Chuyên đề Đồng Dư Thức Môn Số Học Lớp 6 - TaiLieu.VN

Ồ Chuyên đ  ề Ư Đ NG D  TH C

Môn: S  H C 6

Ứ Ố Ọ

ị ệ Lê Th  Kim Oanh

Ng

ườ ự i th c hi n:  ệ ự Th c hi n: tháng  1  năm 2011

ắ ế ứ ơ ả  : t các ki n th c c  b n

:

ươ ượ ọ ồ ố ớ c g i đ ng v i nhau theo

≡ ượ ọ ng. Hai s  nguyên a và b đ ế  b (mod m) đ ộ ồ c g i là m t đ ng d  th c.

A.Tóm t ị I/Đ nh nghĩa ố  Cho m là s  nguyên d ế module m, n u a ­ b chia h t cho m ( a ­ b )| m hay m\(a ­ b)  ệ ư ứ Ký hi u : a  ≡ ụ  ­ 1 (mod 4) Ví d  : 3   ≡    17 (mod 6)   5  ≡  0 (mod 6) 18

 m (a | m)

ề ộ ủ 0 (mod m) có nghĩa là a là b i c a m, k/h:  a

≡ ướ ủ c c a a ( m \ a) .

≡ ế ế ế t a b (mod m)

ấ ơ ả  :

≡ ọ ố a (mod m)

≡ c (mod4)

≡ ≡ ≡ ≡ a (mod m)  c (mod m) =>  a   d (mod m) =>  a + c b + d (mod m)

ệ Đi u ki n a  hay m là  N u a ­ b không chia h t cho m, ta vi II/ Các tính ch t c  b n ớ 1) V i m i s  nguyên a, ta có a  ≡   b (mod m) => b  2) a  ≡   b (mod m) và  b  3) a  ≡   b (mod m) và  c      a  ả : a1  H  quệ b≡ 2 (mod m) , ... , an b≡ n (mod m)

b≡ 1 + b2 + b3 + ... + bn(mod m)

≡ d (mod m) =>  a.c b.d (mod m)

b≡ 1 (mod m) , a2  => a1 + a2 + a3 + ... + an  ≡  b≡ 1 (mod m) , a2 b≡ 2 (mod m) , ... , an b≡ n (mod m) b (mod m) và  c  ả : a) a1

(cid:0) ≡ ớ ọ b≡ 1.b2.b3.  ... .bn(mod m)   b≡ n (mod m) ­ v i m i n N ≡ 5) a  H  quệ                => a1.a2.a3.  ... .an  n   b) a

≡ ≡ 2 (mod 2)

≡

b (mod m) =>  a ậ +Nh n xét :  ≡ ≡ ≡ ≡ 1 (mod 2) =>  a + b     0 (mod 2)  1 (mod 2) =>  a.b 1(mod 2)

1 (mod 2) và  b    0 (mod 2) =>  a + b     1 (mod 2) và  b  ổ ≡ ộ ố ẵ ố ẻ ố ẻ ủ ủ  : T ng c a hai s  l là m t s  ch n, tích c a hai s  l là

2 (mod 2)

2  ≡ ≡ ế N u m t s  chia 7 d  3 thì bình ph

9 (mod 7)  ộ ố ư ươ ố ư ng s  đó chia 7 d

1

a) * a  Mà 2      * a  ề Đi u này có nghĩa ộ ố ẻ m t s  l . ≡ b)a   3 (mod 7)  =>  a ề Đi u này có nghĩa :  2.Chú ý :

ế ủ

ượ ≡ ộ ồ ≡ ư

ư ứ c chia hai v  c a m t đ ng d  th c .   12 (mod 10) nh ng  1    6 (mod 10). ≡ ư ư ớ ể ồ 0 (mod m) và  b 0 (mod m), nh ng a.b có th  đ ng d  v i 0 theo

≡ ư 0 (mod 10), nh ng 2.5 = 10

≡ ế ủ ồ ứ ả ỏ

ủ b (mod m) và d là

ướ ≡ ≡

c chung c a a, b sao cho (d, m) = 1     (mod m) ) ướ b : d (mod m) (    ố ủ ố c chung c a ba s  a, b, m

a)Không đ ụ Ví d  : * 2  ≡  b) a  module m. ≡ ụ  10 (mod 10).  0 (mod 10) và 5  Ví d  : 2  ư ậ ộ ố ể Nh  v y đ  phép chia hai v  c a đ ng th c đòi h i ph i kèm theo m t s   ệ ề đi u ki n . ≡ế 6) N u a       thì :  a : d  ≡ế 7)N u a  thì (mod  )

2004 cho 11

: Tìm s  d  c a phép chia

b (mod m) và d là s  nguyên là  ≡ B/Áp d ngụ  : D ng 1ạ ố ư ủ Bài 1 : Tìm s  d  trong phép chia 2004

ế ộ ố ượ ọ

ố ư ấ ệ ổ c g i là chia h t cho 11  ổ ế ữ ố M t s  đ ẻ  hàng l và t ng các ch  s  hàng

ế ử ụ ệ ữ ỉ khi và ch  khi hi u gi a các t ng ch  s   ch n k  t

S  d ng d u hi u chia h t cho 11 :  ữ ố ở ẵ ể ừ  trái sang ph i chia h t cho 11. ế ụ

ả ố Ví d  : Xét xem s  5016 có chia h t cho 11 ? Ta có (5 + 1) ­ (0 + 6) = 0. Vì 0   11 = >  5016  11

Gi

 11)

2 (mod 11)

i ả : ≡ Ta có 2002  11 => 2004 ­ 2  11 => 2004       => 20042004   ≡  1 (mod 11) (vì 1024 ­ 1       => 20042004 = 24.22000 = 24.(210)200  ≡  5 (mod 11) 2≡ 2004 (mod 11) , mà 210   2≡ 4

2004 chia 11 d  5ư .

ậ V y 2004

ố ư Bài 2 : Tìm s  d  khi chia A = 1944

2005 (mod 7)

≡

2005 cho 7 iả  : Gi 2005    (­2)≡  1≡ 668 (mod 7)  hay (­23)668

≡ ≡ ­2 (mod 7) => 1944 3)668 ­ 1 (mod 7) => (­2 1 (mod 7)

2005

≡ ­ 2 (mod 7)

Ta có : 1944  Mà (­2)3  => (­23)668.(­2)  ≡  ­ 2 (mod 7) hay (­2) 2005 cho 7 d  5.ư ậ V y 1944

ố ư Bài 3: Tìm s  d  khi chia 1003  cho 7

96

=

=

100 3

4 3 .3

Gi iả

)

4 3

) 16 ( 4 6 3 . 3 (cid:0) + 81 7.11 4

= 4 3

( = 4 mod 7

Ta có:

(1)

2

Ta th y: ấ

=

(cid:0) +

)

= 6 3

6 3

(2)

16

16

6

)

)

(

729 7.104 1 ) (

(

( 1 mod 7 ) ( 1 mod 7

3

6 3

16

(cid:0) (cid:0)

(

)

)

4.1 mod 7

100 3

( 4 mod 7

(cid:0) (cid:0) ừ T  (1) và (2)

( 4 6 3 . 3

96

6 1 mod 7 ) 1003 chia cho 7 d  4.ư =

=

) 32

( 4 3 3 . 3

4 3 .3

100 3

V y ậ

)

(1)

=

* Cách 2:  = (cid:0) +

(

)

(

)

+

6

43 33

27

33

) ( 1 mod 7

32

32

32

(cid:0) (cid:0) - - (cid:0)

)

)

( 81 4 mod 7 ) ( 6 mod 7 ) (

(

) ( 1 mod 7 (

)

3 3

3 3

32

(cid:0) - (cid:0) Do đó,

)

mà   ) ( 1 mod 7 (

(2) )

)

( 4 2 3 . 3

4.1 mod 7

( 1 mod 7 ( 4 mod 7

100 3

(cid:0) (cid:0) ừ T  (1) và (2)

1003 chia cho 7 d  4.ư

V y ậ

1000 ­ 1 và B = 61001 + 1 đ u là b i s  c a 7

ố ộ ố ủ ề Bài 4 : CMR các s  A = 6

Gi

1000

1000 ­ 1  7

≡ i ả :  1 (mod 7) =>  6

ậ

1001  ≡ 1001 +  1  7

≡ 6 (mod 7) , mà 6 ­ 1 (mod 7)

105

ộ ủ ≡ Ta có  6   ­ 1 (mod 7) =>  6 ộ ủ V y A là b i c a 7 T   6ừ 1000  ≡  1 (mod 7) => 6 => 61001  ≡  ­1 (mod 7) => 6 ậ V y B là b i c a 7

100 3

3+ Gi

ổ cho 13 ố ư Bài 5: Tìm s  d  khi chia t ng

1003  cho 13: là tìm s  t

96

=

4 3 .3

100 3

iả ố ự ỏ ơ ồ ư ớ    nhiên nh  h n 13, đ ng d  v i

( 4 3 3 . 3 = 4

4 3

3

+)

(1)

=

) )

3 3

(cid:0) + 81 13.6 3 (cid:0) + 27 13.2 1

+)

32

32

ố ư * Tìm s  d  khi chia  1003  theo modun 13 = Ta có:

) 32 ( = 3 mod13 ( 1 mod13 (

)

)

(cid:0) (cid:0)

(

= 3 3 )

(

)

(2)

3 3

32

32 1 mod13 )

(

( 1 mod13 )

3 3 )

(1)

3.1 mod13

100 3

( 3 mod13

3

(cid:0) (cid:0) ừ T  (1) và (2)

105 3

ặ M t khác:

( 4 3 3 . 3 ( ) 35 3=

3

35

)

)

(

)

(

)

1053

(2)

3 3

3 3

35 1 mod13

( =� 27 1 mod13 +

+

Hay   +

)

�

�

�

105 3

( 3 1 mod13

100 3

105 3

( 1 mod13 ) ( 4 mod13

(cid:0) (cid:0) Mà

105

ừ

100 � 3 3+

ậ ổ V y t ng chia cho 13 d  4ư T  (1) và (2)  100 3

ố ư

5 ­ 1 cho 9 iả  :

Bài 6 : Tìm s  d  trong phép chia 1532 Gi

≡ 2 (mod 9) => 1532 5 (mod 9)

5  5 ­ 1  ư

2≡ 5 (mod 9) , mà 25  ≡ ≡  5 (mod 9) => 1532 4(mod 9)

5 ­ 1 chia cho 9 d  là 4.

93

Ta có 1532  => 15325  ≡ ậ V y 1532

3012

1-

ứ ằ Bài 7: Ch ng minh r ng:

3

3

=

ế chia h t cho 13 Gi i:ả

)

(

)

39

93

3

3

(cid:0) Do đó: Mà

( 729 1 mod13 )

)

9 mod13 )

3012 ) 31

( 1 mod13

3012

( 1 mod13

Hay

93

93

(cid:0) Ta có: 3012 = 13 . 231 + 9 ( ) (cid:0) � 3012 9 mod13 ( Nên

3012 )

3012 )

�

�

�

3012

3012

( 1 0 mod13

93

- - -

( (cid:0) � 1 mod13 ( 1 1 1 mod13 1-

3012

ế chia h t cho 13 V y ậ Hay

2n + 12.6n chia h t cho 19

ứ ằ ế Bài 8 : Ch ng minh r ng A = 7.5

n

Gi iả  :

n

≡ 7.6≡ n + 12.6n 19.6≡ 0 (mod 19) 6≡ n (mod 19)  6 (mod 19) => 25  7.6≡ n (mod 19)  => 7.25n + 12.6n

ứ ỏ Ta có A = A = 7.52n + 12.6n = A = 7.25n + 12.6n  ≡ Vì 25   =>7.25n  ề . Đi u này ch ng t ế  A chia h t cho 19.

2003 cho 13. iả  : Gi

2003 = (33)667. 32

ư Bài 9:  Tìm d  trong phép chia 3

1.3≡ 2  (mod 13) (33)667. 32 9  ≡ 1≡ 667 =>  (33)667. 32

3)667    9 (mod 13). V y 3ậ 2003 chia cho 13 d  9 .ư

1 (mod 13) mà 2003 = 3.667 + 2 => 3  1 => (3 ≡ Ta có 33  ≡           33  ≡    =>  32003

2002 ­ 4 chia h t cho 31 Gi

ằ ứ Bai 10 : Ch ng minh r ng 2

4

≡ ế i ả :  1 (mod 31) , mà 2002 = 5.400 + 2 Ta có 25

5)400

≡ 1 (mod 31) => (2 1.2≡ 2 (mod 31)

≡ 1≡ 400 (mod 31) => (25)400.22  ế 22002 ­ 4 chia h t cho 31 Nên 22002 = (25)400 .22  Vì 25  =>  22002 4 (mod 31) =>

5555 + 55552222 chia h t cho 7

ứ ằ ế Bài 11 : Ch ng minh r ng : 2222

5555   2222

Gi

5555(mod 7)  2222 (mod 7)

≡  (­ 4)      4≡

≡

3

≡ ạ Ta l (4≡ 3)  ­  1(mod 7)  (1) ≡  0 (mod 7)  (2)

1(mod 7) => 4 ≡ iả  : ≡ Ta có 2222 + 4  7 => 2222    ­ 4 (mod 7) => 2222 ≡    4 (mod 7) => 5555           5555 ­  4  7 => 5555   5555 +  42222 (mod 7)  => 22225555 + 55552222   (­ 4) Mà 42222 = (­4)2222 => (­ 4)5555 +  42222  = (­4)2222. 43333 +  42222      = (­4)2222. 43333 ­ (­ 4)2222  = (­4)2222(43333 ­ 1)  3 ­ 1= 63  7  => 43 ­ 1  i có : 4 Nên  (­ 4)5555 +  42222    0 (mod 7)

5555 + 55552222 chia h t cho 7.

ừ ế T  (1) và (2) => 2222

70 + 750 cho 12 i ả :

ư Bài 12 : Tìm d  trong phép chia 5

Gi

70

≡ ≡ ≡ 1 (mod 12) hay 5 1(mod 12) (1)

2)25

50

1(mod 12) => (5 ≡ Ta có 52  72  ≡ 2 (mod 12) => (7 1(mod 12) (2)

2)35  ≡   1(mod 12) hay 7 70 + 750 chia cho 12 d  2.ư

ừ T  (1) và (2) => 5

776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 và khi chia

ố ư ủ

Bài 13 : Tìm s  d  c a A = 776 cho 5?

i ả :

776  ≡ ≡

≡ ­ 1(mod 3) => 776 1 (mod 3)

Gi 776  ≡   ­1(mod 3) => 776 +Ta có 776  777  ≡  0 (mod 3) => 777                                                  777  778 ≡   1 (mod 3) => 778         778 ≡  0 (mod 3)  1 (mod 3)

777 + 3778 (mod 5)

777 ­ 3777 (mod 5)

≡ ≡ ≡

777

1 + 3.3 777(3 ­ 1) (mod 5)

≡ ≡ 2)388.3

776  ≡      1 (mod 5)  ­ 3≡ 777 (mod 5) 777  778      3≡ 778 (mod 5)  1 ­ 3≡ ≡  1 + 3  1 + 2.3 ≡ 776 + 777777 + 778778

≡ => 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 d  2.ư    1 (mod 5)  => 776 +Ta có 776   ­ 3 (mod 5)  =>  777             777      3 (mod 5) =>  778             778  => 776776 + 777777 + 778778  Hay 776776 + 777777 + 778778  776776 + 777777 + 778778  776776 + 777777 + 778778  Mà 32  ≡  ­ 1(mod 3) => (3 ậ V y  A = 776 3 (mod 5) ≡   1 + 2.3 2 (mod 5)

5

ư ậ V y A chia cho 5 d  2.

2005 + 42005  khi chia cho 11 và khi chia cho 13 ?

ố ư ủ Bài 14 : Tìm s  d  c a A = 3

iả  :

5)401  5)401    2 (mod 11)

≡ ≡ ≡ ≡ Gi   1 (mod 11)   1 (mod 11)

3)668. 3  ≡  1.3 (mod 13) => 3 3)668 .4   1.4 (mod 13) => 4 ≡

2005  2005

≡ ≡ 1 (mod 13) => (3  ­1 (mod 13) =>(4 3 (mod 13)   4 (mod 13)

≡ 7 (mod 13)

+Ta có : 35   1 (mod 11) => (3   Và       45   1 (mod 11) => (4 => A = 32005 + 42005   ≡ => A chia cho 11 d  2ư +Ta có : 33  ≡   Và       43  ≡ => A = 32005 + 42005   => A chia cho 13 d  7ư  .

1

ả ử ứ ế ằ ng. Ch ng minh r ng : N u ac ac≡ 2 (mod

Bài 15 : Gi m) và (a, m) = 1 thì c1 ố ươ  s  m là s  nguyên d  c≡ 2 (mod m)

Gi i ả :

ac≡ 2 (mod m) => m \ ac1 ­ ac2 => m \a(c1 ­ c2)

Ta có : ac1  Vì (a, m) = 1 => m \ c1 ­ c2 => c1 c≡ 2 (mod m)

ộ ố ứ ằ ố và không là ướ ủ ố c c a s

≡ Bài 16 :Ch ng minh r ng : N u p là m t s  nguyên t nguyên a thì ap ­ 1 ế  1 (mod p)

Gi

ồ ộ ố ấ ả i ả : ố

ư ớ ồ ộ

1a

ố ở

i n u có r ủ ố ố

ộ ố ủ ư ớ ộ ồ

ơ ử ố

p ­ 1

≡ ≡ 1.2.3. ... (p ­ 1) (mod p) hay (p ­ 1)!a (p ­ 1)! (mod

≡ Xét dãy s  1; 2; 3; ... ; p ­ 1. T t c  các s  này đôi m t không đ ng d  v i nhau ư theo môđun p. Do đó các s  a, 2a, 3a, ... ; (p ­ 1)a cũng đôi m t không đ ng d    r≡ 2a (mod p) mà (a, p) = 1  ượ ạ ế ớ c l v i nhau rtheo môđun p. B i vì ng  r≡ 2 (mod p) ­ v i rớ 1, r2 là hai s  nào đó c a dãy s  1, 2, 3, ... , p ­ 1 (vô lí)  => r1  H n n a mõi m t s  c a dãy a, 2a, 3a, ... , (p ­ 1)a đ ng d  v i đúng m t trong các s  1, 2, 3, ... , p ­ 1 theo môđun p => a.2a.3a. ... .(p­ 1)a  p). Vì (p, (p ­ 1)!) = 1 => ap ­ 1 1 (mod p)

≡ ≡ ố b (mod m) => ac bc (mod c.m) ế Bài 17 : CMR : N u c là s  nguyên d

ươ Gi ng : a  i :ả

≡ ≡ a b (mod m) => a ­ b = m.q => ac ­ bc = mc.q => ac bc (mod c.m)

6

Bài 18 :

ắ ộ ố ọ t m t s  có hai ch  s  mà t ng các

ế B n Th ng h c sinh l p 6A đã vi ố ạ ổ ữ ố ượ ố ư c s  d  là 4,

ạ ữ ố ủ ư ớ ắ ch  s  c a nó là 14. B n Th ng đem s  đó chia cho 8 thì đ nh ng khi chia cho 12 thì đ c s  d  là 3.

ằ ấ ộ ắ

ứ ế ứ a)Ch ng minh r ng b n Th ng đã làm sai ít nh t m t phép tính chia. b)N u phép chia th  nh t cho 8 là đúng thì phép chia th  hai cho 12 có ó

ượ ố ư ạ ứ ấ ố ị ư d  là bao nhiêu ? Hãy Tìm s  b  chia.

Gi i ả :

ọ ố

ố ẻ ậ ạ

ắ

≡ 2 (mod 3) => 4ab 8 (mod 12) (1)

≡ 0 (mod 4) => 3ab

ế ừ ư

≡  0 (mod 12) (2)  8 (mod 12) => n chia cho 12 d  8 (cid:0) {0; 2; 4; 6; 8}

ữ ố ạ ố ộ a)G i s  đó là n = ab ư Vì n chia cho 8 d  4, nên n = 8p + 4 ư Và n chia cho 12 d  3, nên n = 12q + 3 ố ẵ => 8p + 4 = 12q + 3 (Mà 8p + 4 là s  ch n, còn 12q + 3 là s  l ). Do v y b n  ộ Th ng đã làm sai m t phép chia. b)Vì a + b = 14 => ab  ≡ N u ab  ≡ T  (1) và (2) => ab  ố ẵ Do n = 8p + 4 là s  ch n mà n = ab => b  N u ế

b = 0 => a = 14 (lo i ­ vì a là s  có m t ch  s  khác 0) b = 2 => a = 12 (lo i)ạ b = 4 => a = 10 (lo i)ạ b = 6 => a = 8 b = 8 => a = 6

ố ầ ố ị ặ => S  c n tìm là 86 ho c 68 => S  b  chia là 68.

ế ằ ủ ậ t r ng ngày 20 / 11/1994 là ngày ch  nh t. Tính xem:

ứ ấ ứ ấ

Bài 19: Bi a) Ngày 20 / 11/1996 là ngày th  m y? b) Ngày 20 / 11/2011 là ngày th  m y? Gi iả

ậ

ế ế ừ a) Vì 1996 chia h t cho 4 nên năm 1996 là năm nhu n, có 366 ngày.  T  20 / 11/1994 đ n 20 / 11/1996 là 2 năm, có:

ậ 365 . 2 + 1 (nhu n) = 731 (ngày)

ứ ế ằ ầ ễ

)

(cid:0) có 7 ngày. ( 731 3 mod 7

ư ậ ầ ồ

3 ngày. ủ ậ ứ

ừ ậ Bi t r ng c  mõi tu n l Ta có: 731 = 7. 104 + 3 hay  ẻ Nh  v y, 731 ngày g m 104 tu n và l Do đó, n u ế ngày 20 / 11/1994 là ngày ch  nh t thì 20 / 11/1996 là ngày th  4. b) T  20 / 11/1994 đ n 20 / 11/2011 là 17 năm có 4 năm nhu n là 1996, 2000,

ế ậ ế ừ 2004, 2008. V y T  20 / 11/1994 đ n 20 / 11/2011 có:

7

ậ 365 . 17 + 4 (nhu n) = 6209 (ngày)

ế ằ

)

(cid:0) có 7 ngày. ( 6209 0 mod 7

ồ ầ ư ậ

ủ ậ

ữ ố ậ ộ ố

: Tìm ch  s  t n cùng c a m t s ộ ủ n   :

n l n l

ầ ượ ặ ữ ố ậ t có ch  s  t n cùng

ặ

(cid:0) ậ ụ ậ ớ ầ ễ ứ t r ng c  mõi tu n l Bi Ta có: 6209 = 7 . 887 Hay  Nh  v y, 6209 ngày g m 887 tu n  Do đó, n u ế ngày 20 / 11/1994 là ngày ch  nh t thì 20 / 11/1996 cũng là ngàych   ủ nh t.ậ ủ D ng 2ạ ữ ố ậ   a)Tìm m t ch  s  t n cùng c a a ế ­N u a có ch  s  t n cùng là 0; 1; 5 ho c 6 thì a ầ ượ l n l ặ ế ­N u a có ch  s  t n cùng là 2, 3 ho c 7, ta v n d ng nh n xét sau v i k Z

ữ ố ậ t là 0; 1; 5 ho c 6. ữ ố ậ 24k  ≡ 34k  ≡ 74k  ≡ ể

ấ ớ  {0; 1; 2; 3}

ặ 6.2≡ r (mod 10)   a≡ 4k + r  n 7 (mod 10)  thì a a≡ r (mod 10) ta l y n chia cho 4. Gi ≡ế N u a  ≡ ế N u a

ố ữ ố ậ Ví d  1ụ  : Tìm ch  s  t n cùng c a các s  :

b) 92008 , a) 62009 , d) 22009

6 (mod 10)  1 (mod 10)  1 (mod 10) ủ n v i a có ch  s  t n cùng là 2; 3; 7  ữ ố ậ ữ ố ậ Do đó đ  tìm ch  s  t n cùng c a a ớ (cid:0) ả ử  s  n = 4k + r v i r  n   2≡ n = 24k + r   2 (mod 10)   thì  a ≡  3 (mod 10) ho c a  ủ c) 32009 ,  Gi iả  :

ự ỹ ừ ớ ố nhiên

ố ẫ

ữ ố ậ

ố ữ ố ậ ữ ố ậ ỹ ừ ớ ố

ữ ố ậ ỹ ừ ớ ố nhiên ự

ẻ ố ậ thì có s  t n cùng là 9.

ữ ố ậ

ữ ố ậ

ủ ố

N) d) 1423 + 2323 + 7023

i :ả

ữ ố ậ

ữ ố ậ a) 62009 có ch  s  t n cùng là 6 (vì 6 khi nâng lên lu  th a v i s  mũ t ữ ố ậ ằ khác 0 v n b ng chính s  6) b)  92008 = (92)1004 = 811004 = … 1 có ch  s  t n cùng là 1 91991 = 91990.9 = (92)995.9 = 81995.9 = (…1).9 = … 9 có ch  s  t n cùng là 9  ậ ự Nh n xét : S  có ch  s  t n cùng là 9 khi nâng lên lu  th a v i s  mũ t ẵ ch n khác 0 nào thì ch  s  t n cùng là 1, khi nâng lên lu  th a v i s  mũ t nhiên l c) 32009 = (34)502.3 = 81502.3 = (… 1).3 = … 3 có ch  s  t n cùng là 3. d) 22009 = 22008.2 = (24)502.2 = 16502.2 = ( … 6).2 = … 2 có ch  s  t n cùng là 2 Ví d  2ụ  : Tìm ch  s  t n cùng c a các s  sau : ữ ố ậ a) 421 , b) 3103 , c) 84n + 1 (n (cid:0) Gi a) 430 = 42.15 = (42)15 = 1615 = …6  có ch  s  t n cùng là 6    421 = 420 + 1 = (42)10.4 = 1610.4 = (…6).4 = … 4 có ch  s  t n cùng là 4

ố ậ ố

ỹ ừ ớ ố ự ớ ố ố ậ ẻ nhiên ch n thì có s  t n cùng là 6, khi nâng lên v i s  mũ t : S  nào có s  t n cùng là 4 thì khi nâng lên lu  th a v i s  mũ ố  có s nhiên l

8

ậ Nh n xét ự ẵ t ậ t n cùng là 4)

ữ ố ậ

23 + 2323 + 7023 = … 4 + …  7 + … 0 = … 1 có ch  s  t n cùng là 1

ữ ố ậ

ủ ố ậ n   :

b) 3103 = 3102.3 = (32)51.3 = 951.3 = (… 9).3 = … 7 có ch  s  t n cùng là 7 c) 84n + 1 = 84n.8 = (23)4n.8 = 212n.8 = (24)3n.8 = 163n.8 = (…6).8 = …. 8 có ch  s  ữ ố ậ t n cùng là 8 d) 1423 = 1422.14 = (… 6).14 = …. 4 2323 = 2322.23 = (232)11.23  = ( … 9).23 = …7 7023 = … 0 V y : 14 ố ậ b)Tìm hai s  t n cùng c a s  a ậ Ta có nh n xét sau : 220  ≡ 320  ≡ 65   ≡ 74   ≡ 76 (mod 100)  01 (mod 100)  76 (mod 100)  01 (mod 100)

ớ ớ

ả nhiên khác 0.

≡ ≡ ≡ ≡ ố ự  0 (mod 10)  1; 3; 7; 9 (mod 10)  5 (mod 10)  2; 4; 6; 8 (mod 10)

ấ ố Mà  76n  ≡  76 (mod 100) v i n ≥ 1           5n  ≡  25 (mod 100) v i n ≥ 2 ớ ế Suy ra k t qu  sau v i k là s  t a20k  ≡ế  00 (mod 100) n u a  a20k  ≡ế  01 (mod 100) n u a  a20k  ≡ế  25 (mod 100) n u a  a20k  ≡ế  76 (mod 100 n u a  ữ ố ậ ể ậ V y đ  tìm hai ch  s  t n cùng c a a ủ n, ta l y  s  mũ n chia cho 20

ữ ố ủ 2003

20k

2003 có hai ch  s  t n cùng là 08. ữ ố ậ

≡ ≡ 76 (mod 100) => 2 76 (mod 100)

9992 9993

ữ ố ậ ủ

Bài 1 : Tìm hai ch  s  tân cùng c a 2 i :ả Gi Ta có : 220  Do đó : 22003 = 23.(220)100 = 8.(220)100 = ( … 76).8 = …08 V y 2ậ Bài 2: Tìm hai ch  s  t n cùng c a: a)  b)

999

(1)

1000 2

: 2

2 10

= ) 100

Gi iả

1000 2

100

100

mà a) Ta th y ấ ( = 2

(

)

(

(

)

(

)

10 2

=� 1024

) ( 1 mod 25

10 2

) 1

mod 25

9

- (cid:0) - Ta có:

10002

(cid:0) ư ữ ố ậ ủ

( 1 mod 25 ể ả

ư ữ ố ậ ộ ủ Hay 21000 chia cho 25 d  1, do đó hai ch  s  t n cùng c a  1000 là b i c a 4 nên hai ch  s  t n cùng

ữ ố ậ ấ ố

: 3

ữ ố ậ ộ ủ

(

)

) 21000 có th  là  01; 26; 51; 75, nh ng 2 ủ c a nó ph i là 76        (2) ặ ừ T  (1) và (2) ta th y s  76 chia 2 thì hai ch  s  t n cùng là 38 (= 76:2) ho c  999 cũng là b i c a 4 nên hai ch  s  t n cùng c a  ủ ư 88(=186:2) nh ng cũng do 2 2999 là 88. = 999 1000 b)  3 3 Ta có: 34 = 81

2

(cid:0) -

)

8 3

19

(cid:0) (cid:0) 19 mod100 (

49 mod100

10 3

61.9

10

(cid:0) (cid:0)

61 mod100 ( (

) )

100 3

49

(cid:0) (cid:0)

01 mod100 )

(

, nghĩa là hai ch  s  t n cùng c a 3

01 mod100 ữ ố

(cid:0) ữ ố ậ

ả ư ủ

=

ế ố ư ế ế ế ố

10003 ủ 1000 là 01. S  3ố 1000 là  ộ ủ b i c a 3 nên ch  s  hang  trăm c a nó khi chia cho 3 ph i d  2( Chia ti p thì  ố s  201 chia h t cho 3, n u s  d  là 0 hay 1 thì s  001, 101 không chia h t cho  3) V y ậ

1000 3

: 3

999 3

10

ữ ố ậ có hai ch  s  t n cùng là 76 (= 201 : 2)