CHUYÊN đề ĐỊNH Lý KOENIG TRONG Các Bài TOÁN Cơ Học DẠNG ...

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Trường THPT Chuyên Thái Bình 2 Chuyên đề xếp loại xuất sắc ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN C

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 1

LỜI NÓI ĐẦU

Trong hành trình phát triển của nền giáo dục Việt Nam, hệ thống các trường

THPT chuyên ngày càng khẳng định được vị thế quan trọng của mình trong việc phát

hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng nhân tài, chắp cánh những ước mơ bay cao, bay xa tới

chân trời của tri thức và thành công Đối với các trường THPT chuyên, công tác học

sinh giỏi luôn được đặt lên hàng đầu, là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi năm học Hội

thảo khoa học các trường THPT chuyên Khu vực Duyên Hải và Đồng bằng Bắc Bộ là

một hoạt động bổ ích diễn ra vào tháng 11 thường niên Đây là dịp gặp gỡ, giao lưu,

học hỏi, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, phát hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng đội tuyển

học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế giữa các trường THPT chuyên trong khu vực Nămnăm qua, các hội thảo khoa học đều nhận được sự hưởng ứng nhiệt tình của cáctrường, bước đầu đã đem đến những hiệu ứng tốt, tác động không nhỏ đến công tác

bồi dưỡng học sinh giỏi và chất lượng đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của các trường

Chuyên

Năm 2013 là năm thứ 6, hội thảo khoa học của Hội các trường THPT chuyên

Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ được tổ chức tại Thái Bình - mảnh đất quê

lúa, mang trong mình truyền thống yêu nước và truyền thống hiếu học Tại hội thảo

lần này, chúng tôi chủ trương tập trung vào những vấn đề mới mẻ, thiết thực và có ý

nghĩa đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi, để quý thầy cô đã, đang và sẽ đảm nhiệm

công tác này tiếp tục trao đổi, học tập, nâng cao hơn nữa năng lực chuyên môn của

mình

Tập tài liệu của Hội thảo lần thứ VI bao gồm những chuyên đề khoa học đạt

giải của quý thầy cô trong Hội các trường THPT chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng

bằng Bắc bộ Các bài viết đều tập trung vào những vấn đề trọng tâm đã được hội đồng

khoa học trường THPT chuyên Thái Bình thống nhất trong nội dung hội thảo Nhiềuchuyên đề thực sự là những công trình khoa học tâm huyết, say mê của quý thầy cô,

tạo điểm nhấn quan trọng cho diễn đàn, có thể coi là những tư liệu quý cho các trường

trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

Xin chân thành cảm ơn sự cộng tác của quý thầy cô đến từ các trường THPT

chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ cùng các trường THPT chuyên với

vai trò quan sát viên Chúng tôi hy vọng, sẽ tiếp tục nhận được nhiều hơn nữa sự phản

hồi, đóng góp, trao đổi của quý thầy cô để các chuyên đề khoa học hoàn thiện hơn

Thái Bình, tháng 11 năm 2013

TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI BÌNH

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 2

Chuyên đề xếp loại xuất sắc

ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN

Biên soạn: Nguyễn Chí Trung

Đơn vị công tác: THPT Chuyên Bắc Ninh

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng nhưchương trình vật lý đại cương, tôi thấy phần các bài tập cơ học vật rắn là phần

lượng và mô men lực đối với một trục quay hay một điểm thì càng khó hơn vìđây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng toán học tốt về phần giảitích vec tơ Đây là phần kiến thức khó nhưng cũng rất cơ bản giúp chúng ta có

thể giải quyết các bài toán cơ học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn hơn Chính vì vậy

tôi biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ

sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi

Dương cũng như Olympic quốc tế

Sau đây là nội dung của chuyên đề:

-Cơ sở lý thuyết

- Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức

- Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết

- Các bài tập tự luyện tập với đáp số

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 3

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Khối tâm

a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm Micó khối lượng mi,

gọi O là một điểm tùy ý, ta có

M dm

=∫ = ∫

2 Động lượng

a) Định nghĩa:

chất điểm cấu tạo nên hệ S:

Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng của một hệ chất điểm trong

tại khối tâm G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ S

G

p=mv

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 4

Trong đó ∑F ext là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ

0

tb

X =∫F dt=F ∆ = ∆t P

4 Động năng của hệ, định lý Koenig đối với động năng

Chọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G là khối tâm của hệ, ta có:

m là động năng toàn phần của hệ hạt đối với khối tâm G, nên ta có:

Định lý Koenig đối với động năng: 1 2 *

2

K = mv G +K G (7)

5 Mô men động lượng Định lý Koenig đối với mô men động lượng

a) Mô men động lượng của hệ đối với điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S

trong HQC R) bằng tổng mô men động lượng của tất cả các điểm tạo nên hệ S

c) Định lý Koenig đối với mô men động lượng

Mô men động lượng đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng

tổng của:

+ Mô men động lượng đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có

*

L =L +OG∧mv (10)

d) Mô men động lượng trọng tâm

Nếu A là một điểm bất kỳ nào đó, ta có thể viết trong R*

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 5

0

i i

p =∑m v = , chúng ta nhận thấy mô men động lượng của hệ

trong HQC trọng tâm là độc lập với điểm mà tại đó ta tính Chúng ta có thể viết

mô men này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: * *

e) Mô men động lượng tại một điểm của trục

Giả sử vật rắn S là một cánh cửa như hình vẽ HQC RS (O,xS, yS, zS) gắn

với vật rắn, quay với vận tốc góc Ω = Ω =e z 'e z trong HQC R

Ta viết biểu thức của mô men động lượng L A của vật rắn này tại mộtđiểm A cố định của trục Oz (A cũng là một điểm cố định trong HQC gắn với

Như vậy ta phân biệt trong biểu thức của L A hai thành phần:

H M

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 6

Thành phần L∆ trên trục quay L A của mô men động lượng được gọi là mômen động lượng của vật rắn đối với trục∆

Theo định nghĩa, L∆ không phụ thuộc vào vị trí

của điểm A trên trục∆

+ Khoảng cách HM = r của điểm M đến trục quay

là không đổi khi vật rắn quay và ta cũng định nghĩa mô men quán tính J∆ của vật

S

J∆ =∫∫∫ r dm

Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trưng cho mức quán tính của chuyển động quay của vật rắn quanh trục đó (bất biến theo thời gian), chỉ phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng trong vật rắn.

6 Mô men lực, định lý Koenig đối với mô men lực

+ Mô men lực M O tại điểm O của hệ S trong R có biểu thức là:

M =∑OM ∧m a

+ Mô men lực tại G trong R*

(R*là tịnh tiến đối với R)

Gia tốc Coriolis bằng không còn gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào

chỉ số i và bằng gia tốc a G của điểm G

r

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 7

+ Mô men lực đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là

trong chuyển động của nó quanh G)

*

M =M +OG∧ma (10)

7 Mô men lực trọng tâm:

Cũng như đối với mô men động lượng, mô men lực của S trong HQC

trọng tâm R*

không phụ thuộc vào điểm mà ta tính Chúng ta có thể viết mô

men này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: * *

8 Mối liên hệ giữa mô men động lượng và mô men lực

Ta xét trường hợp tổng quát, điểm được chọn để tính mô men là điểm bất

ký P, điểm này có thể đứng yên hoặc chuyển động đối với điểm cố định O chọn

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 8

nên cuối cùng ta được công thức tổng quát:

( )

ex P

Bây giờ ta bàn tiếp số hạng thứ hai trong công thức (6) Số hạng này chỉ

triệt tiêu nếu một trong ba điều kiên sau đây được thỏa mãn:

Cho hai vec tơ: A= (a a a x, y, z), B= ( ,b b b x y, z)

+ Tích vô hướng của hai vec tơ: A B = (a b x x+a b y y+a b z z)

+ Tích có hướng của hai vec tơ: A∧ =B i a b( y z−a b z y) + j a b( z x−a b x z) +k a b( x y −a b y x)

Với i j k, , là các vec tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 9

II BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1.

Hai chất điểm A và B giống hệt nhau, có

khối lượng m liên kết với nhau bằng một thanh

AB có thể dao động quanh một trục đi qua A và

vuông góc mặt phẳng như hình vẽ Tính tổng động

lượng và mô men động lượng đối với O của hệ AB

theo các góc α, β và đạo hàm của chúng theo thời

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 10

Một thanh AB đồng nhất, có tâm G, khối

lượng m được treo trên hai dây nhẹ giống nhau AA’

và BB’ có chiều dài b Thanh dao động trong mặt

phẳng thẳng đứng, hai dây AA’ và BB’ luôn song

song với nhau

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 11

+ Thế năng của thanh là: U =mgb(1 −cos ) (2)

+ Cơ năng của hệ là:

Đạo hàm theo thời gian hai vế của (3) ta được: "b+gsin = 0 (4)

Với < 10 o → sin ≈ (rad)

m, bán kính a quay với tốc độ ω không đổi quanh trục

ở O và động năng của vòng tròn đó

Giải

Vận tốc của M là: v M( ) =a e

Từ đây suy ra:

+ Mô men động lượng đối với O:

2 òng

r

e e

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 12

Số hạng cuối cùng của biểu thức này bằng không theo định nghĩa của

G

J∆ =ma +J∆

Ví dụ 5

Xét một con lắc treo ở điểm O cố định gồm

thanh OA khối lượng không đáng kể và chiều dài là R,

người ta hàn vào thanh một dây thuần nhất khối lượng m

OA và đường thẳng đứng hướng xuống Xác định tổng

động lượng, mô men động lượng đối với O, mô men lực

MG

S

HGH

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 13

các đạo hàm của chúng

Giải

K = mR

Ví dụ 6.

và khối tâm G là trung điểm của AB Thanh

tường thẳng đứng Vị trí của thanh được xác

định theo góc =(Ox, OG), góc này thay đổi

khi thanh trượt ở A và B

1) Xác định các thành phần của vận tốc

( )

2) Tìm vec tơ quay Ω của thanh

Chú ý: cần chú ý đến dấu của các biểu thức khi tính toán

Giải.

1 Trong tam giác vuông OAB, trung tuyến OG có chiều dài b, từ đó:

x A

B y

G

O

+

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 14

2 Véc tơ quay của thanh hướng theo trục e z, ta đặt Ω = Ωe z

Ta cũng có thể viết biểu thức của v G( ) như sau:

2b và nối khớp ở A Hai thanh chuyển động trong

mặt phẳng thẳng đứng Oxy và góc nghiêng của

chúng được xác định bởi các góc α, β so với

đường thẳng đứng Ox hướng xuống Tính mô men

động lượng đối với O và động năng của con lắc

G 2

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 15

+ +

Hai vật khác nhau có cùng khối lượng m trượt không ma sát trên mặt bàn

các tâm của chúng có cùng vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song

va chạm đàn hồi lý tưởng giữa các vật Sau va chạm, các vật thực hiện chuyểnđộng tịnh tiến, quay và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận tốc góc của vật thứ nhất

bằng 1, của vật thứ hai bằng 2 Mô men quán tính của chúng tính theo các trụ

thẳng đứng đi qua khối tâm lần lượt là I1 và I2

a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định bất

của nó

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 16

b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vật

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 17

mv +mv =mv mv− = ⇒ = − = −v v v

Do không có ngoại lực nên mô men động lượng trước và sau va chạm là

mvd =mv d +I +I

1 1 2 2'

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 18

kí hiệu I là điểm tiếp xúc giữa mặt đất và D Ta xác

định vị trí của D theo tọa độ x của tâm C của nó

theo góc = (CI CG, )

3

R

CG= =b Hãy xácđịnh phương trình chuyển động của D bằng cách:

a) Tính mô men lực của đĩa D đối với I

b) Vận dụng định lý mô men lực đối với I để tìm phương trình vi phân

bậc hai của α

c) Giả sử α rất nhỏ Tuyến tính hóa phương trình vi phân có được ở câub) để từ đó suy ra chu kỳ T0 của các dao động nhỏ của D quanh vị trí cân bằng

Giải

a) Tính mô men lực của D ở I

+ Cách 1 Dùng định lý Koenig đối với mô men lực

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 19

Oz cho ngay kết quả (chỉ có mô men của trọng lực đối với I là khác không)

g

−

=

Ví dụ 10.

Xét một khối lăng trụ đáy là lục giác đều, dài và

cứng, giống như một cái bút chì thông thường Khối

lượng của nó là M và được phân bố đều Tiết diện thẳng

a) Ban đầu khối lăng trụ nằm yên trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt

ngang một góc nhỏ α Trục của lăng trụ nằm ngang Cho rằng các mặt của khốilăng trụ hơi lõm một chút sao cho khối trụ chỉ tiếp xúc với mặt phẳng nghiêng ở

do ma sát mà khối trụ không trượt và luôn chạm vào mặt nghiêng Vận tốc góc

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 20

khi cạnh ấy đập vào mặt nghiêng là ωf Chứng minh rằng ta có thể viết : ωf =

sωi, tìm s

b) Động năng của khối trụ ngay trước và ngay sau khi một cạnh đập vào mặt

nghiêng là Kivà Kf Chứng minh rằng : Kf = r Ki Tìm r

c) Để có lần va đập tiếp theo thì Kiphải vượt qua giá trị Ki min, mà ta có thể

viết dưới dạng: Ki min = δMga, trong đó g = 9,81 m/s2

Tính giá trị của δ theogóc nghiêng αvà hệ số r

d) Giả sử điều kiện trong phần c) được thỏa mãn, động năng Ki sẽ dần tới

một giá trị không đổi Kio khi khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng Biết

rằng giá trị ấy tồn tại, chứng minh rằng Kiocó thể viết dưới dạng : Kio = kMga,tìm biểu thức của k theoαvà r

Xung lực xuất hiện khi va chạm đi qua F, vậy : Mômen động lượng L của khối

trụ đối với trục F được bảo toàn trong quá trình va chạm Ta có :

lượng của khối tâm quanh trục quay F bằng (theo định lý Koenig)

i

Ma Ma

f f

Ma I

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 21

Suy ra : Li= Lf

17

11 12

17 12

Ma

lưu ý s không phụ thuộc α, aωi

Cách 2.

Khi cạnh khối trụ va đập vào mặt nghiêng (trong thời gian dt) thì có phản

lực N tác dụng lên khối trụ, do có ma sát nên N không vuông góc với mặt

nghiêng

+ Thành phần song song với mặt nghiêng là N//.

+ Thành phần vuông góc với mật nghiêng là N⊥

góc với mặt nghiêng hướng từ dưới lên trên

Ta có:

2

3 ) (

30 sin )

) 5 ( 2

1 ) (

30 cos )

M dt

N⊥ = f + i = f + i

2

3 2

1 a N//dt a I C f i dt

động lượng đối với C)

2 2

5 2

1 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

i i

i i

C C i

Ma Ma

Ma I

5 2

1 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

f f

f i

C Cf f

Ma Ma

Ma I

11 22

(8)

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 22

trụ lên vị trí cao nhất trên đường thẳng đứng đi qua tiếp điểm

+ góc mà véc tơ r C phải quay là : x = 30o

-α

)) 30 cos(

1 ( )

cos 1

0 =Mga − x =Mga − −

ta suy ra điều kiện :

Kf= r.Ki> Eo= Mga(1-cos(30o-α)) r.Ki min=δMga =Eo

Ta không cần phải viết biểu thức đầy đủ của Ki,n là hàm theo Kivà n để tìm

bài, giới hạn đó đã tồn tại, vì thế có thể cho Ki,n + 1 ≈ Ki,n khi n đủ lớn một cách

tùy ý Giới hạn Ki,ođó phải thỏa mãn hệ thức :

1

sin 1

sin

r

k r

Mga kMga

Ki,3 = r.Ki,2+∆ = r(r.Ki,1+∆) +∆= r2.Ki,1+ (1+r)∆

Ki,4 = r.Ki,3+∆ = r (r2.Ki,1+ (1+r)∆) +∆= r3.Ki,1+ (1 + r + r2)∆

r

n i

n

1

1 , 1

(14)

Khi n→ ∞, vì r < 1, nên ta có : ( 15 )

1

1 0 ,

K i n i

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 23

đập thứ n tới trước lần đập thứ n + 1, ta được:

∆Ki,n= Ki,n+1– Ki,n= (r– 1)rn-1

Ki,1+ rn-1∆= rn-1[∆- (1– r)Ki,1] (16)

Đại lượng này dương nếu giá trị ban đầu Ki,1 < Ki,o và khi ấy Ki,n tăng dần tới

giá trị giới hạn Ki,o Ngược lại, nếu Ki,1 > Ki,o thì động năng trước va đập Ki,nsẽ

giảm tới giá trị giới hạn Ki,o.

e) Để khối trụ lăn mãi, giá trị giới hạn Ki,trong phần d) phải lớn hơn giá trị

nhỏ nhất để có thể tiếp tục lăn đã tìm được trong phần c):

) 17 ))(

30 cos(

1 ( 1

sin 1

0 0

Mga r

A ta có : Asinα > 1- cos(30o-α) = 1– cos30o

cosα - sin30osinα

1 cos 2

3 sin 2

Giải phương trình lượng giác này ta đượcαo≈6,58o

+ Nếuα > αo và động năng trước lần va đập đầu tiên đủ lớn như đã nói ở

câu c) thì ta sẽ có một quá trình lăn liên tục

thức gần đúng: sinx≈x ; cosx≈1- x2/2 để giải bất phương trình (18)

III BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1

Một bánh xe to ở chỗ chơi ngày

ω không đổi quanh trục nằm ngang của

bánh xe Ta xét một cái thùng treo (móc

nối rất tốt ở A trên bánh xe) và hành

khách (mà ta xem như hoàn toàn không

động đậy trong thùng treo), hệ thùng treo

O

b

O A G

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 24

và hành khách có khối lượng m, có khối

tâm G nằm trên đường thẳng đứng qua

không đáng kể nối khớp với nhau tại các điểm O, A,

B và C Điểm O là cố định, ống C được xem là một

chất điểm khối lượng m trượt theo trục thẳng đứng

(Oz) Ở các đầu mút D và E có hai chất điểm giống

nhau, cùng khối lượng m Ta xác định vị trí của hệ

lượng đối với O và động năng của hệ theo đạo hàm

= BE = b

Đáp số: p= − 6mb 'sin e z;L O = 8mb2 'e y và K = 2mb2 ' (2 sin 2 + 2 )

Bài 3

lượng không đáng kể, chiều dài 2a (A là điểm giữa của CD, B là điểm giữa của EF)

Ở các đầu mút C, D, E và F có bốn

động lượng đối với O và động năng của hệ

phụ thuộc vào các góc ϕ,α, β và các đạo

hàm của chúng

z C

ϕ B A

+

ϕ β

α

E O

x

y A C D

+

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 25

Thanh thẳng AB đồng chất, tâm C dài b, có khối

lượng m được treo nằm ngang nhờ hai dây nhẹ, không dãn,

cùng chiều dài, được treo vào điểm O như hình vẽ Góc tạo bởi

các dây treo và thanh là α = 60o Hệ quy chiếu Trái Đất được

xem là HQC quán tính

O

A

α

a) Hệ cân bằng Tìm lực căng của dây T0 của dây OA tại A

b) Tìm lực căng T của dây OA khi dây OB đột ngột bị đứt (khi mà thanh

AB còn chưa kịp dịch chuyển) Tính tỉ số

0

T T

T

T =

Bài 5

Một hình vuông ABCD cạnh L có thể

quay xung quanh một điểm A mà vẫn nằm

trong mặt phẳng (xOy), với tốc độ gócω.Ở các

đỉnh có các chất điểm khối lượng m và bỏ qua

khối lượng của các thanh nối Hãy xác định,

trong HQC R, động lượng, mô men động lượng

đối với A cũng như động năng

ω

x y

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 26

Bài 6

như là một đĩa tròn đồng chất bán kính a

lăn không trượt trên một đường tròn Khối

tâm C của đĩa chuyển động trên một

đường tròn bán kính b và trục của nó

nghiêng một góc θ so với phương thẳng

đứng Tìm vận tốc góc Ω của tâm của đĩa

6 a sin

g b

= +

IV KẾT LUẬN.

Giải bài toán về động lực học vật rắn là một chuyên đề cơ bản trong việc bồidưỡng Học sinh giỏi THPT Để giải quyết được những yêu cầu đặt ra của bài

toán về chuyển động của vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật chuyển động

phù hợp

Trong giải bài toán vật lý nói chung và bài toán cơ học vật rắn nói riêng thì

việc phân tích kĩ hiện tượng vật lý xảy ra rất quan trọng Từ việc hiểu được hiệntượng vật lý để vận dụng nguyên lí phù hợp thông qua các định lý, định luật

Các biểu thức thể hiện quan hệ đã đạt được dựa vào giả thiết bài toán để tìm ra

kết quả

Trong chương trình THPT chỉ mới giải quyết các bài toán cơ bản vận dụngcác phương trình động lực học vật rắn và phương trình chuyển động của vật rắn.Thường thì chúng ta gặp bài toán biết điều kiện động lực học suy ra chuyểnđộng và ngược lại biết chuyển động để tìm các đại lượng động lực học Việc

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 27

Chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT

RẮN” là một chuyên đề cơ bản góp phần hỗ trợ trong việc giải quyết các bài

toán tổng hợp, đặc biệt là các bài toán về va chạm vật rắn

Các ví dụ trên đây chỉ là những ví dụ điển hình minh hoạ một phần nào chochuyên đề này Rất mong các đồng nghiệp góp ý, bổ xung để chuyên đề thực sự

dưỡng học sinh giỏi các cấp

Tôi xin chân thành cảm ơn./.

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Giang

2 Mé canique du solide Hachette Supérieur 2003 J.P DURANDEAU

3 Mé canique du ponit Hachette Supérieur 2003 J.P DURANDEAU

4 Bài tập vật lý đại cương tập 1 (cơ học) NXBĐHQGHN 2008 Nguyễn Quang

Hậu

5 Các bài toán Vật lí chọn lọc THPT (Cơ - Nhiệt) NXBGD 2006 Vũ Thanh

Khiết

6 Bài tập và lời giải cơ học NXBGD 2008 Yung – Kuo Lim

8 Các đề thi học sinh giỏi Vật lý (2001 – 2010) NXBGD 2011 Vũ Thanh

Khiết, Vũ Đình Túy./

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 29

Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, cơ học là một phân

môn rất quan trọng, mang tính nền tảng để hình thành tư duy Vật lí cho họcsinh Trong đó, chuyên đề về cơ học vật rắn là một chuyên đề khó, đa dạng và

phức tạp, các bài toán rất phong phú và mang nhiều tính thực tiễn

Các đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia hầu như năm nào cũng có các bàitoán cơ học vật rắn và chiếm tỉ trọng điểm khá lớn Trong khi đó, học sinh chủ

yếu quen với cách giải các bài toán cơ chất điểm, khi gặp các bài toán vật rắn tỏ

ra lúng túng

Các bài toán cơ học vật rắn thực sự phức tạp, đa dạng, đặc biệt các bàitoán trong đề thi HSG QG rất khó Muốn tìm ra lời giải đòi hỏi người học cần

kĩ thuật tính toán đặc trưng trong cơ học vật rắn như cách xác định tâm quay tức

Với phương pháp dùng các định luật bảo toàn thì định luật bảo toàn cơnăng đóng vai trò quan trọng bậc nhất Trong đó việc sử dụng phương phápnguyên hàm năng lượng cho phép xác định chuyển động của một số hệ cơ phứctạp nào đó với một cách giải nhanh và đẹp Do đó, tôi chọn chuyên đề mang tên:

TÌM CHU KÌ DAO ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG.

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 30

2 Mục đích của đề tài.

động của cơ hệ

-Nhấn mạnh hơn cách dùng phương pháp năng lượng trong bài toán cơ vật rắn

hiểu cơ vật rắn

B Nội dung.

I Cơ sở lí thuyết.

1 Khái niệm vật rắn

không đổi - Vật rắn có thể xem như một hệ chất điểm Vật rắn tuyệt đối thườngđược xem là hệ chất điểm liên kết chặt chẽ với nhau

- Khái niệm vật rắn chỉ là tương đối

2 Momen quán tính.

-Là đại lượng vật lí đặc trưng cho mức quán tính của vật rắn trong

chuyển động quay

Xét với trục quay ∆ song song với trục quay ∆Gqua khối tâm G của vật

của vật rắn đối với trục quay ∆ là I được xác định qua mô men quán tính IG đối

với trục quay ∆G

I = IG+ Md2

3 Định luật Niu-tơn II cho chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

3.1 Trong trường hợp tổng quát, khi chịu các lực tác dụng, vật rắn vừa

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 31

Để tìm gia tốc →a của chuyển động tịnh tiến (cũng là gia tốc →a của khối

hay: ∑Fx= max và∑Fy= may

Để tìm gia tốc góc của chuyển động quay quanh một trục đi qua khối tâm,

ta áp dụng phương trình:

∑M→ = IG→γ,hay:∑M = IGγ(dạng đại số)

3.2 Điều kiện cân bằng tổng quát chỉ là trường hợp riêng của hai phương

trình (1) và (2) khi →a = →0 và →γ = →0 Nếu ban đầu vật đứng yên thì vật tiếp tụcđứng yên Ta có trạng thái cân bằng tĩnh

Cần chú ý là, khi vật ở trạng thái cân bằng tĩnh thì∑M→ = 0 không chỉ đối

với trục đi qua khối tâm, mà đối với cả một trục bất kỳ

3.3 Đối với một vật rắn quay quanh một trục cố định thì chuyển động

tịnh tiến của vật bị khử bởi phản lực của trục quay

4 Năng lượng của vật rắn.

4.1 Thế năng của vật rắn:

Xét với vật rắn tuyệt đối, trong trọng trường có gia tốc g, Z là độ cao của

tâm mang tổng khối lượng của vật rắn: U = MgZ

4.2 Động năng của vật rắn:

- Khi vật rắn quay xung quanh một trục quay cố định ∆: W = 1

2I∆.ω2(4.5.2)

Chú ý: Nếu trục quay∆không qua khối tâm G, cần xác định I∆qua IG bởiđịnh lý Stenơ (4.4)

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 32

"Ðộng năng toàn phần của vật rắn bằng tổng động năng tịnh tiến của khối

tâm mang khối lượng của cả vật và động năng quay của nó xung quanh trục đi

qua khối tâm"

2 K K

W I

2

ω

=

4.3 Định luật bảo toàn cơ năng:

- Nội dung: Khi các lực tác dụng lên vật rắn là lực thế, thì cơ năng E của

hệ vật rắn được bảo toàn: W = Wđ + Wt= const

- Nếu trong quá trình biến đổi của hệ từ trạng thái 1 sang trạng thái 2, có

lực ma sát, lực cản tác dụng mà ta tính được công A của các lực ấy thì có thể

W2- W1 = A

II Ví dụ điển hình.

Phương pháp năng lượng.

Chọn gốc thế năng hấp dẫn tại tâm O của máng cong

Quả cầu lăn không trượt nên K là tâm quay tức thời

Cơ năng của quả cầu tại li độ góc α

Bài 1.(Đề thi HSG quốc gia 2005) Cho cơ hệ như

hình vẽ, quả cầu đặc có khối lượng m, bán kính r lăn không

trượt trong máng có bán kính R Máng đứng yên trên mặt

phẳng nằm ngang Tìm chu kì dao động nhỏ của quả cầu

K

H α

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 33

2 K K

Vì quả cẩu lăn không trượt nên K là tâm quay tức thời

Phương trình động lực học vật rắn đối với tâm K

Kmgr sin I

Chú ý: Trong hai phương pháp giải quyết thì phương pháp năng lượng

phân tích lực và chọn một trục quay Trong bài toán này phương pháp năng

lượng có vẻ dài hơn và chưa thể hiện tính ưu việt Nhưng trong các bài toán có

hệ lực phức tạp sau đây thì phương pháp năng lượng tỏ ra hiệu quả hơn

O

R r

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 34

Bài 2. Một thanh đồng chất AB = 2l

có momen quán tính

2mI3

vuông góc với thanh và đi qua trọng tâm G

của thanh Thanh trượt không ma sát bên

Xét mối quan hệ trong tam giác OAB ta được OG = R/2

Các lực tác dụng vào thanh gồm hai phản lực pháp tuyến tại A, B, và

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 35

Thay (**) vào (*) và khử NA, NB tađược phương trình: " g 0

Phương pháp năng lượng

Chọn gốc thế năng hấp dẫn tại tâm O của nửa

vòng tròn Vì bỏ qua ma sát ở nên cơ năng của

thanh bảo toàn Đường thẳng vuông góc với

A B

v , v cắt nhau tại O nên O là tâm quay tức thời

của thanh AB.Cơ năng của thanh tại li độ góc θ:

2 O

= ωθ + θ θ ⇔ θ + θ = Ta thu được kết quả như trên

Chú ý: Trong bài toán trên thì phương pháp năng lượng cho thấy hiệu

quả rõ rệt của nó là có biến số đơn giản, không phải thực hiện phép chiếu véc tơ

và phép phân tích lực Số lượng phương trình cũng ít hơn nhiều so với phươngpháp năng lượng

Bài 3. Cho cơ hệ gồm ròng rọc hình trụ khối lượng M bán kính R và lò

xo có độ cứng k, vật có khối lượng m Dây không giãn, khối lượng không đáng

kể, đầu A cố định, dây không trượt trên ròng rọc Tìm chu kì dao động của vật m

Bài giải.

Phương pháp động lực học.

Xét cơ hệ tại vị trí cân bằng: Fđh = 2Pm+ PM = Mg + 2mg = k∆ o

Phương trình động lực học khi vật m ở dưới vị trí cân bằng đoạn x

θ G A

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 36

Phương pháp năng lượng.

Chọn gốc thế năng hấp dẫn qua tâm C của ròng rọc khi ở vị trí cân bằng

Với: vật m đi xuống đoạn x thì M đi xuống x/2 và quay thêm được cung có độ

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 37

Bài 4. Một nửa vòng xuyến mảnh bán kính

R, khối lượng m thực hiện các dao động(không

trượt) trên mặt nhám nằm ngang Ở vị trí cân

bằng khối tâm G của nửa vòng xuyến ở dưới

Bài 5. Cho cơ hệ như hình vẽ, thanh đồng chất OC

khối lượng m, chiều dài 2R có thể quay quanh trục Oz

G O

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 38

nằm ngang của một khối hình trụ cố định bán kính R

Đầu C của thanh gắn với trục của một đĩa mỏng đồng

chất có bán kính R, khối lượng 2m; đĩa tiếp xúc với

khối trụ Khi cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng xOy

vuông góc với Oz, đĩa lăn không trượt trên khối trụ

Kéo thanh OC lệch góc nhỏ φo so với phương thẳng

đứng rồi buông nhẹ Tính chu kì dao động của cơ hệ

Bỏ qua ma sát ở các ổ trục và ma sát lăn giữa đĩa mỏng

quay qua O và là vận tốc góc của thanh OC quay quanh O

thời K, ωKlà vận tốc góc của đĩa C quanh tâm quay tức thời K

Mối liên hệ giữa ωO và ωK: VC = ωO.2R = ωK.R

K O

Cơ năng của hệ:

O5mgR c

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 39

Bài 6. Một người thợ đặt một cây thước gỗ đồng chất, tiết diện đều, chiều dài

AB = trên một khối trụ có bán kính R cố định trên mặt phẳng nằm ngang(hv) Ở vị trí cân bằng trọng tâm G của cây thước gỗ trùng với điểm tiếp xúcgiữa thước và khối trụ Chứng minh thước dao động điều hòa khi bị lệch khỏi vịtrí cân bằng một góc nhỏ Tìm chu kì dao động của hệ, lấy g = 10 m/s2

Bài giải:

Chọn gốc thế năng hấp dẫn tại O nằm trên trục đối xứng của hình trụ

Xét năng lượng của thanh tại li độ góc α:

Động năng:

2 K

(Vì KG rất nhỏ so với chiều dài thanh)

Cơ năng của hệ:

2 2m

α

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trường THPT Chuyên Thái Bình 40

Bài 7.(Đề thi HSG quốc gia 2007) Một đĩa tròn đồng

chất, khối lượng m, bán kính R có thể quay quanh một trục

cố định nằm ngang đi qua tâm O của đĩa Lò xo có độ cứng

k, một đầu cố định, một đầu gắn với điểm A của vành đĩa

Khi OA nằm ngang thì lò xo có chiều dài tự nhiên Xoay

thẳng đứng và khối lượng lò xo không đáng kể

1 Bỏ qua mọi sức cản và ma sát Tính chu kì dao

động của đĩa

2 Thực tế luôn tồn tại sức cản của không khí và ma