x = 52

( Ta có: 1 + 3 + 5+ + ( 2n+1) = n2)

Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y  N thoả mãn

73 = x2 - y2

Ta thấy: 73 = x2 - y2

( 13 + 23 + 33 + +73) - (13+ 23+ 33+ + 63) = x2 - y2 (1+ 2 + 3 + + 7)2 - (1 + 2 + 3 + + 6)2 = x2 - y2

282 - 212 = x2 - y2

Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là:

x = 28; y = 21

Bài 2: Tìm x  N* biết

A = 111 1 - 777 7 là số chính phương

2 x chữ số 1 x chữ số 7

Bài giải:

+ Nếu x = 1

Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM)

+ Nếu x > 1

Ta có A = 111 1 - 777 7 = 34 2 2x chữ số 1 x chữ số 7 mà 34 4

Suy ra A không phải là số chính phương ( loại)

Vậy x = 1

c) Dùng tính chất chia hết

Bài 1: Tìm x; y N biết:

35x + 9 = 2 5y

*)Nếu x = 0 ta có:

350 + 9 = 2.5y

10 = 2.5y

5y = 5

y =1

*) Nếu x >0

+ Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50

35x + 9 = 2 ( vô lý)

+ Nếu y > 0 ta thấy:

35x + 9  5 vì ( 35x  5 ; 9  5 )

Mà 2 5y  5 ( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y) Vậy x = 0 và y = 1

Bài 1: Tính tổng

A = 1 + 2 + 22+ + 2100

B = 3 - 32 + 33 - - 3100

Bài giải:

A = 1 + 2 + 22 + + 2 100

=> 2A = 2 + 22 + 23 + + 2101

=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) – (1 +2 + 22+ +2100)

Vậy A = 2101 - 1

B = 3 - 32 - 33 - - 3100

=> 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101

B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101)

4B = 3 - 3101

Vậy B = ( 3- 3101) : 4

Bài 2: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2

2 2  ; 2 3

2 2   2 ; 2 3 4

2 2   2  2 b) Chứng minh rằng: 2 3 2004

2 2 2 2

A      chia hết cho 3; 7 và 15

Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích 4 5 6 7

3  3  3  3 b) Chứng minh rằng: 2 99

1 3 3 3 40

B      M

Bài 4: Chứng minh rằng:

1 5 5 5 5 6;31;156

2 2 2 2 2 31

c) 5 15

3 16 2 33

Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý

2 2 2 2

A      b) 2 100

1 3 3 3

B     

4 4 4 4n

C      d) 2 2000

1 5 5 5

D     

1 2 2 2 2

A       Hãy viết A+1 dưới dạng một luỹ thừa

3 3 3 3

B      CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3

4 2 2 2

C      CMR: C là một luỹ thừa của 2

Bài 9: Chứng minh rằng:

a) 5 4 3

5  5  5 7 M b) 6 5 4

7  7  7 11 M c) 9 8 7

10  10  10 222 M e) 6 7

10  5 59 M g) 2 2 *

3n  2n  3n 2 10nM  n N

h) 7 9 13

81  27  9 M 45 i) 10 9 8

8  8  8 55 M k) 9 8 7

10  10  10 555 M

Bài 10 Tính nhanh

a S = 1 + 2 + 22 + 23 + + 262 + 263

b S = 1 + 3 +32+ 33+ + 320

c S = 1 + 4 + 42 + 43+ + 449

Bài 11 Tính tổng

a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + + 5200

b) B = 7 - 74 + 74 - + 7301

Bài giải:

a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + + 5200

25 A = 52 + 54+ + 5202

25 A - A = 5202 - 1

Vậy A = ( 5202 -1) : 24

b) Tương tự B =

1 7

1 7

3 304





Bài 3: Tính

A =

7

1

+ 2

7

1

+ 3

7

1

+ + 100

7 1

B =

5

4

5

4

- 3

5

4

+ + 200

5 4

Bài giải:

A =

7

1

+ 2

7

1

+ 3

7

1

+ + 100

7 1

7A = 1 +

7

1

+ 2

7

1

+ + 99

7 1

=> 7A - A = 1 - 100

7

1

A = 











 100 7

1

B =

5

4

5

4

- 3

5

4

+ + 200

5 4

5B = -4 +

5

4

+ 3

5

4

+ + 201

5 4

B+5B = -4 + 200

5 4

B = 













 200

5

4

Bài 3: Tính

A =

1 25

25 25 25

1 25

25 25 25

2 26

28 30

4 20

24 28





















Bài giải:

Biến đổi mẫu số ta có:

2530 + 2528 + 2526 + +252 + 1

= (2528 + 2524 + 2520 + +1)+ ( 2530 + 2526 +2522+ +252)

= (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1)

= (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252)

Vậy A = 2

25 1

1

626 1

Bài tập 11: Viết 2100 là một số có bao nhiêu chữ số khi tính giá trị của nó

Bài tập 13: Tìm số tự nhiên abcbiết (a + b + c)3 = abc (a  b  c)

Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên abcd

(a + b + c + d)4 = abcd