Chuyên đề Hệ Thức Viét Và Các ứng Dụng - Thư Viện Đề Thi

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học›Toán 9 Chuyên đề hệ thức viét và các ứng dụng doc

8 trang

phongnguyet00 Lượt xem

14587

1 Download Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề hệ thức viét và các ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Chuyên đề hệ thức viét và các ứng dụng : A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định lý viét: Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 +bx + c = 0 (a 0 ) thì : 2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng . Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hhai nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0 . Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P Các dạng toán : Dạng 1: Không giải phương trình , tính tổng và tích các nghiệm số . Phương pháp giải : * Tính để phương trình có nghiệm . * áp dụng định lí vi-ét: S = Dạng 2 : Giải phương trình bằng phương pháp nhẩm nghiệm : Phương pháp giải : áp dụng định lí vi-ét: * Nếu a + b + c = 0 Thì x1 = 1 ; x2 = . * Nếu a – b + c = 0 Thì x 1 = -1 ; x2 = - *Nhẩm nếu có 2 số m,n để m+n = S, m.n = P thì phương trình có nghiệm x1 = m ; x2 = n . Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1;x2 của phương trình bậc hai. *)Biểu thức giữa x1;x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không thay đổi. *)Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P(tổng và tích các nghiệm). Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a≠0). +) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi : P = (Hoặc ac < 0). +)Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi : +) Phương trỡnh có hai nghịệm âm khi : +)Phương trình có hai nghiệm dương khi : +) Phương trình có hai nghiệm không âm khi +) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương khi:P<0 và S < 0 * Chỳ ý: Nếu bài toán yêu cầu có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện nào đó thì cần có Δ > 0 Dạng5: Xác định tham số (m chẳng hạn) để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện (T) cho trước. Phương pháp giải: Bước 1- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1;x2 : (*) Bước 2-áp dụng định lý Vi-ét ta được tính S = x1+x2; P = x1.x2 Bước 3- Từ ĐK (T) và S tính x1,x2 theo m thế vào P để tìm m thử lại điều kiện (*) rồi kết luận. Ví dụ 1:Cho phương trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số) a/ Giải phương trình (1) với m = 3. b/ Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn (Trích đề thi vào lớp 10 THPT Năm học 2009 - 2010 -Bắc Ninh) LG: a)Với m = 3 ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0 4x2 - 4x + 1 = 0 (Hoặc tính được hay ) Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2 b)Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì Mà theo ĐL Vi-ét ta có: Từ ta có: thoả mãn (*) Vậy m phải tìm là -2. Dạng 6*:thức liên hệ giữa các nghiệm x1;x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số. (Giả sử tham số là m) Bước1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2: Bước 2:Tính S = x1+x2; P = x1.x2 Bước3 Khử m từ bước 2 bằng phương pháp thế (Rút m theo x thế vào S hoặc P) hoặc cộng đại số ta sẽ được biểu thức cần tìm. Ví dụ1:Cho phương trình x2 - mx + 2m - 3 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Giải: +)Phương trình trên có nghiệm khi: D =m2 - 8 m + 12 ≥ 0 Û(m- 2)(m-6) ≥ 0Û +)Theo hệ thức Vi-ét ta được : +)Cách 1:Thế m từ (1) vào (2) ta được : x1x2=2(x1+x2) - 3 Cách 2:Nhân cả hai vế của(1) với 2 rồi trừ vế với vế cho (2) ta được: 3 =2(x1+x2)- x1x2 Ví dụ 2:Cho phương trình: (m - 1)x2- 2(m - 4 )x +m - 5 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Giải: Trước hết ta cần tìm m để pt có 2 nghiệm x1;x2 : ÛÛ Khi đó phương trình có 2 nghiệm x1;x2.. Theo hệ thức Vi-ét ta được : Û Từ đó ta được: 2(x1+x2) - 3 x1x2=1 Ví dụ 3:Cho phương trình: m x2- (2m + 3 ) x+ m - 4= 0 a)Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt? b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Giải: a)Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi: ÛÛ Vậy với thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt. b)Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: Û Û Cộng 2 vế pt trên ta được: 4(x1+x2) +3 x1x2=11. Đây chính là hệ thức cần tìm. Ví dụ 4 :Giả sử x1;x2 là nghiệm của phương trình: x2- 2 (m - 1 ) x+m 2 - 1= 0 Tìm hệ thức giữa x1;x2 không phụ thuộc vào m Giải: Phương trình có nghiệm Û ≥ 0Û m áp dụng hệ thức Vi-ét ta được: Từ (1)suy ra m= Thay vào (2) ta được: P = Û 4P = S2 +4S Vậy hệ thức cần tìm là: (x1+x2) 2 +4(x1+x2 =) 4 x1x2 Phương pháp giải : Trong một phương trình có hai ẩn số . Ta xem 1 ẩn là tham số . rồi giải phương này theo ẩn còn lại phương pháp giải này được gọi là “Đặt tham số mới “ Bài 34 : CMR Chỉ có một cặp số duy nhất thoa mãn phương trình : Cách 1 : đặt tham số mới : Xem x là ẩn , y là tham số (y ) ta có Vì - PT chỉ có nghiệm khi . Khi đó phương trình có nghiệm kép x = -2 Vậy cặp số (2 ; 9)là cặp số duy nhất thoả mãn PT đã cho . Cách 2: (Tổng bình phương ) (1) Dạng 7. So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số a. Bước 1: Xét dấu hiệu các nghiệm của pt với a. Bước 2: Xét dấu của tổng hoặc tích hoặc cả tổng và tích các hiệu ở bước 1. Bước 3: áp dụng định lý Vi ét biểu diễn kết quả của bước 2 theo tham số. Bước 4: Tìm tham số đối chiếu điều kiện có nghiệm và kết luận Bài 1: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1: x2 – (m – 1)x – m = 0 ( Bài 16 trong bộ đề) Bài 2: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn 3: 2x2 – 4x + 5(m – 1) = 0 Chú ý: Nếu tìm x đơn giản có thể tìm x theo m rồi so sánh Bài 3*: Tìm giá trị của m để phương trình: x2 + mx + m – 1 = 0 có 2 nghiệm lớn hơn m. Bài 4*: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có một nghiệm lớn hơn 2: mx2 – (2m+1)x + (m+1) = 0 Chuyờn đề: PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ thuộc tham số m, ta xột 2 trường hợp: a) Nếu a = 0 Khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy nhất - hoặc vụ nghiệm - hoặc vụ số nghiệm b)Nếu a 0 Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac < 0 (/ < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm = 0 (/ = 0 ): phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x1,2 = - (hoặc x1,2 = -) > 0 (/ > 0 ) : phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt: x1 = ; x2 = (hoặc x1 = ; x2 = ) 2. Định lý Viột. Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ S = x1 + x2 = - p = x1x2 = Đảo lại: Nếu cú hai số x1, x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đú là nghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2: x2 – S x + p = 0 3. Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai. Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phương trình .Ta có các kết quả sau: Hai nghiệm x1 và x2 trái dấu( x1 < 0 < x2 ) p < 0 Hai nghiệm cùng dương( x1 > 0 và x2 > 0 ) Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x2 > x1 = 0) Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm. Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và thì phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 - Lập tích p = x1x2 - Phương trình cần tìm là : x2 - S x + p = 0 c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi): x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = = (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 (Chú ý : Các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện ) d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trước .Tìm nghiệm thứ 2 Cách giải: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1: Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: (hoặc ) (*) Thay x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: Không cần lập điều kiện (hoặc ) mà ta thay luôn x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước. Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình (như cách 2 trình bầy ở trên) +) Cách 2 : Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ 2 +) Cách 3: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm được nghiệm thứ 2 Áp dụng Bài 1/ Cho phương trỡnh: x2 – 4x + m – 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trỡnh khi m = -20 b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp đú Bài 2/ Cho phương trỡnh: x2 – (m - 2)x + m – 5 = 0.(x: là ẩn, m: là tham số) a/ Chứng tỏ phương trỡnh cú nghiệm với mọi m. b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu. Bài 3/ Cho phương trỡnh: (m – 1)x2 – 5x + 2 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Định giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp đú b/ Định giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu. Bài 4/ Cho phương trỡnh: (m – 4)x2 – 6x + 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm b/ Giải phương trỡnh khi m = 3 Bài 5/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 4)x + m – 6 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 2. Tớnh nghiệm cũn lại. b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m. Bài 6/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 3)x + m – 4 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trỡnh khi m = 4. b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m. c/ Định giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp ba nghiệm kia. Bài 7/ Cho phương trỡnh: 5x2 – 2x + m = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trỡnh khi m = -16 b/ Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp đú. c/ Tớnh giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương. Bài 8/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 2)x + m – 4 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m. b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nhiệm đối nhau. Bài 9/ Cho phương trỡnh: 3x2 – x + – 3 = 0 Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh: a/ ` b/ Bài 10/ Cho phương trỡnh: x2 – 9x + m – 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trỡnh khi m = -9 b/ Tớnh giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp đụi nghiệm kia. Bài 11/ Cho phương trỡnh: mx2 – 4x + 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trỡnh khi m = b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp đú Bài 12/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 5)x + m – 7 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 2. Tớnh nghiệm cũn lại. b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m. c/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương. Bài 13/ Cho phương trỡnh: (m – 1)x2 – (2m + 1)x + 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trỡnh khi m = 2 b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m. c/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 3. Tớnh nghiệm cũn lại. Bài 14/ Cho phương trỡnh: x2 – 5x + m – 2 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trỡnh khi m = 2; m = 8. b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp đú c/Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp bốn nghiệm kia. Bài 15/ Cho phương trỡnh: x2 – 8x + m – 2 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 10. Tớnh nghiệm cũn lại. b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp ba nghiệm kia. Bài 16/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 1)x + m – 5 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trỡnh khi m = 2 b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 2. Tớnh nghiệm cũn lại. c/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m. Bài 17/ Cho phương trỡnh: x2 – 4x + m – 3 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trỡnh khi m = -3 b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 2. Tớnh nghiệm cũn lại. c/Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm. d/Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp bốn nghiệm kia. Bài 18/ Cho phương trỡnh: x2 – 3x + m – 3 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trỡnh khi m = -7 b/ Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thoả món: Bài 19/ Cho phương trỡnh: x2 – 2mx – 4m – 11 = 0; (x: là ẩn, m: là tham số) a/ Giải phương trỡnh khi m = 1 b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m. c/ Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thoả món:

Tài liệu đính kèm:

Chuyen_de_ViET_on_thi_vao_lop_10_chuyen.doc

Đề thi liên quan

Ôn tập kiểm tra giữa học kì II – Môn Đại số 9
Lượt xem: 1141 Lượt tải: 0
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt môn toán học
Lượt xem: 869 Lượt tải: 0
Đề thi thử vào 10 năm học 2015 - 2016 môn thi toán thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Lượt xem: 920 Lượt tải: 0
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2016 - 2017môn thi: Toán thời gian làm bài: 120 phút
Lượt xem: 728 Lượt tải: 0
Một số đề thi phân ban vào lớp 10 môn Toán
Lượt xem: 1359 Lượt tải: 0
Đề thi thử tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2015 - 2016 môn : Toán thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Lượt xem: 1036 Lượt tải: 0
Đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ thpt chuyên năm 2011 môn thi: Toán (vòng 1) thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Lượt xem: 933 Lượt tải: 0
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán lớp: 9 thcs thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Lượt xem: 917 Lượt tải: 0
Bài tập ôn thi học kì II - Đại số 9
Lượt xem: 1075 Lượt tải: 0
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Trị
Lượt xem: 464 Lượt tải: 0