Toggle navigation 
Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Bùi Trần Duy Tuấn H O TBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Lời nói đầu “Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.” Tài liệu gồm 321 trang bao gồm các chủ đề sau: Chủ đề 1. Nguyên hàm Chủ đề 2. Tích Phân Chủ đề 3. Ứng dụng của Tích Phân Bố cục của các chủ đề gồm các phần sau: 1. Kiến thức cơ bản cần nắm 2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa) 3. Thủ thuật Casio giải nhanh 3. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết) Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn. Trong quá tình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp và liên hệ về tài liệu xin gửi về: Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna. Gmail:
[email protected]. Truy cập Website: https://toanhocplus.blogspot.com/ để xem thêm các chuyên đề luyện thi đại học khác của tôi biên soạn. Xin chân thành cảm ơn!!! Quảng Nam – 18.05.2018 Tác giả: Bùi Trần Duy Tuấn Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM ........................................................................................................ 6 A. KIẾN THỨC CẦN NẮM ...................................................................................................................... 6 I. NGUYÊN HÀM ................................................................................................................................... 6 II. TÍNH CHẤT ....................................................................................................................................... 6 III. SỰ TỒN TẠI CỦA NGUYÊN HÀM ............................................................................................... 6 IV. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP .............................................................. 6 B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ....... 8 I. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH .................................................................................................................................................................. 8 1. Phương pháp chung ......................................................................................................................... 8 2. Một số dạng toán và bài toán minh họa ............................................................................................ 8 a. Tìm nguyên hàm các đa thức, lũy thừa, mũ, các hàm chứa căn ................................................. 8 b. Tìm nguyên hàm của hàm hữu tỉ ............................................................................................ 10 c. Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác ...................................................................................... 13 3. Bài tập tự luyện ............................................................................................................................. 15 II. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ................................................... 17 1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 ..................................................................................................... 17 2. Phương pháp đổi biến số dạng 2 ..................................................................................................... 22 3. Bài tập tự luyện ............................................................................................................................. 24 III. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ................................................. 28 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 28 2. Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần .............. 28 Kỹ thuật chọn hệ số .................................................................................................................. 30 Kỹ thuật tích phân từng phần bằng phương pháp đường chéo .................................................. 31 3. Bài tập tự luyện ............................................................................................................................. 37 IV. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP ........................................... 39 1. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 39 2. Bài tập tự luyện ............................................................................................................................. 42 C. THỦ THUẬT CASIO TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ .......................................... 43 I. KIẾN THỨC CẦN NẮM .................................................................................................................. 43 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ĐIỂN HÌNH ........................................................................... 43 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .................................................................................................................. 50 I. ĐỀ BÀI ................................................................................................................................................ 50 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ............................................................................... 71 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng CHỦ ĐỀ 2: TÍCH PHÂN ........................................................................................................... 104 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ................................................................................................. 104 I. ĐỊNH NGHĨA ................................................................................................................................. 104 II. TÍCH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN ................................................................................................... 104 B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN .................................................................................... 105 I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, DÙNG VI PHÂN VÀ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN .................................................................................................................................................. 105 1. Kiến thức và kỹ năng ................................................................................................................... 105 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 105 3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 109 II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ......................................................................................................... 110 1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 ................................................................................................... 110 Bài tập tự luyện ...................................................................................................................... 114 2. Phương pháp đổi biến số dạng 2 ................................................................................................... 117 Bài tập tự luyện ...................................................................................................................... 119 3. Phương pháp đổi biến cho một số hàm đặc biệt ............................................................................. 122 Bài tập tự luyện ...................................................................................................................... 125 III. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ................................................................................................. 128 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 128 2. Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tính tích phân từng phần ............................................. 128 3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 135 C. TÍNH TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP ........................................................ 138 I. HÀM HỮU TỈ .................................................................................................................................. 138 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 138 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 139 3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 146 II. HÀM LƯỢNG GIÁC ..................................................................................................................... 148 1. Biến đổi và đổi biến cơ bản đưa về tích phân cơ bản ..................................................................... 148 2. Hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác ........................................................................................... 154 3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 157 III. HÀM VÔ TỶ ................................................................................................................................. 160 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 160 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 161 3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 166 IV. HÀM CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI .................................................................................................... 168 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 168 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 168 3. Bài tập tự luyện ........................................................................................................................... 171 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng D. THỦ THUẬT CASIO TÍNH NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ................................................. 172 I. TÍNH NHANH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH .................................................................................... 172 1. Lệnh tính tích phân ...................................................................................................................... 172 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 172 II. GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỐNG CASIO ........................................................ 176 1. Kiến thức nền tảng ...................................................................................................................... 176 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 176 E. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................ 188 I. ĐỀ BÀI .............................................................................................................................................. 188 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ............................................................................. 210 CHỦ ĐỀ 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ................................................................. 243 A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ............................................. 243 I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM ................................................................................................................ 243 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ................................................................................................ 245 1. Một số bài toán về tính diện tích giới hạn bởi các đường cho trước .............................................. 245 2. Một số bài toán về ứng dụng tích phân tính diện tích trong thực tế ............................................. 250 B. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY ................................................ 255 I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM ................................................................................................................ 255 1. Tính thể tích vật thể ..................................................................................................................... 255 2. Tính thể tích khối tròn xoay ......................................................................................................... 255 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ................................................................................................ 256 1. Một số bài toán tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường cho trước ...... 256 2. Một số bài toán tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong thực tế ............................... 259 C. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC LĨNH VỰC KHÁC ........................................... 264 I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý .............................................................................................. 264 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ................................................................................................ 264 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................ 268 I. ĐỀ BÀI .............................................................................................................................................. 268 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH ...................................................................... 268 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH ......................................................................... 276 3. ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN ................................................................................ 284 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ............................................................................................... 289 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH ...................................................................... 289 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH ......................................................................... 305 3. ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN ................................................................................ 315 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 6 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Chuû ñeà 1 NGUYEÂN HAØM A. KIẾN THỨC CẦN NẮM I. NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu ' F x f x với mọi x K . 2. Định lí: Giả sử hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K . Khi đó: 1) Với mỗi hằng số C , hàm số F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K . 2) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G x của f x trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G x F x C với mọi x K . Do đó , F x C C là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . Ký hiệu x f x d F x C Nhận xét: Nếu F x và G x cùng là nguyên hàm của hàm số f x trên K thì: (i) , F x G x x K (ii) , F x G x C với C là hằng số nào đó II. TÍNH CHẤT f x d x f x C • f x dx f x . 0 k f x dx k f x dx k • f x g x dx f x dx g x dx Cho f x dx F x C . Khi đó: 1 0 f ax b dx F ax b C a a III. SỰ TỒN TẠI CỦA NGUYÊN HÀM Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . IV. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp u u x Nguyên hàm của hàm số hợp ; 0 u ax b a dx x C du u C d ax b ax b C 1 1 1 x x dx C 1 1 1 u u du C 1 1 1 1 ax b ax b dx C a 1 ln dx x C x 1 ln du u C u 1 1 .ln dx ax b C ax b a Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 7 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 1 1 dx C x x 2 1 1 du C u u 2 1 1 1 . du C a ax b ax b 2 3 x dx x x C 2 3 u du u u C 1 2 . 3 ax b dx ax b ax b C a x x e dx e C u u e du e C 1 ax b ax b e dx e C a 0, 1 ln x x a a dx C a a a 0, 1 ln u u a a du C a a a 1 ln m x n mx n a a dx C m a sin cos xdx x C sin cos udu u C 1 sin cos ax b dx ax b C a cos sin xdx x C cos sin udu u C 1 cos sin ax b dx ax b C a tan . ln cos x dx x C tan . ln cos u du u C 1 tan ln cos ax b dx ax b C a cot . ln sin x dx x C cot . ln sin u du u C 1 cot ln sin ax b dx ax b C a 2 1 cot sin dx x C x 2 1 cot sin du u C u 2 1 1 cot sin dx ax b C a ax b 2 1 tan cos dx x C x 2 1 tan cos du u C u 2 1 1 tan cos dx ax b C a ax b 1 ln tan sin 2 x dx C x 1 ln tan sin 2 u du C u 1 ln 2 sin dx ax b tg C a ax b 1 ln tan cos 2 4 x dx C x 1 ln tan cos 2 4 u du C u 1 ln tan 2 4 cos dx ax b C a ax b * Một số công thức tìm nhanh nguyên hàm của các hàm phức tạp: 1 1 2 dx ax b C a ax b n n m m n x dx x x C m n 2 2 1 dx x arctg C a a a x 2 2 arcsin arcsin x x dx x a x C a a 2 2 1 ln 2 dx a x C a a x a x 2 2 arccos dx arccos x x x a x C a a 2 2 2 2 ln dx x x a C x a 2 2 arctan arctan ln 2 x x a dx x a x C a a 2 2 arcsin dx x C a a x 2 2 cot cot ln 2 x x a arc dx xarc a x C a a 2 2 1 arccos dx x C a a x x a 2 2 2 2 1 ln dx a x a C a x x x a 2 2 2 ln 2 2 x a x a dx x a x x a C 2 2 2 2 2 arcsin 2 2 x a x a x a x dx C a Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 8 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM VÀ NHƯ ̃NG DA ̣NG TOA ́N THƯỜNG GẶP I. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1. Phương pháp chung + Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa . x Lúc này, mỗi biểu thức chứa x là những dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm. + Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm. 2. Một số dạng toán và bài toán minh họa a. Tìm nguyên hàm các đa thức, lũy thừa, mũ, các hàm chứa căn Tổng quát cách tìm nguyên hàm: Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triễn. Tích các hàm mũ PP khai triển theo công thức mũ. Chứa căn PP chuyển về lũy thừa. Bài toán 1: Tìm các nguyên hàm sau đây: a) 1 5 3 3 4 2 x x x dx b) 3 2 x x dx c) 2 4 6 2 x x dx x Lời giải: a) 1 1 1 6 2 3 5 3 6 3 3 2 2 1 3 4 2 4 2 1 6 2 3 4 1 3 x x x x x x dx C x x x C x . b) 5 3 2 2 2 2 2 6 3 2 3 2 3 2 3 2 5 2 5 2 x x x x dx x x x dx x x dx C x x x C . c) 2 2 4 6 1 3 2 3ln 2 2 x x dx x dx x x x C x x x . Bài toán 2: Tìm các nguyên hàm sau: a) 1 2 ( )( ) . dx x x b) 9 2 . x x dx c) 2 1 . 1 x dx e . Lời giải: a) Ta có thể lựa chọn hai cách trình bày sau: Cách 1: Ta biến đổi: 2 3 2 1 2 3 2 1 3 ( )( ) ( ) 3 2 . 2 x x dx x x dx x x x C Cách 2: Ta biến đổi: 2 ( )( ) ( )[( ) 1 ] [ 2 1 1 1 1 ( 1 ( ) )] x x dx x x dx x x dx 2 3 2 1 1 [( ) ( )] ( 1 1 1 1 1 . ) ( ) ( ) 3 2 x x d x x x C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 9 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng b) Sử dụng đồng nhất thức 2 2 x x , ta được: 9 9 10 9 2 2 2 2 2 2 . ] 2 [ x x x x x x Khi đó: 11 10 9 10 9 ( 2) 2( 2) ( ) ( 2) ( 2) 2( 2) 11 10 x x f x dx x x dx x x dx C . c) Sử dụng đồng nhất thức 2 2 1 1 x x e e , ta được: 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 1 1 1 1 x x x x x x e e e e e e . Suy ra: 2 2 2 2 2 ln ( 1) ( ) 1 1 1 1 . x x x x x e d e f x dx dx dx e C e x e Chúng ta có thể tổng quát với nguyên hàm: a I x ax b dx , với 0 a bằng việc sử dụng đồng nhất thức: x= 1 a . ax = 1 a . ax b b Bài toán 3: Tìm các nguyên hàm sau: a) 2 10 x dx . b) 2 1 x x dx e . c) 3 5 x x e e x dx x x d) 2 1 2 x x x e e dx e Lời giải: a) Ta có 2 100 10 100 ln100 x x x dx dx C . b) Ta có 2 1 2 1 2 x x x x x x x dx dx dx dx e dx e e e e 2 2 2 ln 2 1 ln x x x x x e e C e C e e . c) 2 2 2 3 3 3 5 5 5 2 x x x x x e e xe dx e dx e C x x x x d) 2 2 2 2 1 2 2 ( 1) 2 1 1 1 . 2 2 4 2 2 x x x x x x x x x x e e e e x dx dx e e dx e e C e e . Bài toán 4: Tìm các nguyên hàm sau: 1 ) 2 1 2 1 a dx x x 2 ) 1 x b dx x x Lời giải: a) Ta có: 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x dx dx x x x x 1 1 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 x x dx x x C b) Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 x x x dx xdx x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 10 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 1 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 ( 1) 1 2 3 3 x x dx x dx x d x x dx x x C . Nhận xét: Để tìm nguyên hàm của các hàm số ở ví dụ trên chúng ta đều sử dụng phép nhân liên hợp bậc hai, cụ thể: A B có liên hợp là A B và ngược lại. b. Tìm nguyên hàm của hàm hữu tỉ Bài toán: Tìm nguyên hàm ( ) , ( ) P x I dx Q x với ( ) P x và ( ) Q x là các đa thức không căn. Phương pháp giải: Tách ( ) ( ) P x Q x thành các phân số có thể lấy nguyên hàm theo bảng nguyên hàm. Nếu bậc của tử số ( ) P x bậc của mẫu số ( ) Q x PP Chia đa thức. Nếu bậc của tử số ( ) P x bậc của mẫu số ( ) Q x PP Xem xét mẫu số và khi đó: o Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số. Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp: 1 1 • ( ) ( ) a c ax b cx d ad bc ax b cx d • mx n A B ax b cx d ax b cx d = ( ) ( )( ) Ac Ba x Ad Bb ax b cx d Ta được đồng nhất thức mx n Ac Ba x Ad Bb (1) Cách 1: (P/p đồng nhất hệ số): Đồng nhất đẳng thức,ta được: Ac Ba m Ad Bb n . Suy ra , . A B Cách 2: (P/p trị số riêng): Lần lượt thay ; b d x x a c vào 2 vế của (1), tìm được , . A B 2 2 • mx n A B ax b ax b ax b 2 2 • mx n A B C cx d ax b ax b cx d ax b . 2 * mx n A cx d B ax b C ax b cx d Tìm , , A B C : Lần lượt thay ; ; 0 b d x x x a c vào 2 vế của * . 2 2 1 , ( ) ( ) A Bx C x m x m ax bx c ax bx c với 2 4 0. b ac 2 2 2 2 1 • ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D x a x b x a x b x a x b o Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác bằng phương pháp đổi biến dạng 2 sẽ trình bày ở phần sau). Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 11 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài toán 5: Tìm các nguyên hàm sau đây a) 2 2 2 1 x x dx x b) 11 2 1 3 2 x dx x x c) 3 2 2 6 2 3 x dx x x Lời giải: a) 2 2 2 2 5 1 3 3 5ln 1 1 1 2 x x dx x dx x x x C x x Nhận xét: Phép biến đổi quyết định trong bài giải trên đây là 2 2 2 5 3 1 1 x x x x x thông qua thực hiện phép chia đa thức 2 2 2 x x cho đa thức 1 x . b) 11 3 5 3 5 ln 2 1 ln 3 2 2 1 3 2 2 3 2 1 3 2 x dx dx x x C x x x x . Nhận xét: Phép biến đổi quyết định trong bài giải trên đây là 11 3 5 2 1 3 2 2 1 3 2 x x x x x Ở bài này trước tiên ta viết 11 2 1 3 2 2 1 3 2 x A B x x x x . Rồi quy đồng vế phải 3 2 2 3 2 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 A B x A B A B Ax A Bx B x x x x x x Đồng nhất tử thức, tức là cho 3 2 1 2 11 A B A B ta được 3 5 A B Viết , A B tìm được vào phép biến đổi đầu tiên, tức là: 11 3 5 2 1 3 2 2 1 3 2 x x x x x . c) 3 2 2 2 6 14 6 14 6 2 4 2 4 1 3 2 3 2 3 x x x dx x dx x dx x x x x x x 2 2 12 2 4 4 2 ln 1 12ln 3 1 3 x dx x x x x C x x Nhận xét: Câu c bài này là sự tổng hợp cả hai kỹ thuật giải của câu a và câu b. Bài toán 6: Tìm các nguyên hàm sau đây: a) 2 2 1 6 9 x dx x x b) 3 6 3 3 2 x dx x x Lời giải: a) 2 2 2 2 1 2 1 2 5 5 2ln 3 3 3 6 9 3 3 x x dx dx dx x C x x x x x x Chú ý: Ta phân tích phân số như sau: 2 2 2 2 2 2 3 5 2 3 2 1 5 2 5 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 12 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng b) 3 2 2 6 3 6 3 3 1 1 1 3 ln 2 1 2 1 3 2 1 2 1 x x x dx dx dx C x x x x x x x x x . Bài toán 7: Tìm các nguyên hàm sau: a) 3 2 3 1 4 28 65 50 x dx x x x b) 2 3 3 3 5 3 3 2 x x dx x x . Lời giải: a) Ta phân tích: 3 2 2 2 2 3 1 3 1 2 2 5 4 28 65 50 2 5 2 2 5 3 1 2 2 5 2 2 5 * x x A B C x x x x x x x x x A x B x C x x Lần lượt thay 5 2; ; 0 2 x x x vào * , ta được 13 5 10 A B C Nên: 3 2 2 3 1 13 5 10 2 2 5 4 28 65 50 2 5 x x x x x x x 3 2 2 3 1 13 5 10 2 2 5 4 28 65 50 2 5 13 5ln 2 5ln 2 5 . 2 2 5 x dx dx x x x x x x x x x b) Ta phân tích: 2 2 3 2 2 2 2 3 3 5 3 3 5 1 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 5 * x x x x A B C x x x x x x x A x B x x C x x x Với 11 1 3 x A ; Với 11 2 9 x C Với 16 0 2 2 5 9 x A B C B . Suy ra: 2 3 2 3 3 5 11 16 11 9 1 9 2 3 3 2 3 1 x x x x x x x 2 3 2 3 3 5 11 16 11 9 1 9 2 3 3 2 3 1 11 16 11 ln 1 ln 2 9 9 3 1 x x dx dx x x x x x x x C x Phần tìm nguyên hàm, tính tích phân của hàm hửu tỷ sẽ được trình bày chi tiết và cụ thể hơn ở chủ đề 2 ( Tích Phân ) khi ta đã học hết các phương pháp thì ta sẽ có thêm nhiều công cụ để tìm nguyên hàm, tích phân của hàm hữu tỉ. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 13 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng c. Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác Đối với những bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số có chứa các công thức lượng giác, các em phải nắm vững các kiến thức công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức nhân ba, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức hạ bậc,...để đưa hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hiệu các biểu thức có thể lấy nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản. * Tích lượng giác bậc một của sin và cosin PP khai triễn theo công thức tích thành tổng. 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 ax bx a b x a b x 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 ax bx a b x a b x 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 ax bx a b x a b x * Bậc chẵn của sin và cosin PP Hạ bậc: 2 2 1 cos 2 1 cos 2 sin ; cos 2 2 x x x x 4 4 2 6 6 2 1 1 3 3 3 5 sin cos 1 sin 2 cos 4 sin cos 1 sin 2 cos 4 2 4 4 4 8 8 x x x x x x x x Bài toán 8: Tìm các nguyên hàm sau đây a) 2 cos 3cos 5 x x dx b) sin 5 sin 2 x x dx c) sin 3 cos 5 x x dx Lời giải: a) 3 2 cos 3cos 5 2 sin sin 5 5 x x dx x x C b) 1 1 1 1 sin 5 sin 2 cos 3 cos7 sin 3 sin7 2 2 3 7 x xdx x x dx x x C c) 1 1 cos8 cos 2 sin 3 cos 5 sin 8 sin 2 . 2 2 8 2 x x x xdx x x dx C Bài toán 9: Tìm các nguyên hàm sau đây a) 2 4cos x d x b) 2 1 2 sin x dx c) sin cos sin x x xdx Lời giải: a) Ta có 2 1 cos 2 4cos 4 2 1 cos 2 2 x x d x d x x d x sin 2 2 2 sin 2 . 2 x x C x x C b) Ta có 2 2 1 2 sin 1 4 sin 4 sin x dx x x dx 1 cos 2 1 4 sin 4 3 4 sin 2cos 2 2 3 4 cos sin 2 . x x dx x x dx x x x C c) 2 sin cos sin sin sin cos x x x dx x x x dx 1 cos 2 sin 2 1 1 1 sin 2 cos 2 2 2 2 2 2 x x dx x x x C . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 14 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài toán 10: Tìm các nguyên hàm sau: a) 2 2 1 sin cos dx x x b) 4 2 1 4cos 4 cos 1 dx x x c) 3 cos xdx d) 3 tan x dx Lời giải: a) Cách 1: Ta có : 2 2 2 2 1 4 1 1 4 4 cot 2 2 cot 2 . 2 sin cos sin 2 sin 2 dx dx dx x C x C x x x x Cách 2: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 t 1 sin s 1 1 sin . an s sin . s s si ot n c . x co x dx dx dx x co x x c x x C o x co x x b) Ta có 4 2 2 2 1 1 4cos 4cos 1 2cos 1 dx dx x x x 2 1 tan 2 2 cos 2 x dx C x . c) Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta biến đổi: 3 cos xdx 3cos cos 3 1 4 x x dx 1 1 3sin sin 3 4 3 x x C . Cách 2: Ta biến đổi: 3 2 2 cos cos .cos . 1 sin co ( s . ) xdx x x dx x x dx 2 cos . sin . sin x dx x d x sin x 1 3 3 sin . x C d) Sử dụng đồng nhất thức: 3 2 tan tan .tan x x x 2 1 1 tan cos x x 2 1 tan . tan cos x x x . Ta được: 2 1 tan . tan cos x x dx x 2 1 sin tan . cos cos x x dx dx x x (cos ) tan . (tan ) cos d x x d x x 1 2 2 tan ln cos . x x C Ở câu d) chúng ta có thể tổng quát với cot n n I dx (hoặc tan n n I dx ), với 2. n Bài toán 11: Tìm các nguyên hàm sau đây a) 2 2 2 tan cos sin x x dx x b) cos 2 1 cos x dx x c) 4 1 sin 2 dx x d) 2 2 tan 2 cot 2 x x dx Lời giải: a) 2 2 2 2 2 tan cos 1 1 1 tan cot sin cos sin x x dx dx x x x C x x x b) 2 cos 2 3 3 1 3 tan 1 cos 1 cos 2 2cos 2 x x dx dx dx dx x C x x x . c) Sử dụng kết quả 2 1 (cot 2 ) 2 sin 2 dx d x x , ta được: 4 sin 2 dx x 2 2 1 . sin 2 sin 2 dx x x 2 1 (1 cot 2 ) (cot 2 ) 2 x d x 3 1 1 cot 2 cot 2 2 6 x x C . d) Ta có: 2 2 tan 2 cot 2 x x dx 2 2 1 1 1 1 cos 2 sin 2 dx x x 1 2 tan 2 cot 2 2 x x x C . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 15 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 3. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định): a) 5 3 2 ( ) 6 12 8. f x x x x ĐS: 3 6 4 ( ) 3 8 . 3 x F x x x x C b) 2 ( ) ( 3 ) ( 1) f x x x x ĐS: 4 3 2 2 3 ( ) . 4 3 2 x x x F x C c) 2 2 1 1 ( ) 3 f x x x ĐS: 3 1 ( ) . 3 3 x x F x C x d) 2 1 ( ) x f x x ĐS: 1 ( ) ln . F x x C x e) 2 ( ) 2 sin 2 x f x ĐS: ( ) sin . F x x x C f) 2 ( ) tan . f x x ĐS: ( ) tan . F x x x C g) ( ) 2sin 3 cos 2 . f x x x ĐS: 1 ( ) cos 5 cos . 5 F x x x C h) 2 ( ) 2 cos x x e f x e x ĐS: ( ) 2 tan . x F x e x C i) 3 ( ) . I x x dx ĐS: 2 3 3 . 2 I x C j) 3 5 1 3 5 2 I dx x x x ĐS: 3 5 2 4 9 25 ( ) . 2 4 F x x x x C k) 1 (3cos 3 ) x I x dx ĐS: 1 3 3sin . ln 3 x I x C l) 2 (tan 2 cot ) . . I x x dx ĐS: tan 4cot 9 . I x x x C m) 3 .( 4). . I u u du ĐS: 3 3 7 4 3 3 . 7 I u u C Bài tập 2: Tìm F x f x dx . Biết: a) 1 ( ) , (1) 2. f x x x F x ĐS: 5 2 22 ( ) 2 5 5 F x x x b) sin 2 .cos . , I x x dx biết 0. 3 F ĐS: 1 1 7 ( ) cos cos 6 2 12 F x x x c) 4 3 2 3 2 5 , x x I dx x biết (1) 2. F ĐS: 3 2 5 ( ) 7. F x x x x d) 3 2 2 3 3 7 , ( 1) x x x I dx x biết (0) 8. F ĐS: 2 8 ( ) 2 1 x F x x x e) 2 sin , 2 x I dx biết 2 4 F ĐS: sin 1 ( ) 2 2 2 x x F x f) 1 , I x x dx x biết 7 (1) 2 F ĐS: 2 1 ( ) 3 3ln 1. 2 x F x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 16 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau: a) 4 2 2 3 2 1 x x x I dx x ĐS: 3 1 3 2ln . 3 x I x x C x b) 2 1 2 x x I dx x ĐS: 2 3ln 2 . 2 x I x x C c) 2 4 6 1 2 1 x x I dx x ĐS: 2 1 2 ln 2 1 . 2 I x x x C d) 3 2 4 4 1 2 1 x x I dx x ĐS: 3 2 2 1 ln 2 1 . 3 2 2 2 x x x I x C e) 2 4 dx I x ĐS: 1 2 ln . 4 2 x I C x f) 2 6 9 dx I x x ĐS: 1 . 3 I C x g) 2 4 5 2 x I dx x x ĐS: ln 2 3ln 1 . I x x C h) 2 1 2 2 x I dx x x ĐS: 1 3 ln ln 2 . 2 2 I x x C i) 2 2 7 12 x dx I x x ĐS: 16 ln 4 9ln 3 . I x x x C j) 2 2 1 1 x I dx x ĐS: 1 ln . 1 x I x C x k) 2 3 2 4 4 1 x I dx x x ĐS: 3 7 ln 2 1 . 4 4(2 1) I x C x l) 2 2 ( 2) x x I dx x ĐS: 2 3ln 2 . 2 I x x C x m) 2 2 2 . (1 ) x dx I x ĐS: 1 1 1 1 ln . 4 1 1 1 x I C x x x Bài tập 4: Tính các nguyên hàm sau: a) 2 3 2 2 5 3 2 x x I dx x x x ĐS: 3 5 ln 2ln 1 ln 2 . 2 2 I x x x C b) 2 3 2 2 8 10 4 4 x x I dx x x x ĐS: 1 20 17 ln 2 ln 1 ln 2 . 6 3 2 I x x x C c) 3 3 2 1 5 6 x I dx x x x ĐS: 1 9 28 ln ln 2 ln 3 . 6 2 3 I x x x x C d) 2 3 3 3 3 3 2 x x I dx x x ĐS: 3 2ln 1 ln 2 . 1 I x x C x e) 3 ( 1) dx I x x ĐS: 3 1 ln ln( 1) . 3 I x x C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 17 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng II. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 Có 2 loại phương pháp đổi biến (dạng 1 và dạng 2). Nhưng thông thường ta hay gặp những dạng toán đổi biến dạng 1 để tìm nguyên hàm của hàm số. Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm d I f x x , trong đó ta có thể phân tích ' f x g u x u x thì ta thực hiện phép đổi biến số t u x , suy ra ' dt u x dx . Khi đó ta được nguyên hàm: d . g t t G t C G u x C Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x . Các cách đặt cho các dạng toán thường gặp: 1 1 2 2 ( ) . 1 ( 1). . . , 1 ( ) 2 . PP n m n PP n n n PP n I f ax b xdx t ax b dt a dx x I dx t ax dt n a x dx ax I f ax b xdx t ax b dt ax dx với , . m n ( ) ( ) n I f x f x dx PP Đặt ( ), n t f x trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2. 1 (ln ) 1 ( ln ) I f x dx x I f a b x dx x PP Đặt ln ln t x t a b x • PP f x I dx f x Đặt . t f x ( ) x x I f e e dx PP Đặt . x x t e dt e (cos ) sin I f x xdx PP Đặt cos sin . t x dt xdx (sin ) cos I f x xdx PP Đặt sin cos . t x dt xdx 2 1 (tan ) cos I f x dx x PP Đặt 2 2 1 tan (1 tan ) . cos t x dt dx x dx x 2 1 (cot ) sin I f x dx x PP Đặt 2 2 1 cot (1 cot ) . sin t x dt dx x dx x 2 2 (sin ; cos ) sin 2 I f x x xdx PP Đặt 2 2 sin sin 2 cos sin 2 t x dt xdx t x dt xdx (sin cos ) (sin cos ) I f x x x x dx PP Đặt sin cos . t x x ( )( ) dx I x a x b PP Đặt 0 0 0 0 x a t x a x b x b x a t x a x b x b khi khi 1 ,..., k n n I R ax b ax b dx PP Đặt n t ax b với 1 2 . . . ; ;...; k n B C N N n n n Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 18 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Một số bài toán minh họa Bài toán 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây: a) 2sin 1 3cos x d x x b) 3 2 1 x dx x c) 3 2 1 2 3 x dx x x Lời giải: a) Đặt 1 3cos , t x suy ra 1 3sin sin 3 dt x dx dt x dx Khi đó 2sin 1 2 2 2 ln ln 1 3cos 1 3cos 3 3 3 x dx dt t C x C x t Cách dùng vi phân: 2 sin 2 1 2 1 3cos ln 1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3 x dx d x x C x x . b) Xét 3 2 2 2 1 1 x x dx xdx x x Đặt 2 1 , t x suy ra 1 2 2 dt xdx dt xdx và 2 1 x t Khi đó 2 2 1 1 1 1 1 1 ln 2 2 2 1 x t xdx dt dt t t C t t x Như vậy 3 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 1 1 ln(1 ) 1 2 2 x dx x x C x x C x Cách dùng vi phân: 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ln(1 ) 2 2 1 1 1 x x dx xdx d x x x C x x x . c) Xét 3 2 2 2 1 2 1 1 2 3 2 3 x x x dx x dx x x x x Đặt 2 2 2, t x x suy ra 1 2 2 1 2 dt x dx dt x dx Khi đó 2 2 2 1 1 4 1 4 1 1 1 4ln 2 2 2 2 3 x x t x dx dt dt t t C t t x x Như vậy 3 2 2 2 1 1 2 3 4 ln 2 3 2 2 3 x dx x x x x C x x Cách dùng vi phân: 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 4 1 1 2 3 2 2 3 2 3 2 3 x x x dx x dx d x x x x x x x x 2 2 1 2 3 4 ln 2 3 2 x x x x C . Phương pháp vi phân: (Sử dụng nhanh cho một số bài toán thay cho đổi biến) Giả sử ta cần tìm nguyên hàm I f x dx , trong đó ta có thể phân tích ' f x g u x u x ,ta có thể trình bày gọn bài toán bằng công thức vi phân u x dx d u x . Khi đó, nếu G x là một nguyên hàm của g x và u u x là một hàm số theo biến x thì: I f x dx g u x d u x G u x C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 19 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài toán 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a) tan 2 cos x e dx x b) 2 x xe dx c) 2 sin sin 2 x e xdx Lời giải: a) tan 2 cos x e dx x . Đặt tan , t x suy ra 2 1 cos dt dx x Khi đó tan tan 2 cos x t t x e dx e dt e C e C x Cách dùng vi phân: tan tan tan 2 tan cos x x x e dx e d x e C x b) 2 x xe dx . Đặt 2 , t x suy ra 1 2 2 dt xdx dt xdx Khi đó 2 2 1 1 1 2 2 2 x t t x xe dx e dt e C e C Cách dùng vi phân: 2 2 2 2 1 1 2 2 x x x xe dx e d x e C c) 2 sin sin 2 x e x dx . Đặt 2 sin , t x suy ra 2sin cos sin 2 dt x dx dt xdx Khi đó 2 2 sin sin sin 2 x t t x e xdx e dt e C e C Cách dùng vi phân: 2 2 2 sin sin 2 sin sin 2 sin x x x e x dx e d x e C . Bài toán 3: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a) 3 2 1 x dx x b) 6 5 3 1 x x dx c) 3 4 1 x dx x x Lời giải: a) Xét 3 3 1 2 2 4 2 1 2 1 x x dx dx x x . Đặt 2 1, t x suy ra 2 dt dx Khi đó 3 3 3 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 4 4 2 2 1 x t dx dt t dt C t t t t x Vậy 3 2 1 1 4 2 1 2 1 8 2 1 x dx C x x x . Cách dùng vi phân: 3 3 2 3 1 2 1 1 1 2 1 2 1 4 4 2 1 2 1 2 1 2 1 x x dx d x d x x x x x 2 2 1 1 1 1 1 4 2 1 4 2 1 2 2 1 8 2 1 C C x x x x b) Xét 6 6 5 3 3 3 2 1 1 x x dx x x x dx . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 20 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt 3 1 , t x suy ra 2 2 1 3 3 d t x d x d t x d x Khi đó 7 8 6 3 3 2 6 1 1 1 1 3 3 7 8 t t x x x dx t t dt C Vậy 7 8 3 3 6 5 3 1 1 1 21 24 x x x x dx C . c) Xét 3 3 3 2 4 3 3 3 1 1 1 1 1 x x x dx dx x dx x x x x x x Đặt +1, 3 t x suy ra 2 2 1 3 3 dt x dx dt x dx Khi đó 3 2 2 3 3 1 1 2 1 2 1 1 ln 3 3 1 3 1 1 1 x t t x dx dt dt C t t t t t x x . Vậy 2 3 3 4 3 1 1 1 ln 3 x x dx C x x x . Bài toán 4: Tìm các họ nguyên hàm sau đây: a) 2 4 1 x x dx b) 1 1 dx x x c) 3 2 9 x x dx Lời giải: a) Xét 4 2 1 x x dx . Đặt 4 2 4 2 1 1 , t x t x suy ra 3 3 4 2 2 t dt xdx t dt xdx Khi đó 4 2 2 5 4 2 3 2 1 1 2 1 2 . 5 5 x x t x x dx t t dt C C b) Xét 1 1 dx x x . Đặt 2 1 1 t x t x . Suy ra 2 2 1 tdt dx x t Khi đó 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 t dx dt dt dt t t t t t x x 1 1 1 ln ln 1 1 1 t x C C t x c) Xét 3 2 2 2 9 9. x x dx x x xdx . Đặt 2 2 2 9 9 t x t x . Suy ra 2 2 9 tdt xdx x t Khi đó 2 2 2 4 2 9. 9 . 9 x x xdx t t tdt t t dt 5 3 3 . 5 t t C Như vậy 5 2 3 3 2 2 9 9 3 9 5 x x x dx x C . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 21 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài toán 5: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a) 2 ln 1 ln x dx x x b) 2 2 ln 1 1 x x dx x c) 2 ln 1 ln 1 x dx x x Lời giải: a) Xét 2 ln 1 ln x dx x x . Đặt ln , t x suy ra 1 dt dx x Khi đó 2 2 2 2 ln 1 1 1 ln ln ln ln ln 2 2 x t t x dx dt t dt t C x C x x t t . b) Xét 2 2 ln 1 1 x x dx x . Đặt 2 2 2 2 1 ln 1 2 1 1 x x t x dt dx dt dx x x . Khi đó 2 2 2 2 2 ln 1 1 1 1 ln 1 2 4 4 1 x x dx tdt t C x C x . c) Xét 2 ln 1 ln 1 x dx x x . Đặt 2 2 1 1 ln 1 1 ln ln 2 t x t x x t t 2 2 dx t dt x . Khi đó 2 2 2 2 ln 2 2 1 ln 1 t t x dx t dt t x x 4 3 2 5 4 3 2 2 5 16 2 5 8 4 4 5 2 3 t t t t dt t t t t C . Như vậy 2 5 4 3 2 ln 2 5 16 4 5 2 3 1 ln 1 x dx t t t t C x x với 1 ln 1 t x . Bài toán 6: a) Biết d 2 ln 3 1 . f x x x x C Tìm 3 f x dx ? b) Cho hàm số 3 2 sin . f x x Tìm họ nguyên hàm 2 1 f x dx Lời giải: a) Xét 3 f x dx . Đặt 3 , t x suy ra 1 3 3 dt dx dt dx . Khi đó 1 1 1 3 2 ln 3 1 2.3 ln 3.3 1 3 3 3 f x dx f t dt t t C x x C Như vậy 3 2 ln 9 1 . f x dx x x C Cách dùng vi phân: 1 1 3 3 3 .2 3 ln 3 3 1 2 ln 9 1 3 3 f x dx f x d x x x C x x C b) Xét 2 1 f x dx . Đặt 2 1, t x suy ra 1 2 2 dt dx dt dx . Khi đó 1 1 3 3 2 1 2 sin 2 sin 2 1 2 2 2 2 f x dx f t dt f t C t C x C . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 22 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Nhận xét: Với đề bài này nếu không nắm tốt để sử dụng được tính chất nguyên hàm , f t dt f t C mà lại tính 2 1 f x để thay vào tính d 2 1 f x x , việc thực hiện bài giải sẽ gặp nhiều khó khăn và rất dễ dẫn đến nhiều sai sót. 2. Phương pháp đổi biến số dạng 2 Dấu hiệu Cách đặt 2 2 a x víi víi ; 2 2 sin cos 0; t x a t x a t t 2 2 x a víi víi sin co ; \ 0 2 2 0; \ s 2 a x t a x t t t 2 2 a x víi víi ; 2 2 tan cot 0; x a t x a t t t a x a x hoặc a x a x .cos2 x a t với 0; 2 t x a b x 2 x a b a t sin với 0; 2 t Một số bài toán minh họa Bài toán 7: Tìm các nguyên hàm sau ( với 0 a ): 2 2 ) dx a I a x 2 2 ) dx b I a x 2 2 ) 4 x c I dx x 3 2 ) 1 x dx d I x Lời giải: 2 2 ) dx a I a x . Đặt sin x a t , ; cos 0 2 2 t t , cos dx a tdt , arcsin x t a Do đó: 2 2 2 2 2 cos . sin dx a tdt I dt t C a x a a t Vậy 2 2 arcsin dx x I C a a x . 2 2 ) dx b I a x . Đặt tan x t , ; 2 2 t , 2 2 tan 1 cos dt dx t dt t , arctan t x Do đó: 2 2 2 2 2 2 (tan 1) . tan dx a t dt dt t I C a a a x a a t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 23 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Vậy 2 2 arctan dx x I C a a x 2 2 ) 4 x c I dx x . Đặt 2cos x t với 0; t , 2sin dx tdt 2 2 2 2 2 2 4cos .2sin 4cos .2sin 2cos 2sin 4 4 1 cos 2 (1 cos 2 ) 2 sin 2 . x t tdt t tdt I dx tdt t x t t dt t t C Ta có: 2cos x t với 0; t sin 0 t . Nên 2 2 4 sin 2 2 sin .cos 2 1 . 4 2 2 x x x x t t t Vậy 2 2 2 4 2arccos 2 2 4 x x x x I dx C x . 3 2 ) 1 x dx d I x . Đặt sin cos x t dx dt với 2 cos 0 co 2 s 1 2 t t t x 3 3 3 2 2 2 3 sin .cos sin sin .sin (1 cos ) (cos ) cos 1 cos cos . 3 x dx t t I dt tdt t t dt t d t t x t t C Vậy 2 2 3 2 2 1 1 1 . 3 1 x x x dx I x C x ( có thể giải bằng cách đặt t = 2 1 x ) Bài toán 8: Tìm họ nguyên hàm của f x . Biết: 3 2 1 ) ( ) 1 a f x x 3 2 1 ) ( ) 1 b f x x 2 2 ) 4 4 dx c I x x Lời giải: 3 2 ) 1 dx a x . Đặt cos ,0 x t t sin . ; dx t dt Khi đó: 3 2 2 sin . ( ). cot cot sin sin 1 t dt dt x f x dx d t t C C t t x Vậy 3 2 2 1 1 dx x C x x . 3 2 ) 1 dx b x . Đặt tan , cost 0 2 2 x t t , 2 cos dt dx t 3 3 2 2 2 cos sin 1 1 cos cos dx dt I tdt t C x t t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 24 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Ta có: 2 2 2 2 sin sin cos 1 1 ; cos 0 sin 1 2 2 cos cos 1 x t t t x t t t x t t x víi Vậy 3 2 2 . 1 1 dx x I C x x 2 2 ) 4 4 dx c I x x . Đặt 2sin , 2 2co 2 s ; t x t dx tdt Vậy 2 2 2 2 2 2cos 2cos 1 1 tan tan arcsin 4 4 2 4cos 4 4sin 4 4sin 4cos 4cos tdt tdt dt x I t C t t t t t . 3. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tính các nguyên hàm sau: a) 2015 (1 ) I x x dx ĐS: 2016 2017 (1 ) (1 ) . 2016 2017 x x I C b) 2 9 ( 1) I x x dx ĐS: 12 11 10 ( 1) 2( 1) ( 1) . 12 11 10 x x x I C c) 3 2 8 (2 3 ) I x x dx ĐS: 2 10 2 9 (2 3 ) (2 3 ) . 180 81 x x I C d) 2 2 xdx I x ĐS: 2 1 ln 2 . 2 I x C e) 2 2 ( 1) x I dx x ĐS: 2 2 ln 1 . 1 I x C x f) 5 ( 1) x I dx x ĐS: 3 1 1 1 1 . 4 1 3 ( 1) I C x x g) 3 2 1 x I dx x ĐS: 2 2 2 1 1 . 2(1 ) 4(1 ) I C x x h) 3 (2 1) xdx I x ĐS: 2 1 1 1 . 2 2(2 1) 4(2 1) I C x x Bài tập 2: Tính các nguyên hàm sau: a) 2 ( 1) 2 4 x dx I x x ĐS: 2 2 4 . I x x C b) 2 . 2 . . I x x dx ĐS: 2 3 (2 ) . 3 x I C c) 3 2 2 4 xdx I x ĐS: 2 2 3 3 ( 4) . 2 I x C d) 2 1 x dx I x ĐS: 2 2(3 4 8) 1 . 15 x x x I C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 25 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng e) 3 2 5 . 1 . . I x x dx ĐS: 4 2 3 15 (1 ) . 8 I x C f) 4 1 . 2 1 2 x I dx x ĐS: 2 1 4 2 1 5ln 2 1 2 . I x x x C g) 3 2 . 4 x I dx x ĐS: 2 3 2 (4 ) 4 4 . 3 x I x C h) 2 4 dx I x x ĐS: 2 2 1 4 2 ln . 4 4 2 x I C x i) 3 2 2 2 3 . 1 x x x I dx x x ĐS: 2 3 2 2 ( 1) 2 1 . 3 x x I x x C j) 3 sin . cos . . I x x dx ĐS: 3 2 (cos 7 cos ) cos . 21 I x x x C k) 2 ln . 1 3ln dx I x x x ĐS: 2 2 1 1 3ln 1 ln . 2 1 3ln 1 x I C x l) 2 1 xdx I x x ĐS: 2 3 3 ( 1) . 3 3 x x I C Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau: a) 2 1 ln I x dx x ĐS: 3 ln . 3 x I C b) 3ln 1 ln x I dx x x ĐS: 3ln ln ln . I x x C c) 1 (1 ln ) I x dx x ĐS: 2 (1 ln ) . 2 x I C d) ln 1 1 ln x I dx x x ĐS: 3 2 (1 ln ) 2 1 ln . 3 x I x C e) 3 2 ln . 2 ln x xdx I x ĐS: 2 4 3 3 (2 ln ) . 8 I x C f) 3 2 2 log 1 3ln x I dx x x ĐS: 2 3 2 3 (1 3ln ) 1 1 3ln . 3 9 ln 2 x I x C Bài tập 4: Tính các nguyên hàm sau: a) 1 x dx I e ĐS: 1 ln . x x e I C e b) 2 3 x x dx I e e ĐS: 2 ln . 1 x x e I C e c) 4. x x dx I e e ĐS: 1 2 ln . 4 2 x x e I C e Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 26 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng d) 3 (1 ) x x e I dx e ĐS: 2 (1 ) 1 2(1 ) 3 . 2 x x x e I e x C e e) 2 2 3 3 2 x x x x e e I dx e e ĐS: 2 1 3 1 ln( 3 2) ln . 2 2 2 x x x x e I e e C e f) 2 1 x x e I dx e ĐS: 3 2 ( 1) 1 . 3 x x e I e C g) x x dx I e e ĐS: 2 2 2 ln 1 . x x I e e C Bài tập 5: Tính các nguyên hàm sau: a) cos 1 sin xdx I x ĐS: ln 1 sin . I x C b) (2 sin 3)cos 2 sin 1 x x I dx x ĐS: 1 (2 sin 1) 4 ln 2 sin 1 . 2 I x x C c) 2 3cos (1 sin ) xdx I x ĐS: 3 . 1 sin I C x d) 2 cos 3 2 sin xdx I x ĐS: 3 ln sin . 2 I x C e) 2 1 2sin 1 sin 2 x I dx x ĐS: 1 ln 1 sin 2 . 2 I x C f) 2 sin 2 (2 sin ) x I dx x ĐS: 4 2 ln(2 sin ) . 2 sin I x C x g) 3 2 (cos 1).cos . . I x x dx ĐS: 5 3 sin 2sin 2 sin 2 sin . 5 3 4 x x x I x C x h) 2 cos 11 7 sin cos xdx I x x ĐS: 1 5 sin ln . 3 2 sin x I C x Bài tập 6: Tính các nguyên hàm sau: a) 3 4sin 1 cos x I dx x ĐS: 2 2(1 cos ) . I x C b) 2 3 cos sin I x xdx ĐS: 5 3 cos cos . 5 3 x x I C c) sin 2 cos 1 cos x x I dx x ĐS: 2 cos cos ln cos 1 . 2 x I x x C d) 2 sin 4 1 cos x I dx x ĐS: 6 ln(3 cos 2 ) 2 cos 2 6 . I x x C e) sin sin 3 cos 2 x x I dx x ĐS: 2 2 cos 1 ln 2cos . 2 2 cos 1 x I x C x f) 3 4 sin cos x I dx x ĐS: 3 1 1 . cos 3cos I C x x Bài tập 7: Tính các nguyên hàm sau: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 27 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng a) 4 6 sin cos x I dx x ĐS: 5 tan . 5 x I C b) 4 tan cos 2 x I dx x ĐS: 3 tan 1 tan 1 tan ln . 3 2 tan 1 x x I x C x c) 2 2 5cos 8 sin cos 3sin dx I x x x x ĐS: 1 3tan 5 ln . 2 tan 1 x I C x d) 3 4 (1 sin 2 ) 2 sin cos cos x dx I x x x ĐS: 2 tan 3tan 1 ln 2 tan 1 . 4 4 8 x x I x C e) 4 2 cos sin dx I x x ĐS: 3 tan 1 2 tan . 3 tan x I x C x f) cos cos 4 dx I x x ĐS: 2 ln 1 tan . I x C g) tan 4 cos2 x I dx x ĐS: 1 . 1 tan I C x Bài tập 8: Tính các nguyên hàm sau: a) 2 4 cos sin x I dx x ĐS: 3 1 cot . 3 I x C b) 2 8 cos sin x I dx x ĐS: 7 5 3 15cot 42cot 35cot . 105 x x x I C c) 2 4 sin cot dx I x x ĐS: 4 3 4 cot . 3 I x C d) 3 cos sin dx I x x ĐS: 2 1 ln cot cot . 2 I x x C e) 3 sin . (sin cos ) x dx I x x ĐS: 2 1 . 2(1 cot ) I C x f) cos 2 sin cos 2 xdx I x x ĐS: sin cos 2 2 ln sin cos 2 I x x x x g) 3 cos 2 (sin cos 2) x dx I x x ĐS: 2 1 1 . sin cos 2 (sin cos 2) I C x x x x Bài tập 9: Tính các nguyên hàm sau: a) 2 2 9 dx I x x ĐS: 2 9 . 9 x I C x b) 3 2 1 x I dx x ĐS: 2 2 1 ( 2) 1 . 3 I x x C c) 2 4 1 x I dx x ĐS: 3 2 2 3 (1 ) . 3 x I C x d) 2 4 dx I x ĐS: 2 ln 4 . I x x C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 28 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng III. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 1. Phương pháp Thuật toán: Bước 1: Ta biến đổi bài toán về dạng : 1 2 ( ) . I f x dx f x f x dx Bước 2: Đặt : 1 1 2 2 ' ( ) ( ) ( ) ( ) du f x dx u f x v f x dx dv f x Bước 3: Khi đó : . . . u dv u v v du Chú ý: Cần phải lựa chọn u và v d hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và nguyên hàm vdu dễ tính hơn udv . THỨ TỰ ƯU TIÊN ĐẶT u : NHẤT - LOG; NHÌ - ĐA, TAM - LƯỢNG; TỨ - MŨ Nghĩa là nếu có ln hay log a x thì chọn ln u hay ln log ln a x u x a và dv còn lại. Nếu không có ln; log thì chọn u đa thức và dv còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u lượng giác,….cuối cùng là mũ. Ta thường gặp các dạng sau: (Với P x là đa thức) Dạng Đặt d sin cos x I P x x x d ax b I P x e x d ln I P x mx n x d sin cos x x I e x x u P x P x ln mx n sin cos x x dv sin cos x dx x ax b dv e dx P x dx x e dx - Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. - Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. 2. Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần Bài toán 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a) 2 2 x x e dx b) 2 1 cos x xdx c) 2 3 1 ln x x dx d) 4 1 ln 1 x x dx Lời giải: a) Xét 2 2 x x e dx . Đặt 2 2 2 1 2 x x du dx u x dv e dx v e Khi đó 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 x x x x x x e dx x e e dx x e e C Vậy 2 2 1 2 2 3 4 x x x e dx x e C . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 29 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng b) Xét 2 1 cos x xdx . Đặt 2 1 2 cos sin u x du dx dv x dx v x Khi đó 2 1 cos 2 1 sin 2sin 2 1 sin 2 cos x x dx x x x dx x x x C Vậy 2 2 1 2 2 3 4 x x x e dx x e C c) Xét 2 3 1 ln x x dx . Đặt 2 3 1 ln 3 1 u x du dx x dv x dx v x x Khi đó 2 3 2 3 3 1 3 1 ln ln 1 ln 3 x xdx x x x x dx x x x x x C . d) Xét 4 1 ln 1 x x dx . Đặt 2 1 ln 1 1 4 1 2 u x du dx x dv x dx v x x Khi đó 2 2 2 4 1 ln 1 2 ln 1 1 x x x x dx x x x dx x 2 3 2 ln 1 2 3 1 x x x x dx x 2 2 2 ln 1 3 3ln 1 x x x x x x C 2 2 2 3 ln 1 3 x x x x x C . Bài toán 2: Hàm số ( ) y f x thỏa mãn ( )sin ( )cos cos x f x dx f x x xdx . Tìm ( ) y f x ? Lời giải: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có: Đặt sin cos u f x du f x dx dv xdx v x ( )sin cos cos f x xdx f x x f x xdx Mà theo giả thiết ( )sin ( )cos cos x f x xdx f x x xdx . Suy ra '( ) ( ) ln x x x f x f x dx C . Bài toán 3: Tìm nguyên hàm 2 ln 2 I x x dx Lời giải: Cách giải thông thường: Đặt 2 2 2 2 ln 2 2 2 x du u x x x dv xdx v Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 30 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Khi đó: 2 3 2 2 2 1 2 ln 2 ln 2 . 2 2 2 x x x I x dx x I x + Tìm 3 1 2 2 x I dx x . Đặt 2 2 2 2 dt t x dt xdx xdx 2 2 1 2 1 2 1 1 . 1 2 ln 2 2 ln 2 . 2 2 2 2 t dt I dt t t C x x C t t 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 ln 2 ln 2 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 ln 2 C. 2 2 2 2 x x I x I x x x C x x x x x C x Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số”: Đặt 2 2 2 2 2 ln 2 2 2 1 2 2 x du u x x x x dv xdx v ( 2 2 x v xdx C và ta chọn 1 C nên 2 1 2 x v ) Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 ln 2 C. 2 2 2 x x x I x xdx x Nhận xét: Qua bài toán trên các em được làm quen thêm một kĩ thuật chọn hệ số cho phương pháp tích phân từng phân. Kĩ thuật này được trình bày sau đây. Kĩ thuật chọn hệ số Khi đi tính tích phân từng phần, ở khâu đặt u f x du f x dx dv g x dx v G x C với C là hằng số bất kỳ ( chọn số nào cũng được ). Và theo một “thói quen” thì chúng ta thường chọn 0 C . Nhưng việc chọn 0 C lại làm cho việc tìm nguyên hàm (tích phân) vdu không được “đẹp” cho lắm. Vì ta có quyền chọn C là số thực bất kì nên ta sẽ chọn hệ số C thích hợp mà ở đó biếu thức vdu là đơn giản nhất. Cách làm như thế được gọi là “kĩ thuật chọn hệ số”. Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của 2 ln sin 2cos cos x x dx x . Lời giải: Cách giải thông thường: Đặt 2 ln sin 2cos cos 2sin sin 2cos tan cos u x x x x du dx x x dx dv v x x tan cos 2sin tan ln sin 2cos sin 2cos x x x I x x x dx x x . Khi đó việc đi tìm tan cos 2sin sin 2cos x x x dx x x sẽ trở nên rất khó khăn. Lúc này cần sự “lên tiếng” của “kĩ thuật chọn hệ số”. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 31 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số”: Đặt 2 cos 2 sin ln sin 2 cos sin 2 cos sin cos tan cos cos x x u x x du dx x x dx x C x dv v x C x x Khi đó: sin cos cos 2sin . cos sin 2 cos x C x x x vdu dx x x x . Để nguyên hàm này đơn giản ta “Chọn 2 C ” lúc này ta được cos 2 sin cos x x vdu dx x . cos 2 sin tan ln sin 2 cos tan ln sin 2 cos 2 ln cot . cos x x I x x x dx x x x x x C x Bài toán 5: Tìm họ nguyên hàm 2 sin 1 3 x x dx Lời giải: + Xét 2 sin 1 3 I x x dx Đặt 2 2 1 sin 1 3 cos 1 3 3 du xdx u x dv x dx v x . Khi đó thì 2 2 1 2 sin 1 3 cos 1 3 cos 1 3 3 3 I x x dx x x x x dx + Xét 2 cos 1 3 3 J x x dx Đặt lại 2 3 cos 1 3 u x dv x dx 2 3 1 sin 1 3 3 du dx v x . 2 2 2 cos 1 3 sin 1 3 sin 1 3 3 9 9 J x x dx x x x dx 2 2 sin 1 3 cos 1 3 9 27 x x x C Vậy, 2 2 1 2 2 sin 1 3 cos 1 3 sin 1 3 cos 1 3 3 9 27 I x x dx x x x x x C . Lưu ý: Trên đây là bài giải chuẩn, tuy nhiên, nếu chỉ cần tìm đáp số cuối cùng ta có thể thực hiện theo phương pháp từng phân theo sơ đồ đường chéo. Phương pháp từng phần bằng sơ đồ đường chéo: Bước 1: Chia thành 2 cột: + Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0 . + Cột 2: Cột dv luôn lấy nguyên hàm cho đến khi tương ứng với cột 1. Bước 2: Nhân chéo kết quả của 2 cột với nhau. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu , sau đó đan dấu , , ,... Bước 3: Kết quả bài toán là tổng các phép nhân vừa tìm được. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 32 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Áp dụng cho bài toán ở trên: (Lấy đạo hàm) Dấu (Lấy nguyên hàm) 2 u x sin 1 3 dv x 2x 1 cos 1 3 3 x 2 1 sin 1 3 9 x 0 1 cos 1 3 27 x Kết quả: 2 2 1 2 2 sin 1 3 cos 1 3 sin 1 3 cos 1 3 3 9 27 I x x dx x x x x x C . Tiếp theo là một bài toán sử dụng phương pháp từng phần bằng sơ đồ đường chéo: Bài toán 6: Tìm họ nguyên hàm: 5 x x e dx Lời giải: Nhận xét: Về mặt lý thuyết bài này ta hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp tích phân từng phần. Song ta phải sử dụng tới 5 lần tích phân từng phần ( vì bậc của đa thức 5 x là 5 ---khá dài ). Lúc này ta sẽ làm theo sơ đồ tích phân đường chéo: Kết quả tìm được: 5 5 4 3 2 5 20 60 120 120 x x x x x x x x e dx x e x e x e x e xe e C 5 4 3 2 5 20 60 120 120 . x x x x x x e C Cách 2: Ta sử dụng công thức: * x x f x f x e dx f x e C Thật vậy: x x x x f x e C f x e f x e f x f x e (đpcm) Đạo hàm Dấu Nguyên hàm 5 u x x dv e 4 5x x e 3 20x x e 2 60x x e 120x x e 120 x e 0 x e Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 33 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Áp dụng công thức * ta được: 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 0 0 5 5 20 20 60 60 120 120 120 120 x x I x e dx x x x x x x x x x e dx 1 1 1 1 1 1 5 4 4 3 3 2 2 0 0 0 0 0 0 5 5 4 20 3 60 2 120 1 120 x x x x x x x x e dx x x e dx x x e dx x x e dx x e dx dx = 1 5 4 3 2 0 5 20 60 120 120 120 44 . x x x x x x e e Tích phân đường chéo Nguyên hàm lặp: Nếu ta tính tích phân theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại nguyên hàm ban đầu cần tính (không kể dấu và hệ số) thì dừng lại luôn tại dòng đó, không chia dòng nữa. Cách tính: các dòng vẫn nhân chéo như các trường hợp trên, nhưng thêm tÝch cña 2 phÇn tö dßng cuèi cïng vẫn sử dụng quy tắc đan dấu. Sau đây là ví dụ minh họa: Bài toán 7: Tìm nguyên hàm: 2 3 x I e cos xdx Lời giải: Đạo hàm Dấu Nguyên hàm cos3 u x 2x dv e 3sin 3x 2 1 2 x e 9cos3x 2 1 4 x e Ta có 2 2 2 1 1 1 cos 3 3sin 3 9 cos 3 2 4 4 x x x I e x x e x e dx 2 2 1 3 9 3 2 4 4 x x e cos x e I sin3x 2 2 2 2 13 1 3 2 3 cos 3 sin 3 cos 3 sin 3 4 2 4 13 13 x x x x I e x e x C I e x e x C . Bài toán 8: Tìm họ nguyên hàm sin x e xdx Lời giải: Cách 1: Cách giải từng phần thông thường + Xét sin x F x e xdx . Đặt sin x u x dv e dx cos x du xdx v e . Khi đó: sin cos sin x x x F x e x e xdx e x G x (1) Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 34 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng + Với cos x G x e xdx . Đặt cos x u x dv e dx sin x du xdx v e . Khi đó: cos sin cos x x x G x e x e x dx C e x F x C (2) Từ (1) và (2) ta có sin cos sin cos 2 2 x x x e x x C F x e x e x F x C F x Vậy sin cos sin 2 x x e x x F x e xdx C . Ghi nhớ: Gặp .sin mx n e ax b dx hoặc .cos mx n e ax b dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp. Cách 2: (Phương pháp tích phân đường chéo) Đạo hàm u Dấu Nguyên hàm dv sin x x e cos x x e sin x x e Kết quả: sin cos e sinx cos sin sin cos . 2 x x x x x e x x I e x e xdx I e x x I I C Bài toán 9: Tìm nguyên hàm 1 .cos 2 1 . x I e x dx Lời giải: Cách 1: Cách giải từng phần thông thường Đặt: 1 1 cos 2 1 2sin 2 1 x x u x du x dx dv e dx v e Khi đó: 1 1 1 cos 2 1 2 sin 2 1 cos 2 1 2 x x x I e x e x dx e x J Xét tích phân J = 1 .sin(2 1). x e x dx Đặt: 1 1 sin(2 1) 2cos 2 1 x x u x du x dx dv e dx v e Khi đó: 1 1 1 sin 2 1 2 cos 2 1 sin 2 1 2 x x x J e x e x dx e x I C Suy ra : 1 1 1 cos 2 1 2 cos 2 1 2 sin 2 1 2 x x x I e x J e x e x I C 1 1 1 1 5 cos 2 1 2 sin 2 1 cos 2 1 2sin 2 1 . 5 x x x I e x e x I e x x C Cách 2: (Phương pháp đường chéo) Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 35 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đạo hàm u Dấu Nguyên hàm dv cos 2 1 x 1 x e 2 sin 2 1 x 1 x e 4cos 2 1 x 1 x e Kết quả: 1 1 1 1 1 cos 2 1 2 sin 2 1 4 cos 2 1 cos 2 1 2 sin 2 1 4 cos 2 1 2 sin 2 1 . 5 x x x x x I e x e x e x e x x I e x x I C Phương pháp đường chéo dạng: ln n f x ax b dx Đối với dạng bài tìm nguyên hàm ln n f x ax b dx vì vậy ưu tiên đặt ln n u ax b vì vậy khi đạo hàm " " u sẽ không bằng 0 được, vì vậy phải chuyển một lượng t x từ cột đạo hàm sang cột nguyên hàm để giảm mũ của ln đi 1 bậc ở cột đạo hàm. Tiếp tục làm tương tự cho đến khi cột đạo hàm bằng 0 thì dừng lại. Nhân chéo từ hàng đạo hàm đã thực hiện chuyển t x sang hàng kề dưới của cột nguyên hàm, vẫn sử dụng quy tắc đan dấu bình thường. Bài toán 10: Tìm nguyên hàm: 2 ln I x xdx Lời giải: Cách 1: Phương pháp từng phân thông thường Đặt 2 2 2 ln ln 2 x du dx u x x dv x x v . Khi đó: 2 2 2 2 1 ln ln ln . 2 2 x x I x x xdx x I + Tìm 1 ln I x xdx : Đặt 2 ln 2 dx du u x x dv x x v . Khi đó: 2 2 2 1 ln ln . 2 2 2 4 x x x x I x dx x C 2 2 2 2 2 2 1 ln ln ln ln . 2 2 4 2 2 x x x x I x x C x x C Cách 2: Phương pháp đường chéo Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 36 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Chuyển ( Chia) Đạo hàm Dấu Nguyên hàm Nhận (nhân) 2 ln x x 2 x 2 ln x x 2 2 x 2 x ln x x 1 x 1 x 2 2 x 1 x 1 2 x 0 2 4 x Kết quả: 2 2 2 2 2 2 1 ln ln ln ln . 2 2 4 2 2 x x x x I x x C x x C Bài toán 11: Tìm nguyên hàm: 2 2 4 3 ln 1 I x x x dx Lời giải: Đặt 2 2 1 ; 4 3 1 3 2 2 t x dt dx x x x x t t t t 2 2 2 2 4 3 ln 1 2 ln I x x x dx t t tdt Cách 1: Phương pháp từng phần thông thường Đặt 2 3 2 2 2 ln ln 2 3 t du dx u t t t dv t t v t . Khi đó: 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 ln ln t 2 ln t 2 ln ln t 2 * 3 3 3 3 3 t t t t t t I t t dt t t tdt t I t + Tính 2 1 ln . 3 t I t tdt Đặt 2 3 2 ln 3 9 2 dt u t du t t dv t dt t t v . Khi đó: 3 2 2 3 2 3 2 1 ln ln . 9 2 9 2 9 2 27 4 t t t t t t t t I t dt t C Thay 1 I vào * , ta được: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ln t ln * * 3 9 27 2 t t t t I t t t C Thay 1 t x vào * * ta được nguyên hàm 2 2 4 3 ln 1 x x x dx . Cách 2: Phương pháp đường chéo: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 37 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Chuyển (Chia) Đạo hàm u Dấu Nguyên hàm dv Nhận (Nhân) 2 ln t 2 2 t t 2 t 2lnt t 3 2 3 t t 2 t lnt 2 2 2 3 t t 1 t 1 t 3 2 2 9 t t 1 t 1 2 2 9 t t 0 3 2 2 27 2 t t Kết quả: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ln t ln * * 3 9 27 2 t t t t I t t t C . Thay 1 t x vào * * ta được nguyên hàm 2 2 4 3 ln 1 x x x dx . 3. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tính các nguyên hàm sau: a) sin I x x dx ĐS: sin cos . I x x C b) (1 2 ) x I x e dx ĐS: (3 2 ) . x I x e C c) (2 1) ln I x x dx ĐS: 2 2 ( )ln . 2 x I x x x x C d) 3x I x e dx ĐS: 3 3 . 3 9 x x xe e I C e) 2 ln 2 I x x dx ĐS: 3 3 ln 2 . 3 9 x x x I C f) ( 1) sin 2 I x x dx ĐS: 1 1 cos 2 sin 2 . 2 4 x I x x C g) sin 2 x I x dx ĐS: 2 cos 4 sin . 2 2 x x I x C h) ln(1 ) I x x dx ĐS: 2 2 ln(1 ) (1 ) ln(1 ) . 2 2 4 x x x I x C i) 2 sin I x x dx ĐS: 2 sin 2 cos 2 . 4 4 8 x x x x I C j) 2 ln( 1 ) I x x dx ĐS: 2 2 ln( 1 ) 1 . I x x x x C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 38 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng k) 1 ln 1 x I x dx x ĐS: 2 1 1 ln . 2 1 x x I x C x l) 3 ln x I dx x ĐS: 2 2 ln 1 . 2 4 x I C x x m) sin cos I x x x dx ĐS: 1 1 cos 2 sin 2 . 4 8 I x x x C n) 2 cos 3 x I e x dx ĐS: 2 1 (3sin 3 2 cos 3 ) . 13 x I e x x C o) 1 cos 2 x dx I x ĐS: 1 1 tan ln cos . 2 2 I x x x C p) 2 (2cos 1) I x x dx ĐS: 1 sin 2 cos 2 . 2 4 x I x x C q) 2 sin x I dx x ĐS: cot ln sin . I x x x C r) 2 ( 2) x I x e dx ĐS: 2 2 1 1 ( 2) . 2 4 x x I x e e C Bài tập 2: Tính các nguyên hàm sau: a) 2 2 1 ln x I x dx x ĐS: 1 1 ln . I x x x C x x b) cos I x dx ĐS: 2 sin 2 cos . I x x x C c) sin I x dx ĐS: 2 cos 2 sin . I x x x C d) 2 3 (8 2 ) x I x x e dx ĐS: 2 2 2 (4 1) 4 . x x I x e e C e) 2 3 . x I x e dx ĐS: 2 2 2 1 1 . 2 2 x x I x e e C f) 3 5 x I x e dx ĐS: 3 3 3 1 1 . 3 3 x x I x e e C g) sin sin 2 x I e x dx ĐS: sin sin 2sin . 2 . x x I x e e C h) x I x e dx ĐS: 2 4 4 . x x x I xe xe e C i) 2 ln( 1) I x x dx ĐS: 2 2 2 1 ( 1)ln( 1) . 2 I x x x x C j) 2 1 ln( 1) x I dx x ĐS: 1 1 ln 1 ln . 1 x I x C x x x k) ln( 1) x x I e e dx ĐS: ( 1)ln( 1) . x x x I e e e C l) 2 3 ln(4 8 3) ( 1) x x I dx x ĐS: 2 2 2 4 8 3 ln 4 8 3 4ln 1 . 2( 1) x x x x x C x m) 1 1 ln( 1) 2 I x x dx x ĐS: ( 1)ln 1 . I x x x x x x C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 39 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng IV. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP + Một số dạng nguyên hàm cần tách ra giải hai bài toán nguyên hàm riêng. + Một số dạng toán nguyên hàm mà khi giải cần vận dụng phối hợp hai phương pháp nguyên hàm đổi biến và nguyên hàm từng phần, thậm chí các phép biến đổi lượng giác, phân thức. 1. Một số bài toán minh họa Bài toán 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a) 1 x x x x e xe dx e b) 2 1 ln x x dx x c) 4 3 4x x x e dx Lời giải: a) Ta có 2 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x e xe e e x e dx x dx x dx dx dx e e e e . Xét . 1 x x e dx e Đặt 1 , x t e suy ra x dt e dx Khi đó ln ln 1 1 x x x e dt dx t C e C t e Như vậy 2 ln 1 2 1 x x x x x e xe x dx e C e b) Ta có 2 2 1 ln 1 ln 1 ln x x x x dx dx dx x x x x x . Xét ln . x dx x Đặt ln , t x suy ra 1 dt dx x Khi đó 2 2 ln ln 2 2 x t x dx tdt C C x Như vậy 2 2 1 ln 1 ln 2 x x x dx C x x c) Ta có 4 3 4 4 4 3 4 x x x x x e dx x e dx x e dx . Xét 4 4x x e dx . Đặt 4 4x u x dv e dx ta có 3 4 4 1 4 x du x dx v e . Khi đó : 4 4 4 4 3 4 1 4 x x x x e dx x e x e dx Như vậy 4 3 4 4 4 3 4 4 4 1 4 x x x x x x e dx x e dx x e dx x e C . Bài toán 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a) x e dx b) 3 sin cos x x dx x c) 2 1 sin cos x x dx x Lời giải: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 40 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng a) Xét x e dx . Đặt 2 , t x t x suy ra 2tdt dx . Khi đó: 2 x t e dx te dt với t x Lại đặt 2 , t u t dv e dt ta có 2 t du dt v e . Từ đó : 2 2 2 2 2 2 2 t t t t t t te dt te e dt te e C t e C Tóm lại 2 2 x x e dx x e C b) Xét 3 sin cos x x dx x . Đặt 3 2 sin 1 cos 2 cos u x du dx x dv dx v x x . Khi đó : 3 2 2 2 sin 1 1 tan 2 cos 2cos 2cos 2cos x x x x dx dx x C x x x x Lưu ý: v v x là một nguyên hàm của hàm số 3 sin cos x g x x được tìm như sau Xét 3 sin cos x dx x . Đặt cos , t x suy ra sin sin dt xdx dt xdx Từ đó 2 3 3 3 2 sin 1 2 cos 2cos x dt t dx t dt C C x t x c) Xét 2 sin cos x x dx x . Đặt 2 sin 1 cos cos u x du dx x dv dx v x x . Khi đó : 2 sin 1 cos cos cos x x x dx dx x x x Xét 2 2 1 cos cos cos cos 1 sin x x dx dx dx x x x . Đặt sin t t cos dt xdx . Khi đó: 2 2 cos 1 1 1 1 1 1 1 1 sin ln ln 2 1 1 2 1 2 1 sin 1 sin 1 x t x dx dt dt C C t t t x x t Như vậy 2 sin 1 1 sin ln cos 2 1 sin cos x x x x dx C x x x . Bài toán 3: Tính 2 1 sin ( ) cos x x F x dx x . Chọn kết quả đúng. A. 1 sin 1 ( ) tan ln cos 2 sin 1 x x F x x C x x . B. 1 sin 1 ( ) tan ln cos 2 sin 1 x x F x x C x x . C. 1 sin 1 ( ) tan ln cos 2 sin 1 x x F x x C x x . D. 1 sin 1 ( ) tan ln cos 2 sin 1 x x F x x C x x . Lời giải: Biến đổi 2 2 sin ( ) tan ( ) cos cos dx x x F x dx x I x x x . Tính 2 sin ( ) cos x x I x dx x : Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 41 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt 2 2 cos 1 sin cos cos cos u x du dx d x x v dv x x x Suy ra: ( ) cos cos cos x dx x I x J x x x x . 2 cos (sin ) 1 1 1 ( ) sin cos (sin 1)(sin 1) 2 sin 1 sin 1 sin 1 1 sin 1 ln 2 sin 1 dx xdx d x J x d x x x x x x x x C x . Kết quả 1 sin 1 ( ) tan ln cos 2 sin 1 x x F x x C x x . Chọn C. Bài toán 4: Biết 2 2 3 4 3 1 ln 2 4 arctan 2 4 3 x x dx a x x C b x x .Tính giá trị biểu thức a b A. 5 a b . B. 13 4 a b . C. 5 2 a b . D. 1 a b . Lời giải: Ta có 2 2 2 1 2 2 4 2 2 3 2 2 4 2 4 2 4 x m x n x dx dx dx x x x x x x 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 1 4 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 d x x x dx dx dx x x x x x x x x 2 2 2 1 1 ln 2 4 4 ln 2 4 4 2 2 2 4 dx x x x x J x x . Tính 2 2 2 4 1 3 dx dx J x x x Đặt 1 3 tan , 2 2 t x t 2 2 3 3 1 tan cos dt dx t dt t . 2 2 3 1 tan 3 3 3 1 arctan 3 3 3 3 1 tan 3 t dt x J dt C C t . Vậy 2 1 4 3 1 ln 2 4 arctan 2 3 3 x I x x C , suy ra 1 2 a và 3 b . Hay ta có 1 5 3 2 2 a b . Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 42 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2. Bài tập tự luyện Tìm các nguyên hàm sau đây: a) 2 2 .(4 ) x I x x e dx b) 2 ( sin ) . I x x dx c) 2 ( . ) x I x x e dx d) 3 (2 . ) x I x x e dx e) (1 ln ). I x xdx f) 2 .( sin ) I x x x dx g) .sin cos 2 I x x xdx h) 2 ( 2cos ) I x x xdx i) 2 2 (2 ln ) I x x x dx j) 2 ( 3 1) x I e x xdx k) 2 ( cos )sin I x x xdx l) 1 ln I x xdx x m) 2 2 2 tan cos x x I dx x n) 2 (sin 2 ) x I x e xdx o) 2 ( cos 3 ) x I e x xdx p) cos I xdx q) sin I xdx r) sin 2 .ln(1 cos ) I x x dx s) 2 3 . x I x e dx t) 3 5 x I x e dx u) 2 3 (8 2 ) x I x x e dx v) 2 ln( 1) I x x dx w) 2 ln( 5) I x x dx x) 2 ln(1 ln ) x I dx x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 43 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng C. THỦ THUẬT CASIO TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ Việc sử dụng Casio dể tính nguyên hàm đặc biệt hữu ích đối với với những bài phức tạp, áp dụng nhiều công thức tính đạo hàm cùng một lúc , và tránh nhầm lẫn trong việc tính toán !! I. KIẾN THỨC CẦN NẮM Nhắc lại : o ' f x dx F x C F x f x o Nếu F x là 1 nguyên hàm của f x thì F x C cũng là 1 nguyên hàm của hàm f x vì ' ' ' ' 0 ' F x C F x C F x F x f x Cách bước tìm nguyên hàm bằng CASIO: Bài toán: Tìm nguyên hàm của hàm số y f x ? Bước 1: Tính giá trị f x tại điểm 0 x thuộc TXĐ, ta được 0 f x . Bước 2: Nhập lệnh tìm đạo hàm của hàm số tại 1 điểm: qy Bước 3: Nhập lần lượt các hàm số nguyên hàm F x mà đề bài cho, và cho giá trị đạo hàm tại 0 x ta thu được 0 x x d F x dx . So sánh các kết quả: + Nếu 0 0 x x d F x f x dx thì hàm số F x trên là 1 nguyên hàm của f x . + Nếu 0 0 x x d F x f x dx thì hàm số F x trên không là nguyên hàm của f x . II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ĐIỂN HÌNH Bài toán 1: Nguyên hàm của hàm số 2 . x y x e là : A. 2 2 2 x e x C B. 2 1 1 2 2 x e x C C. 2 1 2 2 x e x C D. 2 1 2 2 x e x C Lời giải: o Ta biết ' ( ) F x f x việc này đúng với mọi x thuộc tập xác định. o Vậy sẽ đúng với 1 x chẳng hạn . Khi đó ' 1 1 F f o Tính giá trị 1 7,3890... f Q)QK^2Q)r1= o Tính đạo hàm ' 1 F với từng đáp án , bắt đầu từ đáp án A là 2 2 2 x F x e x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 44 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng qy2QK^2Q)$(Q)p2)$1= Vậy ta được kết quả ' 1 14.7781... F đây là 1 kết quả khác với 1 f Đáp án A sai o Tính đạo hàm ' 1 F của đáp án B với 2 1 1 2 2 x F x e x qya1R2$QK^2Q)$(Q)pa1R2$)$1 = Ta thu được kết quả giống hệt f x vậy ' F x f x hay 2 1 1 2 2 x F x e x là nguyên hàm của f x Đáp án B là đáp án chính xác. Bài toán 2: [ĐỀ MINH HỌA 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 2 1 f x x : A. 2 2 1 2 1 3 f x dx x x C B. 1 2 1 2 1 3 f x dx x x C C. 1 2 1 3 f x dx x C D. 1 2 1 2 f x dx x C Lời giải: o Nhắc lại 1 lần nữa công thức quan trọng của chúng ta. Nếu F x là 1 nguyên hàm của f x thì ' F x f x . Khi đó ta chọn 1 giá trị x a bất kì thuộc tập xác định thì F a f a o Chọn giá trị 2 x chẳng hạn (thỏa điều kiện 1 2 1 0 2 x x ) Khi đó 2 1,732... f s2Q)p1r2=n o Theo đúng quy trình ta sẽ chọn đáp án F x ở 4 đáp án A, B, C, D nếu đáp án nào thảo mãn ' 2 2 1,732... F f Thử với đáp án A khi đó 2 2 1 2 1 3 F x x x qya2R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 45 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Vậy ' 2 3,4641... F là một giá trị khác 2 1,732... f điều đó có nghĩa là điều kiện ' F x f x không được đáp ứng. Vậy đáp án A là sai . o Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B. Khi này 1 2 1 2 1 3 F x x x qya1R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2= Ta được ' 2 1,732... F giống hệt 2 1,732... f có nghĩa là điều kiện ' F x f x được thỏa mãn. Vậy đáp án chính xác là B. Bài toán 3: Một nguyên hàm của hàm số 2 3 2 x x f x x là : A. 2 2 3 2ln x x x B. 2 3 ln 2 2 x x x C. 2 3 2 ln 1 2 x x x D. 2 2 x x x Lời giải: o Ta chọn 1 giá trị x thuộc tập xác định 0 x là 5 x Khi đó 5 7.6 f aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n o Với đáp án C ta có 2 3 2ln 1 2 x F x x x có qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$5= Ta được ' 5 7.6 5 F f . Vậy đáp án C là đáp án chính xác. Bài toán 4: Nguyên hàm 2 4 sin cos x dx x bằng : A. 2 tan x C B. 1 tan 3 x C C. 3 3tan x C D. 3 1 tan 3 x C Lời giải: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 46 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng o Chọn chế độ Radian cho máy tính Casio rồi chọn giá trị 6 x chẳng hạn. o Ta có 2 4 sin cos x f x x và 4 6 9 F qw4ajQ))dRkQ))^4rqKP6= o Tính đạo hàm của 3 1 tan 3 F x x tại 6 x ta được 4 0,44 4 9 F x qya1R3$lQ))^3$$aqKR6= o Vậy 4 ' 9 F x f x D là đáp án chính xác. Bài toán 5: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số 2 2 1 x x f x x : A. 2 1 1 x x x B. 2 1 1 x x x C. 2 1 1 x x x D. 2 1 x x Lời giải: o Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. o Ta có 2 2 1 x x f x x và 8 2 9 f aQ)(Q)+2)R(Q)+1)dr2= o Tính đạo hàm của 2 1 1 x x F x x tại 2 ta được 10 ' 2 1.11 1 9 F qyaQ)d+Q)p1RQ)+1$$2= o Vậy ' F x f x 2 1 1 x x F x x không phải là nguyên hàm của f x A là đáp án chính xác. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 47 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của hàm số 2 3 2 x x dc x A. 3 3 4 3ln 3 3 x x x C B. 3 3 4 3ln 3 3 x x x C C. 3 3 4 3ln 3 3 x x x C D. 3 3 4 3ln 3 3 x x x C Lời giải: o Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. o Ta có 2 3 2 f x x x x và 11 4 2 2 2 f Q)d+a3RQ)$p2sQ)r2= o Tính đạo hàm của 3 3 4 3ln 3 3 x F x x x tại 2 ta được 11 4 2 ' 2 2.6715... 2 F qyaQ)^3R3$+3hQ))pa4R3$sQ)^ 3$$$2= o Vậy 11 4 2 ' 2 F x f x 3 3 4 3ln 3 3 x F x x x là nguyên hàm của f x B là đáp án chính xác. Bài toán 7: ln x dx x bằng : A. 1 2 2 ln x C B. 3 2 ln 3 x C C. 1 2 ln C x D. 3 3 ln 2 x C Lời giải: o Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. o Ta có ln x f x x và 2 0.4162... f ashQ))RQ)r2= o Tính đạo hàm của 3 2 ln 3 F x x tại 2 ta được ' 2 0.4612... F qya2R3$shQ))^3$$$2= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 48 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng o Vậy ' 0.4162... F x f x 3 2 ln 3 F x x là nguyên hàm của f x B là đáp án chính xác. Bài toán 8: Nguyên hàm của hàm số 2 1 2017 x x f x e e là : A. 2017 x x e e C B. 2017 x x e e C C. 2017 2 x x e e C D. 2017 2 x x e e C Lời giải: o Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. o Ta có 2 1 2017 x x f x e e và 2 265.5822... f QK^Q)$(1p2017QK^p2Q)$)r2= o Tính đạo hàm của 2017 x x F x e e tại 2 ta được ' 2 265.5822... F qyQK^Q)$+2017QK^pQ)$$2= o Vậy ' 265.5822... F x f x 2017 x x F x e e là nguyên hàm của f x A là đáp án chính xác. Bài toán 9: Họ nguyên hàm của 2 2 3 2 1 x dx x x : A. 2 5 ln 2 1 ln 1 3 3 x x C B. 2 5 ln 2 1 ln 1 3 3 x x C C. 2 5 ln 2 1 ln 1 3 3 x x C D. 1 5 ln 2 1 ln 1 3 3 x x C Lời giải: o Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. o Ta có 2 2 3 2 1 x f x x x và 7 2 5 f a2Q)+3R2Q)dpQ)p1r2= Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 49 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng o Tính đạo hàm của 2 5 ln 2 1 ln 1 3 3 F x x x tại 2 ta được 7 ' 2 1.4 5 F qyap2R3$h2Q)+1)+a5R3$hQ)p1 )$2= o Vậy 7 ' 5 F x f x 2 5 ln 2 1 ln 1 3 3 F x x x là nguyên hàm của f x B là đáp án chính xác. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 50 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. ĐỀ BÀI Câu 1. Giả sử hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K . Khẳng định nào sau đây đúng. A. Chỉ có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số ( ) y F x C là một nguyên hàm của hàm f trên . K B. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho ( ) ( ) G x F x C với x thuộc K . C. Chỉ có duy nhất hàm số ( ) y F x là nguyên hàm của f trên . K D. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì ( ) ( ) G x F x C với mọi x thuộc K và C bất kỳ. Câu 2. Cho hàm số ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. A. ( ) ( ) . f x dx F x C B. ( ) ( ). f x dx f x C. ( ) ( ). f x dx f x D. ( ) ( ). f x dx F x Câu 3. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. A. ( ) ( ) ,( ) kf x dx k f x dx k . B. . . . f x g x dx f x dx g x dx C. . f x g x dx f x dx g x dx D. . f x g x dx f x dx g x dx Câu 4. Cho hai hàm số ( ), ( ) f x g x là hàm số liên tục, có ( ), ( ) F x G x lần lượt là nguyên hàm của ( ), ( ) f x g x . Xét các mệnh đề sau: (I). ( ) ( ) F x G x là một nguyên hàm của ( ) ( ). f x g x (II). . ( ) k F x là một nguyên hàm của ( ) kf x với k . (III). ( ). ( ) F x G x là một nguyên hàm của ( ). ( ). f x g x Các mệnh đúng là A. (I). B. (I) và (II). C. Cả 3 mệnh đề. D. (II). Câu 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai. A. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx . B. Nếu ( ) F x và ( ) G x đều là nguyên hàm của hàm số ( ) f x thì ( ) ( ) F x G x C là hằng số. C. ( ) F x x là một nguyên hàm của ( ) 2 . f x x D. 2 ( ) F x x là một nguyên hàm của ( ) 2 . f x x Câu 6. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng. A. 2 2 1 1 2 1 2 1 . x dx x dx x x B. 2 1 1 2 1 2 2 1 . x dx x dx x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 51 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng C. 2 1 1 1 2 1 2 1 . 2 1 . x dx x dx x dx x x x D. 2 2 2 1 1 2 2 1 4 4 4 x dx x dx dx dx xdx dx dx x x x Câu 7. Cho ( ) ( ) f x dx F x C . Khi đó với 0 a , ta có ( ) f ax b dx bằng: A. 1 ( ) 2 F ax b C a . B. ( ) . F ax b C C. 1 ( ) . F ax b C a D. . ( ) . a F ax b C Câu 8. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai. A. 2 ( ) 2017 cos F x x là một nguyên hàm của hàm số ( ) sin 2 f x x . B. Nếu ( ) F x và ( ) G x đều là nguyên hàm của hàm số ( ) f x thì ( ) ( ) F x g x dx có dạng ( ) h x Cx D với , C D là các hằng số, 0. C C. '( ) ( ) . 2 ( ) u x dx u x C u x D. Nếu ( ) ( ) f t dt F t C thì [ ( )] [ ( )] f u x dx F u x C . Câu 9. (Đại Học Vinh lần 3) Khẳng định nào sau đây là đúng. A. tan ln cos . xdx x C B. sin 2 cos . 2 2 x x dx C C. cot ln sin . xdx x C D. cos 2sin . 2 2 x x dx C Câu 10. (Chuyên Hưng Yên lần 3) Nếu 1 ln 2 f x dx x C x thì hàm số f x là A. 1 . 2 f x x x B. 2 1 1 . f x x x C. 2 1 ln 2 . f x x x D. 2 1 1 . 2 f x x x Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai. A. 1 1 e e x x dx C e . B. 1 cos 2 sin 2 2 xdx x C . C. 1 1 x x e e dx C x . D. 1 ln dx x C x . Câu 12. (TPHCM cụm 1) Biết một nguyên hàm của hàm số y f x là 2 4 1 F x x x . Khi đó, giá trị của hàm số y f x tại 3 x là A. 3 6 f . B. 3 10 f . C. 3 22 f . D. 3 30 f . Câu 13. (Quảng Xương- Thanh Hóa lần 1)Tìm một nguyên hàm F x của hàm số 2 0 b f x ax x x , biết rằng 1 1, F 1 4, 1 0 F f A. 2 3 3 7 . 4 2 4 x F x x B. 2 3 3 7 . 4 2 4 x F x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 52 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng C. 2 3 3 7 . 2 4 4 x F x x D. 2 3 3 1 . 2 2 2 x F x x Câu 14. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số: (I) tan ln cos x x x C d . (II) 3cos 3cos 1 sin 3 x x e x x e C d . (III) cos sin 2 sin cos sin cos x x x x x C x x d . Số mệnh đề đúng là: A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 15. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A. sin 2 f x x và 2 cos g x x . B. 2 tan f x x và 2 2 1 cos g x x . C. x f x e và x g x e . D. sin 2 f x x và 2 sin g x x . Câu 16. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số 4 3 f x x ? A. 5 3 5 x F x x . B. 5 3 5 x F x . C. 5 3 2017 5 x F x . D. Câu 17. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Tìm nguyên hàm của hàm số 2 ( ) ( 1) f x x A. 3 2 ( ) 3 3 . F x x x x C B. 3 2 ( ) . 3 x F x x x C C. 3 2 ( ) . 3 x F x x x C D. 3 2 ( ) . F x x x x C Câu 18. (Sở GDĐT Hải Phòng) Tìm nguyên hàm của hàm số 2 x y ? A. . 2 2 ln 2 x x dx C B. . 2 2 x x dx C C. . 2 ln 2.2 x x dx C D. Câu 19. (Sở GDĐT Hải Phòng) Tìm hàm số , F x biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x x và 1 1. F A. 2 1 . 3 3 F x x x B. 1 1 . 2 2 F x x C. . F x x x D. 3 1 . 2 2 F x x x Câu 20. (Chuyên Hưng yên lần 3) Nếu 1 ln 2 f x dx x C x thì hàm số f(x) là: A. 1 . 2 f x x x B. 2 1 1 . f x x x C. 2 1 ln 2 . f x x x D. 2 1 1 . 2 f x x x 5 3 1 5 x F x . 2 2 1 x x dx C xBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 53 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 21. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Cho hàm số 2 4 ( ) sin m f x x . Giá trị của tham số để nguyên hàm F x của hàm số f x thỏa mãn điều kiện (0) 1 F và 4 8 F là A. 4 . 3 m B. 3 . 4 m C. 3 . 4 m D. 4 . 3 m Câu 22. (Sở Bình Thuận) Cho hàm số ( ) cos . f x x Tìm nguyên hàm của hàm số 2 ( ) . y f x A. 1 sin 2 . 2 4 x y x x C d B. 1 sin 2 . 2 4 x y x x C d C. 1 sin 2 . 2 y x x x C d D. 1 sin 2 . 2 y x x x C d Câu 23. (KHTN lần 5) Nguyên hàm sin 4 sin cos x x x x d bằng A. 2 3 cos 3 2 cos 3 4 4 x x C . B. 2 3 sin 3 2 sin 3 4 4 x x C . C. 2 3 sin 3 2 sin 3 4 4 x x C . D. 2 3 sin 3 2 cos 3 4 4 x x C . Câu 24. Nguyên hàm 2 tan 1 dx x bằng? A. 2 ln 2 sin cos . 5 5 x x C B. C. 1 ln 2 sin cos . 5 5 x x x C D. 1 ln 2 sin cos . 5 5 x x x C Câu 25. (Thi thử chuyên KHTN –HN lần 4 năm 2017) Tìm nguyên hàm . A. 1 1 1 ln . 1 2 2 1 2 x C x x d B. 1 1 ln 1 2 . 1 2 2 x x C x d C. 1 ln 1 2 . 1 2 x x C x d D. 1 1 ln . 1 2 1 2 x C x x d Câu 26. (Thi thử chuyên LÊ KHIẾT –QUẢNG NGÃI năm 2017) Tính ta được kết quả là A. 3 3 4 3ln . 3 3 x x x C B. 3 3 4 3ln . 3 3 x x x C C. 3 3 4 3ln . 3 3 x x x C D. 3 3 4 3ln . 3 3 x x x C Câu 27. (Đề thử nghiệm BGD và ĐT cho 50 trường) Biết là một nguyên hàm của 1 1 f x x và . Tính . A. 3 ln 2 1 F . B. 3 ln 2 1. F C. 1 3 2 F . D. 7 3 4 F . 2 1 ln 2 sin cos . 5 5 x x x C 1 d 1 2 x x 2 3 2 x x dx x F x 2 1 F 3 FBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 54 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 28. (THI HỌC KỲ I LỚP 12 CHUYÊN HẠ LONG) Tìm nguyên hàm của hàm số 3 4 ( ) . 1 x f x x A. 4 4 3 ( ) . 2 6 x f x dx C x B. 4 ( ) ln( 1) . f x dx x C C. 3 4 ( ) ln( 1) . f x dx x x C D. 4 1 ( ) ln( 1) . 4 f x dx x C Câu 29. (PT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH BÌNH ĐỊNH) Kết quả của 2 3 dx x bằng: A. 2 1 . 2 3 C x B. 2 3 2 3 C x . C. 1 ln 2 3 . 3 x C D. 1 ln 3 2 . 3 x C Câu 30. Nguyên hàm của hàm số 3 1 x x y x là: A. 3 ln . 3 x x x C B. 3 2 ln 3 2 x x x C . C. 3 ln . x x x C D. 3 ln . 3 x x x C Câu 31. Một nguyên hàm của 2 2 3 1 x f x x x là : A. 2 3 6ln 1 . 2 x x x B. 2 3 6ln 1 2 x x x+ . C. 2 3 6ln 1 . 2 x x x- D. 2 3 6ln 1 . 2 x x x+ Câu 32. Một nguyên hàm của 3 1 ( ) 1 x x e f x e là: A. 2 1 ( ) . 2 x x F x e e x B. 2 1 ( ) . 2 x x F x e e C. 2 1 ( ) . 2 x x F x e e D. 2 1 ( ) 1. 2 x x F x e e Câu 33. (Sở GD và ĐT Quảng Ninh năm 2017) Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số 3 2 1 ( ) x f x x , biết (1) 0 F . A. 2 1 1 ( ) . 2 2 x F x x B. 2 1 3 ( ) . 2 2 x F x x C. 2 1 1 ( ) . 2 2 x F x x D. 2 1 3 ( ) . 2 2 x F x x Câu 34. ( Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3) Nguyên hàm của 2 1 3 1 f x x là: A. 3 1 3 C x . B. 1 3 1 C x . C. 1 9 3 C x . D. 1 9 3 C x . Câu 35. (Thi thử chuyên KHTN –HN lần 4 năm 2017) Tìm nguyên hàm 2 3 3 2 x x x x d . A. 2 3 2 ln 2 ln 1 3 2 x x x x C x x d . B. 2 3 2 ln 1 ln 2 3 2 x x x x C x x d . C. 2 3 2 ln 1 ln 2 3 2 x x x x C x x d . D. 2 3 ln 1 2ln 2 3 2 x x x x C x x d . Câu 36. (Chuyên Biên Hòa- Hà Nam lần 2) Hàm số nào dưới đây không là 1 nguyên hàm của hàm Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 55 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng số 2 2 . 1 x x f x x A. 2 1 . 1 x x x B. 2 1 . 1 x x x C. 2 . 1 x x D. 2 1 . 1 x x x Câu 37. (Sở GD và ĐT Bình Thuận – HK2)Cho hàm số 2 2 . 4 5 x f x x x Khẳng định nào sau đây là sai? A. 2 1 ln 4 5 . 2 f x dx x x C B. 2 1 ln 4 5 . 2 f x dx x x C C. 2 1 ln 4 5 . 2 f x dx x x C D. 2 1 ln 4 5 . 2 f x dx x x C Câu 38. (THPT Thanh Oai B- lần 1) Tìm F = 2 2 dx x x x ? A. F = 1 2 ln . 3 1 x x C x B. F = 1 1 ln . 3 2 x x C x C. F = 1 1 ln . 3 2 x x C x D. F = 2 ln . 1 x x C x Câu 39. (THPT Phả Lại – Hải Dương –lần 2) Kết quả 2 5 7 3 2 x x x x d bằng: A. 2 ln 2 3ln 1 x x C . B. 3ln 2 2 ln 1 x x C . C. 2ln 1 3ln 2 x x C . D. 3ln 2 2 ln 1 x x C . Câu 40. (Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam) Biết . Tính giá trị biểu thức a b A. 5. a b B. 1. a b C. 5. a b D. 1. a b Câu 41. Khi tìm nguyên hàm 2 1 x x dx bằng cách đổi biến 2 1 u x , bạn An đưa ra các khẳng định sau: + Khẳng định 1: du dx + Khẳng định 2: 2 2 1 x x dx u du + Khẳng định 3: 3 2 2 1 1 6 x x x dx C Hỏi có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3 Câu 42. Thầy giáo cho bài toán “ Tìm 2 cos sin x dx x ”. Bạn An giải bằng phương pháp đổi biến như sau: + Bước 1: Đặt sin u x , ta có cos du xdx + Bước 2: 2 2 cos 1 sin x du dx C u x u 1 ln 1 ln 2 1 2 x dx a x b x C x xBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 56 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng + Bước 3: Kết luận 2 cos 1 sin x dx C x x Hỏi bạn An sai ở bước nào? A. Bước 1 B. Bước 2 C. Bước 3 D. Không sai. Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 1 x f x x A. 2 ln 1 f x dx x C B. 2 1 ln 1 2 f x dx x C C. 2 ln 2 x f x dx x C D. 2 ln 2 x f x dx x C Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số ln 3 x f x x A. ln 3 f x dx x C . B. 3 ln 3 f x dx x C . C. 3 1 ln 3 3 f x dx x C . D. 3 2 ln 3 3 f x dx x C . Câu 45. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số sin 2 1 cos x f x x thỏa mãn 0 2 F . Tính 0 F A. 0 2 ln 2 2 F . B. 0 2 ln 2 F C. 0 ln 2 F . D. 0 2 ln 2 2 F . Câu 46. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số 1 1 tan f x x thỏa mãn 0 4 F . Tính 2 F . A. 2 2 F . B. 2 2 F C. 2 4 F . D. 2 4 F . Câu 47. Cho 2 1 ln 2 1 4 2 1 4 dx a x b x C x với , a b . Tính M a b . A. 3 M B. 3 M C. 0 M D. 2 M . Câu 48. Cho 3 sin cos 1 cos 2 sin cos 2 sin cos 2 m n x x x dx C x x x x với , m n . Tính A m n . A. 5 A . B. 2 A C. 3 A . D. 4 A . Câu 49. Để tính 4 sin .cos x xdx thì nên: A. Dùng phương pháp đổi biến số đặt cos t x . B. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt 4 sin cos u x dv xdx . C. Dùng phương pháp đổi biến số đặt sin t x . D. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt 4 cos sin u x dv xdx . Câu 50. Tính 2 2 1 I x x dx bằng cách đặt 2 1 u x , mệnh đề nào dưới đây đúng? Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 57 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. 2 I udu . B. I udu . C. I udu . D. 1 2 I udu . Câu 51. Kết quả của 15 2 7 I x x dx là A. 16 2 1 7 32 x C . B. 16 2 1 7 32 x . C. 16 2 1 7 16 x . D. 16 2 1 7 2 x C . Câu 52. Tìm các hàm số f x biết rằng 2 cos ' 2 sin x f x x A. 2 sin 2 cos x f x C x . B. sin 2 sin x f x C x . C. 1 2 sin f x C x . D. 1 2 cos f x C x . Câu 53. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số 2 1 x x e y e ? A. ln 1 x x F x e e C . B. 1 ln 1 x x F x e e C . C. . D. . Câu 54. Cho 2 2 1 f x dx C x . Khi đó: 2 f x dx bằng: A. 2 1 1 C x . B. 2 1 4 1 C x . C. 2 8 4 1 C x . D. 2 2 1 C x . Câu 55. F x là một nguyên hàm của hàm số ln x y x và 2 4 F e . Tính F e ? A. 1 2 F e . B. 5 2 F e C. 3 2 F e D. 1 2 e Câu 56. (Quốc Học Huế) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số 1 1 x f x e thỏa mãn 0 ln 2 F . Tìm tập nghiệm S của phương trình ln 1 3 x F x e A. 3 S . B. 3 S . C. S D. 3 S Câu 57. Nếu một nguyên hàm của hàm số y = f(x) là F(x) thì a x b d x f bằng A. B. C. F C ax b D. 1 F C a ax b . Câu 58. (Sở Phú Yên- Lần 2- 16-17): Biết . f u du F u C Khẳng định nào sau đây là đúng. A. 2 3 2 3 . f x dx F x C B. 1 2 3 2 3 . 2 f x dx F x C C. 2 3 2 3 . f x dx F x C D. 2 3 2 2 3 3 . f x dx F x C Câu 59. Tính tích phân 2 2 1 I x x dx bằng cách đặt 2 1 u x , mệnh đề nào dưới đây đúng? A. B. C. D. l n x F x e x C l n x F x e x C 1 a x b F C a 1 a x b F a 2 I u du I u du I u du 1 2 I u du Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 58 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 60. Nguyên hàm của hàm số cos sin x y e x là: A. . B. . C. . D. . Câu 61. Nguyên hàm 10 12 2 1 x dx x bằng A. 11 1 2 . 11 1 x C x B. 11 1 2 . 11 1 x C x C. 11 1 2 . 33 1 x C x D. 11 1 2 . 3 1 x C x Câu 62. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số 2 1 x x e y e ? A. ln 1 x x F x e e C . B. 1 ln 1 x x F x e e C . C. ln x F x e x C . D. ln x F x e x C . Câu 63. Nguyên hàm 10 12 2 1 x dx x bằng A. 11 1 2 . 11 1 x C x B. 11 1 2 . 11 1 x C x C. 11 1 2 . 33 1 x C x D. 11 1 2 . 3 1 x C x Câu 64. Cho Nguyên hàm 4 4 sin 2 sin xdx I c x x os . Nếu đặt 2 t c x os thì mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 2 2 1 dt I t . B. 2 2 1 dt I t . C. 2 1 2 1 dt I t . D. 2 2 1 dt I t . Câu 65. Nguyên hàm của hàm số 2x f x e là A. 2x e C . B. 2 2 x e C . C. 2 2 x e C . D. 2 1 x C e . Câu 66. Tìm nguyên hàm của hàm số cos 2 f x x . A. 1 sin 2 2 f x x x C d . B. 1 sin 2 2 f x x x C d . C. 2 sin 2 f x x x C d . D. 2sin 2 f x x x C d . Câu 67. Tìm nguyên hàm của hàm số 5 (3 2 ) f x x A. 6 1 3 2 12 C x B. 6 1 3 2 12 C x C. 4 1 3 2 12 C x D. 4 1 3 2 12 C x Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 1 f x x . A. 2 2 1 2 1 3 f x dx x x C B. 1 2 1 2 1 3 f x dx x x C C. 1 2 1 3 f x dx x C D. 1 2 1 2 f x dx x C Câu 69. Biết nguyên hàm ( ) F x của hàm số 2 1 . x x e dx và 3 (0) . 2 F e Tính (1) F A. B. 2 1 (1) . 2 F e e C. 2 (1) . F e e D. 2 (1) 3 . F e e c os x y e sin x y e si n x y e co s x y e 2 1 F(1) e e. 2 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 59 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 70. Biết F x là một nguyên hàm của dx x 1 ln f x x và 1 0 F . Tính F e . A. 2 F e . B. 2 F e . C. 1 2 F e . D. 1 2 F e . Câu 71. Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 / m s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với 5 10 / v t t m s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A. 0,2m B. 2m C. 10m D. 20m Câu 72. Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc 2 0 30 / v t t t m s . Giả sử tại thời điểm t=0 thì s=0. Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ô tô đi được là A. 3 4 3 s t m B. 2 s t m C. 3 4 3 s t m D. 2t m Câu 73. ( TIÊN LÃNG LẦN 2) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos 3 6 f x x . A. 1 ( ) sin 3 6 6 f x dx x C . B. ( ). sin 3 6 f x dx x C . C. 1 ( ) sin 3 3 6 f x dx x C . D. 1 ( ) sin 3 3 6 f x dx x C . Câu 74. ( HƯNG YÊN LẦN 1) Tìm nguyên hàm của hàm số 3 ( ) 2 f x x . A. 2 2 2 3 f x d x x x . B. 3 3 2 2 4 f x d x x C x . C. 3 3 2 2 4 f x d x x C x . D. 2 3 1 2 3 f x d x C x . Câu 75. ( HẢI HẬU LẦN 2) Kết quả tính 2 2 5 4 x x dx bằng A. 3 2 1 5 4 12 x C . B. 2 3 5 4 8 x C C. 3 2 1 5 4 6 x C . D. 3 2 1 5 4 6 x C Câu 76. ( LỤC NGẠN LẦN 2) Hàm số 5 cos ( ) sin x f x x có một nguyên hàm ( ) F x bằng A. 4 1 4 sin x . B. 4 1 4 sin x . C. 4 4 sin x . D. 4 4 sin x . Câu 77. ( SỞ BÌNH PHƯỚC) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số 1 ( ) 1 f x x và 2 1 F thì 3 F bằng A. ln 2 . B. 3 ln 2 . C. ln 2 1 . D. 1 2 . Câu 78. (SỞ NINH BÌNH ) Biết F x là một nguyên hàm của hàm số 2 ln ln 1. x f x x x thoả Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 60 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng mãn 1 1 3 F . Giá trị của 2 F e là A. 1 3 . B. 1 9 . C. 8 3 . D. 8 9 . Câu 79. ( QUỐC HỌC HUẾ LẦN 2) Hàm số 1 f x x x có một nguyên hàm là F x . Nếu 0 2 F thì 3 F bằng A. 146 15 . B. 116 15 . C. 886 105 . D. 105 886 . Câu 80. ( CHUYÊN HÀ NAM LẦN 3) Biết hàm số ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số 2 ln ( ) ln 3 x f x x x có đồ thị đi qua điểm ; 2016 e . Khi đó 1 F là A. 3 2014 . B. 3 2016 . C. 2 3 2014 . D. 2 3 2016 . Câu 81. Cho . Khẳng định nào sau đây đúng. A. 2 3 x I x e C . B. 2 1 x I x e C . C. 2 1 x I x e C . D. 2 1 x I x e . Câu 82. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số 2 ln 2x y x ? A. 1 ln 2 1 F x x x B. 1 ln 2 1 F x x x C. 1 ln 2 1 F x x x . D. 1 1 ln 2 F x x x Câu 83. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số sin 2 y x x ? A. 1 cos 2 sin 2 2 4 x F x x x B. 1 cos 2 sin 2 2 2 x F x x x C. 1 cos 2 sin 2 2 2 x F x x x D. 1 cos 2 sin 2 2 4 x F x x x Câu 84. Biết F x là một nguyên hàm của sin 2 f x x x và thỏa 0 2 F F . Tính 4 F A. 4 B. 4 C. 1 4 D. 1 4 Câu 85. (Chu Văn AN – HN) Cho hàm số y f x thỏa mãn hệ thức sin - cos x f x xdx f x x cosx dx . Hỏi y f x là hàm số nào trong các hàm số sau? A. ln x f x . B. ln x f x C. .ln x f x D. .ln x f x Câu 86. Biết rằng 2 2 3 cos 3 sin 2 x x I e cos x a x b x c dx=e , trong đó a, b , c là các hằng số. Khi đó, tổng a b có giá trị là: A. 1 13 . B. 5 13 . C. 5 13 D. 1 13 2 3 x I x e dx Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 61 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 87. Cho 2 1 x xe F x dx x , biết 0 2 F . Tìm F x . A. 2 2 1 x x xe x B. 1 1 1 x x xe x e x C. 1 1 x e x D. 2 1 x e x Câu 88. Một nguyên hàm của hàm số: 2 ( ) sin 1 f x x x là: A. 2 2 2 ( ) 1 cos 1 sin 1 . F x x x x B. 2 2 2 ( ) 1 cos 1 sin 1 . F x x x x C. 2 2 2 ( ) 1 cos 1 sin 1 . F x x x x D. 2 2 2 ( ) 1 cos 1 sin 1 . F x x x x Câu 89. Cho là hai hàm số , u v có đạo hàm liên tục trên K . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. ( ) '( ) ( ). ( ) ( ) u x v x dx u x v x v x dx B. ( ) '( ) ( ). ( ) ( ) '( ) u x v x dx u x v x v x u x dx C. ( ) '( ) ( ). ( ) ( ) ( ) u x v x dx u x v x v x u x dx D. ( ) '( ) ( ). ( ) ( ) u x v x dx u x v x u x dx Câu 90. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos . f x x x A. ( ) sin cos f x dx x x x C B. ( ) sin cos f x dx x x x C C. ( ) sin cos f x dx x x x C D. ( ) sin cos f x dx x x x C Câu 91. Một nguyên hàm của hàm số ( ) x f x xe là: A. 2 ( ) 1 2 x x F x e B. ( ) 1 x F x x e C. ( ) 2 x x F x xe e D. ( ) 1 x F x x e Câu 92. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. 3 3 2 ln ln 3 9 x x x xdx x C B. 3 3 2 ln ln 3 9 x x x xdx x C C. 2 2 ln 3 x x xdx C D. 3 4 2 ln ln ln 3 12 x x x xdx x x C Câu 93. Tìm một nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 4 1 x f x x e thỏa mãn điều kiện (1) . F e A. ( ) 4 3 x F x x e B. ( ) 4 5 9 x F x x e e C. ( ) 4 3 x F x x e e D. ( ) 4 5 x F x x e Câu 94. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) cos 3 f x x x thỏa mãn điều kiện (0) 1. F Tính ( ). 3 F A. ( ) 1. 3 F B. ( ) 1. 3 F C. 7 ( ) . 3 9 F D. 7 ( ) . 3 9 F Câu 95. Cho 2 ( ) x F x ax bx c e là một nguyên hàm của hàm số 2 ( ) 3 x f x x e . Tính . S a b c A. 12. S B. 0. S C. 10. S D. 14. S Câu 96. Cho ( ) (ln ) a F x x b x là một nguyên hàm của hàm số 2 1 ln ( ) x f x x Tính . S a b A. 0. S B. 2. S C. 2. S D. 1. S Câu 97. Nếu ( ), ( ) u x v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 62 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) u x v x dx u x v x u x v x dx B. ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) u x v x dx u x v x u x v x dx C. ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) u x v x dx u x v x u x v x dx D. ( ) '( ) '( ) ( ) '( ) ( ) u x v x dx u x v x u x v x dx Câu 98. Tìm tất cả các hàm số ( ) f x thỏa mãn điều kiện '( ) x f x xe A. ( ) x f x xe C B. 2 ( ) 2 x x f x e C C. ( ) ( 1) x f x e x C D. ( ) ( 1) x f x e x C Câu 99. Cho hàm số ( ) f x biết '( ) sin f x x x và ( ) 0 f . Tính ( ) 6 f A. 3 7 ( ) 3 2 6 f B. 3 7 ( ) 3 2 6 f C. 3 7 ( ) 3 2 6 f D. 3 7 ( ) 3 2 6 f Câu 100. Biết 2 2 ln ( ln ln ) xdx x a x b x c d . Tính P abc A. 2 P B. 2 P C. 4 P D. 4 P Câu 101. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số ( ) sin f x x.ln(cosx) A. sin .ln(cos ) cos .ln(cos ) cos x x dx x x x C B. sin .ln(cos ) cos .ln(cos ) cos x x dx x x x C C. sin .ln(cos ) cos .ln(cos ) s x x dx x x C inx D. sin .ln(cos ) cos .ln(cos ) cos x x dx x x x C Câu 102. Phát biểu nào sau đây đúng? A. 2 2 (sin cos ) cos s 2 2 2 x x x x dx x x C inx B. 2 2 (sin cos ) cos s 2 2 2 x x x x dx x x C inx C. 2 2 (sin cos ) cos s 2 2 2 x x x x dx x x C inx D. 2 2 (sin cos ) cos s 2 2 2 x x x x dx x x C inx Câu 103. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số 1 ( ) ln 1 x f x x x A. 2 1 1 1 ln ln 1 2 1 x x x x dx x C x x B. 2 1 1 1 ln ln 1 2 1 x x x x dx x C x x C. 2 1 1 1 ln ln 1 2 1 x x x x dx x C x x D. 2 1 1 1 ln ln 1 2 1 x x x x dx x C x x Câu 104. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số 3 ( ) cos 2 . x f x x e A. 3 3 cos 2 . (3cos 2 2sin 2 ) 13 x x e x e dx x x C B. 3 3 cos 2 . ( 3cos 2 2sin 2 ) 13 x x e x e dx x x C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 63 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng C. 3 3 cos 2 . (3cos 2 2sin 2 ) 13 x x e x e dx x x C D. 3 3 cos 2 . (3cos 2 2sin 2 ) 13 x x e x e dx x x C Câu 105. Để tính ln 2 x x x d theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt: A. d d ln 2 u x v x x B. d d ln 2 u x v x x C. d d ln 2 u x x v x D. d d ln 2 u x v x Câu 106. Để tính 2 cos x x x d theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt: A. d d cos u x v x x x B. d d 2 cos u x v x x C. d d 2 cos u x v x x D. d d 2 cos u x x v x Câu 107. Kết quả của x I xe x d là A. x x I e xe C . B. 2 2 x x I e C . C. x x I xe e C . D. 2 2 x x x I e e C . Câu 108. Kết quả của d ( ) sin F x x x x là A. ( ) sin cos F x x x x C . B. ( ) sin cos F x x x x C . C. ( ) sin cos F x x x x C . D. ( ) sin cos F x x x x C . Câu 109. Tính 1 1 (2 1) ( ) x x F x x e dx e Ax B C . Giá trị của biểu thức A B bằng: A. 3 . B. 3 . C. 0 . D. 5 . Câu 110. Một nguyên hàm của ln f x x x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi 1 x ? A. 2 2 1 1 ln 1 2 4 F x x x x . B. 2 1 1 ln 1 2 4 F x x x x . C. 2 1 1 ln 1 2 2 F x x x x . D. 2 1 1 ln 1 2 2 F x x x x . Câu 111. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số 2 x f x xe và 0 1. f Tính 4 . F A. 4 3. F B. 2 7 3 4 . 4 4 F e C. 2 4 4 3. F e D. 2 4 4 3. F e Câu 112. Tính ( ) sin cos F x x x xdx . Chọn kết quả đúng: A. 1 ( ) sin 2 cos 2 8 4 x F x x x C . B. 1 ( ) cos 2 sin 2 4 2 x F x x x C . C. 1 ( ) sin 2 cos 2 4 8 x F x x x C . D. 1 ( ) sin 2 cos 2 4 8 x F x x x C . Câu 113. Tính 2 ln x xdx . Chọn kết quả đúng: A. 2 2 1 2 ln 2ln 1 4 x x x C . B. 2 2 1 2 ln 2ln 1 2 x x x C . C. 2 2 1 2ln 2ln 1 4 x x x C . D. 2 2 1 2 ln 2 ln 1 2 x x x C . Câu 114. Tính 2 ( ) cos F x x xdx A. 2 ( ) ( 2)sin 2 cos F x x x x x C . B. 2 ( ) 2 sin cos sin F x x x x x x C . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 64 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng C. 2 ( ) sin 2 cos 2 sin F x x x x x x C . D. 2 ( ) (2 )cos sin F x x x x x x C . Câu 115. Họ nguyên hàm của hàm số ln f x x x là: A. 2 2 1 1 ln . 2 4 F x x x x C B. 2 2 1 1 ln . 2 4 F x x x x C C. ln 1 . F x x x C D. 2 1 1 ln . 2 4 F x x x x C Câu 116. Gọi F x là 1 nguyên hàm của hàm số cos 2 . f x x x Biết rằng 1 0 , 4 F giá trị F là: A. 1. F B. 1 . 4 F C. 1 . 2 F D. 0. F Câu 117. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số 2x f x xe thỏa 1 0. 2 F Khi đó F x là A. 2 1 2 1 . 4 x F x x e B. 2 1 2 1 . 2 x F x x e C. 2 1 2 1 1. 2 x F x x e D. 2 1 2 1 . 2 x F x x e Câu 118. Biết 1 ln 1 1 . f x dx x x C Giá trị 0 f là A. 0 1. f B. 0 0. f C. 0 . f e D. 0 ln 2. f Câu 119. Biết rằng 2 2 1 ln 3 . 3 dx x x C x Họ nguyên hàm của hàm số 2 3 f x x là A. 2 2 3 3 ln 3 . 2 2 x F x x x x C B. 2 2 3 3ln 3 . F x x x x x C C. 2 2 3 3 ln 3 . 2 2 x F x x x x C D. 2 2 3 3 ln 3 . 2 2 x F x x x x C Câu 120. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số cos ? f x x x A. sin 3 cos 6 sin 1. F x x x x x x x x c x os B. cos 3 sin 6 cos sin 1. F x x x x x x x x x C. sin 3 cos 6 sin cos . F x x x x x x x x x D. cos 3 sin 6 cos sin . F x x x x x x x x x Câu 121. Hàm số nào dưới đây không tồn tại nguyên hàm? A. sin 2 1 . f x x x B. cos 0 . 2 sin 0 x x x f x x x x khi khi C. 2 2 sin 5 . 2 x x e f x x x D. . 0 \ x e x f x x khi khi Câu 122. Biết rằng 2 2 3 2 ln ln ln . x x dx x a x b x c Giá trị biểu thức P ab c là: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 65 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. 0. P B. 2 . 27 P C. 4 . 27 P D. 1. P Câu 123. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng A. udv uv vdu B. udv uv udv C. udv uv vdu D. udv uv vdv Câu 124. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( 1).sin 2 f x x x A. 1 ( ) (sin 2 cos 2 ) 2 f x dx x x x C B. ( ) sin 2 cos 2 f x dx x x x C C. 1 ( ) (sin 2 cos 2 ) 2 f x dx x x x C D. 2 1 ( ) ( )cos 2 2 f x dx x x x C Câu 125. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) . x f x x e . A. 2 ( ) . x f x dx x e C B. ( ) ( 1) x f x dx e x C C. ( 1) x e x C D. ( ) x f x dx e C Câu 126. Cho ( ) F x là một hàm số ( ) .ln f x x x , biết 2 (1) 3 F . Tìm ( ) F x A. 3 2 ( ) .ln 1 3 x F x x x B. 3 2 2 ( ) .ln 3 3 x F x x x C. 3 2 2 ( ) .ln 3 3 x F x x x D. 3 2 ( ) .ln 1 3 x F x x x Câu 127. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số 2 ( ) cos 2 x f x x thỏa 1 (0) 2 F Tính ( ). F A. 1 ( ) 2 F B. 1 ( ) 2 F C. 1 ( ) 2 F D. ( ) 1. F Câu 128. Cho hàm số ( ) ( ). f x ax b c x os thỏa mãn . Tính ? A. 3 S B. 4 S C. 5 S D. 6 S Câu 129. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) . x f x x e thỏa mãn điều kiện (0) 1. F Tính tổng S các nghiệm của phương trình ( ) 1 0. F x x A. 3. S B. 0. S C. 2. S D. 1. S Câu 130. Gọi 2 ( ) ( ). x f x ax bx c e là một nguyên hàm của hàm số ( ) (1 ). . x g x x x e Tính 2 3 . A a b c A. 6. A B. 3. A C. 9. A D. 4. A Câu 131. Để tính ln 2 x x dx theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt: A. ln 2 u x dv xdx B. ln 2 ln 2 u x x dv x dx C. ln 2 u x x dv dx D. ln 2 u x dv dx Câu 132. Tính 1 cos x xdx . A. 1 sin cos . x x x C B. 1 sin cos . x x x C C. 1 sin cos . x x x C D. 1 sin sin . x x x C ( ) .sin 2 sin os f x dx x x x c x C 2 2 S a bBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 66 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số x f x xe là: A. . x x xe e C B. . x x xe e C C. 2 . 2 x x e C D. . x e C Câu 134. Tính sin 2 1 x x dx . A. 1 cos 2 1 sin 2 1 . 2 4 x x x C B. 1 cos 2 1 sin 2 1 . 2 2 x x x C C. cos 2 1 sin 2 1 . 2 x x x C D. 1 cos 2 1 sin 2 1 . 2 4 x x x C Câu 135. Cho 2 2 2 . . . . x x x x e dx a x e b e C . Mệnh đề nào dưới đây là đúng A. 2 0. b a B. 2 0. b a C. . b a D. . b a Câu 136. Tính nguyên hàm ln ln x I dx x được kết quả nào sau đây: A. ln .ln ln . I x x C B. ln .ln ln ln . I x x x C C. ln .ln ln ln . I x x x C D. ln ln ln . I x x C Câu 137. Tính sin sin 2 . x I x e dx : A. sin cos 2 1 x e x C B. sin sin 2 1 x e x C C. sin sin 1 x e x C D. sin sin 1 x e x C Câu 138. Cho 1 2 1 tan .ln cos 1 cos 2 2 2 x x x dx m x n C x , m n . Tính 2m+ 3n? A. – 4. B. 0. C. – 8. D. 16.----- Câu 139. Biết F x là một nguyên hàm của 3 sin cos f x x x và 0 F . Tính 2 F . A. 2 F . B. 1 2 4 F . C. 1 2 4 F . D. 2 F . Câu 140. Tìm nguyên hàm F x của hàm 2 3 2 1 f x x x biết đồ thị hàm số F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e . A. 2 F x x x e . B. cos 2 1 F x x e . C. 3 2 1 F x x x x . D. 3 2 F x x x x e . Câu 141. Biết a, b là các số thực thỏa mãn d 3 2 1 2 1 . b x x a x C Tính . P a b . A. 16 9 P . B. 1 2 P . C. 16 9 P . D. 9 16 P . Câu 142. Tính d 3 2 1 x x x . A. d 3 5 2 2 2 1 1 5 x x x x C . B. d 3 5 2 2 5 1 1 2 x x x x C . C. d 3 5 2 2 3 1 1 5 x x x x C . D. d 3 5 2 2 1 1 1 5 x x x x C . Câu 143. Tính d 1 1 x x x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 67 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. 1 1 d l n 1 1 x x C x x x . B. d 1 1 ln 1 1 x x C x x x . C. d 1 1 1 ln 2 1 1 x x C x x x . D. d 1 1 1 ln 2 1 1 x x C x x x . Câu 144. Tính d 1 1 x x . A. d 1 2 ln 1 1 x x x C x . B. d 1 2 ln 1 1 x x x C x . C. d 1 3 ln 1 1 x x x C x . D. d 1 3 ln 1 1 x x x C x . Câu 145. Tính d 2 5 x x x . A. d 3 30 8 2 5 2 5 375 x x x x x C . B. d 3 8 30 2 5 2 5 375 x x x x x C . C. d 3 30 8 2 5 2 5 375 x x x x x C . D. d 3 30 8 2 5 2 5 375 x x x x x C . Câu 146. Tính d 3 2 3 1 x x x . A. d 4 3 2 3 3 3 4 1 1 3 x x x x C . B. d 4 3 2 3 3 3 3 1 1 4 x x x x C . C. d 4 3 2 3 3 3 1 1 1 4 x x x x C . D. d 4 3 2 3 3 3 1 1 1 3 x x x x C . Câu 147. Tính d cos sin sin cos x x x x x . A. d cos sin 2 sin cos sin cos x x x x x C x x . B. d cos sin 2 sin cos sin cos x x x x x C x x . C. d cos sin 3 sin cos sin cos x x x x x C x x . D. d cos sin 3 sin cos sin cos x x x x x C x x . Câu 148. Tính 3 2 sinx cos dx x A. 3 3 2 sinx 3 cos cos dx x C x . B. 3 2 3 2 sinx 3 cos cos dx x C x . C. 3 3 2 sinx 3 cos cos dx x C x . D. 3 2 3 2 sinx 3 cos cos dx x C x . Câu 149. Tính 5 3 x x dx A. 5 6 3 1 3 3 7 2 x x x dx x C . B. 5 6 3 1 3 3 7 2 x x x dx x C . C. 5 6 3 1 3 3 7 3 x x x dx x C . D. 5 6 3 1 3 3 7 3 x x x dx x C . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 68 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 150. Tính 2 x x dx e e A. 1 2 1 x x x dx C e e e . B. 2 2 1 x x x dx C e e e . C. 2 2 1 x x x dx C e e e . D. 1 2 1 x x x dx C e e e . Câu 151. Tính 2 2 1 x dx x A. 2 2 2 1 2 1 1 x dx C x x . B. 2 2 2 1 2 1 1 x dx C x x . C. 2 2 2 1 1 1 x dx C x x . D. 2 2 2 1 1 1 x dx C x x . Câu 152. Tính 1 x x dx e e A. 1 1 1 ln 2 1 x x x x e dx C e e e . B. 1 1 1 ln 2 1 x x x x e dx C e e e . C. 1 1 ln 1 x x x x e dx C e e e . D. 1 1 ln 1 x x x x e dx C e e e . Câu 153. Tính 3 2 sin cos x dx x A. 3 2 sin 1 sin cos cos x dx x C x x . B. 3 2 sin 1 sin cos cos x dx x C x x . C. 3 2 sin 1 cos cos cos x dx x C x x . D. 3 2 sin 1 cos cos cos x dx x C x x . Câu 154. Tính 2 x xe dx A. 2 2 2 x x xe dx e C . B. 2 2 2 x x xe dx e C . C. 2 2 1 2 x x xe dx e C . D. 2 2 1 2 x x xe dx e C . Câu 155. Tính 2 ln x dx x A. 2 3 ln 1 ln 3 x dx x C x . B. 2 3 ln 1 ln 3 x dx x C x . C. 2 3 ln 3ln x dx x C x . D. 2 3 ln 3ln x dx x C x . Câu 156. Tính 3 cos sin x xdx A. 3 4 1 cos sin cos 4 x xdx x C . B. 3 4 1 cos sin cos 4 x xdx x C . C. 3 4 1 cos sin sin 4 x xdx x C . D. 3 4 1 cos sin sin 4 x xdx x C . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 69 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 157. Tính 2 1 1 sin dx x x . A. 2 1 1 1 sin sin dx C x x x . B. 2 1 1 1 sin sin dx C x x x . C. 2 1 1 1 sin cos dx C x x x . D. 2 1 1 1 sin cos dx C x x x . Câu 158. Tính. A. 2 3 4 5 cos 1 sin cos cos 7 5 x x xdx x C . B. 2 3 4 5 cos 1 sin cos cos 7 5 x x xdx x C . C. 2 3 4 5 sin 1 sin cos sin 7 5 x x xdx x C . D. 2 3 4 5 sin 1 sin cos sin 7 5 x x xdx x C . Câu 159. Tính .sin 2 1 x x dx . A. 1 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 2 4 x x x dx x x C . B. 1 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 2 4 x x x dx x x C . C. 1 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 2 4 x x x dx x x C . D. 1 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 2 4 x x x dx x x C . Câu 160. Tính 1 cos x xdx . A. 1 cos 1 s in cos x xdx x x x C . B. 1 cos 1 cos sin x xdx x x x C . C. 1 cos 1 sin cos x xdx x x x C . D. 1 cos 1 cos sin x xdx x x x C . Câu 161. Tính 2 sin x xdx . A. 2 sin 2 cos sin x xdx x x x C . B. 2 sin 2 cos sin x xdx x x x C C. 2 sin 2 sin cos x xdx x x x C . D. 2 sin 2 sin cos x xdx x x x C . Câu 162. Tính 2 sin x dx x . A. 2 cot ln sin sin x dx x x x C x . B. 2 cot ln sin sin x dx x x x C x . C. 2 cot ln sin sin x dx x x x C x . D. 2 cot ln sin sin x dx x x x C x . Câu 163. Tính 2 cos x dx x . A. 2 tan ln cos cos x dx x x x C x . B. 2 tan ln sin cos x dx x x x C x . C. 2 tan ln cos cos x dx x x x C x . D. 2 tan ln sin cos x dx x x x C x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 70 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 164. Tính 2 sin x xdx . A. 2 2 1 sin sin 2 cos 2 4 4 8 x x x xdx x x C . B. 2 2 1 sin sin 2 cos 2 4 4 8 x x x xdx x x C . C. 2 2 1 sin sin 2 cos2 4 4 8 x x x xdx x x C . D. 2 2 1 si n sin 2 c os 2 4 4 8 x x x x dx x x C . Câu 165. Tính cos xdx . A. cos 2 sin 2cos xdx x x x C . B. cos 2 sin 2cos xdx x x x C . C. cos 2 sin 2cos xdx x x x C . D. cos 2 sin 2cos xdx x x x C . Câu 166. Tính 2 . cos 2 x xdx . A. 2 2 1 1 1 .cos 2 .sin 2 .cos 2 sin 2 2 2 4 x xdx x x x x x C . B. 2 2 1 1 1 . co s 2 . s i n 2 . co s 2 s in 2 2 2 4 x xd x x x x x x C . C. 2 2 1 1 1 .cos 2 .sin 2 .cos 2 sin 2 2 2 4 x xdx x x x x x C . D. 2 2 1 1 1 .cos 2 .sin 2 .cos 2 sin 2 2 2 4 x xdx x x x x x C . Câu 167. Tính 1 2 . x x e dx . A. 1 2 . 3 2 x x x e dx x e C . B. 1 2 . 3 2 x x x e dx x e C . C. 1 2 . 3 x x x e dx x e C . D. 1 2 . 3 x x x e dx x e C . Câu 168. Tính .e x x dx . A. .e 1 x x x dx x e C . B. .e 1 x x x dx x e C . C. .e 1 x x x dx x e C . D. .e 1 x x x dx x e C . Câu 169. Tính 2 3 x x e dx . A. 2 2 1 1 3 6 2 x x x e dx e x C . B. 2 2 1 1 3 3 2 x x x e dx e x C . C. 2 2 1 1 3 4 2 x x x e dx e x C . D. 2 2 1 1 3 5 2 x x x e dx e x C . Câu 170. Tính 2 2 1 x x x e dx . A. 2 2 2 1 1 x x x x e dx e x C . B. 2 2 2 1 1 x x x x e dx e x C . C. 2 2 2 1 2 x x x x e dx e x C . D. 2 2 2 1 1 x x x x e dx e x C . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 71 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1B 2C 3B 4B 5C 6D 7C 8D 9A 10B 11C 12B 13A 14D 15D 16A 17B 18A 19A 20B 21C 22A 23B 24A 25A 26B 27B 28D 29D 30D 31D 32A 33D 34D 35B 36B 37B 38A 39B 40A 41B 42C 43B 44D 45A 46A 47B 48C 49C 50C 51A 52C 53B 54A 55B 56B 57A 58B 59C 60A 61C 62B 63C 64A 65C 66A 67B 68B 69A 70D 71C 72A 73D 74C 75D 76B 77C 78D 79A 80A 81B 82C 83D 84C 85B 86C 87C 88B 89B 90D 91C 92A 93A 94C 95C 96D 97A 98C 99A 100B 101D 102C 103A 104A 105B 106B 107C 108A 109A 110A 111B 112D 113A 114A 115A 116B 117A 118B 119A 120A 121D 122A 123A 124C 125B 126D 127B 128C 129D 130A 131A 132A 133B 134D 135A 136C 137D 138C 139C 140D 141B 142D 143A 144B 145D 146C 147A 148C 149C 150C 151B 152A 153D 154C 155D 156C 157D 158A 159C 160C 161A 162B 163C 164A 165D 166B 167A 168C 169A 170B Câu 1. Chọn B. Trắc nghiệm: Phương án A. Sai. Vì C là bất kỳ. Đáp án B. Vì theo định lý. Phương án C. Sai. Vì ( ) y F x C cũng là nguyên hàm với C là hằng số bất kỳ. Phương án D. Sai. Vì hai hàm ( ) G x và ( ) F x chỉ sai khác một hằng số tức C là duy nhất. Câu 2. Chọn C. Ta có ( ) ( ) ' f x dx F x C F x f x nên phương án A, B,D đúng Câu 3. Chọn B. Trắc nghiệm: Các khẳng định ở A, C, D đúng theo tính chất nguyên hàm. Không có tính chất: Nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm. Câu 4. Chọn B. Trắc nghiệm: Mệnh đề (III) sai vì không có tính chất: Nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm. Câu 5. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 72 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Trắc nghiệm: Khẳng định C sai vì: nếu ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x thì ( ) ( ) F x f x . Mà : 1 ( ) 2 ( ). 2 F x x x f x x Câu 6. Chọn D. Trắc nghiệm: Phương án A: Sai. Vì không có tính chất ( ) ( ) n n f x dx f x dx . Phương án B: Sai. Vì không có tính chất: ( ) ( ) n f x dx n f x dx Phương án C: Sai. Sai lầm như phương án A. ( ) ( ) n n f x dx f x dx . Phương án D.Đúng. Vì 2 2 2 1 1 2 2 1 4 1 4 4 x x x x x x và sử dụng tính chất ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx . Câu 7. Chọn C. Tự luận: vì ( ) ( ) f x dx F x C nên ta có '( ) ( ) F x f x . Phương án A: sai. Vì: 1 1 1 1 ( ) . '( ) . ( ).( )' ( ). 2 2 2 2 F ax b C F ax b f ax b ax b f ax b a a a Phương án B: sai. Vì: ( ) '( ) . ( ).( )' ( ). F ax b C F ax b f ax b ax b f ax b a . Phương án C: đúng. Vì: 1 1 1 ( ) . '( ) . ( ).( )' ( ). F ax b C F ax b f ax b ax b f ax b a a a Phương án D: sai. Vì: 2 ( ) '( ) ( ).( )' . ( ). aF ax b C aF ax b af ax b ax b a f ax b Câu 8. Chọn D. Trắc nghiệm: Phương án A: đúng. Vì: 2 ( ) 2017 cos 2.cos .( sin ) sin 2 ( ) F x x x x x f x . Phương án B: đúng.Vì: nếu ( ), ( ) F x G x cùng là nguyên hàm của hàm số ( ) f x thì ( ) ( ) F x G x C , và Cdx Cx D . Phương án C: đúng. Vì: '( ) ( ) 2 ( ) u x u x C u x Phương án D: sai. Vì [ ( )] '( ) [ ( )] f u x u x dx F u x C . Câu 9. Chọn A. +/ Xét cos ' sin ln cos ' tan . cos cos x x x C x x x Suy ra khẳng định A đúng. Câu 10. Chọn B. Có 2 1 1 1 1 ln 2 ( ) ln 2 ' . f x dx x C f x x C x x x x Vậy đáp án B. Câu 11. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 73 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Dễ thấy khẳng định C sai vì . x x e dx e C Câu 12. Chọn B. + Ta có: '( ) 2 4. y f x F x x + (3) 2.3 4 10. f Câu 13. Chọn A. +/ 2 2 ( ) . 2 b a b F x f x x ax x x C x x d d Ta có: 3 1 2 2 1 1 3 1 4 4 2 2 1 0 0 7 4 a b C a F a F b C b f a b c . Vậy 2 3 3 7 4 2 4 x F x x Câu 14. Chọn D. +/Xét (I): Ta có cos ' sin ln cos ' tan . cos cos x x x C x x x Do đó (I) đúng. +/Xét (II): 3cos 3cos 3cos 1 1 ' . 3cos ' sin . 3 3 x x x e C x e e x Do đó (II) đúng. +Xét (III): Đặt 2 sin cos ' cos sin 2 sin cos ' . 2 sin cos sin cos x x x x x x C x x x x Do đó (III) đúng. Câu 15. Chọn D. Vì / 2 sin 2sin cos sin 2 x x x x . Câu 16. Chọn A. Vì 4 ' 3 1 F x x f x . Câu 17. Chọn B. Cách 1 : Tìm trực tiếp: 3 2 2 2 (x 1) (x 2 x 1)dx 3 x dx x x C Cách 2 : Ta đi tính đạo hàm 4 đáp án A, B, C, D để tìm xem đâu là kết quả của đề bài Bước 1: Khai triển 2 2 (x 1) 2 1 x x Bước 2: Lần lượt đạo hàm các đáp án A, B, C, D A. 2 ’ 3 6 3 x x F x loại A B. 2 ’ 2 1 x x F x Vậy B là đáp án C. 2 ’ 2 1 x x F x Loại C D. 2 ’ 3 2 1 x x F x Loại D (Ta chỉ cần kiểm tra đến phương án B là biết kết quả nên các phương án còn lại sẽ không phải kiểm tra ) Cách 3 : Sử dụng Casio Câu 18. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 74 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Cách 1: Nhớ công thức ln x x a a dx C a Chọn A. Cách 2: Ta đi tính đạo hàm 4 đáp án A, B, C, D để tìm xem đâu là kết quả của đề bài Câu 19. Chọn A. Cách 1: Tìm nguyên hàm 3 1 2 2 2 2 3 3 x xdx x dx x x C 2 2 1 (1) 1 1 1 3 3 3 F C C Thay trở lại ta được 2 1 (x) 3 3 F x x Câu 20. Chọn B. Cách 1: 1 (x) ln 2 F x C x là nguyên hàm của f x nên F’(x) = f( ) x 2 1 1 '(x) F C x x Cách 2: Tìm nguyên hàm của f x trong các phương án A, B, C, D. Câu 21. Chọn C. 2 2 4 4 4 1 1 ( sin ) sin sin 2 2 4 m m m x dx dx xdx x x x C Giải hệ (0) 1 1 1 4 1 1 3 F( ) . . sin 4 8 4 2 4 4 2 8 4 F C C m m Câu 22. Chọn A. '( ) (cos )' sin f x x x ; 2 2 2 1 cos 2 x ( '( )) ( sin ) sin 2 y f x x x 1 cos 2 x 1 sin 2 2 2 4 x ydx dx x C Câu 23. Chọn B. Cách 1: 2 2 sin 4 2 sin 2 cos 2 4sin cos (cosx sinx) 4 sinxcos 4cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x 2 2 3 3 sin 4 4 4 sin cos 4 cos sin (cos x sin x) C sin cos 3 1 2 3 (c ) (cosx sin ) C sin(3 x ) 2 sin(x ) C 3 3 4 4 x dx x xdx x xdx x x x os3x-sin3x Cách 2: Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x 2 1 sin 2 t x 2 sin 2 1 x t Suy ra . cos 2 t t x x d d Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 75 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Ta có 2 2 1 . t t t I t d = 2 2 1 t t d = 3 2 2 3 t t C = 3 3 2 2 sin 2 2 sin 3 4 4 x x C Áp dụng công thức nhân ba 3 sin 3 4sin 3sin a a a 3 1 sin 3sin sin 3 4 a a a * Vậy 4 2 1 3 . 3sin sin 3 2 2 sin 3 4 4 4 4 I x x x C = 2 3 2 sin sin 3 2 2 sin 4 3 4 4 x x x C = 2 3 sin 3 2 sin 3 4 4 x x C Cách 3: Lấy đạo hàm các phương án A, B, C, D xem đâu là kết quả đúng Câu 24. Chọn A. Cách 1 :Biến đổi cos 1 2 cos sin sin 2 tan 1 2 sin cos 2 2 sin cos x x x x x I x x x x x x x d d d 1 2 cos sin 1 sin 1 1 ln 2 sin cos 2 2sin cos 2 2 sin cos 2 2 J x x x x x x x J x x x x d d * Ta tính 2 1. J I x x C d , suy ra 1 2 J x I C * Thế kết quả trên trở lại đề: 1 1 ln 2 sin cos 2 4 I x x x I C 4 1 1 ln 2 sin cos 5 2 4 I x x x C 2 1 ln 2 sin cos 5 5 I x x x C Cách 2:Lấy đạo hàm các phương án A, B, C, D xem đâu là kết quả đúng Câu 25. Chọn A. Cách 1 : Tự luận 1 1 1 (1 2 ) 1 1 1 1 ln|1 2 | ln|1 2 | ln| | . 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 d x x x C x C C x x x d Cách 2 : CASIO Câu 26. Chọn B. Cách 1 : Tự luận 1 3 3 2 2 2 2 3 3 3 1 4 2 3 2 3ln 3 3 4 3ln . 3 3 x x x dx x dx dx x dx x x C x x x x x C Câu 27. Chọn B. Cách 1 : Tự luận 1 ( ) ( ) ln 1 1 F x f x x x x C x d d . (2) 1 ln1 1 1 F C C . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 76 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Vậy ( ) ln 1 1 F x x . Suy ra (3) ln 2 1 F . Cách 2 : CASIO Câu 28. Chọn D. Cách 1 : Tự luận Đặt 4 4 3 3 1 ( 1) 4 4 du u x du d x x dx dx x 3 3 4 4 4 3 1 1 1 1 1 ln| | ln| 1| ln( 1) . 4 4 4 4 4 1 . x x du du dx u C x C x C u x u x Cách 2 : CASIO Câu 29. Chọn D. Cách 1 : Tự luận 1 (2 3 ) 1 1 ln|2 3 | ln 3 2 . 2 3 3 2 3 3 3 dx d x x C x C x x Cách 2 : CASIO Câu 30. Chọn D. Cách 1 : Tự luận 3 3 2 1 1 ln| | . 3 x x x dx x dx dx dx x x C x x Cách 2 : CASIO Câu 31. Chọn D. Cách 1 : Tự luận 2 2 2 3 6 1 ( 3 ) ( 3) 6 3 6ln 1 . 1 1 1 2 x x dx x dx x dx dx x C x x x x x+ Cách 2 : CASIO Câu 32. Chọn A. Cách 1 : Tự luận Đặt . x du u e du udx dx u 3 3 2 2 2 2 1 1 ( 1)( 1) 1 ( 1 ) ln| | ( 1) ( 1) 2 1 1 1 ln . 2 2 x x x x x x x e u u u u u dx du du u du u u C u u u u u e e e e C e e x C Cách 2 : CASIO Câu 33. Chọn D. 2 2 1 1 ( ) 2 x f x x F x C x x ; 3 (1) 0 2 F C Ta có 2 1 3 ( ) . 2 2 x F x x Câu 34. Chọn A. Sử dụng máy tính Casio Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 77 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Ta có: 2 1 1 1 4 3 1 f . Dùng lệnh SHIFT thử với các đáp án: 1 3 2,25 1 3 x d dx x loại đáp án A. 1 1 3 1 3 4 x d dx x loại đáp án B. 1 1 1 3 9 4 x d dx x loái đáp án C 1 1 1 3 9 4 x d dx x Đáp án D thỏa mãn Tự luận: 2 2 1 1 1 1 3 1 3 1 3 9 3 3 3 1 3 1 dx x d x C C x x x Câu 35. Chọn B. Sử dụng máy tính Casio Ta có: 3 0 2 f Dùng lệnh SHIFT thử với các đáp án: 0 2 ln 2 ln 1 0 x d x x dx loại đáp án A. 0 3 2 ln 1 ln 2 2 x d x x dx đáp án B. Tự luận: 2 3 2 1 2 ln 1 ln 2 1 2 3 2 x x dx x x C x x x x d Câu 36. Chọn B. Sử dụng máy tính Casio Ta có: 0 0 f Dùng lệnh SHIFT thử với các đáp án: 2 0 1 0 1 x d x x dx x loại đáp án A. 2 0 1 2 1 x d x x dx x đáp án B. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 78 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Tự luận: 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x x dx dx x C x x x Đáp án A loại Đáp án B: 2 1 1 1 1 x x x x x không phải là nguyên hàm của f x Câu 37. Chọn B. Sử dụng máy tính Casio Ta có: 2 0 5 f Dùng lệnh SHIFT thử với các đáp án: 2 0 1 2 ln 4 5 2 5 x d x x dx loại đáp án A. 2 0 1 ln 4 5 0,8 0,4 2 x d x x dx đáp án B. Tự luận: 2 2 2 2 4 5 ' 1 1 ln 4 5 2 2 2 4 5 4 5 x x x dx x x C x x x x x d Đáp án A loại Đáp án B: 2 2 1 1 ln 4 5 ln ln 4 5 . 2 2 x x x x không phải là nguyên hàm của f x Câu 38. Chọn A. Sử dụng máy tính Casio Ta có: 1 0 2 f Dùng lệnh SHIFT thử với các đáp án: 0 1 2 ln 0,5 3 1 x d x dx x đáp án A. Tự luận: F = 2 1 1 1 1 2 ln 3 2 1 3 1 2 dx x x dx C x x x x x Câu 39. Chọn B. Sử dụng máy tính Casio Ta có: 0 3,5 f Dùng lệnh SHIFT thử với các đáp án: 0 2 ln 2 3ln 1 4 x d x x dx loại đáp án A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 79 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 0 7 3ln 2 2 ln 1 2 x d x x dx đáp án B. Tự luận: d 2 5 7 2 3 2 ln 1 3ln 2 1 2 3 2 x x dx x x C x x x x . Đáp án B. Câu 40. Chọn A. Tự luận: 1 2 3 2ln 1 3ln 2 1 2 1 2 x dx dx x x C x x x x Vậy 2; 2 5 a b a b . Câu 41. Chọn B. Tự luận: 2 2 2 1 1 2 2 u x u x udu xdx udu xdx Khi đó: 3 2 3 2 2 1 1 3 3 x u x x dx u du C C Vậy KĐ1 sai, KĐ2 đúng, KĐ3 sai. Trắc nghiệm: + KĐ1: du dx khi và chỉ khi u x C sai +KĐ2: Thêm cận vào 2 vế để tính tích phân bằng MTCT 2 vế bằng nhau Đúng +KĐ3: 2 1 x x CACL 3 9,48 3 2 1 / 6 x d dx tại x=3 4,7 Sai Câu 42. Chọn C. Tự luận: Dễ thấy bước 1,2 đúng. Bước 3 sai vì đưa về biến cũ sai, đúng phải là 2 cos 1 1 sin sin x dx C C u x x Câu 43. Chọn B. Tự luận: Đặt 2 1 2 2 du u x du xdx dx 2 2 ln 1 1 ln 2 2 2 1 x x du u dx C C u x Trắc nghiệm: + 2 1 x f x x CACL 3 0,3 + Kiểm tra các đáp án: 2 / ln 1 d dx x tại x=3 0,6 A sai 2 1 / ln 1 2 d dx x tại x=3 0,3 B đúng. Câu 44. Chọn D. Tự luận: Đặt 2 ln 3 ln 3 2 dx u x u x udu x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 80 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 3 3 2 ln 3 2 2 2 ln 3 3 3 x u dx u du C x C x Trắc nghiệm: + ln 3 x f x x CACL 3 0,6748 + Kiểm tra các đáp án: / ln 3 d dx x tại x=3 0,08 A sai 3 / ln 3 d dx x tại x=3 1,01 B sai. 3 1 / ln 3 3 d dx x tại x=3 0,337 C sai. 3 2 / ln 3 3 d dx x tại x=3 0,6748 D đúng. Câu 45. Chọn A. Tự luận: sin 2 2sin .cos 1 cos 1 cos x x x f x x x Đặt 1 cos sin u x du xdx 2 1 2 sin .cos 2 2 2 ln 2 2 ln 1 cos 2 1 cos 1 cos u x x dx du du u u C x x C x u u 0 2ln 1 cos 2 1 cos 0 2 2 ln 1 cos 2 cos 2 2 2 F C C F x x x Vậy 0 2 ln 2 2 F Trắc nghiệm: + Tính tích phân 2 0 sin 2 0,613 0 0 0,613 0,613 1 cos 2 2 x dx F F F F x + Đổi các đáp án ra số gần đúng Chọn A. Câu 46. Chọn A. Tự luận: 1 cos 1 sin cos cos sin 1 cos sin 1 1 tan sin cos 2 sin cos sin cos 2 sin cos x x x x x x x f x x x x x x x x x x Suy ra 1 1 cos sin 1 cos sin 1 1 tan 2 sin cos 2 2 sin cos x x x x x dx dx dx x x x x x sin cos cos sin 1 cos sin 1 1 1 ln ln sin cos 2 sin cos 2 2 2 u x x du x x dx x x du dx u C x x C x x u §Æt Vậy 1 1 ln sin cos 1 tan 2 2 x dx x x C x 1 0 ln sin cos 4 4 2 2 4 x F C F x x x . Vậy 2 4 4 2 F Trắc nghiệm: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 81 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng + Tính tích phân 2 0 1 1 tan dx x MTCT báo lỗi do tại 2 x thì tan x không xác định. Ta thay cận trên 2 x thành một số gần đúng là 10 21 x 10 21 0 1 0,7827 0 0,7827 0 0,7827 1,568 1 tan 2 2 4 dx F F F F x + Đổi các đáp án ra số gần đúng ,chỉ có đáp án A là gần với 1,568 nhất. Câu 47. Chọn B. Tự luận: Đặt 2 2 1 2 1 u x u x udu dx 4 1 4ln 4 2 1 4 ln 2 1 4 4 4 2 1 4 dx u du du u u C x x C u u x Vậy 1; 4 3 a b M Câu 48. Chọn C. Tự luận: 3 3 cos sin sin cos cos 2 sin cos 2 sin cos 2 x x x x x x x x x Đặt sin cos 2 cos sin u x x du x x dx 3 3 2 2 2 2 cos 2 1 1 1 sin cos 1 sin cos 2 sin cos 2 1; 2 3 u x u x x dx du C C C u u u u x x x x m n A Câu 49. Chọn C. Câu 50. Chọn C. 2 2 1 I x x dx . Đặt 2 1 2 u x du xdx Vậy I udu Câu 51. Chọn A. 15 2 7 I x x dx Đặt 2 1 7 2 1 2 u x du xdx xdx du Vậy 16 15 16 2 1 1 1 7 2 32 32 I u du u C x C Câu 52. Chọn C. Ta tính: 2 cos 2 sin x dx x . Đặt 2 sin cos t x dt xdx Vậy: 2 2 cos 1 1 2 sin 2 sin x dt dx C t x t x Câu 53. Chọn B. Tính: 2 . 1 1 x x x x x e e e dx dx e e Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 82 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt 1 1 x x x dt e dx t e e t Ta được: 2 . 1 1 1 ln 1 ln 1 1 1 x x x x x x x e e e t dx dx dt dt t t C e e C t t e e Câu 54. Chọn A. 2 f x dx . Đặt 1 2 2 2 t dx dt dx dx dt Ta được: 2 1 1 1 2 2 2 1 f x dx f t dt f x dx C x Câu 55. Chọn B. ln x dx x . Đặt 1 ln t x dt dx x Ta được: 2 2 ln ln 2 2 x t x dx tdt C C x Mà: 2 2 2 ln 4 4 2 2 e F e C C Vậy: 2 ln 5 2 2 2 x F x F e Câu 56. Chọn B. Tựluận: 1 1 x dx e . Đặt 1 1 x x x dt e dx t e e t 1 1 1 ln 1 ln 1 1 1 1 1 ln ln 1 x x x x x x e dt dx dx dt t t C t t t t e e e t e C C t e Mà: 0 0 0 ln 2 ln ln 2 0 1 e F C C e . Vậy: ln 1 x x e F x e Giải pt: ln 1 3 ln ln 1 3 ln 3 3 1 x x x x x e F x e e e x e Trắc nghiệm: Sau khi tìm được nguyên hàm ln 1 x x e F x e . Ta có thể giải nhanh phương trình: ln 1 3 x F x e bằng cách dùng máy tính Casio để thử nghiệm Nhập vào máy tính Sau đó bấm phím Calc để thử đáp án. Ta thử đáp án B. Nhấn Calc nhập 3 X ta được Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 83 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Vậy 3 x là nghiệm của phương trình. Tương tự thử với các đáp án còn lại ta thấy chỉ có đáp án B thỏa. Câu 57. Chọn A. Tự luận: Đặt t=ax +b ta có dt= 1 dx a nên 1 ( ) f ax b dx F ax b C a Câu 58. Chọn B. Tự luận: áp dụng 1 ( ) f ax b dx F ax b C a Câu 59. Chọn C. 2 2 1 2 1 I x x dx Đặt 2 1 2 u x du xdx . Đổi cận 1 1 x u ; 2 3 x u . Nên 3 0 I udu Câu 60. Chọn A. Xét cos sin x e xdx bằng cách đặt t = cosx ta có dt= -sinxdx Nên cos cos sin x t t x e xdx e dt e C e C Câu 61. Chọn C. Ta có: 10 10 12 2 2 2 1 1 1 1 x x dx dx x x x Đặt 2 1 x t x thì 2 3 1 dt dx x nên 10 11 11 10 12 2 1 1 1 2 3 3 11 33 1 1 x t x dx t dt C C x x Câu 62. Chọn B. Đặt 1 x x t e dt e dx Ta có 2 1 ln 1 ln 1 1 x x x x e t dx dt t t C e e C t e Câu 63. Chọn C. 10 10 12 2 2 2 1 1 1 1 x x dx dx x x x Đặt 2 1 x t x thì 2 3 1 dt dx x nên 10 11 11 10 12 2 1 1 1 2 3 3 11 33 1 1 x t x dx t dt C C x x Câu 64. Chọn A. Đặt os 1 2 2 sin 2 sin 2 2 t c x dt xdx xdx dt os 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin cos sin cos sin 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 x x x x x c x t t Vậy 4 4 2 2 sin 2 1 1 2 sin 1 2 2 xdx dt dt I c x x t t os . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 84 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 65. Chọn C. Tự luận: Áp dụng công thức 1 x b x b e x e C a a a d với 0 a ; thay 2 a và 0 b để có kết quả Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính casio: cú pháp 1 x A d f A F x dx Biến A được nhập từ bàn phím để kiểm tra, A là hằng số thỏa mãn tập xác định và có giá trị nhỏ. Nếu kết quả cho ít nhất một giá trị khác 0 thì loại phương án đó. Nếu kết quả luôn cho giá trị bằng 0 với một dãy giá trị của A thì chọn phương án đó. Chú ý: để dễ đọc kết quả ta nên chọn máy tính ở chế độ fix - 9 (shift-mod-6-9). Nhập vào biểu thức vào máy tính 1 shift Sto A. e 2A 2 7,389 x x A d e dx loại e 2A 2 0 2 x x A d e dx chọn Câu 66. Chọn A. Tự luận: Áp dụng công thức 1 cos( ) sin( ) ax b x ax b C a d với 0 a ; thay 2 a và 0 b để có kết quả. Trắc nghiệm: Nhập vào biểu thức vào máy tính 3 shift Sto A. 2 c A os 1 sin 2 0 2 x A d x dx chọn Câu 67. Chọn B. Tự luận: 5 1 5 6 5 1 1 (3 2 ) 1 (3 2 ) (3 2 ) 2 12 x x d C x C x Trắc nghiệm: TXĐ của hàm số là R Nhập vào biểu thức vào máy tính ( cho A tùy ý ) 2 shift sto A. 5 3 2A 6 1 3 2 0 12 x A d d x x chọn Câu 68. Chọn B. Tự luận: Ta có: 1 2 2 1 2 1 f x dx x dx x dx 3 2 3 2 1 1 1 2 1 . . . 2 1 . 2 1 . 2 1 3 2 2 3 3 2 x C x C x x C . Trắc nghiệm: TXĐ 1 ; 2 D Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 85 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Cho 1 2 A , 1 2 shift sto A. 2 1 A 1 2 1 2 1 0 3 x A d x x dx Câu 69. Chọn A. Tự luận : Đặt 2 1 1 2 2 t x dt x dt xdx dx 2 2 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 x t t t x F x x e dx e dt e dt e c e c 1 1 3 (0) 2 . 2 2 F e C e e C=e vậy 2 1 1 2 x F x e e 2 1 1 2 1 1 1 2 2 F e e e e Trắc nghiệm: 2 2 2 1 1 2 1 1 1 . 1 2 2 x x x F x x e dx e d x e c 1 1 3 (0) 2 . 2 2 F e C e e C=e vậy 2 1 1 2 x F x e e 2 1 1 2 1 1 1 2 2 F e e e e Câu 70. Chọn D. Tự luận Đặt 2 1 1 1 ln 1 ln 2 2 t t t d d t t x x x x dt= x x d 2 2 2 2 1 ln 1 ln t t F x t t C C t x dx d d x x 1 0 2. 1 ln1 0 2 F C C Vậy 2 1 ln 2 F x x 2 1 ln 2 2 F e e Trắc nghiệm: 2 1 ln 2 1 ln 1 ln F x C x dx d x x x 1 0 2. 1 ln1 0 2 F C C Vậy 2 1 ln 2 F x x 2 1 ln 2 2 F e e Câu 71. Chọn C. Tự luận: Quãng đường vật di chuyển 2 5 5 10 10 2 t s t v t dt t dt t C Tại thời điểm 0 t thì 0 s t , do đó 0 C và 2 2 5 5 10 2 10 10 2 2 t s t t t Xe dừng hẳn khi được quãng đường 10 m kể từ lúc đạp phanh Trắc nghiệm: Khi vật dừng lại thì 0 5 10 0 2 v t t s Quãng đường vật đi được trong thời gian này là : 2 2 2 2 0 0 0 5 5 10 10 10 2 t s t v t dt t dt t m Câu 72. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 86 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Tự luận: 1 1 1 2 3 2 4 2 2 2. 1 3 1 2 t s t v t dt t dt t dt t C Câu 73. Chọn D. Cách 1: 1 1 ( ) cos 3 3 sin 3 3 6 6 3 6 f x dx x d x x C . Cách 2: sử dụng casio bấm shift nhập ( ) cos 3 6 f x x tại 3 x Thay 3 x vào 4 đáp án rồi so sánh kết quả, suy ra đáp án D. Câu 74. Chọn C. Cách 1: Đặt 2 3 2 3 t x d t dt x . Khi đó 3 3 3 2 2 2 4 x d x x C x Cách 2: sử dụng casio bấm shift nhập 3 ( ) 2 f x x tại x = 10 Thay x = 10 vào 4 đáp án rồi so sánh kết quả, suy ra đáp án C. Câu 75. Chọn D. Cách 1 :Đặt 2 5 4 4 t x tdt xdx Ta có 3 2 2 3 2 1 1 1 2 5 4 5 4 2 6 6 x x dx t dt t C x C Cách 2: sử dụng casio bấm shift nhập 2 2 5 4 x x dx tại x = 10 Thay x = 10 vào 4 đáp án so sánh rồi suy ra đáp án là D. Câu 76. Chọn B. Cách 1: 5 5 4 cos 1 1 ( ) (sin ) sin sin 4 sin x f x dx dx d x C x x x Cách 2: sử dụng máy tính. Câu 77. Chọn C. 1 ln 1 1 dx x C x , vì 2 1 F nên 1 C . ln 1 1 F x x , thay 3 x ta có đáp án. Câu 78. Chọn D. Đặt 2 ln ln 1 x t x tdt dx x 3 2 3 2 2 ln 1 ln ln 1. 3 3 x x t x dx t dt C C x . Vì 1 1 3 F nên 0 C . Vậy 2 8 9 F e . Câu 79. Chọn A. Đặt 1 2 t x tdt dx 5 3 4 2 5 3 2 2 2 2 1 2 2 1 1 5 3 5 3 x x dx t t dt t t C x x C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 87 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Vì 0 2 F nên 34 15 C . Thay 3 x ta được đáp án. Câu 80. Chọn A. Đặt 2 ln 3 t x và tính được 2 ln 3 F x x C . 2 2016 2014 ln 3 2014 1 3 2014 F e C F x x F Câu 81. Chọn B. Đặt 2 3 x u x dv e dx ta có 2 x du dx v e . Khi đó 2 3 2 2 1 x x x I x e e dx x e C Câu 82. Chọn C. Tự luận:Ta có : 2 ln 2x dx x Đặt : 2 1 ln 2 1 1 u x du dx x dv dx v x x Khi đó : 2 2 ln 2 1 1 1 1 1 ln 2 ln 2 ln 2 1 x dx x dx x c x C x x x x x x . Trắc nghiệm: Cách 1: Thử phương án A SHIFT 2 1 ln 2 ln 2 1 x X d x x dx x x CALC 2 e x nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Cách 2: “Đổ cận vào nguyên hàm” Bằng máy tính Casio tính 2 2 1 2 ln 2 e x x kết quả gán vào biến A (Shift Sto A) Kiểm tra phương án A : Tính 1 2 2 e A F F nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 83. Chọn D. Tự luận:Ta có : sin 2 x xdx Đặt : 1 sin 2 cos 2 2 du dx u x dv xdx v x Khi đó : 1 1 1 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 2 2 2 4 x x x x x xdx x x C . Trắc nghiệm: Thử phương án A SHIFT 1 cos 2 sin 2 sin 2 2 4 x X d x x x x x dx CALC x = 0 nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 84. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 88 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt sin 2 u x dv xdx ta có 1 cos 2 2 du dx v x . Khi đó 1 1 sin 2 cos 2 cos 2 2 2 x xdx x x xdx 1 1 cos 2 sin 2 2 4 x x x C Vậy 1 1 cos 2 sin 2 2 4 F x x x x C . Ta có 0 2 2 2 F F C C C . Mà 0 2 F F nên 0 C Do đó 1 4 4 F Câu 85. Chọn B. Ta có sin cos f x x f x x dx = d Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có: sin cos cos cos f x x f x x f x x x f x dx = d d cos f x x f x cosxdx Mà theo giả thiết sin - cos x f x x dx f x x cosx dx Suy ra dx ln x x x f x f x C Câu 86. Chọn C. Tự luận: Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 3 3 cos 3 cos 3 2 2 2 x x x x I e cos xdx cos xd e e x e d x (t/phần) 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 cos 3 sin 3 cos 3 sin 3 2 2 2 4 1 3 9 cos 3 sin 3 2 4 4 x x x x x x e x e xdx e x xd e e x e x I (từng phần lần 2) Suy ra 2 2 3 cos 3 sin 3 13 13 x I e x x 2 3 5 , 13 13 13 a b a b Câu 87. Chọn C. 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x e xe e e dx dx e dx dx dx x x x x x x . Đặt 2 1 1 1 1 x x u du dx x x dv e dx v e . Ta có 2 1 1 1 x x x e e e dx dx x x x , suy ra 2 , 0 2 1 1 1 x x xe e dx C F x F C x x . Vậy 1 1 x e F x x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 89 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 88. Chọn B. Đặt 2 ( sin 1 ) I x x dx Dùng phương pháp đổi biến, đặt 2 1 t x ta được sin I t tdt Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt , sin u t t dv dt Ta được 2 2 2 cos cos 1 cos 1 sin 1 I t t tdt x x x C . Câu 89. Chọn B. Theo định lý về nguyên hàm từng phần ta chọn B. Câu 90. Chọn D. Tự luận: Đặt cos sin u x du dx dv xdx v x cos sin - sin sin cos . x xdx x x xdx x x x C Trắc nghiệm: Kiểm tra phương án A đúng hay sai ta bấm SHIFT sin cos .cos x X d x x x x x dx CALC x = 0 nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 91. Chọn C. Đặt x x u x du dx dv e dx v e - . x x x x x xe dx xe e dx xe e C Chon 2 C ta được ( ) 2 x x F x xe e Câu 92. Chọn A. 2 3 1 ln 3 du dx u x x dv x dx x v 3 2 3 3 2 ln ln - ln . 3 3 3 9 x x x x I x dx x dx x C Câu 93. Chọn A. Đặt 4 1 4 x x u x du dx dv e dx v e 4 1 4 1 - 4 4 1 4 4 3 x x x x x x x e dx x e e dx x e e C x e C Mà (1) 0 F e C nên ( ) 4 3 x F x x e Câu 94. Chọn C. Đặt 1 cos 3 sin 3 3 du dx u x dv xdx v x 1 1 cos 3 sin 3 - sin 3 sin 3 . 3 3 3 9 x x x xdx x xdx x C cos3x Mà 8 (0) 1 9 F C nên 7 ( ) 3 9 F Câu 95. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 90 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt 2 3 3 3 x x du x dx u x v e dv e dx 2 2 3 3 - 2 3 x x x x e dx x e x e dx Đặt 3 x x u x du dx dv e dx v e 2 2 2 2 3 3 - 2 3 3 2 3 8 17 x x x x x x x x e dx x e x e dx x e x e e dx x x e C Mà 1; 8; 17 10 a b c S . Câu 96. Chọn D. 2 2 2 2 1 ln 1 ln 1 ln x x x dx dx dx dx x x x x x Đặt 2 1 ln 1 1 u x du dx x dv dx v x x 2 2 2 1 ln 1 ln 1 1 1 1 1 1 1 ln ln ln 2 1; 2 1 x x dx dx x dx x C x C x x x x x x x x x x a b S Câu 97. Chọn A. Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có đáp án đúng là A. Câu 98. Chọn C. Ta có ( ) x x x x x x f x xe dx xde xe e dx xe e C . Chọn đáp án C. Câu 99. Chọn A. ( ) sin ( cos ) cos sin f x x xdx xd x x x x C , ( ) 0 f C ( ) cos sin f x x x x Nên 3 7 ( ) 3 2 6 f . Câu 100. Chọn B. 2 2 2 2 2 2 ln ln .(ln )' ln 2 ln ln 2 ln (ln 2 ln 1) xdx x x x x dx x x xdx x x x x x d x x x d Suy ra 1, 2, 1 a b c Vậy 2 P Câu 101. Chọn D. ( ) sin .ln(cos ) ln(cos ) (cos ) cos .ln(cos ) sin cos .ln(cos ) cos F x x x dx x d x x x x x x C xdx Câu 102. Chọn C. 2 2 (sin cos ) (1 s ) sin cos s 2 2 2 x x x x dx x dx xdx x xdx x x C inx inx Câu 103. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 91 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 1 ln , 1 x u dv xdx x suy ra 2 2 2 , 2 1 x du v x 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ln ln ln (1 ) 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ln (1 ( )) 2 1 2 1 1 1 1 ln 2 1 x x x x x x x dx dx dx x x x x x x x dx x x x x x x C x Câu 104. Chọn A. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 cos 2 . cos 2 ( ) cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 ( ) 3 3 3 3 3 3 1 2 4 1 2 4 cos 2 sin 2 cos 2 . cos 2 sin 2 3 9 9 3 9 9 (3cos 2 2sin 2 ) 13 x x x x x x x x x x x x e e I x e dx xd e x xe dx e x xd e x e x x e dx e x e x I e I x x C Câu 105. Chọn B. Câu 106. Chọn B. Câu 107. Chọn C. Tự luận: Đặt x x u x du dx dv e dx v e Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có : x x x I xe dx xe e dx x x x x xe d e xe e C . Trắc nghiệm: Cách 1:Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập ( ) ( ) d F x f x dx , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm 0 x thuộc tập xác định, kết quả bằng 0 chọn. Cách 2: Dùng phương pháp đường chéo. Câu 108. Chọn A. Tự luận: Đặt sin cos u x du dx dv xdx v x Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có ( ) cos cos cos sin F x x x xdx x x x C Trắc nghiệm: Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập ( ) ( ) d F x f x dx , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm 0 x thuộc tập xác định, kết quả bằng 0 chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp đường chéo. Vậy ( ) sin cos F x x x x C . Câu 109. Chọn A. Tự luận: 1 1 (2 1) ( ) x x F x x e dx e Ax B C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 92 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt 1 1 2 1 2 x x u x du dx dv e dx v e Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có 1 1 1 1 1 ( ) 2 1 2 2 1 2 2 1 x x x x x F x x e e dx x e e C x e C Vậy 3 A B . Trắc nghiệm:Sử dụng phương pháp đường chéo Câu 110. Chọn A. Tự luận: Ta có ln F x f x dx x xdx . Đặt 2 ln 2 dx du u x x dv xdx x v Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có: 2 2 2 1 1 1 1 ln ln 2 2 2 4 F x x x xdx x x x C . Theo bài ra, có: 2 1 1 1 1 0 .1.ln1 .1 0 2 4 4 F C C . Vậy 2 2 1 1 1 ln 2 4 4 F x x x x . Trắc nghiệm: Cách 1:Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập ( ) ( ) d F x f x dx , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm 0 x thuộc tập xác định, kết quả bằng 0 chọn. Cách 2: Dùng phương pháp bảng Câu 111. Chọn B. Cách 1: 2 . x F x xe dx Đặt 2 2 2 x x u x du dx dv e dx v e Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 4 x x x x F x xe e dx xe e C . Theo giả thiết: 0 1 4 1 3 F C C . 2 2 2 4 3 x x F x xe e 2 2 2 4 8 4 3 4 3 F e e e . Cách 2: 4 4 2 2 2 0 0 (4) (1) (4) 1 32,556224 4 3 x x xe dx F F F xe dx F e Câu 112. Chọn D. Tự luận: 1 ( ) sin cos sin 2 2 F x x x xdx x xdx Đặt 1 1 2 2 1 sin 2 2 2 du dx u x dv xdx v c x os Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 93 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 1 1 1 1 ( ) cos 2 cos 2 sin 2 4 8 2 4 4 xd F x x x x x x x C cos Trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa '( ) ( ) '( ) ( ) 0 F x f x F x f x Nhập máy tính ( ) ( ) d F x f x dx . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên 0 x trong tập xác định, nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. Câu 113. Chọn A. Tự luận: Dùng nguyên hàm từng phần 2 lần. Trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa '( ) ( ) '( ) ( ) 0 F x f x F x f x . Nhập máy tính ( ) ( ) d F x f x dx . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên 0 x trong tập xác định, nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Do đó 2 2 2 2 2 1 1 1 ln ln ln 2 2 4 x xdx x x x x x C = 2 2 1 2 ln 2 ln 1 4 x x x C . Câu 114. Chọn A. Tự luận: 2 ( ) cos F x x xdx . Đặt 2 i 2 s n os c du xdx u x x xd v x v d 2 sin 2 si ) n ( x x F x x xdx Đặt 2 2 sin cos xdx u x du dx dv x v 2 2 sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2sin ( ) x x x x xdx x x x x x C F x Trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa '( ) ( ) '( ) ( ) 0 F x f x F x f x Nhập máy tính ( ) ( ) d F x f x dx . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên 0 x trong tập xác định, nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. Câu 115. Chọn A. Tự luận: Đặt ln u x dv xdx suy ra 2 . 2 dx du x x v Khi đó 2 2 2 1 1 ln ln ln . 2 2 2 4 x x F x x xdx x x dx x x C Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng CALC kết hợp với shift+ Tích phân để tính đạo hàm để kiểm tra tại một số điểm 0 1 , ,... x x nếu thấy kết quả trùng hợp thì lựa chọn. Câu 116. Chọn B. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 94 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Tự luận: Đặt cos 2 u x dv xdx suy ra . sin 2 2 du dx x v Khi đó sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 . . 2 2 2 4 x x x x x x F x x xdx dx C Do 1 0 . 4 F nên 0. C Từ đó suy ra 1 . 4 F Trắc nghiệm: Dùng máy tính, tính giá trị tích phân 4 0 cos 2 x xdx . Mặt khác, ta có 4 0 cos 2 0 . 4 x xdx F F Từ đó suy ra 4 0 cos 2 . 4 x xdx F Câu 117. Chọn A. Tự luận: Đặt 2x u x dv e dx suy ra 2 . 2 x du dx e v Khi đó 2 2 2 2 2 . . 2 2 2 4 x x x x x xe e xe e F x xe dx dx C Do 1 0 2 F nên 0. C Suy ra 2 2 2 1 2 1 . 2 4 4 x x x xe e F x x e Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng CALC kết hợp với shift+ Tích phân để tính đạo hàm để kiểm tra tại một số điểm 0 1 , ,... x x nếu thấy kết quả trùng hợp thì lựa chọn. Câu 118. Chọn B. Tự luận: Ta có 1 ln 1 1 . f x dx x x C 1 ln 1 1 ln 1 . f x x x C x Từ đó ta có 0 0. f Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng shift+ Tích phân để tính đạo hàm tính đạo hàm hàm số 1 ln 1 1 y x x tại điểm 0. Câu 119. Chọn A. Tự luận: Ta có 2 2 2 2 2 2 3 3 3 . 3 3 3 x x I x dx dx dx dx x x x Lại có 2 2 2 . . 3 3 x x x J dx dx x x Đặt 2 3 u x x dv dx x suy ra 2 . 3 du dx v x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 95 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Suy ra 2 3 . J x x I Vậy nên 2 2 2 3 3ln 3 C. I x x x x Vậy 2 2 3 3 ln 3 . 2 2 x F x x x x C Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng CALC kết hợp với shift+ Tích phân để tính đạo hàm để kiểm tra tại một số điểm 0 1 , ,... x x nếu thấy kết quả trùng hợp thì lựa chọn. Câu 120. Chọn A. Tự luận: Đặt t x suy ra 3 cos . I t tdt Đặt 3 cos u t dv tdt suy ra 2 3 . sin du t dt v t Suy ra 3 2 sin 3 . I t t t costdt Tiếp tục tích phân từng phần 2 lần nữa ta được 3 2 sin 3 cos - 6 sin cos . F t t t x t t t t C Vậy sin 3 cos 6 sin 1. F x x x x x x x x c x os Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng CALC kết hợp với shift+ Tích phân để tính đạo hàm để kiểm tra tại một số điểm 0 1 , ,... x x nếu thấy kết quả trùng hợp thì lựa chọn. Câu 121. Chọn D. Chú ý sử dụng mệnh đề hàm số không liên tục trên R thì không tồn tại nguyên hàm. Câu 122. Chọn A. Đặt 2 2 ln u x dv x dx suy ra 3 ln 2 . 3 x du dx x x v Khi đó 2 3 2 2 2 ln 2 ln ln . 3 3 x x F x x x dx x xdx Xét 2 ln . x xdx Ta đặt 2 ln u x dv x dx suy ra 3 1 . 3 du dx x x v Suy ra 3 2 3 3 2 ln ln ln 3 3 3 9 x x x x x xdx x dx x Do vậy 2 2 3 3 3 3 ln ln 2 2 2 2 ln ln . 3 9 27 3 9 27 x x x F x x x x x x Hay 1 2 2 , , . 3 9 27 a b c . Từ đó suy ra 0. P Câu 123. Chọn A. Câu 124. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 96 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt 1 1 sin 2 2 du dx u x dv xdx v x cos2 Khi đó 1 1 1 1 ( 1).sin 3 .( 1)cos 2 cos 2 ( 1)cos 2 sin 2 2 2 2 2 x xdx x x xdx x x x C 1 (sin 2 cos 2 ) 2 x x x C Câu 125. Chọn B. Đặt x x u x du dx dv e dx v e . Khi đó . . . ( 1) x x x x x x x e dx x e e dx x e e c e x C Câu 126. Chọn D. Đặt 2 1 ln u x du dx x dv xdx v x . Khi đó 3 2 2 2 .ln .ln .ln 3 x x xdx x x x dx x x C Vì 2 (1) 3 F ta có 1 2 (1) 1 3 3 F C C . Vậy 3 2 ( ) .ln 1 3 x F x x x Câu 127. Chọn B. 2 1 cos 1 ( ) cos . ( 1).cos 2 2 2 x x f x x x x x 1 ( ) ( ) ( 1)cos 2 F x f x dx x xdx Đặt 1 cos sin u x du dx dv xdx v x 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( 1)cos ( 1)sin sin ( 1)sin cos 2 2 2 2 2 F x f x dx x xdx x x xdx x x x C Vì 1 1 1 (0) 0 2 2 2 F C C . Vậy 1 1 ( ) ( 1)sin cos 2 2 F x x x x Do đó 1 ( ) . 2 F Câu 128. Chọn C. Đặt cos sin u ax b du adx dv xdx v x Khi đó ( ) ( ).sin sin f x dx ax b x a xdx ( )sin .sin sin cos ax b x ac x C ax x b x a x C os 1, 2 a b Vậy 2 2 5 S a b Câu 129. Chọn D. Đặt x x u x du dx dv e v e . Khi đó ( ) . . x x x x F x x e e dx x e e C Vì (0) 1 1 1 0 ( ) . x x F C C F x x e e Phương trình ( ) 1 0 . 1 0 x x F x x x e e x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 97 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 1 1 ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0 0 1 x x x x x e x x x e x e . Vậy 1 0 1 S Câu 130. Chọn A. Ta có 2 ( ) ( ) (1 ). ( ). . x x f x g x dx x x e dx x x e dx Đặt 2 (1 2 ) ( ) x x du x dx u x x v e dv e dx Khi đó ( ) ( ) (1 2 ). x x f x x x e x e dx Đặt ' (1 2 ) 2 ' x x u x du dx dv e dx v e Khi đó ( ) ( ) (1 2 ). 2 x x x f x x x e x e e dx 2 ( ) ( ) (1 2 ). 2. 1 x x x x f x x x e x e e C e x x C Suy ra 1 1 1 a b c . Vậy 2 3 6 A a b c Câu 131. Chọn A. Câu 132. Chọn A. Tự luận: Đặt 1 cos sin u x du dx dv xdx v x 1 cos 1 sin sin 1 sin cos . x xdx x x xdx x x x C Trắc nghiệm: Thử phương án A SHIFT 1 sin cos 1 cos x X d x x x x x dx CALC x = 0 nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 133. Chọn B. Tự luận: Đặt x x u x du dx dv e dx v e . . . . x x x x x x e dx x e e dx x e e C Trắc nghiệm: Thử phương án A SHIFT . . x x x x X d x e e x e dx CALC x = 0 nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 134. Chọn D. Tự luận: Đặt 1 sin 2 1 cos 2 1 2 du dx u x dv x dx v x 1 1 sin 2 1 .cos 2 1 cos 2 1 2 2 1 1 .cos 2 1 sin 2 1 . 2 4 x x dx x x x dx x x x C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 98 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Trắc nghiệm: Thử phương án A SHIFT 1 cos 2 1 sin 2 1 .sin 2 1 2 4 x X d x x x x x dx CALC x = 0 nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 135. Chọn A. Đặt 2 2 1 2 x x du dx u x dv e dx v e 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ; 2 0. 2 2 2 4 2 4 x x x x I xe e dx xe e C a b b a Câu 136. Chọn C. Tự luận: Đặt ln ln . t x I tdt Đặt 1 ln ln ln ln .ln ln ln . u t du dt I t t dt t t t C x x x C t dv dt v t Trắc nghiệm:Thử phương án A SHIFT CALC x = 2 nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 137. Chọn D. Trắc nghiệm: Thử phương án A SHIFT CALC x = 2 nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 138. Chọn C. Câu 139. Chọn C. Có d d d 4 3 3 sin sin cos sin sin 4 x F x f x x x x x x x C . 4 sin 0 4 F C C . 4 4 sin sin 1 2 . 4 2 4 4 x F x F Câu 140. Chọn D. d d 2 3 2 3 2 1 F x f x x x x x x x x C Đồ thị hàm số F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e 0 F e C e . 3 2 F x x x x e Câu 141. Chọn B. d d 4 1 4 3 3 3 3 2 1 1 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 . 4 2 2 8 3 x x x x x C x C 3 1 8 . 4 2 3 a P a b b Câu 142. Chọn D. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 99 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng d d 5 2 2 3 3 5 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5 2 2 5 2 x x x x x x C x C Câu 143. Chọn A. Đặt d d 2 , 2 x t x t x t t d 2td d 2 1 1 2 1 1 1 1 x t t t t t t x x + d 1 1 1 1 ln ln 1 1 1 1 t x t C C t t t x Câu 144. Chọn B. Đặt d d 2 , 2 x t x t x t t 2td d d 1 1 2 1 2 ln 1 2 ln 1 1 1 1 t x t t t C x x C t t x Câu 145. Chọn D. Đặt d d 2 2 5 2 5 , 5 2 x t x t x t t d d d 2 5 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 5 . 2 2 5 5 25 25 5 3 2 2 5 2 30 8 3 10 3 2 5 10 2 5 375 375 375 t t t x x x t t t t t t C x t x t C x C x C Câu 146. Chọn C. Đặt x d d 3 3 3 3 2 2 1 1 ,3 3 x t x t x t t d d d 4 4 3 2 3 2 3 3 3 1 1 . 1 4 4 t x x x t t t t t C C x C Câu 147. Chọn A. Đặt d d 2 sin cos sin cos , cos sin 2 x x t x x t x x x t t d d d cos sin 2 2 2 2 sin cos sin cos x x t x t t t C x x C t x x Câu 148. Chọn C. Đặt cos sin x t xdx dt 1 2 3 3 3 3 3 3 2 2 sin 3 3 cos 1 cos 3 x dt t dx t dt C t C x C x t . Câu 149. Chọn C. Đặt 3 x t dx dt 7 6 5 5 6 5 3 3 3 7 2 t t x x dx x t dt t t dt C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 100 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 7 6 6 3 3 3 1 3 7 2 7 2 x x x x C Câu 150. Chọn C. 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x dx dx e dx e dx e e e e e e e Đặt 1 x x e t e dx dt 2 2 1 1 1 1 1 x x x e dx dt C C t t e e . Câu 151. Chọn B. Đặt 2 1 2 x t xdx dt 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 x dx dt C C t t x x . Câu 152. Chọn A. 2 1 1 1 1 x x x x x x e dx dx dx e e e e e Đặt x x e t e dx dt 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 x x e dx dt dt t t t t e t 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln ln ln 2 2 1 2 1 2 1 x x t t e t t C C C C t t e . Câu 153. Chọn D. 2 3 2 3 2 2 1 cos sin sin sin sin cos cos cos x x x x x dx dx dx x x x Đặt cos sin x t xdx dt 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sin 1 1 1 1 cos x x t t dx dt dt dt x t t t 1 1 cos cos t C x C t x . Câu 154. Chọn C. Đặt 2 2 x t xdx dt 2 2 1 1 1 2 2 2 x t t x xe dx e dt e C e C Cách khác 2 2 2 2 1 1 2 2 x x x xe dx e d x e C . Câu 155. Chọn D. Đặt 1 ln x t dx dt x . 2 3 2 3 ln 1 ln 3 3 x t dx t dt C C x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 101 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Cách khác: 2 2 3 ln 1 ln lnx ln 3 x dx xd C x Câu 156. Chọn C. Đặt sin cos x t xdx dt 4 3 3 4 1 cos sin sin 4 4 t x xdx t dt C x C Cách khác: 3 3 4 1 cos sin sin sin sin 4 x xdx xd x x C . Câu 157. Chọn D. Đặt: 2 1 1 t dx dt x x 2 1 1 1 sin sin cos cos dx tdt t C C x x x . Cách khác: 2 1 1 1 1 1 sin sin cos dx d C x x x x x . Câu 158. Chọn A. Đặt: x cos sin t xdx dt . 3 4 2 4 2 4 4 6 7 5 2 5 sin cos sin sin cos 1 1 7 5 7 5 x xdx x x xdx t t dt t t dt t t t C t C 2 3 4 5 cos 1 sin cos cos 7 5 x x xdx x C Câu 159. Chọn C. Đặt: 1 sin 2 1 cos 2 1 2 dx du x u x dx dv v x s s 1 1 .sin 2 1 2 1 cos 2 1 2 1 sin 2 1 2 2 2 4 x x x x dx co x x dx co x x C Câu 160. Chọn C. Đặt: 1 cos sin x u dx du xdx dv v x 1 cos 1 sin sin 1 sin cos x xdx x x xdx x x x C Câu 161. Chọn A. Đặt: 2 si n c os x u dx du xdx dv v x 2 sin 2 cos cos 2 cos sin x xdx x x xdx x x x C Câu 162. Chọn B. Đặt: 2 1 cot sin x u dx du v x dx dv x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 102 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 sin cos cot cot cot cot sin sin sin d x x x dx x x xdx x x dx x x x x x cot ln sin x x x C Câu 163. Chọn C. Đặt: 2 1 tan cos x u dx du v x dx dv x 2 cos sin tan tan tan tan cos cos cos tan ln cos d x x x dx x x xdx x x dx x x x x x x x x C Câu 164. Chọn A. 2 2 1 cos 2 1 1 1 sin cos 2 cos 2 2 2 2 2 1 cos 2 4 2 x x xdx x dx x x x dx xdx x xdx x x xdx Đặt: 1 cos 2 sin 2 2 dx du x u xdx dv v x 1 1 1 1 1 1 1 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 sin 2 cos 2 4 8 x xdx x x xdx x x x C x x x C 2 2 1 sin sin 2 cos 2 4 4 8 x x x xdx x x C Câu 165. Chọn D. Đặt: 2 2 cos 2 cost x t x t dx dt xdx t dt Đặt: cos sin t u dt du tdt dv v t d 2 cost 2 sin sin 2 sin cos t dt t t t t t t t C 2 sin cos 2 sin 2cos x x x C x x x C Câu 166. Chọn B. Đặt 2 2 2 2 1 cos 2 sin 2 sin 2 1 2 cos 2 sin 2 2 xdx du x u x xdx x x x xdx xdx dv v x Đặt 1 sin 2 cos 2 2 dx du x u xdx dv v x 1 1 1 1 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 2 2 2 4 x xdx x x xdx x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 103 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 2 1 1 1 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 2 2 4 x xdx x x x x x C 2 1 1 1 sin 2 cos 2 sin 2 2 2 4 x x x x x C . Câu 167. Chọn A. Đặt 1 2 2 x x x u dx du e dx dv v e 1 2 1 2 2 1 2 2 3 2 x x x x x x x e dx x e e dx x e e C x e C . Câu 168. Chọn C. Đặt x x x u dx du e dx dv v e 1 x x x x x x xe dx xe e dx xe e C x e C . Câu 169. Chọn A. Đặt 2 2 1 2 x x dx du x u e dx dv v e 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 4 6 2 x x x x x x e dx xe dx xe e C e x C . Câu 170. Chọn B. Đặt 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x dx du x x u x x e dx x x e x e dx e dx dv v e Đặt 2 2 2 x x x u dx du e dx dv v e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x e dx x e e dx x e e C xe C 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x e dx x x e xe C e x C . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 104 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Chuû ñeà 2 TÍCH PHAÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [ ] ; . a b Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [ ] ; . a b Hiệu số ( ) ( ) F b F a được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ] ; a b của hàm số ( ), f x kí hiệu là ( ) . b a f x dx Ta dùng kí hiệu ( ) ( ) ( ) b a F x F b F a để chỉ hiệu số ( ) ( ) F b F a . Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a . Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ( ) b a f x dx hay ( ) . b a f t dt Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [ ] ; a b thì tích phân ( ) b a f x dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x , trục Ox và hai đường thẳng , . x a x b Vậy ( ) . b a S f x dx II. TÍCH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên ; , , K a b c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có: 1. 0 a a f x dx 4. b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx . 2. b a a b f x dx f x dx 5. . b b a a kf x dx k f x dx . 3. b c b a a c f x dx f x dx f x dx 6. Nếu 0 ; f x x a b thì: 0 ; b a f x dx x a b 7. Nếu: ; : b b a a x a b f x g x f x dx g x dx . (Bất đẳng thức trong tích phân) 8. Nếu: ; x a b và với hai số , M N ta luôn có: M f x N . Thì: b a M b a f x dx N b a . (Tính chất giá trị trung bình của tích phân) Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 105 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Thực ra việc đi tính tích phân chính là việc đi tìm nguyên hàm rồi thay cận vào. Các em có thể xem lại bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp thầy đã đưa ra ở lý thuyết phần nguyên hàm. I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, DÙNG VI PHÂN VÀ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1. Kiến thức và kỹ năng: Kỹ năng: Cần biết phân tích f x thành tổng, hiệu, tích, thương của nhiều hàm số khác, mà ta có thể sử dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản tìm nguyên hàm của chúng, kết hợp với các tính chất của tích phân để tính. Phương pháp vi phân: Một bài toán có thể làm ngắn gọn không cần đưa ra biến mới (phương pháp đổi biến); tức là không cần đặt t t x , biến lấy tích phân vẫn là biến x, như vậy cận lấy tích phân không đổi. Giả sử ta cần tìm tích phân b a I f x dx , trong đó ta có thể phân tích ' f x g u x u x ,ta có thể trình bày gọn bài toán bằng công thức vi phân u x dx d u x . Khi đó, nếu G x là một nguyên hàm của g x và u u x là một hàm số theo biến x thì: b b b a a a I f x dx g u x d u x G u x 2. Một số bài toán minh họa a. Sử dụng tích chất của tích phân Bài toán 1: Tính các tích phân sau: 1 3 0 ) 4 x a I x e dx 2 1 1 ) 3 x b I dx x 2 2 1 1 ) ln 1 ln x t c I e xdx e t dt 2 2 ) sin ln sin ln sin 2 2 2 t u u d I tdt u du Lời giải: 1 1 1 1 1 3 3 4 0 0 0 0 0 ) 4 4 1 1 2 . x x x a I x e dx x dx e dx x e e e 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 6 ) 3 3 ln 9 3 ln 2 ln 2. ln 3 ln 3 ln 3 x x x b I dx dx dx x x x 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ) ln 1 ln ln 1 ln . x t x x x c I e xdx e t dt e xdx e x dx e dx e e 2 2 2 2 ) sin ln sin ln sin sin ln sin ln sin 2 2 2 2 2 2 t u u x x x d I tdt u du xdx x dx Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 106 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 2 2 2 2 1 cos 1 1 1 sin sin . 2 2 2 2 4 2 x x dx dx x x Bài toán 2: Cho biết 2 1 ( ) 4 f x dx , 5 1 ( ) 6 f x dx , 5 1 ( ) 8 g x dx . Tính: 5 2 ( ) f x dx , 5 1 4 ( ) ( ) f x g x dx ? Lời giải: a) Ta có: 5 2 5 5 5 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10. f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx b) Ta có: 5 5 5 1 1 1 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4.6 8 16. f x g x dx f x dx g x dx Bài toán 3: Cho , f g là hai hàm liên tục trên 1; 3 thỏa: 3 1 3 10 f x g x dx ; 3 1 2 6 f x g x dx . Tính 3 1 f x g x dx . Lời giải: Ta có 3 3 3 1 1 1 3 10 3 10 f x g x dx f x dx g x dx . Tương tự 3 3 3 1 1 1 2 6 2 6 f x g x dx f x dx g x dx . Xét hệ phương trình 3 10 4 2 6 2 u v u u v v , trong đó 3 1 u f x dx , 3 1 v g x dx . Khi đó 3 3 3 1 1 1 4 2 6 f x g x dx f x dx g x dx . b. Sử dụng phương pháp phân tích và phương pháp vi phân Bài toán 4: Tính các tính phân sau: 1 3 0 ) (1 ) dx a I x . 1 0 2 9 ) 3 x b I dx x . 4 2 2 1 2 1 1 ) 1 x x c I dx x . 1 2 3 0 ) 1 x d I dx x Lời giải: 1 1 1 3 3 2 0 0 0 (1 ) 1 3 ) 8 (1 ) (1 ) 2(1 ) dx d x a I x x x . 1 1 1 0 0 0 2 9 3 ) 2 2 3ln( 3) 3 6 ln 2 3ln 3 3 3 x b I dx dx x x x x . 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 ) 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x c I dx dx x x dx x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 107 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 3 2 3 5 2. x d x d x x x 2 2 1 1 1 2 3 3 3 3 3 0 0 0 1 1 1 1 2 3 2 3 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 x x x x d I dx dx dx x x x x x d x d x d x dx x x x x x x 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 3 ln 1 2 ln 2 1 2 8 1 x x x Bài toán 5: Tính các tích phân sau: 1 2 0 (4 11) ) 5 6 x dx a I x x . 1 2 2 0 ( 3 10) ) 2 9 x x dx b I x x . Lời giải: a) Biến đổi: 2 4 11 4 11 ( ) 3 2 ( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3) 5 6 x x A B A B x A B x x x x x x x x . Đồng nhất đẳng thức, ta được: 2 4 3 4 11 3 1 3 2 11 1 2 3 5 6 A B A x A B B x x x x . Do đó: 1 1 0 0 3 1 9 3ln 2 ln 3 ln . 2 3 2 I dx x x x x b) Biến đổi: 2 2 2 2 3 10 1 1 2 2 1 1 . 2 2 9 2 9 2 9 x x x x x x x x x x . Khi đó: 1 2 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 2 9 1 2 2 1 1 1 4 1 . ln 2 9 1 ln 2 2 2 2 3 2 9 2 9 d x x x I dx dx x x x x x x x . Nhận xét: Như vậy, để tính được các tích phân trên chúng ta phân tích hàm phân thức hữu tỉ thành những hàm nhỏ (phương pháp này đã được trình bày trong chủ đề về nguyên hàm). Bài toán 6: Tính các tích phân sau: 2 2 ) sin7 sin 2 a I x xdx /4 2 0 ) sin 4 b I x dx 2 2 2 0 sin sin ) cos x x x c I dx x x Lời giải: a) Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 (cos 5 cos9 ) sin 5 sin 9 9sin 5 5sin 9 2 2 5 9 90 I x x dx x x x x 1 4 9 5 9 5 . 90 45 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 108 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng b) Ta có: 4 4 4 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1 cos 2 (1 sin 2 ) cos 2 1 2 2 2 2 2 4 2 8 I x dx x dx x x . 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 cos cos 1sin sin sin cos 1 sin ) cos cos cos cos 1 sin cos cos cos cos x x x x x x x x x x x c I dx dx dx x x x x x x d x x x x x dx dx x x dx x x x x 2 2 2 0 sin ln cos 1 ln 2 8 2 x x x x Bài toán 7: Tính các tích phân sau: 2 6 1 sin 2 cos 2 ) sin cos x x a I dx x x 0 2 2 sin 2 ) 2 sin x b I dx x 4 3 0 ) tan c I xdx Lời giải: 2 2 6 6 2 2 2 2 6 1 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2 ) sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x a I dx dx x x x x x x x x x x dx x x x x 2 2 2 6 6 6 (sin cos cos sin ) 2 cos 2 sin 1 x x x x dx xdx x . 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2cos 2 sin 4cos sin 2 cos cos ) 4 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin x x x x x x b I dx dx dx dx x x x x 0 0 0 2 2 2 2 2 sin 2 sin 4 2 4 2ln 2 sin 2ln 2 2. 2 sin 2 sin 2 sin d x d x dx x x x x 4 4 4 4 3 3 2 0 0 0 0 4 4 4 4 2 0 0 0 0 ) tan tan tan tan tan 1 tan tan cos tan sin tan tan cos cos cos c I xdx x x x dx x x dx xdx d x x x dx dx xd x x 2 4 4 0 0 tan 1 1 ln cos ln 2. 2 2 2 x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 109 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài toán 8: Tính các tích phân sau: 1 0 ) 1 dx a I x x 2 1 1 1 ln ) 1 ln e x x x b dx x x 3 4 1 2 1 1 ln ) 2 ln e x x x c I dx x x 2 2 1 1 ln ) ln e x x d I dx x x x Lời giải: 1 1 1 3 3 2 2 0 0 0 2 4 ) ( 1 ) 1 2 1 3 3 1 dx a I x x dx x x x x 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln ) 1 ln 1 ln 1 ln 2 1 ln 1 ln 1 2 e e e e e e x x x x x x x d x x x x b dx dx xdx dx x x x x x x x x e x 2 1 1 ln ln 1 2 e e x e 3 4 3 3 1 1 1 4 2 3 1 1 1 2 1 1 ln 2 ln 1 ln 1 ln ) 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 1 2 ln 2 ln ln . 2 ln 4 4 2 e e e e e e x x x x x x x x c I dx dx x dx x x x x x x d x x x e e x dx dx x x x x 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 ln 1 1 ln 1 ) 1 ln ln ln 1 1 1 ln 1 1 ln ln 1 1 ln ln e e e e e e x x x x x x x d I dx dx dx x x x x x x x x x d x x x x dx dx dx x x x x x x x 1 ln 1 . e e e 3. Bài tập tự luyện Tính các tích phân sau: 0 2 1 2 3 dx I x x ĐS: ln 6 5 2 2 1 3 2 4 4 1 x I dx x x ĐS: 3 7 ln 3 2 6 2 1 2 0 1 1 x I dx x ĐS: 1 ln 2 2 3 1 sin I dx x ĐS: 1 ln 3 2 4 2 0 tan I xdx ĐS: 4 4 2 2 0 cos I xdx ĐS: 4 2 3 4 cot I xdx ĐS: 1 1 ln 2 2 2 2 0 1 sin dx I x ĐS: 1 2 4 0 1 2sin 1 sin 2 x I dx x ĐS: 1 ln 2 2 1 2 2 0 2 1 2 x x x x e x e I dx e ĐS: 1 1 2 1 ln 3 2 3 e Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 110 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 Phương pháp: Giả sử ta cần tính tích phân b a I f x dx , trong đó ta có thể phân tích ' f x g u x u x thì ta thực hiện phép đổi biến số t u x , suy ra ' dt u x dx . Đổi cận: x a t u a x b t u b . Khi đó : u b b u b u a a u a I f x dx g t dt G t ( với G x là nguyên hàm của g x ). Các cách đặt cho các dạng toán tích phân thường gặp: 1 1 2 2 ( ) 1 ( 1) , 1 ( ) 2 . PP n m n PP n n n PP n I f ax b xdx t ax b dt adx x I dx t ax dt n ax dx ax I f ax b xdx t ax b dt ax dx với , . m n ( ). ( ) n I f x f x dx PP Đặt ( ), n t f x trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2. (ln ) ( ln ) dx I f x x dx I f a b x x PP Đặt ln ln t x t a b x • PP f x I dx f x Đặt . t f x ( ) x x I f e e dx PP Đặt . x x t e dt e (cos )sin I f x xdx PP Đặt cos sin . t x dt xdx (sin )cos I f x xdx PP Đặt sin cos . t x dt xdx 2 1 (tan ) cos I f x dx x PP Đặt 2 2 1 tan (1 tan ) . cos t x dt dx x dx x 2 1 (cot ) sin I f x dx x PP Đặt 2 2 1 cot (1 cot ) . sin t x dt dx x dx x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 111 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 2 (sin ; cos )sin 2 I f x x xdx PP Đặt 2 2 sin sin 2 cos sin 2 t x dt xdx t x dt xdx (sin cos )(sin cos ) I f x x x x dx PP Đặt sin cos . t x x ( )( ) dx I x a x b PP Đặt 0 0 0 0 x a t x a x b x b x a t x a x b x b khi khi 1 ,..., k n n I R ax b ax b dx PP Đặt n t ax b với 1 2 . . . ; ;...; k n B C N N n n n Bài toán 1: Hãy tính các tích phân sau: a) 1 5 0 2 1 x dx b) 2 ln e e dx x x c) 1 2 0 4 2 1 x dx x x d) 2 2 1 (2 1) dx x e) 2 3 3 2 cos(3 ) 3 x dx Lời giải: a) Đặt 2 1 2 u x du dx . Đổi cận: 0 1 1 3 x u x u . Do đó: 1 3 6 5 5 6 0 1 3 1 1 2 1 (3 1) 1 2 12 12 u x dx u du = 60 2 3 . b) Đặt ln dx u x du x . Đổi cận 2 1 2 x e u x e u . Do đó: 2 2 1 2 ln ln 2 ln1 ln 2 1 ln e e dx du u x x u . c) Đặt 2 1 2 1 u x x du x dx . Đổi cận: 0 1 1 3 x u x u . Do đó: 1 3 2 0 1 3 4 2 2 2 ln 2(ln 3 ln1) 2 ln 3 1 1 x du dx u u x x . d) Đặt 2 1 2 u x du dx . Đổi cận: 1 1 2 3 x u x u . Do đó: 2 3 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 ( 1) 1 2 2 2 3 3 (2 1) dx du u x u . e) Đặt 2 3 3 3 u x du dx . Đổi cận: 3 3 2 4 3 3 x u x u . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 112 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Do đó: 2 4 4 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 4 1 3 3 3 cos(3 ) cos sin sin sin 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 x dx udu u Bài toán 2: Tính các tích phân sau: a) 3 2 0 1 x x dx b) 3 5 2 0 1 x x dx c) 1 2 0 3 x dx e Lời giải: a) Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Đặt 2 1 u x 2 2 1 2 2 . u x udu xdx udu xdx Đổi cận: 0 1 3 2 x u x u Từ đó: 3 2 2 2 2 3 1 0 1 1 7 1 . 3 3 x x dx u du u Cách 2: Đặt 2 1 2 . u x du dx Đổi cận: 0 1 3 4 x u x u Từ đó: 3 4 4 2 3/2 1 0 1 1 1 7 1 2 3 3 x x dx udu u . Cách 3: Thực hiện phép biến đổi: 3 3 3 1 3 2 2 2 2 2 2 3/2 2 0 0 0 0 1 1 1 7 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 3 3 x x dx x d x x d x x . Cách 3 được trình bày dựa trên ý tưởng đổi biến của cách 2. b) Đặt 2 2 2 1 1 2 2 . u x u x udu xdx udu xdx Đổi cận: 0 1 3 2 x u x u Khi đó: 2 3 2 2 5 2 2 2 2 6 4 2 7 5 3 0 1 1 1 1 2 1 848 1 ( 1) ( 2 ) 7 5 3 105 x x dx u u du u u u du u u u . c) Đặt 2 2 2 ) 3 2 3 ( x x u e du e dx u dx 2( 3) du dx u . Đổi cận: 2 0 4 1 3 x u x u e 2 2 2 2 3 1 3 3 3 2 4 0 4 4 4 1 1 1 1 1 1 3 ln 3 ln ln 2 ( 3) 6 3 6 6 3 e e e e x dx du u du u u u u u u u e 2 1 1 4 ln . 3 6 3 e Bài toán 3: Cho biết 5 1 ( ) 15 f x dx . Tính giá trị của 2 0 [ (5 3 ) 7] P f x dx Lời giải: Để tỉnh P ta đặt 5 3 3 dt t x dx . Đổi cận: 0 5 2 1 x t x t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 113 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 1 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 [ ( ) 7]( ) [ ( ) 7] ( ) 7 .15 .7.(6) 19 3 3 3 3 3 dt P f t f t dt f t dt dt . Bài toán 4: Biết rằng: ln 2 0 1 1 5 ln 2 ln 2 ln . 2 3 2 1 a x x dx b c e Trong đó , , a b c là những số nguyên. Khi đó S a b c bằng? Lời giải: ln 2 ln 2 ln 2 0 0 0 1 1 2 1 2 1 x x x dx xdx dx e e . Tính ln2 ln2 2 2 0 0 ln 2 2 2 x xdx Tính ln2 0 1 2 1 x dx e Đặt 2 1 2 1 x x dt t e dt e dx dx t . Đổi cận : ln 2 5 . 0 3 x t x t ln 2 5 5 5 3 0 3 3 1 1 1 5 ln 1 ln ln 4 ln 5 ln 2 ln 3 ln 2 ln 1 3 1 2 1 x dt dx dt t t t t t t e . ln 2 2 0 1 1 5 ln 2 ln 2 ln 2, 1, 1 2 3 2 1 x x dx a b c e . Vậy 4 a b c . Bài toán 5: Cho 2 5 1 5 ln , 5 4 3 4 a dx I a x x . Khi đó giá trị của số thực a là? A. 2 3. B. 2 5. C. 3 2. D. 2 2. Lời giải: Đặt 2 2 2 4 4 . t x t x tdt xdx Đổi cận: 2 5 3 4 x t x a t a . 2 2 4 4 2 2 2 3 3 5 ( 2)( 2) 4 4 a a a xdx dt dt I t t t x x 2 2 4 4 2 2 3 3 1 1 1 1 2 1 4 2 ln ln 5 4 2 2 4 2 4 4 2 a a t a dt t t t a . Ta có: 2 2 1 5 1 4 2 1 5 ln ln 5 ln , 5 4 3 4 4 3 4 2 a I a a 2 2 2 2 4 2 1 3 4 2 4 2 2 3. 3 4 2 a a a a a Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 114 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tính các tích phân sau: 1 19 0 (1 ) I x x dx ĐS: 1 120 I 1 5 2 0 2 (1 ) I x x dx ĐS: 1 168 I 0 2 9 1 ( 1) I x x dx ĐS: 1 660 I 1 5 2 0 1 x I dx x ĐS: 1 1 ln 2 2 4 I 1 2 10 0 (1 3 )(1 2 3 ) I x x x dx ĐS: 11 6 1 22 I , ( 1 2 * 0 (1 ) ) n I x x dx n ĐS: 1 2 2 I n Bài tập 2: Tính các tích phân sau (đặt 1 ( ) ( ) ( ) n n n t f x t f x nt dt f x dx và đổi cận) 9 3 1 1 I x xdx ĐS: 468 7 I 3 3 2 1 1 I x x dx ĐS: 14 3 5 I 7 3 2 0 . 1 I x x dx ĐS: 45 8 I 7 3 3 0 ( 2) 3 1 x dx I x ĐS: 46 15 I 7 3 3 2 0 1 x dx I x ĐS: 93 10 I 3 5 2 0 1 I x x dx ĐS: 64 105 I 1 15 8 0 1 3 I x x dx ĐS: 29 270 I 6 0 2 4 1 1 dx I x ĐS: 4 ln 3 I Bài tập 3: Tính các tích phân sau (đổi biến của hàm logarit): 1 1 2 ln e x I dx x ĐS: 2 I 4 1 1 ln e x I dx x ĐS: 6 5 I 2 1 ln (2 ln ) e x I dx x x ĐS: 1 3 ln 3 2 I 2 ln .ln e e dx I x x ex ĐS: 2ln 2 ln 3 I 1 2 2 0 ln( 4) 4 x x I dx x ĐS: 2 2 ln 5 ln 4 4 I 1 ln 1 ln 1 e x I dx x x ĐS: ln(1 ) I e 2 1 ln (1 2 ln ) e x I dx x x ĐS: ln 3 8 I 1 4 ln e x I dx x ĐS: 10 5 16 3 3 I 3 3 1 ln 1 ln e x I dx x x ĐS: 15 ln 2 4 I 2 1 1 ln e dx I x x ĐS: 6 I 2 1 1 ln ln e x x I dx x ĐS: 2 2 1 3 I 3 2 2 1 ln 2 log 1 3ln e x x I dx x x ĐS: 4 2 27 3ln 2 I 3 2 2 1 log 3 ln e x I dx x x ĐS: 3 4 27 ln 2 I 1 2 0 ln(3 ) ln(3 ) 9 x x I dx x ĐS: 2 ln 2 12 I 5 2 ln( 1 1) 1 1 x I dx x x ĐS: 2 2 ln 3 ln 2 I 1 1 ( ln ) e x x xe I dx x e x ĐS: 1 ln e e I e Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 115 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 2 1 2ln 1 (8ln 8 ln 3) e x I dx x x x ĐS: 1 19 ln 8 3 I 1 1 3ln ln e x x I dx x ĐS: 116 135 I 1 3 2ln 1 2ln e e x I dx x x ĐS: 5 3 I e 3 1 1 ln dx I x x ĐS: 3 3 4 3 2 I Bài tập 4: Tính các tích phân sau (liên hợp và biến đổi): 1 3 2 0 2 3 3 4 x x I dx x x ĐS: 2 4ln2 I 2 3 2 2 0 2 3 1 x x x I dx x x ĐS: 4 3 I 1 3 1 2 1 x I dx x ĐS: 1 3 2 2 ln 3 2 I 4 2 0 1 x I dx x x ĐS: 80 9 I 1 0 1 1 1 I dx x x ĐS: 3 2 ln( 2 1) 2 I 1 2 0 1 2 x x I dx x ĐS: 3 1 4 ln 3 ln(2 3) 2 2 I 4 2 3 2 0 ln( 9) 3 9 x x x I dx x ĐS: 2 2 ln 9 ln 3 44 2 I 2 0 cos 2 sin sin 1 3cos x I x x dx x ĐS: 118 4 405 I 2 2 4 2 3 1 1 x I dx x x x ĐS: 19 2 9 4 2 ln 3 4 7 I Bài tập 5: Tính các tích phân sau (đổi biến của hàm số mũ): 2 1 0 (2 1) x x I x e dx ĐS: 0 I ln 2 2 0 ( 1) x x e dx I e ĐS: 1 6 I 3 1 1 x dx I e ĐS: 2 2 1 ln e e I e ln 5 ln 3 2 3 x x dx I e e ĐS: 3 ln 2 I 1 2 0 5 x dx I e ĐS: 2 2 1 6 ln 10 5 e I e ln2 0 2 1 1 x x e I dx e ĐS: 3ln 3 4ln 2 I 1 3 0 (1 ) x x e I dx e ĐS: 3 2 6 2 2 e e e I e ln 2 2 2 0 3 3 2 x x x x e e I dx e e ĐS: 3ln 3 4ln 2 I ln 3 3 0 ( 1) x x e dx I e ĐS: 2 2 I ln 2 0 5 x x I e e dx ĐS: 16 2 3 3 I ln5 2 ln2 1 x x e I dx e ĐS: 20 3 I ln6 0 3 x dx I e ĐS: 3 ln 2 3 3 I ln6 0 3 3 2 7 x x x e dx I e e ĐS: 80 ln 63 I ln16 4 0 4 x dx I e ĐS: 3 ln 5 I Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 116 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài tập 6: Tính các tích phân sau (dạng (sin ).cos PP f x x đặt sin t x hoặc sin t a b x ,dạng (cos ).sin PP f x x đặt cos t x hoặc cos ) t a b x : 2 0 sin 2 1 sin x I dx x ĐS: 2 2ln2 I 2 2 0 (1 sin ) cos I x xdx ĐS: 7 3 I 2 2 3 0 sin 2 (1 sin ) I x x dx ĐS: 15 4 I 0 2 2 sin 2 (2 sin ) x I dx x ĐS: 2ln2 2 I 2 0 (2sin 3)cos 2sin 1 x x I dx x ĐS: 1 2ln 3 I 2 2 0 sin cos (1 cos ) I x x x dx ĐS: 17 12 I 3 2 0 4sin 1 cos x I dx x ĐS: 2 I 3 2 0 sin tan I x xdx ĐS: 3 ln 2 8 I 2 2 0 sin 2 3cos 1 x I dx x ĐS: ln 4 3 I 2 2 0 sin 2 4 cos x I dx x ĐS: 4 ln 3 I 3 2 2 0 sin 1 cos x I dx x ĐS: 1 2 I 3 6 0 sin 3 sin 3 1 cos 3 x x I dx x ĐS: 1 ln 2 6 3 I 2 0 sin cos 2 3cos 2 x I dx x x ĐS: 3 ln 2 I 2 2 0 sin 1 cos xdx I x ĐS: 4 I Bài tập 7: Tính các tích phân sau (dạng 2 1 (tan ) cos PP f x x đặt tan ) : t x 2 4 2 0 (1 tan ) cos x I dx x ĐS: 7 3 I 4 0 2 3tan 1 cos 2 x I dx x ĐS: 5 5 2 2 9 I tan 4 3 0 (cos )sin cos x x e x I dx x ĐS: 2 I 3 3 4 sin cos dx I x x ĐS: 1 1 ln 3 2 I 3 4 0 3 2(1 tan ) cos cos – 4 x I dx x x ĐS: 5 I 4 3 4 sin (2 sin 2 ) cos x x I dx x ĐS: 4 I 3 6 1 sin sin 6 I dx x x ĐS: 3 2 ln 2 I 2 3 4 sin (sin cos ) x I dx x x ĐS: 3 8 I Bài tập 8: Tính các tích phân sau (dạng (sin cos ) (sin cos ) PP f x x x x đặt sin cos ) : t x x 4 0 sin cos sin cos 3 x x I dx x x ĐS: 4 ln 3 2 I 2 3 0 cos 2 (sin cos 3) x I dx x x ĐS: 1 32 I Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 117 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 4 0 2(sin cos ) sin 2 2(1 sin cos ) x x I dx x x x ĐS: 4 2 2 4 I 2 4 1 sin 2 cos 2 sin cos x x I dx x x ĐS: 1 I 4 3 0 cos 2 (sin cos 2) x I dx x x ĐS: 13 9 2 18 I 4 0 cos 2 (1 sin 2 )cos 4 x I dx x x ĐS: 2 1 I 4 2 0 sin 4 1 cos x I dx x ĐS: 4 2 6 ln 3 I 2 2 3 0 sin 2 (1 sin ) I x x dx ĐS: 15 4 I 2. Phương pháp đổi biến số dạng 2 Dấu hiệu Cách đặt 2 2 a x víi víi ; 2 2 sin c 0 o ; s x a a t t t t x 2 2 x a víi víi sin co ; \ 0 2 2 0; \ s 2 a x t a x t t t 2 2 a x víi víi ; 2 2 0; tan cot x t a t a x t t a x a x hoặc a x a x .cos 2 x a t với 0; 2 t x a b x 2 x a b a t sin với 0; 2 t 2 1 ( ) . n x a ax bx c 2 1 dt x a dx t t Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi 3 dấu hiệu đầu đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân 3 2 2 0 1 x dx I x thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân 3 3 0 2 1 x dx I x thì nên đổi biến dạng 1. Bài toán 1: Tính các tích phân sau: a) 1/2 2 0 1 I x dx b) 2/ 3 2 2 1 dx I x x Lời giải: a) Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 118 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Cách 1: Đặt sin x t , ; 2 2 t suy ra cos dx tdt . Đổi cận: 0 0 1 2 6 x t x t . Khi đó: /6 /6 /6 /6 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 3 1 sin .cos . cos . (1 cos 2 ). sin 2 . 2 2 2 2 6 4 I t t dt t dt t dt t t Cách 2: Đặt cos sin x t dx tdt , 0; t . Đổi cận: 0 2 1 2 3 x t x t . /3 /3 /3 /3 2 2 /2 /2 /2 /2 1 1 1 1 3 1 cos .sin sin (1 cos 2 ) sin 2 . 2 2 2 2 6 4 I t tdt tdt t dt t t b) Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Đặt 1 , 0; sin 2 x t t , suy ra 2 cos sin t dx dt t . Đổi cận: 2 6 2 3 3 x t x t . Khi đó: /3 /3 2 /3 /6 /6 /6 2 1 cos sin . 6 1 1 1 sin sin tdt t I dt t t t Cách 2: Đặt 1 , 0; s 2 x t co t , suy ra 2 sin s t dx dt co t . Đổi cận: 2 3 2 6 3 x t x t . Khi đó: /6 /6 2 /6 /3 /3 /3 2 1 sin s . 6 1 1 1 s s tdt co t I dt t co t co t Bài toán 2: Tính các tích phân sau: a) 1 2 0 1 I x x dx b) 1 2 0 1 dx I x c) 1 2 2 0 1 I x x dx Lời giải: a) Đặt tan x t , ; 2 2 t suy ra 2 cos dt dx t . Đổi cận: 0 0 . 1 4 x t x t Khi đó: /4 /4 /4 /4 2 2 4 4 3 0 0 0 0 sin (cos ) 1 2 2 1 tan . 1 tan . . 3 cos cos cos 3cos dt xdt d t I t t t t t t b) Đặt tan x t , ; 2 2 t suy ra 2 2 1 tan cos dt dx t dt t . Đổi cận: 0 0 . 1 4 x t x t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 119 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Khi đó: /4 /4 2 /4 2 0 0 0 (1 tan ) . 4 tan 1 t dt I dt t t c) Đặt: sin , ; 2 2 t x t , suy ra cos dt xdx . Đổi cận: 0 0 . 1 2 x t x t Do đó: 1 /2 /2 /2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 cos 4 1 sin . 1 sin cos sin cos 4 2 t x x dx t t tdt t tdt dt 2 2 0 0 1 1 1 1 1 cos 4 sin 4 . . 8 8 4 8 2 16 I t dt t t Bài toán 3: Tính các tích phân sau: a) 0 1 1 1 x I dx x b) 3/2 5/4 ( 1)(2 ) I x x dx Lời giải: a) Đặt cos2 x t , 0; 2 t suy ra 2sin 2 dx tdt . Đổi cận: 1 2 . 0 4 x t x t Ta có: 1 1 x dx x = 2 1 cos 2 2 sin 2 cot 2 sin 2 4 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 t tdt t tdt tdt t dt t . Khi đó: /2 /2 /4 /4 1 2 (1 cos 2 ) 2 sin 2 2 1 2 4 I t dt t t . b) Đặt 2 1 sin x t , 0; 2 t khi đó sin 2 dx tdt . Đổi cận: 5 4 6 . 3 2 4 x t x t Ta có 2 ( 1)(2 ) sin 2 1 cos 4 . x x dx tdt t dt Khi đó: /4 /4 /6 /6 1 3 (1 cos 4 ) sin 4 . 4 12 8 I t dt t t Bài toán 4: Tính các tích phân sau: a) 1 2 2 0 1 1 2 I dx x b) 2 2 1 1 3 2 I dx x x c) 2 1 2 1 2 3 dx I x x Lời giải: a) Đặt: 1 sin 2 x t , ; 2 2 t 1 cos 2 dx tdt . Đổi cận: 0 0 1 2 2 x t x t . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 120 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 cos 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 sin 2 2 I dx dx tdt dt t x t x b) Vì: 2 2 3 2 4 1 x x x . Cho nên: Đặt: 1 1 2sin , ; 2 cos ; sin 2 2 2 x x t t dx tdt t . Đổi cận: 1 0 2 6 x t x t Do đó: 2 2 /6 /6 2 2 2 1 1 0 0 1 1 1 2cos 6 3 2 4 1 sin 4 1 I dx dx tdt dt x x t x 0; cos 0 6 t t . c) 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 3 1 2 dx dx I x x x Đặt 2 1 2 tan , ; 2 2 2 cos dt x t t dx t . Đổi cận: 1 0 2 1 4 x t x t . 2 1 /4 /4 /4 2 2 2 2 2 1 0 0 0 /4 /4 /4 0 0 0 /4 0 2 cos cos 1 sin 2 1 tan cos 1 2 sin 1 sin 1 1 cos cos 1 2 sin 1 sin 1 2 sin 1 sin 1 1 sin 1 1 ln ln 3 2 2 . 2 sin 1 2 dx dt dt tdt I t t t t x d t d t t t dt t t t t t t Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tính các tích phân sau: ( 2 2 2 0 , ) a I x a x dx a ĐS: 4 16 a I 2 2 2 0 , ( 0) a dx I a a x ĐS: 6 I 2 2 2 0 4 I x x dx ĐS: I 2 2 2 2 0 1 x dx I x ĐS: 2 8 I 2 2 0 2 I x x dx ĐS: 2 I 2 2 0 ( 1) 4 I x x dx ĐS: 8 3 I 1 2 2 0 1 2 1 I x x dx ĐS: 3 1 12 8 8 I Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 121 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 3 2 0 1 2016 6 2016 x x x x I dx ĐS: 3 1 2016 9 ln 2016 4 I 1 2 2 0 1 1 4 1 x I x dx x x x ĐS: 27 3 50 2 16 3 18 I Bài tập 2: Tính các tích phân sau: 2 2 0 , ( 0) a dx I a x a ĐS: ln 1 2 I 2 2 0 a I a x dx ĐS: 2 2 ln 2 1 2 a I 1 3 8 0 1 x I dx x ĐS: 16 I 2 2 0 4 dx I x ĐS: ln(1 2) I 2 2 2 0 4 I x x dx ĐS: 6 2 2ln(1 2) I 3 2 3 3 3 1 (1 ) I dx x ĐS: 3 1 2 I 3 2 2 0 3 x I dx x ĐS: 3 2 2 2 2 ln 2 2 I 2 1 1 3ln e dx I x x ĐS: 3 ln 2 3 3 I Bài tập 3: Tính các tích phân sau: 2 2 2 , ( 0) a a dx I a x a ĐS: ln 2 3 I 2 2 2 , ( 0) a a I x a dx a ĐS: 2 1 3 ln 2 3 2 I a 3 2 2 1 dx I x ĐS: ln 1 2 I 2 2 2 1 1 x I dx x ĐS: 3 ln 2 3 2 I Bài tập 4: Tính các tích phân sau: 2 0 2 2 x I dx x ĐS: 2 I 1 0 1 1 x I dx x ĐS: 2 2 I 2 2 1 1 2 2 x I dx x x ĐS: 3 3 6 I 1 0 3 1 x I dx x ĐS: 3 2 3 I 1 3 1 2 1 x I dx x ĐS: 2 1 ( 2 1) ln 3 2 I 1 0 (1 ) 1 n n n dx I x x ĐS: 1 2 n I 1 3 3 3 0 (1 ) 1 dx I x x ĐS: 3 1 2 I 1 0 3 1 2 1 xdx I x x ĐS: 17 9 3 9 I Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 122 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 3. Phương pháp đổi biến cho một số hàm đặc biệt Đây là phương pháp đổi biến được sử dụng khi phương pháp đổi biến số dạng 1 và dạng 2 không dùng được, phương pháp này ít được sử dụng hơn nhưng đặc biệt hiệu quả với các lớp hàm số có dạng đặc biệt, phức tạp và có cận đặc biệt. Nhận xét: Các bài toán dưới đây đều có một cách làm chung là đổi biến x a b t với , a b là 2 cận. 1. Hàm số f x liên tục trên ; a a . Khi đó : 0 1 a a a f x dx f x f x dx Nếu f x là hàm số lẻ, khi đó: 0 1.1 a a f x dx . Nếu f x là hàm số chẳn, khi đó: 0 0 2 1.2 1 0 1 * 2 1 a a a a a x a f x dx f x dx f x dx f x dx c c Chú thích: - Trắc nghiệm: Các em được dùng các kết quả 1 1 1 1 2 , . , . , * . - Tự luận: Trong quá trình làm bài các em không cần sử dụng các kết quả 1 1 1 1 2 , . , . , * mà các hệ thức này sẽ xuất hiện trong quá trình giải bằng việc đổi biến x t (tổng quát đặt x a b t ). Một số bài toán minh họa Bài toán 1 : Tính các tích phân sau: 2 2 2 ) 4 sin xdx a I x 2 4 2 ) 1 2018 x x b I dx Lời giải: 2 2 2 ) 4 sin xdx a I x . Đặt x t dx dt xdx tdt . Đổi cận: 2 2 2 2 x t x t Do đó : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 sin 4 sin tdt tdt xdx I I t t x 2 2 2 2 0 0 4 sin xdx I I x . 2 4 2 ) 1 2018 x x b I dx . Đặt x t dx dt . Đổi cận: 2 2 2 2 x t x t 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 . 1 2018 1 .2018 1 1 2018 1 2018 1 2018 1 2018 t t t t t t t t t t I dt dt dt dt Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 123 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 2 2 4 5 4 4 2 2 2 64 . 5 5 1 2018 1 2018 t t t t t t dt dt I 64 32 2 . 5 5 I I Bài toán 2 : Tính các tích phân sau: 1 1 cos ) 1 x x a I dx e 1 4 1 ) 2 1 x x b I dx 2 2 1 sin sin 2 ) 1 x x x c dx e Lời giải: 1 1 cos ) 1 x x a I dx e . Đặt , cos cost x t x dt x . Đổi cận: 1 1 1 1 x t x t . 1 1 1 1 1 1 1 1 cos cos .cos .cos 1 1 1 1 1 t x t t x t t t e t e x I dt dt dt dx e e e e 1 1 1 1 1 1 1 1 cos cos 2 cos sin 2sin1 sin1. 1 1 x x x xdx e xdx I I I xdx x I e e 1 4 1 ) 2 1 x x b I dx . Đặt x t x dt . Đổi cận: 1 1 1 1 x t x t . 4 4 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 1 1 1` 1` 1 1 1 2 1 2 . 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 t t x t t t t t t x t t t I dx dt dt dt t dt dt x dx I 1 1 1 5 4 4 1 1 1 1 1 1 2 2 2 5 5 x I x dx I x dx . 2 2 2 2 2 2 1 sin sin 2 1 sin sin 2 ) * 1 1 1 x x x x x x x c dx dx dx A B e e e + Tính 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x e e A dx dx d e e e e e e e + Tính 2 2 sin sin 2 1 x x x B dx e . Đặt x t dx dt . Đổi cận: 2 2 2 2 x t x t . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin sin 2 sin sin 2 sin sin 2 1 1 1 sin sin 2 1 sin sin 2 cos cos 3 2 1 t t t t t t e t t t t e t t B dt dt dt e e e t t t tdt dt t t dt B e Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 124 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 2 1 sin 3 4 sin . 2 3 3 t t B B Suy ra: 4 4 2 2 2 . 3 3 3 B B B B Thay 1 , 2 vào * ta được: 2 . 2 3 I 2. Hàm số f x liên tục trên ; a b , khi đó ta có: * b b a a f x dx f a b x dx Hệ quả: Hàm số f x liên tục trên 0;1 , khi đó: 2 2 0 0 sin cos * * f x dx f x dx Chú thích: - Trắc nghiệm: Các em được dùng các kết quả * , * * . - Tự luận: Trong quá trình làm bài các em không cần sử dụng các kết quả * , * * mà các hệ thức này sẽ xuất hiện trong quá trình giải bằng việc đổi biến x a b t . Bài toán minh họa Bài toán: Tính các tích phân sau: 2 0 sin ) sin cos n n n x a I dx x x 3 2 0 cos ) sin cos x b dx x x Lời giải: 2 0 sin ) sin cos n n n x a I dx x x . Đặt 2 x t dx dt . Đổi cận: 0 2 0 2 x t x t . 2 2 2 0 0 0 sin 2 cos sin 1 cos sin sin cos sin cos 2 2 n n n n n n n n n t t t I dt dt dt t t t t t t d 2 2 0 0 2 t I t I I 2 . 2 2 4 I I I I Nhận xét: Như vậy từ ví dụ trên với cách gán n một giá trị cụ thể ta tạo ra được vô số bài toán kiểu như: 2018 2 2018 2018 0 sin sin cos x I dx x x ; 2 0 cos sin cos x I dx x x ; 2 2018 2018 2018 0 sin sin cos x I dx x x ;... Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 125 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 3 2 0 cos ) sin cos x b dx x x . Đặt 2 x t dx dt . Đổi cận: 0 2 0 2 x t x t . 3 3 3 3 3 2 2 2 0 0 0 3 2 2 2 2 0 0 0 0 cos 2 sin sin cos cos cos sin sin cos sin cos 2 2 cos 1 1 1 1 sin cos 1 sin 2 cos 2 . sin cos 2 4 2 t t t t t I dx dt dt t t t t t t t t t dt dt t dt I t t I t t 1 1 1 2 . 2 2 4 I I I I 3. Hàm số f x liên tục trên ; a b và f a b x f x , khi đó: * 2 b b a a a b xf x dx f x dx Hệ quả: Nếu hàm số f x liên tục trên 0;1 , thì: sin sin 2 xf x dx f x dx , đặc biệt 0 thì 0 0 sin sin 1 2 xf x dx f x dx 2 2 cos cos xf x dx f x dx , đặc biệt 0 thì 2 2 0 0 cos cos 2 xf x dx f x dx Chú thích: - Trắc nghiệm: Các em được dùng các kết quả 1 2 , . - Tự luận: Trong quá trình làm bài các em không cần sử dụng các kết quả 1 2 , mà các hệ thức này sẽ xuất hiện trong quá trình giải bằng việc đổi biến x a b t . Bài toán minh họa Bài toán: Tính các tích phân sau: 3 6 ) tan cot a I x x x dx 2 0 sin ) 3 cos x x b dx x 2 0 sin ) cos 4 x x c I dx x Lời giải: 3 6 ) tan cot a I x x x dx . Đặt 2 x t dx dt . Đổi cận: 6 3 3 6 x t x t . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 126 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 3 3 6 6 tan cot cot tan 2 2 2 2 I t t t dt t t t dt 3 3 3 3 6 6 6 6 cost sin cot tan tan cot 2 2 sin cos t t t dt t t t dt dt dt I t t 3 3 3 6 6 6 sin cos sin ln ln 3 2 sin cos 2 cos 2 d t d t t dt dt I I I t t t ln 3 2 ln 3 ln 3. 2 2 4 I I I I 2 0 sin ) 3 cos x x b dx x . Đặt 2 x t dx dt . Đổi cận: 0 2 2 0 x t x t . 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 sin 2 2 sin sin sin sin 2 3 cos 3 cos 3 cos 3 cos 3 cos 2 3 cost 2 2 ln 3 cos 0 3 cos 0 t t t t x x t t t I dx dt dt dt dt x t t t t d dt I t I I I t I I I 2 0 sin ) cos 4 x x c I dx x . Đặt x t dx dt . Đổi cận : 0 0 x t x t 0 2 2 2 2 0 0 0 ( )sin( ) ( )sin sin sin cos ( ) 4 cos 4 cos 4 cos 4 t t t t t t t I dt dt dt dt t t t t 2 2 2 0 0 0 sin sin sin cos 4 cos 4 cos 4 x x x x dx dx dx I x x x 2 2 0 0 0 sin (cos ) cos 2 ln ln 3 2 2 8 cos 2 4 cos 4 cos 4 x d x x I dx x x x . Bài tập tự luyện Tính các tích phân sau: 7 5 3 4 4 4 cos x x x x I dx x ĐS: 0 I Gợi ý: Đặt x t 4 0 ln 1 tan I x dx ĐS: .ln 2 8 I Gợi ý: Đặt 4 x t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 127 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 1 2 2 1 2 1 ln 1 x I x dx x ĐS: 0 I Gợi ý: Đặt x t 1 2 1 1 1 x dx I e x ĐS: 4 I Gợi ý: Đặt x t 2 2 2 cos ln 1 I x x x dx ĐS: 0 I Gợi ý: Đặt x t 1 2 1 2 1 cos ln 1 x I x dx x ĐS: 0 I Gợi ý: Đặt x t 2 1 1 ln 1 1 x x I dx e ĐS: ln 2 2 2 I Gợi ý: Đặt x t 2 2 2 0 1 tan sin cos cos I x dx x ĐS: 2 I Gợi ý: Đặt 2 x t 6 6 4 4 sin cos 6 1 x x x I dx ĐS: 5 32 I Gợi ý: Đặt x t 2012 2 2 2012 2012 0 sin cos 1 sin cos x x I dx x x ĐS: 4 I Gợi ý: Đặt 2 x t 2 0 cos sin 2 I x xdx ĐS: 4 I Gợi ý: Đặt 2 x t [ 2 3 0 (3 cos 4 sin )sin 4] 1 sin x x x x I dx x ĐS: 2 2 I Gợi ý: Đặt x t 3 2 0 sin sin cos x I dx x x ĐS: 1 4 I Gợi ý: Đặt 2 x t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 128 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng III. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 1. Phương pháp Thuật toán: Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : 1 2 ( ) ( ). ( ) b b a a I f x dx f x f x dx Bước 2: Đặt : 1 1 2 2 ' ( ) ( ) ( ) ( ) du f x dx u f x v f x dx dv f x Bước 3: Khi đó : . . b b b a a a I udv u v v du Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân b a vdu dễ tính hơn b a udv . THỨ TỰ ƯU TIÊN ĐẶT u : NHẤT - LOG; NHÌ - ĐA, TAM - LƯỢNG; TỨ - MŨ Nghĩa là nếu có ln hay log a x thì chọn ln u hay ln log ln a x u x a và dv còn lại. Nếu không có ln; log thì chọn u đa thức và dv còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u lượng giác,….cuối cùng là mũ. Ta thường gặp các dạng sau: (Với P x là đa thức) Dạng Đặt sin cos b a x I P x dx x b ax b a I P x e dx ln b a I P x mx n dx sin cos b x a x I e dx x u P x P x ln mx n sin cos x x dv sin cos x dx x ax b dv e dx P x dx x e dx - Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần tích phân từng phần. - Dạng mũ nhân lượng giác là dạng tích phân từng phần luân hồi. - Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm, tích phân bằng sơ đồ đường chéo; sử dụng “kĩ thuật chọn hệ số” đã trình bày ở phần nguyên hàm (trang ...) 2. Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tính tích phân từng phần Bài toán 1: Tính các tích phân sau: a) 2 0 sin . I x xdx b) 1 0 ln( 1) e I x x dx . c) 1 2 0 ln(1 ) x x dx d) 1 2 0 tan . I x x dx Lời giải: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 129 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng a) Đặt sin cos u x du dx dv xdx v x . Do đó 1. 2 2 2 2 0 0 0 0 sin cos | cos 0 sin | I x xdx x x xdx x b) Đặt 2 1 ln( 1) 1 1 2 du dx u x x dv xdx x v . Khi đó : 1 1 1 2 2 2 1 0 0 0 0 2 2 2 1 1 2 2 1 ln( 1) ln( 1) ( 1) 2 2 2 2 2 2 2 1 4 3 1 . 2 2 2 4 e e e e x e e x I x x dx x x dx x e e e e e c) Đặt: 2 2 2 2 ln(1 ) 1 1 2 xdx du u x x dv xdx v x . Khi đó: 2 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 2 0 1 1 ln 2 ln 2 ln 1 2 2 2 1 1 1 ln 1 1 ln 1 2 2 2 x x x x x I x x dx dx x dx x x x x x 1 ln 2 . 2 d) Biến đổi I về dạng: 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1 ( 1) . 2 2 cos cos I xdx x I x dx xdx I I x x Tính 1 I : Đặt 2 cos u x dx dv x tan du dx v x . Khi đó: 1 1 1 1 0 0 0 tan tan tan ln cos tan1 ln cos1 . I x x xdx x x x Suy ra: 1 tan1 ln cos1 . 2 I Bài toán 2: Tính tích phân: /4 2 2 0 sin cos x dx I x x x Lời giải: Ta có: /4 /4 2 2 2 0 0 cos . cos sin cos sin cos x dx x x x I dx x x x x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 130 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt 2 2 2 2 cos sin cos cos sin cos sin cos cos 1 sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x u du dx x x d x x x d x x x x x dv dx v x x x x x x x x x x x x Khi đó: /4 /4 /4 2 0 0 0 2 2 4 tan 1 . 4 4 4 sin cos cos cos x dx I x x x x x x Nhận xét: Do sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x nên ta tách 2 2 2 cos . cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x x Bài toán 3: Cho tích phân /4 2 0 ln(sin cos ) 3 ln 2 cos x x I dx b a x . Tính 2 ? a b Lời giải: /4 /4 /4 2 2 2 2 0 0 0 ln cos .(1 tan ) ln(sin cos ) ln(cos ) ln(1 tan ) cos cos cos cos x x x x x x I dx dx dx x x x x /4 /4 2 2 0 0 ln(cos ) ln(1 tan ) cos cos x x dx dx I J x x . Đặt 2 sin ln cos cos 1 , tan cos x u x du dx x dv dx v x x . /4 /4 2 4 4 4 2 0 0 0 0 0 ln(cos ) 1 tan .ln(cos ) tan tan .ln cos tan ln 2 1 2 4 cos x I dx x x xdx x x x x x + Tính /4 2 0 ln(1 tan ) . cos x J dx x Đặt 2 1 1 tan . cos t x dt dx x Đổi cận: 0 1, 2 4 x t x t 2 1 ln J t dt . Đặt 1 ln , u t du dt t dv dt v t 2 1 2 2 1 1 1 1 ln ln ln 2ln 2 1 J t dt t t dt t t t Vậy /4 2 0 ln(sin cos ) 3 ln 2 4; 2 2 0. 4 2 cos x x dx a b a b x Bài toán 4: Tính tích phân d /4 2 0 ln(sin cos ) cos x x x x Lời giải: Ta có: /4 /4 /4 2 2 2 2 0 0 0 ln cos .(1 tan ) ln(sin cos ) ln(cos ) ln(1 tan ) cos cos cos cos x x x x x x dx dx dx x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 131 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng /4 /4 2 2 0 0 ln(cos ) ln(1 tan ) cos cos x x dx dx I J x x . + Tính /4 2 0 ln(cos ) cos x I dx x : Đặt 2 ln cos sin cos 1 tan cos u x x du dx x dv dx v x x . /4 /4 /4 2 4 4 2 2 0 0 0 0 0 /4 4 0 0 ln(cos ) 1 tan .ln(cos ) tan tan .ln(cos ) 1 cos cos tan .ln cos tan x I dx x x xdx x x dx x x x x x x 1 ln 2 1 2 4 + Tính /4 2 0 ln(1 tan ) . cos x J dx x Đặt 2 1 1 tan . cos t x dt dx x Đổi cận: 0 1 2 4 x t x t . 2 1 ln J t dt . Đặt 1 ln u t du dt t dv dt v t 2 2 2 1 1 1 ln ln 2 ln 2 1 J t t dt t t t Vậy /4 2 0 ln(sin cos ) 3 ln 2. 4 2 cos x x dx x Bài toán 5: Tính tích phân sau: 2 1 3 0 ln 4 8 3 1 x x I dx x Lời giải: Cách giải thông thường: Đặt 2 2 3 2 8 8 ln 4 8 3 4 8 3 1 1 2 1 x u x x du dx x x dx dv v x x Khi đó: 1 2 1 1 2 2 0 0 ln 4 8 3 ln15 ln 3 4 4 * 8 2 1 4 8 3 2 1 x x dx I I x x x x Tính 1 1 2 0 1 4 8 3 dx I x x x Ta phân tích: 2 1 1 . 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 4 8 3 A B C x x x x x x x x x * A 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2 x x B x x C x x Chọn x lần lượt là các giá trị 1 3 1; ; 2 2 thay vào * 2 ta được: 1 1 A B C Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 132 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Khi đó: 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 15 ln 1 ln 4 8 3 ln 2 ln * * 1 2 1 2 3 2 2 3 I dx x x x x x x Thay * * vào * ta được: 15 3 ln15 ln 3 4ln 2. 8 2 I Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số”: Đặt 2 2 2 3 2 2 8 8 ln 4 8 3 4 8 3 1 4 8 3 2 1 2 1 2 1 x u x x du dx x x dx x x dv v x x x ( 3 2 1 1 2 1 dx v C x x và chọn 2 C ) 1 1 2 1 2 3 0 0 0 4 8 3 15 3 15 3 ln 4 8 3 4 ln15 ln 3 4ln 1 ln15 ln 3 4ln 2. 1 8 2 8 2 2 1 x x dx I x x x x x Bài tập: Tính các tích phân sau ( kĩ thuật chọn hệ số C phù hợp để . b a v du đơn giản hơn): 1 0 (2 1)ln( 1) I x x dx ĐS: 3 2ln 2. 2 I 1 2 0 .ln(2 ) I x x dx ĐS: 3 1 ln 3 ln 2 2 2 I 4 2 0 ln(sin 2cos ) cos x x I dx x ĐS: 5 3ln 3 ln 2 2 4 I ln2 0 ln( 1). . x x I e e dx ĐS: 3ln 3 2ln 2 1 I 3 2 2 ln 2 ( 3) I x x dx ĐS: 5ln 5 4ln 2 3 I 1 2 0 5 3ln( 2) ( 1) x x I dx x ĐS: 9 5 ln 3 4 ln 2 2 2 I 4 1 1 1 ln( 1) 2 I x x dx x ĐS: 5ln 5 4 I 2 2 1 ln . ( 2) x dx I x ĐS: 3 ln 3 ln 2. 2 I 2 2 2 4 log (3sin cos ) sin x x I dx x ĐS: 1 23 ln 2 3ln 3 ln 2 2 4 I 1 2 3 0 ln(4 8 3) ( 1) x x I dx x ĐS: 15 3 ln15 ln 3 4ln 2. 8 2 I Bài toán 6: Tích phân 2 1 2 2 0 1 sin ( ) . 1 x a e I e x dx b a Tính 2 3 ? a b Lời giải: Cách 1: Cách giải tích phân từng phần thông thường Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x I I e I e x dx e dx e x dx e I (*) Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 133 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Tính 1 I bằng pp từng phần: Đặt cos 2 x u x dv e dx 2 sin 2 . x du x dx v e Khi đó: 2 1 1 1 2 0 0 cos 2 2 sin 2 1 2 1 x x I I e x e x dx e I Tính 2 I bằng pp từng phần: Đặt: sin 2 x u x dv e dx 2 cos 2 x du x dx v e Khi đó: 1 1 1 2 1 0 0 sin 2 2 cos 2 2 2 x x I I e x e x dx I Từ (1) và (2) suy ra: 2 1 1 1 2 1 1 4 4 1 e I e I I Thay 1 I vào (*) ta được: 2 2 2 4 1 1 1 2 2 4 1 2 4 1 e e e I 2 4; 2 3 10. a b a b Cách 2: Cách giải tích phân từng phần theo sơ đồ đường chéo Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 x x x x I I e I e x dx e dx e x dx e I (*) Tính 1 1 0 cos 2 x I e x dx bằng sơ đồ đường chéo: 1 1 0 1 2 0 1 2 1 0 2 1 1 2 cos 2 2sin 2 4 cos 2 cos 2 2 sin 2 4 1 4 1 4 1 x x x x I x e x e e x dx x x e I e I e I Thay vào (*) ta được: 2 2 4 1 . 2 4 1 e I 2 4; 2 3 10. a b a b Nhận xét: Bài toán trên dùng phương pháp sơ đồ đường chéo cho bài toán tích phân lặp. Bài toán 7: Tính tích phân: /3 3 1/3 2 1 ln 3 e I x x dx Lời giải: Cách 1: Cách giải từng phần thông thường Đạo hàm Dấu Nguyên hàm cos 2 u x x dv e 2 sin 2 x x e 2 4 cos 2 x x e Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 134 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt: 2 3 2 3ln 3 ln 3 2 1 x u x du dx x dv x dx v x x /3 2 /3 2 3 2 1/3 1/3 ln 3 3 1 ln 3 3 9 3 e e e e I x x x x x dx J Tính /3 2 1/3 1 ln 3 e J x x dx . Đặt : 2 2 2ln 3 ln 3 1 2 x du dx u x x dv x dx x v x /3 /3 2 2 2 1/3 1/3 ln 3 2 ln 3 2 18 3 e e x e e J x x x x dx K Tính /3 1/3 2 ln 3 e K x x dx . Đặt: 2 ln 3 2 2 2 dx du u x x x dv x dx v x /3 /3 /3 2 2 2 2 1/3 1/3 1/3 2 25 2 ln 3 2 2 2 2 18 3 4 36 36 e e e x x e e x e K x x dx x 2 2 2 2 2 2 2 25 2 25 3 3 3 . 9 3 9 3 18 3 9 3 18 3 36 36 36 3 12 e e e e e e e e e e e e e I J K Cách 2: Cách giải theo sơ đồ đường chéo Chuyển (Chia) Đạo hàm u Dấu Nguyên hàm dv Nhận (Nhân) 3 ln 3x 2 1 x 3 x 2 3ln 3x x 2 x x 3 x 2 ln 3x 3 3 x 2 x 2 ln 3x x 2 3 3 2 x x 2 x ln 3x 3 6 x 1 x 1 x 2 3 6 2 x x 1 x 1 3 6 2 x 0 2 3 6 4 x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 135 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Kết quả: /3 2 2 2 3 2 2 1/3 3 3 3 ln 3 ln 3 3 ln 3 6 6 2 2 4 e x x x I x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 25 2 2 2 . 9 3 6 6 12 12 36 3 12 e e e e e e e e e e Chú ý: Nếu các em không nhớ kiến thức về kĩ thuật chọn hệ số và tích phân từng phần bằng phương pháp đường chéo thì các em có thể xem lại kiến thức này đã trình bày ở phần nguyên hàm. 3. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tính các tích phân sau (dạng tích phân từng phần cơ bản): 4 2 0 cos xdx I x ĐS: 2 ln 4 2 I 2 2 2 1 1 ln x I xdx x ĐS: 5 3 ln 2 2 2 I 1 2 0 3 1 x x I dx e ĐS: 2 5 11 4 4 I e 1 2 0 1 x x I dx e ĐS: 2 3 5 4 e I 2 2 0 .sin I x xdx ĐS: 2 4 16 I 4 2 0 ln(cos ) cos x I dx x ĐS: 2 ln 1 2 4 I 1 2 0 ln( 1) ( 2) x I dx x + = + ĐS: 5 ln 2 ln 3 3 I 3 2 2 (3 1) x I x dx ĐS: 2 52 12 ln 2 ln 2 I ln2 0 2 x x x I dx e e ĐS: 5 ln 2 ln 3 3 I 0 cos(ln ) e I x dx ĐS: 1 2 e I 1 2 0 ( 2 ) x I x x e dx ĐS: I e 2 0 cos 2 x I e xdx ĐS: 2 2 5 e I 1 2 0 sin ( ) x I e x dx ĐS: 2 2 2 ( 1) 1 4 e I 1 2 2 0 .ln( 1 ) 1 x x x I dx x ĐS: 2 ln(1 2) 1 I 1 2 0 ln( 1) I x x x dx ĐS: 3 3 ln 3 4 12 I 2 2 1 2 3 ln 2 1 e x x I xdx x x ĐS: 3 1 1 2ln 1 2 e e I e Bài tập 2: Tính các tích phân sau (tách ra 2 tích phân A và B, với A sử dụng đổi biến, B sử dụng từng phần): 1 1 ln ln e x I x xdx x ĐS: 2 13 4 12 e I 2 5 0 (sin 2 )cos I x x xdx ĐS: 11 6 I 2 1 .( 1 ln ) I x x x dx ĐS: 16 3 2 ln 2 15 4 I 1 4 5 0 1 x x I xe dx x ĐS: ln 2 1 5 I ln2 0 ( 1) x x I e x e dx ĐS: 1 2 ln 2 3 I 1 1 ln 1 ln e I x xdx x x ĐS: 2 19 8 2 4 12 e I Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 136 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 0 2 1 ( 1) x I x e x dx ĐS: 2 3 31 60 4 I e 1 2 0 ( 1) x I x e x dx ĐS: 2 2 2 3 I 4 2 0 ( 2 tan )sin I x x xdx ĐS: 2 2 8 I 1 3 ln 2ln e x I x dx x ĐS: 22 6 3 3 I 1 2 0 ( 1 3 ) x I x e xdx ĐS: 16 9 I 0 2 1 ln(1 ) 1 x I x dx x ĐS: 2 ln 2 5 2ln 2 2 4 I 2 2 1 ln ln( 2) e x x x I dx x ĐS: 2 2 2 2 3ln 3 2 ln( 2) 2 2 2 e e I e 2 1 ( 1 ln ) I x x x dx ĐS: 8 3 4 2 3 2ln 2 5 15 4 I 2 2 2 0 1 sin 1 I x x dx x ĐS: 2 2 1 4 1 ln 2 4 16 4 I 2 1 ln 3 ln 1 ln e x I x x dx x x ĐS: 3 5 2 2 2 3 e I Bài tập 3: Tính các tích phân (Sử dụng đổi biến trước, rồi tính tích phân từng phần sau): 2 2 6 cos ln(sin ) sin x x I dx x ĐS: 1 2ln 2 I 2 2 0 sin 2 ln(1 cos ) I x x dx ĐS: 2 ln 2 1 I 3 27 3 0 sin I xdx ĐS: 3 6 I 2 1 1 4 cos 1 I xdx ĐS: 2 I 2 2 sin 3 0 sin cos x I e x xdx ĐS: 1 2 e I 2 16 3 0 (tan tan ) I x x dx ĐS: 1 2 I 4 0 tan ln(cos ) cos x x I dx x ĐS: 2 2 1 ln 2 2 I 3 2 4 ln(tan ) cos x I dx x ĐS: 3 ln 3 3 1 2 I 3 2 1 2 0 1 ln ( 1) 1 e x x I dx x ĐS: 4 2 2 1 ln ( 2 2) ln( 2 2) 2 8 e e I e e 1 2 1 ln( 1 ln ln ) e x I x x dx ĐS: ln( 2 1) 1 2 I Bài tập 4: Tính các tích phân sau (loại phân số hỗn tạp): 3 2 1 ( 1)ln 2 1 2 ln e x x x I dx x x ĐS: 3 1 2 ln 3 2 e e I 4 0 sin ( 1)cos sin cos x x x x I dx x x x ĐS: 2 ln 1 4 2 4 I Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 137 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 0 ( 1)(sin cos ) cos ( 1)sin cos x x x x I dx x x x ĐS: 2 ln 2 2 I 2 4 2 cos ( 2)sin cos sin x x x x I dx x x x ĐS: 1 ln 1 2 4 2 I 2 1 1 ( 1)ln 1 ln e x x x I dx x x ĐS: 2 1 ln( 1) 2 e I e 3 4 1 2 1 ( 1)ln 2 ln e x x x I dx x x ĐS: 2 1 2 ln 4 2 e e I 2 2 2 2 1 ln (2ln 1) 2 ( ln ) e x x x x I dx x x x ĐS: 2 2 2 1 e I e e 3 0 sin ( 1)sin 2 2cos 1 x x x x I dx x ĐS: 3 1 1 3 ln 2 6 2 2 I I 2 2 2 0 1 2sin 4cos 2cos x x x I dx x x ĐS: 2 ln 2 8 4 I 2 1 (2 3)ln 2 3 ln 1 e x x x I dx x x ĐS: 2 1 3ln( 1) I e e 2 2 2 0 sin sin cos x x x I dx x x ĐS: 2 1 ln 8 2 I 1 2 2 0 3 1 1 x x x x x e xe e I dx xe ĐS: 2 ln( 1) I e 1 3 2 0 2 ( 1) 2 x x x e x e I dx x ĐS: 3 1 ln 2 I 2 2 1 1 ln ln e x x I dx x x x ĐS: ln( 1) I e e 1 2 0 ln( 1) ( 2) x x I dx x ĐS: 2 1 ln 2 3 3 I 1 2 0 ( 2 1) 1 x x x x e x e I dx xe ĐS: 1 ln( 1) I e 2 3 2 1 (ln 1) 3ln 3 x x x I dx x x ĐS: 1 7 ln 2 2 6 I 1 2 0 2 1 1 x x xe I dx x e ĐS: ln( 1) 1 I e 1 2 2 0 2 1 2 x x x x e x e I dx e ĐS: 1 1 2 1 ln 3 2 3 e I 1 2 0 ( 1) x x x e x x I dx x e ĐS: 2 3 2 I e Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 138 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng C. TÍNH TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Đối với những dạng hàm số khác nhau sẽ có những hướng đi khác nhau, cho nên trong phần này thầy sẽ chia ra một số dạng hàm số thường gặp để các em khi gặp một bài toán tích phân bất kỳ nào sẽ có cách giải kết hợp với các phương pháp ở phần B để tìm ra nhanh lời giải. I. HÀM HỮU TỈ 1. Phương pháp Bài toán tổng quát: Tính tích phân ( ) ( ) P x I dx Q x với ( ) P x và ( ) Q x là các đa thức không căn. Nếu bậc của tử số ( ) P x bậc của mẫu số ( ) Q x PP Xem xét mẫu số , ta có các trường hợp phổ biến sau: ln ln 1 A A A a b dx ax b ax b a a a b §Æt 0 2 1 1 2 2 1 2 2 0 0 tan 2 2 ; 2 2 1 1 0 : 1 0 : . 1 . 2 2. . 0 : Quay Ve x x k t t o A A I dx x x x x a x x x x a x x A Adx A I I a x x ax bx c a x x A dx A A I I dt a ka k x x k =... 2.2 t a 1 2 2 1 1 2 0 2 2 0 0 2 2 0 0 1 0 3 : 1 1 0 : 1 Quay Ve C x x D x x C D I dx dx a x x x x a x x x x A x x C Ax B I dx dx a a x x a x x Ax B A C I dx dx a x x ax bx c x x TH 2 2 2 2 2 2 1 & 2.1 0 : ln 2.2 k ax bx c h d ax bx c dx I dx k h ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c 4 Q x có bậc lớn hơn 2, ta thực hiện giảm bậc ( bằng cách đổi biến, tách ghép, nhân, chia,...) để đưa bài toán về các trường hợp 1 , 2 , 3 . Nếu bậc của tử số ( ) P x bậc của mẫu số ( ) Q x PP Chia đa thức (đã học ở lớp 8). TÝch ph©n c¬ b¶n Quay vÒ Th bËc tö b. Câu 71. Tính giá trị của 3 0 sin 2 2 3 3 I f x x x cos d khi biết 3 2 0 2 f x x d A. 2. B. 2 . C. 1. D. 1 . Câu 72. Cho hàm số y f x liên tục trên và 1 ln . e f x dx e x Mệnh đề nào sau đây là đúng? Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 196 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. 1 0 1. f x dx B. 1 0 . f x dx e C. 0 1. e f x dx D. 0 . e f x dx e Câu 73. Tính tích phân 1 2 0 1 dx I x bằng cách đặt tan , ; 2 2 x t t , mệnh đề sau đây đúng? A. 4 1 dt I t . B. 4 2 0 1 dt I t . C. 4 0 I dt . D. 4 0 I tdt . Câu 74. (Đề minh họa lần 3-Bộ GD&ĐT) Tính tích phân 2 2 1 2 1 I x x dx bằng cách đặt 2 1 u x , mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 3 0 2 I udu . B. 2 1 I udu . C. 3 0 I udu . D. 2 1 1 2 I udu . Câu 75. Tích phân 1 8 ln 1 e x I dx x bằng: A. 2 . B. 13 6 . C. 3 ln 2 4 . D. 3 ln 3 5 . Câu 76. Giá trị của tích phân 1 2 2 0 1 1 I dx x là: A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 2 .. Câu 77. Tích phân 1 2 3 0 5 I x x dx có giá trị là: A. 4 10 6 3 3 9 . B. 4 10 7 5 3 9 . C. 4 10 6 5 3 9 . D. 2 10 6 5 3 9 . Câu 78. Tích phân 2 2 0 4 x dx có giá trị là: A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. . Câu 79. Cho tích phân 2 2 0 1 2 I dx x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 4 0 2 2 I dt . B. 4 0 2 2 I tdt . C. 4 0 2 I dt . D. 4 0 2 2 dt I t . Câu 80. Biết 3 6 1 (ln ln ) sin 2 dx I a b x . Tính S a b A. 10 4 3 S . B. 22 4 3 3 S . C. 10 4 3 S . D. 22 4 3 3 S . Câu 81. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và /4 0 (tan ) 4 f x dx ; 1 2 2 0 ( ) 2 1 x f x dx x . Tính tích phân 1 0 ( ) f x dx Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 197 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. 6. B. 2. C. 3. D. 1. Câu 82. Cho hàm số f(x) liên tục trên R ; có 9 1 ( ) 4 f x x và /2 0 (sin )cos 2 f x xdx . Tính 3 0 ( ) f x dx A. 2. B. 6. C. 4. D. 10. Câu 83. Cho 1 0 2 f x dx . Giá trị của 4 0 cos 2 sin cos I f x x xdx bằng: A. 1 . 2 B. 1 . 4 C. 1 . 2 D. 1 . 4 Câu 84. Cho hàm số f x liên tục trên và thoả mãn 2 2cos 2 , f x f x x x . Tính A. . B. . C. . D. . Câu 85. (Đề minh họa lần 2-Bộ GD&ĐT) Cho 4 0 16 f x x d . Tính tích phân 2 0 2 . I f x x d A. 32 I . B. 8 I . C. 16 I . D. 4 I . Câu 86. (Chuyên Lào Cai) Tính tích phân 2 2 2017 0 1 x x dx được kết quả là A. 2017 4 1 1 2 2020 2019 2018 . B. 3 2018 3 2 3 2018 . C. 2018 4 2 1 2 2020 2019 2018 . D. 2018 4 4 1 2 2020 2019 2018 . Câu 87. Giá trị của tích phân: 2 0 sin 1 cos x x I dx x là: A. 2 2 . B. 2 6 . C. 2 8 . D. 2 4 . Câu 88. Giá trị của tích phân 2007 2 2007 2007 0 sin sin cos x I dx x x là A. 2 I . B. 4 I . C. 3 4 I . D. 5 4 I . Câu 89. Giá trị của tích phân 2 6 3 5 1 2 1 cos .sin .cos I x x xdx là A. 21 91 . B. 12 91 . C. 21 19 . D. 12 19 . Câu 90. Giá trị của tích phân 0 sin 1 xdx I x là A. 4 I . B. 2 I . C. 3 I . D. I . 3 2 3 2 . I f x dx 6 I 0 I 2 I 6 I Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 198 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 91. Tích phân 2 2 0 4 x dx có giá trị là A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. . Câu 92. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và 8 2 ( ) 10 f x dx . Tính 3 1 3 (3 1) 2 I f x dx A. 10 B. 20 C. 5 D. 30 Câu 93. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và 1 0 (2 1) 3 f x dx . Đẳng thức nào sau đây là đúng. A. 1 1 3 ( 1) 2 f x dx B. 1 1 3 ( 1) 2 f x dx C. 1 1 ( 1) 6 f x dx D. 1 1 ( 1) 6 f x dx Câu 94. [Lương Thế Vinh lần 1]. Biết 2 9 1 a x a x dx e , a . Tính giá trị của biểu thức 1 T a a . A. 10 3 T . B. 5 2 T . C. 0. T D. 10 3 T . Câu 95. Đặt Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. B. C. D. Câu 96. [Sở Lâm Đồng] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của thỏa mãn hệ thức Hỏi là hàm số nào trong các hàm số sau. A. B. C. D. Câu 97. [Đề minh họa lần 3 -BGD] Cho hàm số thỏa mãn và . Tính A. -12. B. 8 C. 12. D. -8. Câu 98. Cho là hàm lẻ, liên tục trên R. Khi đó có giá trị bằng? A. 0. B. -6. C. 6. D. 9. Câu 99. Cho là hàm chẵn, liên tục trên R và . Khi đó có giá trị bằng? A. 0 B. C. 6 D. 3 2 0 cos2 . x I e xdx 2 2 0 0 sin 2 sin 2 x x I e x e xdx 2 2 0 0 1 sin 2 sin 2 2 x x I e x e xdx 2 2 0 0 1 1 sin 2 sin 2 2 2 x x I e x e xdx 2 2 0 0 1 sin 2 sin 2 2 x x I e x e xdx cos y x K (K ) ( )sin ( )cos cos . . x f x xdx f x x x dx ( ) y f x ( ) ln x f x ( ) ln x f x ( ) ln x f x ( ) ln x f x f x 1 0 1 ' 10 x f x dx 2 1 0 2 f f 1 0 I f x dx f x 3 3 f x dx f x 3 0 6 f x dx 3 0 f x dx 6 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 199 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 100. [Đề thử nghiệm lần 2 - Bộ giáo dục]. Cho . Tính A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 Câu 101. Cho . Tính A. -5. B.5 C.3. D.-3. Câu 102. Đổi biến thì tích phân được viết lại A. 2 2 1 1 4 2 9 I t dt B. 2 2 1 1 4 2 3 I t dt C. 2 2 1 1 2 4 9 I t dt D. 2 2 1 1 4 4 9 I t dt Câu 103. Cho hàm số thỏa mãn: và . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. B. C. D. Câu 104. Cho , với tối giản. Khi đó =? A. 11. B. 10 C. 9. D. 8 Câu 105. Cho hàm liên tục trên và và . Tính . A. I = 8 B. I = 4 C. I = 8/3 D. I = - 2 Câu 106. Tính tích phân A. . B. . C. . D. . Câu 107. Biết , . Tính giá trị của a.b A. a.b = 16. B. a.b = 18 C. a.b = 12. D. a.b = 10. Câu 108. Biết là một nguyên hàm của trên , thỏa mãn và . Khi đó tích phân có giá trị: A. - 2 B. -4 C. -1 D.-3 4 0 16 f x dx 2 0 2 I f x dx 2 4 2 2 1, 4 f x dx f t dt 4 2 f y dy 1 3cos t x 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x I dx x f x ' 2 c o s 2 f x x 2 2 f 0 f s in 2 2 2 x f x x s in 2 2 2 x f x x 0 2 f 4 0 cos ln( ) ln 2 sin cos x x b I dx a x x x c , , , c a b c d a b c a b c a b c a b c a b c ( ) f x 1 1 3 (3 ) 2 f x 2 0 (sin )cos 2 f x xdx 3 0 ( ) I f x dx 2018 2 2018 2018 0 sin sin cos x I dx x x 2 I 4 I 6 I 8 I 4 0 ln(1 tan ) ln x dx b a * * , a b ( ) F x ( ) f x 0; 4 ( ) 2 4 F 4 2 0 ( ) 4 cos F x dx x 4 0 tan . ( ) x f x dx Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 200 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 109. 1 2 0 3 2 x x x d bằng A. 4 10 3 ln 3 ln 6 2ln 2 . B. 4 10 3 ln 3 ln 6 2 ln 2 . C. 4 10 3 ln 3 ln 6 2ln 2 . D. 4 10 3 ln 3 ln 6 2 ln 2 . Câu 110. 2 2 0 1 x x x d bằng A. 1 11 4 . B. 1 11 3 . C. 1 11 5 . D. 1 11 2 . Câu 111. 2 2 1 1 2 3 x x x x x d bằng A. 21 11.ln 2 3 . B. 21 11 ln 2 2 . C. 21 11.ln 2 2 . D. 1 2.ln11 12 . Câu 112. 1 3 2 0 1 3x x d bằng A. 1 5 4 . B. 1 4 25 . C. 2 14 5 . D. 2 4 15 . Câu 113. 1 2 2 3 1 2 1 x x d bằng A. 3 3 3 3 9 1 10 4 . B. 3 3 3 3 7 1 10 5 . C. 3 3 3 3 5 2 4 10 . D. 3 3 3 3 6 8 10 2 . Câu 114. 1 2 2 0 1 1 x x dx x bằng. A. 1 3 ln 8 2 . B. 1 2 ln 8 3 . C. 1 3 ln 8 2 . D. 1 3 ln 3 8 . Câu 115. Nếu 0 1 ln 2 1 m dx x x thì m bằng. A. 2 2 5 m m . B. 2 2 5 m m . C. 2 2 5 m m . D. 2 2 5 m m . Câu 116. Nếu 2 3 4 m x dx thì m bằng. A. 3 39 . B. 3 39 . C. 3 39 . D. 39 . Câu 117. Nếu 3 b a thì 2 b a x dx có giá trị bằng. A. 3 ab . B. 9 3ab . C. 9 3ab . D. 3 ab . Câu 118. Tích phân 0 1 m x x e d bằng A. ln 1 ln 2 m m e . B. ln 1 ln 2 m m e . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 201 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng C. ln 1 ln 2 m m e . D. ln 1 ln 2 m m e . Câu 119. Tích phân 0 1 1 x m x e x x xe d bằng A. ln 1 m me . B. ln 1 m me . C. l n 3 m m e . D. ln 3 m me . Câu 120. Tích phân 1 2 0 1 x x d bằng A. 2 2 0 sin . t x d . B. 2 2 0 sin . t x d . C. 2 2 0 . t x cos d . D. 2 2 0 . t x cos d . Câu 121. Tích phân 2 2 2 0 a x a x d với 0 a bằng A. 4 0 t d . B. 3 0 t d . C. 6 0 t d . D. 12 0 t d . Câu 122. Tích phân 3 5 2 3 5 9 25 x x d bằng A. 4 6 3 5 t d . B. 4 6 5 3 t d . C. 4 6 3 5 t d . D. 4 6 5 3 t d . Câu 123. Tích phân 3 2 2 3 0 1 x x x d bằng A. 3 4 6 3 1 3 2 1 t t t d . B. 3 4 6 3 1 3 2 1 t t t d . C. 3 4 6 3 1 3 2 1 t t t d . D. 3 4 6 3 1 3 2 1 t t t d . Câu 124. Tích phân 0 3 1 1 x x x d bằng A. 1 6 3 0 3 t t t d . B. 1 6 3 0 1 3 t t t d . C. 1 6 3 0 1 3 t t t d . D. 1 6 3 0 3 t t t d . Câu 125. Tích phân 3 2 1 ln ln 1 e x x x x d bằng A. 2 4 2 1 2 2 1 t t t d . B. 2 4 2 1 2 2 1 t t t d . C. 2 4 2 1 2 2 1 t t t d . D. 2 4 2 1 2 2 1 t t t d . Câu 126. Tích phân 3 0 1 x x x d bằng A. 2 2 1 3 1 t t d . B. 2 2 1 3 1 t t d . C. 2 2 1 2 1 t t d . D. 2 2 1 2 1 t t d . Câu 127. 2 1 ln 2 ln e x x x x d bằng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 202 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. 1 5 ln 6 6 . B. 1 5 ln 6 6 . C. 1 3 ln 3 2 . D. 1 3 ln 3 2 . Câu 128. 3 2 0 cos 1 tan x x x d bằng A. 1 3 0 t t d . B. 1 3 0 t t d . C. 1 3 0 2 t t d . D. 1 3 0 2 t t d . Câu 129. 4 2 0 2 1 cos x x x d bằng A. 4 0 cos 1 2 4 cos x x d . B. 4 0 cos 1 2 4 cos x x d . C. 4 0 cos 1 2 2 cos x x d . D. 4 0 cos 1 2 2 cos x x d . Câu 130. 2 0 2 sin 2 x x x d bằng A. 2 0 1 2 cos 2 2 2 x x d . B. 2 0 1 2 cos 2 2 2 x x d . C. 2 0 1 2 cos 2 2 2 x x d . D. 2 0 1 2 cos 2 2 2 x x d . Câu 131. 4 0 xcos x x d bằng A. 4 0 2 3 sin 18 x x d . B. 4 0 2 sin 8 x x d . C. 4 0 2 sin 3 x x d . D. 4 0 2 si n d 4 x x . Câu 132. 0 1 2 3 x x x e d bằng A. 0 1 3 x e x e d . B. 0 1 3 2 x e x e d . C. 0 1 3 x e x e d . D. 0 1 3 2 x e x e d . Câu 133. 1 3 0 2 x x x e d bằng A. 1 3 3 0 2 1 5 3 x e x e d . B. 1 3 3 0 2 1 3 3 x e x e d . C. 1 3 3 0 2 1 5 3 x e x e d . D. 1 3 3 0 2 1 3 3 x e x e d . Câu 134. ln2 2 0 x xe dx bằng A. ln 2ln2 1 e . B. ln 2ln2 1 e . C. l n l n 2 1 e . D. ln ln2 1 e . Câu 135. 1 ln e x x x d bằng A. 1 3 2 1 2 3 3 2 e x x e d . B. 1 3 2 1 3 2 2 3 e x x e d . C. 1 3 2 1 2 2 3 3 e x x e d . D. 1 3 2 1 3 3 2 2 e x x e d . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 203 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 136. 2 1 ln e x x x d bằng A. 3 2 1 1 6 3 e e x x d . B. 3 2 1 1 2 3 e e x x d . C. 3 2 1 1 3 3 e e x x d . D. 3 2 1 1 9 3 e e x x d . Câu 137. 1 0 ln 2 1 x x d bằng A. 1 0 1 ln 3 1 2 1 x x d . B. 1 0 1 ln 3 1 2 1 x x d . C. 1 0 3 1 ln 3 1 2 2 1 x x d . D. 1 0 3 1 ln 3 1 2 2 1 x x d . Câu 138. 2 4 cos .ln sin x x x d bằng A. 2 2 2 ln 1 2 2 2 . B. 2 2 2 ln 1 2 2 2 . C. 2 2 2 ln 1 2 2 2 . D. 2 2 2 l n 1 2 2 2 . Câu 139. Cho 0 1 a b , khi đó 2 b a x x x d bằng A. 1 2 2 1 b a x x x x x x d d . B. 1 2 2 1 b a x x x x x x d d . C. 1 2 2 1 b a x x x x x x d d . D. 1 2 2 1 b a x x x x x x d d . Câu 140. Cho hàm số f x liên tục trên , 2 3 1 1 3, 5 f x x f x x d d . Biểu thức 3 2 f x x d bằng A. 3 . B. 8 . C. 2 . D. 15 . Câu 141. Tìm hai số thực , A Bsao cho ( ) sin f x A x B , biết rằng '(1) 2 f và 2 0 ( ) 4 f x dx . A. 2 2 A B . B. 2 2 A B . C. 2 2 A B . D. 2 2 A B . Câu 142. Giá trị của a để đẳng thức 2 4 2 3 1 2 (4 4 ) 4 2 a a x x dx xdx là đẳng thức đúng A. 4. B. 3. C. 5. D. 6. Câu 143. Giá trị của tích phân 2 2 0 ( 0) a dx I a x a là A. 4a . B. 2 4a . C. 2 4a . D. 4a . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 204 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 144. Giá trị của tích phân 3 0 cos 2 cos 2 x I dx x là A. 4 2 . B. 2 2 . C. 4 2 . D. 2 . Câu 145. Cho 1 2 1 x dt I t . Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho. A. 2 1 1 x dt t . B. 2 1 1 x dt t . C. 1 2 1 1 x dt t . D. 1 2 1 1 x dt t . Câu 146. Giá trị của tích phân 2 2 6 1 ln(sin ) sin I x dx x là A 3 ln 2 3 3 . B. 3 ln 2 3 3 . C. 3 ln 2 3 3 . D. 3 ln 2 3 3 . Câu 147. Giá trị của tích phân 2 2 0 min 1, I x dx là A. 4 . B. 3 4 . C. 4 3 . D. 3 4 . Câu 148. Giá trị của tích phân 3 8 1 dx I dx x x là A. 2 ln 3 . B. 2 . C. ln 2 . D. 2ln 2 . Câu 149. Biết 3 2 1 2 ln 1 ln 2 2 a x x I dx x . Giá trị của a là A. 2. B. ln 2 . C. . D. 3. Câu 150. Cho 2 1 0 cos 3sin 1 I x x dx , 2 2 2 0 sin 2 (sin 2) x I dx x . Khẳng định nào sau đây là sai ? A. 1 14 9 I . B. 1 2 I I . C. 2 3 3 2 ln 2 2 I . D. 2 3 2 2 ln 2 3 I . Câu 151. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn 0 2 5 6 m x dx là A. 1, 6 m m . B. 1, 6 m m . C. 1, 6 m m . D. 1, 6 m m . Câu 152. Cho hàm số 2 sin 2 ( ) (2 sin ) x h x x . Tìm để 2 cos cos ( ) 2 sin (2 sin ) a x b x h x x x và tính 2 0 ( ) I h x dx A. 2 3 4, 2; 2ln 3 2 a b I . B. 2 3 4, 2; 2 ln 3 2 a b I . C. 1 3 2, 4; 4 ln 3 2 a b I . D. 1 3 2, 4; 4 ln 3 2 a b I . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 205 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 153. Giá trị trung bình của hàm số y f x trên ; a b , kí hiệu là m f được tính theo công thức 1 b a m f f x dx b a . Giá trị trung bình của hàm số sin f x x trên 0; là A. 4 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Câu 154. Cho 1 0 3 1 dx I x ; 4 4 4 0 sin cos J x x dx ; 2 2 1 3 1 K x x dx . Tích phân nào bằng 21 2 ? A. K. B. I. C. J. D. J và K. Câu 155. Với 0 1 a , giá trị của tích phân sau 2 0 3 2 a dx dx x x là: A. 2 ln 2 1 a a . B. 2 ln 1 a a . C. 2 ln 2 1 a a . D. 2 ln 2 1 a a . Câu 156. Cho 1 3 4 2 0 4 2 3 0 ( 2) x m dx x . Khi đó giá trị của 2 144 1 m bằng A. 2 3 . B. 4 3 1 . C. 2 3 3 . D. 2 3 3 . Câu 157. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ] a b và có đạo hàm liên tục trên ; a b , đồng thời thỏa mãn ( ) ( ) f a f b . Lựa chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. ( ) '( ). 2 b f x a f x e dx . B. ( ) '( ). 1 b f x a f x e dx . C. ( ) '( ). 1 b f x a f x e dx . D. ( ) '( ). 0 b f x a f x e dx . Câu 158. Kết quả phép tính tích phân 5 1 3 1 dx I x x có dạng ln 3 ln 5 I a b ( , ) a b . Khi đó 2 2 3 a ab b có giá trị là A. 1. B. 5. C. 0. D. 4. Câu 159. Với , 1 n n , tích phân 2 0 1 cos sin n I x xdx có giá trị bằng A. 1 2n . B. 1 1 n . C. 1 1 n . D. 1 n . Câu 160. Với , 1 n n , giá trị của tích phân 2 0 sin cos sin n n n x dx x x là A. 4 . B. 4 . C. 3 4 . D. 3 4 . Câu 161. Giá trị của tích phân 2017 0 1 cos 2xdx là A. 3034 2 . B. 4043 2 . C. 3043 2 . D. 4034 2 . Câu 162. Giá trị của tích phân 1 cos 2 0 (1 sin ) ln 1 cos x x dx x là Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 206 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. 2ln 3 1 . B. 2ln 2 1 . C. 2 ln 2 1 . D. 2ln 3 1 . Câu 163. Có mấy giá trị của b thỏa mãn 2 0 (3 12 11) 6 b x x dx A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Câu 164. Biết rằng 0 6 6 b dx và 0 a x xe dx a . Khi đó biểu thức 2 3 2 3 2 b a a a có giá trị bằng A. 5. B. 4. C. 7. D. 3. Câu 165. Biết rằng 2 2 0 a dx A x a , 0 2 b dx B (với , 0 a b ). Khi đó giá trị của biểu thức 4 2 B aA b bằng A. 2 . B. . C. 3 . D. 4 . Câu 166. Cho ( ), ( ) f x g x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0;1 và 1 0 ( ) '( ) 1 g x f x dx , 1 0 '( ) ( ) 2 g x f x dx . Tính 1 ' 0 ( ) ( ) I f x g x dx . A. 3 I . B. 1 I . C. 1 I . D. 2 I . Câu 167. Cho ( ), ( ) f x g x là các hàm số liên tục trên 1; 3 và thỏa mãn 3 1 ( ) 3 ( ) 10 f x g x dx , . 3 1 2 ( ) ( ) 6 f x g x dx . Tính . 3 1 ( ) ( ) I f x g x dx A. 6 I . B. 7 I . C. 8 I . D. 9 I . Câu 168. Cho hàm số f x liên tục trên 0;10 và thỏa mãn 10 4 0 2 ( ) 7 , ( ) 3 f x dx f x dx . Tính I 2 10 0 4 ( ) ( ) f x dx f x dx . A. 3 I . B. 2 I . C. 1 I . D. 4 I . Câu 169. Biết 1 0 2 ( ) 6 f x dx , 2 0 2 ( ) ( ) 5 f x g x dx , 2 0 3 ( ) ( ) 35 f x g x dx .Tính 2 1 ( ) I f x dx . A. 2 I . B. 3 I . C. 5 I . D. 6 I . Câu 170. Cho hàm số chẵn ( ) f x liên tục trên R và thỏa mãn 2 2 ( ) 2 f x dx .Tính 1 0 (2 ) I f x dx . A. 1 2 I . B. 2 I . C. 4 I . D. 1 I . Câu 171. Cho hàm số lẻ ( ) f x liên tục trên R và 0 2 ( ) 15 f x dx và 3 2 ( ) 5 f x dx . Tính 3 0 ( ) I f x dx . A. 10 I . B. 10 I . C. 20 I . D. 20 I . Câu 172. Cho hàm số f x liên tục trên R và thỏa mãn 2 0 ( ) 3 f x dx . Tính 1 1 2 I f x dx . A. 3 2 I . B. 3 I . C. 2 I . D. 2 3 I . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 207 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 173. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 và ( ) 2 (1 ) 3 f x f x x với x R Tính 1 0 ( ) . I f x dx A. 2 I . B. 1 2 I . C. 3 2 I . D. 1 I . Câu 174. Cho hàm số ( ) f x liên tục trên 1 ; 2 2 và 1 ( ) 3 f x f x x với * x R . Tính 2 1 2 ( ) . f x I dx x A. 4 9 I . B. 9 4 I . C. 4 9 I . D. 9 4 I . Câu 175. Cho hàm số f x liên tục trên và 1 0 3 xf x dx . Tính 4 0 cos 2 sin 4 K f x xdx . A. 3 K . B. 3 K . C. 2 K . D. 4 K . Câu 176. Biết ln 2 2 0 10 x f e dx . Tính 4 1 f x I dx x . A. 10 I . B. 5 I . C. 20 I . D. 15 I . Câu 177. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn 4 1 6 f x dx x và 2 0 cos sin 1 f x x dx . Tính 2 0 K f x dx . A. 3 K . B. 2 K . C. 13 K . D. 4 K . Câu 178. Cho hàm số f x liên tục trên 1; và thỏa mãn 3 1 1 8 f x dx . Tính 2 1 I xf x dx . A. 2 I . B. 8 I . C. 4 I . D. 16 I . Câu 179. Tính tích phân 2 2 1 2 1 I x x dx bằng cách đặt 2 1 t x mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 3 1 2 I t dt . B. 2 1 I t dt . C. 3 0 I t dt . D. 2 1 1 2 I t dt . Câu 180. Cho hàm số f x liên tục trên và 1 ln e f x dx e x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 1 0 1 f x dx . B. 1 0 f x dx e . C. 0 1 e f x dx . D. 0 e f x dx e . Câu 181. Cho hàm số f x liên tục trên ; a b và thỏa mãn 7 b a f x dx . Tính b a I f a b x dx . A. 7 I . B. 7 I a b . C. 7 I a b . D. 7 I a b . Câu 182. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn 2 2cos 2 , f x f x x x . Tính 3 2 3 2 K f x dx . A. 6 K . B. 0 K . C. 2 K . D. 6 K . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 208 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 183. Cho hàm số chẵn f x liên tục trên và thỏa mãn 1 1 4 1 x f x dx e . Tính 1 0 I f x dx . A. 0 I . B. 2 I . C. 8 I . D. 4 I . Câu 184. Cho , a b là các số thực dương thỏa mãn 6 a b và ln(9 ) 1 ln(9 ) ln( 3) b a x dx x x . Tính .sin 2 b a x I x dx . A. 12 I . B. 14 I . C. 12 I . D. 14 I . Câu 185. Cho ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên R , (5) 5 F , 3 2 ( 2) 1 F x dx . Tính 5 0 . ( ) J x f x dx . A. 28 J . B. 19 J . C. 29 J . D. 26 J . Câu 186. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên R thỏa mãn 1 1 . ( ) 1 e F x dx x và ( ) 3 F e . Tính 1 ln . ( ) e I x f x dx . A. 3 I . B. 3 I . C. 2 I . D. 2 I . Câu 187. Cho hàm số ( ) f x liên tục trên R và 1 0 ( ) 1, (1) 1 f x dx f . Tính 2 0 sin 2 . '(sin ) I x f x dx . A. 0 I . B. 1 I . C. 2 I . D. 4 I . Câu 188. Cho hàm số ( ) f x liên tục và có đạo hàm trên R và thỏa mãn 2 0 ( ) 3, f x dx (2) 2 f . Tính 1 0 . '(2 ) I x f x dx . A. 20 I . B. 5 7 I . C. 7 4 I . D. 5 I . Câu 189. Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn 1 0 ( 1) '( ) 10, 2 (1) (0) 2 x f x dx f f . Tính 1 0 ( ) I f x dx . A. 12 I . B. 8 I . C. 12 I . D. 8 I . Câu 190. Biết ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên R thỏa mãn 1 0 ( ) 1 F x dx và (1) 1 F . Tính 1 0 . ( ) I x f x dx . A. 0 I . B. 1 I . C. 2 I . D. 2 I . Câu 191. Biết 1 2 0 3 1 5 3ln 6 6 9 x a dx b x x ; trong đó , a b là hai số nguyên dương và a b là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 209 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. 5 ab . B. 12 ab . C. 6 ab . D. 5 4 ab . Câu 192. Biết 1 0 . x b x e dx a e . Tính 2 M a b . A. 5 M . B. 6 M . C. 7 M . D. 3 M . Câu 193. Biết 2 2 1 2 2 , , . 3 1 x a b dx a b c x x Tính . S a b A. 8. S B. 0. S C. 2. S D. 4. S Câu 194. Biết 1 0 1 .ln 2 1 x dx e a b e với , , a b c là các số hữu tỉ. Tính 3 3 . S a b A. 2. S B. 2. S C. 0. S D. 1. S Câu 195. Biết 1 0 cos 2 x x dx 1 sin 2 cos 2 4 a b c với , , . a b c Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. 1. a b c B. 0. a b c C. 2 0. a b c D. 2 1. a b c Câu 196. Biết 1 1 3 0 3 x e dx 2 5 3 a b e e c với , , a b c là các số hữu tỉ. Tính . 2 3 b c S a A. 10. S B. 5. S C. 6. S D. 9. S Câu 197. Cho 5 2 . f x dx m Tính 1 2 2 . 1 I x f x dx theo m. A. . 3 m I B. 2 . I m C. . 2 m I D. . 2 m I Câu 198. Tìm 0 a sao cho 2 2 0 2 2 ln 3 1 2 a x x a dx a x . A. 5. a B. 4. a C. 3. a D. 2. a Câu 199. Tìm n thỏa mãn 6 0 1 sin . . 128 1 n x cosx dx n A. 5. n B. 4. n C. 3. n D. 6. n Câu 200. Cho hai số thực , a b thỏa mãn 3 2 1 a b và 2 0 sin 4. ax b x dx Tính P a b . A. 11. P B. 7. P C. 4. P D. 18. P Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 210 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A 8.D 9.B 10.A 11.B 12.D 13.B 14.B 15.C 16.C 17.A 18.B 19.B 20.C 21.D 22.A 23.A 24.D 25.B 26.A 27.A 28.D 29.D 30.A 31.D 32.B 33.B 34.D 35.B 36.A 37.D 38.C 39.A 40.D 41.A 42.B 43.A 44.A 45.C 46.C 47.A 48.C 49.A 50.B 51.D 52.C 53.A 54.B 55.C 56.C 57.D 58.C 59.B 60.B 61.A 62.A 63.A 64.C 65.C 66.B 67.D 68.C 69.A 70.B 71.D 72.B 73.C 74.C 75.B 76.A 77.C 78.D 79.A 80.C 81.A 82.C 83.A 84.D 85.B 86.D 87.D 88.B 89.D 90.D 91.D 92.C 93.D 94.A 95.B 96.A 97.D 98.A 99.B 100.C 101.A 102.A 103.C 104.A 105.C 106.B 107.A 108.A 109.A 110.B 111.C 112.D 113.A 114.C 115.D 116.A 117.C 118.C 119.A 120.D 121.C 122.B 123.C 124.D 125.A 126.C 127.D 128.B 129.C 130.D 131.B 132.D 133.B 134.A 135.C 136.C 137.B 138.C 139.A 140.C 141.D 142.B 143.A 144.A 145.C 146.D 147.B 148.A 149.A 150.D 151.A 152.A 153.D 154.A 155.B 156.A 157.D 158.B 159.C 160.B 161.D 162.C 163.D 164.C 165.A 166.B 167.A 168.D 169.C 170.A 171.A 172.B 173.B 174.B 175.A 176.C 177.D 178.C 179.C 180.B 181.A 182.B 183.D 184.A 185.D 186.C 187.D 188.C 189.D 190.C 191.B 192.A 193.B 194.C 195.B 196.A 197.D 198.D 199.D 200.D Câu 1. Chọn A. 2 2 1 1 ( ) ( ) (2) (1) 2 1 1 I f x x f x f f d . Câu 2. Chọn A. Theo định nghĩa và tính chất tích phân ta có: . b a b kf x dx = kF(x) k F b - F a a Câu 3. Chọn C. Câu 4. Chọn C. Ta có: 2 6 10 6 10 0 0 2 f x dx = f x dx + f x dx + f x dx 10 6 0 2 P f x dx - f x dx = 7 - 3 = 4 Câu 5. Chọn B. 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 3 f x g x dx f x dx g x dx (1) Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 211 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx 7 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 0 0 ( ) 5, ( ) f x dx g x dx 2 2 1 2 2 2 1 0 0 1 1 0 0 5 f x dx = f x dx + f x dx f x dx f x dx f x dx - 3 = 2 Câu 6. Chọn C. Ta có: 3 ( ) (3) (0) 9 (3) 9 1 10 0 3 0 f'(x)dx f x f f f . Câu 7. Chọn A. 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 I f y y f y y f y y f t t f x x d d d d d Câu 8. Chọn D. Câu 9. Chọn B. Theo tính chất tích phân ta có: b a a b f x x f x x d d Câu 10. Chọn A. Theo tính chất tích phân ta có b b b a a a f x g x x f x x g x x d d d Câu 11. Chọn B. Câu 12. Chọn D. Ta có : 1 2 1 0 0 1 | 2 2 x x x d Câu 13. Chọn B. Ta có 6 3 6 1 1 3 3 4 1 I f x x f x x f x x d d d Câu 14. Chọn B. Theo tính chất tích phân, ta có. c b c a a b f x x f x x f x x d d d Câu 15. Chọn C. Ta có: 4 4 4 2 2 2 2 2 4 I f x g x x f x x g x x d d d Câu 16. Chọn C. Ta có: 3 3 1 1 2 2 2.3 6 I f x x f x x d d Câu 17. Chọn A. 1 2 1 0 4 ( ) . I xf x x d Đặt 2 2 t x dt xdx . Suy ra: 1 2 I I 1 0 3 1 3 . 2 2 I x x I 3 d Câu 18. Chọn B. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 212 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt 1 t x . Suy ra: 3 2 0 1 1 8 2 4 f x x tf t x I d d Câu 19. Chọn B. Đặt 2 6 2 tan 3 , cos 3 t x dt dx x . 2 0 1 2 ( ) 6 3 I f t dt I Câu 20. Chọn C. Đặt 2 2 t x dt x x d . Khi đó: 2 1 4 ( ) 28 I f t dt Câu 21. Chọn D. Ta có: 2 1 cos 4 2cos 2 x x . Đặt 2 2 tan 2 . cos 2 t x dt dx x Vậy 1 0 1 2017 ( ) 4 4 I f t dt Câu 22. Chọn A. Đặt 3 1 2 3 . t x tdt dx Vậy 2 1 2 20 ( ) 3 3 I f t dt Câu 23. Chọn A. Đặt 2 2 2 ln( 1) . 1 x t x dt dx x Vậy 2017 0 1 ( ) 1 2 I f t dt Câu 24. Chọn D. 1 1 2 1 1 4 2 (2 ) 10 ( ) 20 f x x f x x d d Đặt sin cos . t x dt xdx Vậy 1 0 ( ) 23. I f t dt Câu 25. Chọn B. 2 1 3 1 sin 1 , ,b,c a b I x dx a c Đặt 2 1 2 t x t t t x =x+1 d d . Đổi cận: 2 1 0; 1 3 3 x t x t . 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 3 3 2 t.sin 2 t 2 .cos 2 cost 2sin 3 3 I t t t t t d dcost dt . Suy ra 1; 27; 3 a b c . Suy ra 81. abc Câu 26. Chọn A. 4 0 cos 2 I x xdx . Đặt 1 cos 2 sin 2 2 du dx u x dv xdx v x . Suy ra 4 4 4 0 0 0 1 1 1 1 sin 2 sin 2 cos 2 2 2 8 4 8 4 I x x xdx x 1 1 ; 8 4 b a 2 0 S a b . Câu 27. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 213 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt 1 ln u x u x x d d và 3 2 3 x v x x v d d . 3 2 3 3 3 3 3 1 1 1 ln 1 1 2 1 . 3 3 3 9 3 9 9 9 e e e x x x e x e e I dx e Câu 28. Chọn D. 2 2 1 ln 1 ln 2 ln 3 x dx a b x . Đặt 2 1 ln 1 1 1 1 u x du dx x dv dx v x x . 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 1 2 1 1 3 3ln 2 2 x I x dx dx x x x x x x ln 3 Suy ra 3 3; . 2 a b Suy ra 4 3. a b Câu 29. Chọn D. ( ) sin . x x tdt f x t t.sin t .cos cost 2 cos sin 2sin 2 cos x x x x x x x x x x f x t t t t x x t x x x d dcost dt 2 sin 2 f x x x f . Câu 30. Chọn A. 2 2 1 ln ln 2 x b I dx a c x Đặt 2 1 ln 1 1 u x du dx x dv dx v x x . Suy ra 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 2 ln 2 2 2 2 I x dx x x x . Suy ra 1 ; 1; 2. 2 a b c Suy ra 2 3 4. a b c Câu 31. Chọn D. Đặt 3 ln 3 1 3 1 u x du dx x dv dx v x . 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 3 ln 3 1 .ln 3 1 3 1 1 1 8 2 ln 2 1 2 ln 2 ln 3 1 ln 2 1 3 1 3 3 x I x dx x x dx x dx x x x Suy ra 8 3 a , 1 b . Vậy 3 9 S a b Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 214 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 32. Chọn B. 2 2 1 ln 9 ln 5 ln2 I x dx a b c . Đặt 2 2 2 ln 9 9 x u x du dx x dv dx v x . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 9 9 ln 9 2 2 ln 5 ln 8 2 9 9 1 1 2 ln 5 ln 8 2 3 2ln 5 ln 8 2 3ln 9 5ln 5 4ln 8 2 3 3 x x I x x dx dx x x dx dx x x x Suy ra 5; 4; 2 a b c . Suy ra 13 S a b c . Câu 33. Chọn B. 2 0 (2 ) . I f x x d Đặt 2 2 t x t x d d . Đổi cận: 0 0; 2 4. x t x t 4 4 0 0 1 1 ( ) ( ) 8. 2 2 I f t t f x x d d Câu 34. Chọn D. Ta có 1 1 0 0 10 1 1 x f x dx x d f x 1 0 1 1 1 0 x f x f x d x 1 0 2 1 0 f f f x dx 1 0 2 f x dx Vậy 1 0 8 f x dx . Câu 35. Chọn B. Đặt t x , 1 1 x t , 9 3 x t , 1 2dt dx x nên ta có 9 3 1 1 ( ) ( )2 4 f x dx f t dt x Suy ra 3 1 ( ) 2 f t t d Mặt khác đặt sin t x , 0 0 x t , 1 2 x t , sin cos x x x d d Nên ta có 1 2 0 0 (sin ).cos . ( ) 2 f x x x f t t d d Vậy 3 1 3 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 6 I f x x f x x f x x d d d Câu 36. Chọn A. Xét 4 0 (tan ) 4 f x x d . Đặt 2 2 1 tan tan 1 cos t x dt x x x x d d Khi đó 1 1 4 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 4 (tan ) . 1 1 f t f x f x x t x t x d d d Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 215 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Do đó 2 1 1 2 2 2 0 0 1 1 ( ) ( ) 2 2 1 1 x f x x f x x x x x d d 1 1 1 2 0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) 2 4 6. 1 f x f x x x f x x I x d d d Câu 37. Chọn D. Đặt 1 2 2 2 u x u x v f x x v f x d d d d Do đó 1 1 1 0 0 0 1 1 . (2 ) (2 ) (2 ) 2 2 I x f x x xf x f x x d d 1 1 0 0 1 1 1 (2) (2 ) 8 (2 ) . 2 2 2 f f x x f x x d d Mặt khác 2 0 ( ) 4. f x x d Đặt 2 2 t x dt x d Suy ra 1 2 2 0 0 0 1 1 (2 ) ( ) ( ) 2. 2 2 f x x f t t f x x d d d Vậy 1 8 .2 8 1 7. 2 I Câu 38. Chọn C. Đặt ( ) ( ) u x u x v f x x v f x d d d d . Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 (2) (1) ( ) 2.2 0 1 3. I xf x f x x f f f x x d d Câu 39. Chọn A. Đặt t a b x dt dx . Đổi cận ; x b t a x a t b Nên ( ) 7 b a b a b a I f a b x x f t t f t t d d d . Câu 40. Chọn D. Xét tích phân 3 1 ( 2 ) 3. K f x x d Đặt 2 2 2 u u x u x x d d d d . Đổi cận: Khi 1 2; 3 6 x u x u Vậy, 6 2 2 6 1 1 2 2 K f u u f x x d d . Mà 3 K , nên 2 6 6 f x x d . Vì f là hàm chẵn trên 6; 6 nên 6 2 2 6 6 f x x f x x d d . Từ đó suy ra 6 2 6 1 1 2 8 6 14 I f x x f x x f x x d d d . Câu 41. Chọn A. 4 4 3 2 0 0 1 2 26 2 1 . 2 1 . 2 3 3 I x dx x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 216 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 42. Chọn B. 3 3 0 0 1 sin 2cos 2 0 1. 2 3 2 3 2 x x I dx Câu 43. Chọn A. Cách 1: Đặt t = 2 1 x t 2 = x 2 + 1 2tdt = 2xdx tdt = xdx. Đổi cận:x = 0 t = 1; x = 1 t = 2 . 2 3 2 2 1 1 1 (2 2 1) 3 3 t I t dt . Cách 2: Bấm máy tính 1 2 0 1 x x dx = 0.6094757082 rồi so sánh đáp án. Câu 44. Chọn A. Cách 1:Đặt cos sin t x dt x x d . Đổi cận : x = 0 t = 1; x = t = -1. 1 1 3 2 2 2 1 1 0 1 1 2 sin ( ) 3 3 t x xdx t dt t dt cos Cách 2: Ấn shift + mode +4 chuyển chế độ máy sang radian. Bấm máy tính 2 0 sin x xdx cos = 2 3 rồi so sánh đáp án. Câu 45. Chọn C. Đặt 2 1 u x ta được 2 du xdx . Suy ra 3 0 I udu . Câu 46. Chọn C. Đặt 2 1 t x ta có 2 2 1 t x tdt dx và 2 1 2 t x . Suy ra 3 3 1 1 ( 3) 2 I t dt . Câu 47. Chọn A. Tự luận: Tính tích phân 2 5 1 2 1 I x dx . Đặt 1 2 1 2 u x du dx . Đổi cận 1 1 x u ; 2 3 x u . Nên 3 5 1 1 1 2 82 3 I u du . Trắc nghiệm: Bấm MTCT 2 5 1 1 2 1 8 2 3 I x dx . Câu 48. Chọn C. Khi đặt 2 ( 1) t x với 1 2 x thì không suy ra 1 t x được, vì 1 x có thể bị âm khi 1 2 x . Câu 49. Chọn A. Ta có cos sin t x dt xdx . Khi 0 x thì 1 t , khi 3 x thì 1 2 t . Vậy 3 3 2 1 0 1 0 2 1 1 sin 2 2sin cos 2 2 1 cos 1 cos 1 1 x x x t t I dx dx dt dt x x t t . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 217 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 50. Chọn B. [Phương pháp tự luận] Đặt 2 1 ln 1 ln u x u x 2 dx udu x . Với 1 1 x u , 0 x e u . Khi đó 0 2 1 I u du . [Phương pháp trắc nghiệm]. Bước 1: Bấm máy tính để tính 1 1 ln 2 e x dx x . Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A. Bước 3: Bấm 0 2 1 0 A u du . Vậy đáp án là B. Câu 51. Chọn D. [Phương pháp tự luận] Ta có 2 3 3 2 0 0 sin (1 cos )sin sin . cos cos x x x I x dx dx x x . Đặt cos t x 1 2 2 1 1 3 ln 2 8 u I du u . [Phương pháp trắc nghiệm]. Bấm máy tính 3 2 0 3 sin tan ln 2 8 I x xdx được đáp số là 0. Vậy đáp án là 3 ln 2 8 . Câu 52. Chọn C. Cách1: Bấm máy tính Cách 2. 2 2 3 0 0 1 2 cos cos cos 0 3 3 d x x.sinx x d(cosx)=- x Câu 53. Chọn A. Cách1: Bấm máy tính Cách 2. Đặt 2 2 2 5 4 5 4 5 t t t t x x d xdx Khi : 0 1 x thì : 2 3 t . Ta có 1 3 2 0 2 3 1 1 1 2 5 5 5 4 5 xdx dt t x Câu 54. Chọn B. Đặt 2 . 2 x t dx dt Khi đó 1 1 0 0 2 ( ) 2 ( ) 2. K f t dt f x dx Câu 55. Chọn C. Đặt 1 ln 1 . t x dt dx x Khi đó 2 2 1 1 1 1 1 ln ln 2. (ln 1) e I dx dt t x x t Do đó 2, 1. a b Vậy 3. S Câu 56. Chọn C. Cách 1: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 218 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt t = 2 1 x t 2 = 1 – x 2 2tdt = - 2xdx tdt = -xdx. Đổi cận:x = 0 t = 1, x = 1 t = 0. 1 0 1 5 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 (1 ) ( ) (1 ) I x x dx t t tdt t t dt . Cách 2: Bấm máy tính 1 5 2 0 1 I x x dx = 0.07619047619. 1 2 0 1 t t dt = 0.25; 0 1 1 t t dt =- 1 6 ; 1 2 2 2 0 1 t t dt = 0.07619047619. Câu 57. Chọn D. Đặt 2tan x t dx = 2 (1 + 2 tan t )dt. Đổi cận : x= 0 t = 0 ; x = 2 t = 4 . 2 2 4 4 2 2 0 0 0 1 2(1 tan ) 1 2 4 4 tan 4 t dt I dx dt x t . Vậy đáp án A, B, C đúng. Chọn đáp án D. Cách 2: Bấm máy tính 2 2 0 1 4 I dx x = 8 .Đáp án D sai. Câu 58. Chọn D. Đặt 4 t x ta được 3 4 dt x dx . Suy ra 625 625 625 0 1 1 2 1 2 1 2 . . 4 4 ln 2 ln16 t I dt Câu 59. Chọn C. Đặt sin t x hoặc sử dụng vi phân: 3 3 4 1 sin .cos . sin . sin sin 4 F x f x dx x x dx x d x x C . 4 1 1 0 sin 4 2 4 F C F x x F . Câu 60. Chọn B. Tự luận: Tính tích phân 2 2 0 sin 2 1 sin I x x.dx Đặt 2 1 sin sin 2 u x du xdx . Đổi cận 0 1 x u ; 2 2 x u . Nên 2 1 ln 2 du I u . Trắc nghiệm: Bấm MTCT 2 2 0 sin 2 ln 2 1 sin I x x.dx . Câu 61. Chọn A. Tự luận: Biết 2 ln ln e x dx a b x với , a b là các số nguyên dương. Tính giá trị 2 a b : đặt 1 ln u x du dx x . Đổi cận 2 ln 2 x u ; 1 x e u . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 219 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Ta được 1 2 2 ln 2 ln 1 1 ln 2 2 e x dx ud x u . Nên 2 5 a b . Câu 62. Chọn A. [Phương pháp tự luận]. Đặt 2 1 ln 1 ln u x u x 2 dx udu x . Với 1 1 x u , 0 x e u . Khi đó 0 2 1 I u du . [Phương pháp trắc nghiệm]. Bước 1: Bấm máy tính để tính 1 1 ln 2 e x dx x . Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A. Bước 3: Bấm 0 2 1 0 A u du . Vậy đáp án là A. Câu 63. Chọn A. Đặt 2 1 2 t x dt xdx . Đổi cận: 0 1; 1 2 x t x t . Vậy 2 3 5 1 1 ( 1) 2 t I dt t . Câu 64. Chọn C. Đặt 3cos 1 u x 2 3sin udu xdx . Khi 0 2; 1 2 x u x u . Khi đó 2 2 2 3 1 1 2 2 3 9 I u du u . Câu 65. Chọn C. Đặt 2 tan , ; (tan 1) 2 2 x t t dx x dt . Đổi cận 0 0, 1 4 x t x t , suy ra 2 4 4 2 0 0 tan 1 4 1 tan t I dt dt t . Câu 66. Chọn B. Đặt 2 1 1 tan cos t x dt dx x Khi : 0 4 x thì : 1 0 t . Ta có 0 1 4 4 4 4 2 0 1 10 1 (1 tan ) cos x dx t dt t dt x Câu 67. Chọn D. Đặt ( ) '( ) t f x t f x d dx . Khi : x a b thì : ( ) ( ) t f a f b . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f b b f b f x f b f a t t f a a f a f x e dx e dt e e e Câu 68. Chọn C. Đặt 1 sin 2 2 cos 2 cos 2 . . 2 t x dt xdx x dx dt . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 220 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 1 1 12 2 0 0 1 1 1 1 1 1 sin 2 cos 2 128 2 128 2( 1) 128 64 2 ( 1) n n n n t x xdx t dt n n . Do đó 2 .( 1) 32 3. n n n Câu 69. Chọn A. Cách 1: Đặt t = 4 – x 2 dt = -2xdx. Đổi cận: x = 0 t = 4, x = 1 t = 3. 1 3 4 3 2 0 4 1 1 1 4 2 ln ln 2 2 3 4 xdx I I dt t t x . Suy ra a = 4, b = 3 Vậy a 2 – b = 13. Cách 2: Nhận xét a, b Q. Bước 1: Dùng máy tính 1 2 0 4 xdx I x = 0.1438410362 Shift sto A. Bước 2: Thử đáp án:. Với đáp án A a 2 – b = 13 rút b = a 2 – 13. Nhập vào màn hình chính phương trình: 2 1 ln 2 13 x A x . Ấn shift slove dò nghiệm nếu nghiệm là số hữu tỷ chọn đáp án này nếu không dò đáp án khác. Câu 70. Chọn B. Cách 1: Đặt t = x 2 + 2 dt = 2xdx. Đổi cận: x= -1 t = 3, x = 2 t = 6. 2 6 6 3 2 1 3 0.5 1 1 ln ln 2 2 2 2 xdx I dt t t x .Suy ra a = 2 , b = 2. Chọn đáp án B. Cách 2: Bước 1: Dùng máy tính 2 2 1 4 xdx I x = 0.2350018146 Shift sto A. Bước 2: Thử đáp án:. Với đáp án A a.b= 6 rút b = 6 a . Nhập vào màn hình chính phương trình: 1 6 ln A x x . Ấn shift slove dò nghiệm nếu nghiệm là số hữu tỷ chọn đáp án này nếu không dò đáp án khác. Câu 71. Chọn D. Đặt sin 2 2cos 2 3 3 t x dt x dx , đổi cận: 3 0 ; 0 2 3 x t x t . Suy ra 3 0 2 0 3 2 1 1 1 2 2 I f t f t dt dt . Câu 72. Chọn B. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 221 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt ln t x ta được 1 dt dx x . Suy ra 1 0 ( ) e f t dt . Câu 73. Chọn C. Tự luận: Tính tích phân 1 2 0 1 dx I x bằng cách đặt tan , ; 2 2 x t t , mệnh đề nào dưới đây đúng? Đặt 2 tan 1 tan x t dx t dt . Đổi cận 0 0 x t ; 1 4 x t . Nên 4 0 I dt . Trắc nghiệm: Bấm MTCT 1 2 0 0,785 4 1 dx I x A. 4 1 0,24 dt I t . B. 4 2 0 0,665 1 dt I t . C. 4 0 0,785 I dt . D. 4 0 0,308 I tdt . Câu 74. Chọn C. Tự luận: . đặt . Đổi cận ; . Nên . Trắc nghiệm: Bấm MTCT A. . B. . C. . D. . Câu 75. Chọn B. [Phương pháp tự luận]. Đặt . Với . Vậy . [Phương pháp trắc nghiệm]. Bấm máy tính được đáp số là . Vậy đáp án là . Câu 76. Chọn A. 2 2 1 2 1 I x x dx 2 1 2 u x du xd x 1 1 x u 2 3 x u 3 0 I u du 2 2 1 2 1 3,464 I x x dx 3 0 2 6,9 I u du 2 1 1,21 I u d u 3 0 3,464 I u d u 2 1 1 0,69 2 I u d u 4 8ln 1 t x td t d x x 1 1, 3 x t x e t 3 3 1 3 1 2 1 13 4 12 6 t I d t t 1 8ln 1 e x I dx x 13 6 13 6Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 222 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt . Đổi cận : . Vậy . Câu 77. Chọn C. Ta có . Khi thì ; khi thì .. Vậy . Câu 78. Chọn D. Đặt . Khi x = 0 thì t = 0. Khi thì .. Từ . Vậy . Câu 79. Chọn A. Đặt . Khi thì . Câu 80. Chọn C. Đặt t = cosx và , đổi cận Khi đó Suy ra Câu 81. Chọn A. Đặt t = tanx . . Câu 82. Chọn C. sin , ; cos 2 2 x t t dx td t 1 0 0, 2 6 x t x t 6 6 6 6 0 2 0 0 0 cos cos 0 6 6 cos 1 sin t t I dt dt dt t t t 3 2 5 3 t x d t x dx 0 x 5 t 1 x 6 t 1 1 1 6 6 1 2 2 3 2 0 5 5 6 6 1 1 ( ) 2 4 10 5 6 5 5 5 3 3 3 1 9 3 9 1 2 dt t I x x d x t t d t t t 2sin , ; 2 2 x t t 2 x 2 t 2sin 2cos x t d x t d t 2 2 2 2 2 2 0 0 0 4 4 4sin .2cos 4 cos x dx t tdt t d t 2 2 2 tan cos x x dx dt t : 0 2 x : 0 4 t 4 4 2 2 0 0 2 2 2 2 tan 1 cos dt I dt t t sin x dt d x 2 2 sin 1 x t 3 1 ; 6 2 3 2 x t x t 3 3 2 3 3 2 2 2 1 1 6 6 2 2 sin 1 1 1 1 1 .ln ln(7 4 3) ln2 sinx 2 1 2 2 1 os 1 dx x t I d x dt t c x t 7 4 3 1 1 ln(7 4 3) ln3 (ln ln ) 10 4 3 2 2 3 a I a b a b b /4 1 1 2 2 0 0 0 ( ) (x) (tan ) 4 1 1 f t f f x dx dt d t t x 1 1 1 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 6 1 1 f x x f x f x dx x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 223 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt t = . Đặt t = sinx . Vậy = + = 4. Câu 83. Chọn A. Đặt ta được . Do đó . Suy ra . Câu 84. Chọn D. Đặt ta được . . Hay . Câu 85. Chọn B. Cho . Tính tích phân Đặt . Đổi cận: . Khi đó: Câu 86. Chọn D. Tính tích phân được kết quả là. . Câu 87. Chọn D. x 9 3 3 1 1 1 1 2 4 2 2 f x d t dx dx f t d t f t d t x x /2 1 0 0 ; cos sinx cos 2 2 2 x dt xd x f xd x f t d t 3 0 ( ) f x dx 1 0 f t dt 3 1 f t dt cos2 x t 2sin2 4sin cos d x td t t td t 1 0 4 0 2 ( ) 4 (cos2 )sin cos f x d x f t t td t 4 0 4 (cos2 )sin cos f t t t d t 4 0 1 (cos2 )sin cos 2 I f t t t d t x t 3 0 0 0 2 3 3 3 0 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx f t d t f t d t f x d x 3 3 3 3 0 2 2 2 2 3 3 0 0 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 3 3 2 2 0 0 2 2cos2 2 cos 6 I x d x x d x 4 0 d 16 f x x 2 0 2 d . I f x x 2 0 (2 )d . I f x x 2 d 2d t x t x 0 0; 2 4. x t x t 4 4 0 0 1 1 ( )d ( )d 8. 2 2 I f t t f x x 2 2 2017 0 1 x x dx 2 2 2020 2019 2018 2019 2018 2017 2018 0 0 2. 4 4 1 2. 2 2020 2019 2018 2020 2019 2018 x x x I x x x dx 2 2 0 0 2 2 2 0 0 sin sin 1 cos 1 cos sin (cos ) 2 4 4 4 1 cos 1 cos t t t x t dx dt I d t dt I t t t d t I d t I t t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 224 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 88. Chọn B. Đặt . Đổi cận . Suy ra: (1). Mặt khác (2). Từ (1) và (2) suy ra . Tổng quát: . Câu 89. Chọn D. Đặt . . Câu 90. Chọn D. Đặt: . Đổi cận: . . . Tổng quát: . Câu 91. Chọn D. Đặt . Khi x = 0 thì t = 0. Khi thì . Từ . Vậy . Câu 92. Chọn C. Đặt và đổi cận . Khi đó 2 x t dx d t 0 , x 0 2 2 x t t 2017 0 2 2017 2017 2017 2017 2017 0 2 sin 2 cos sin cos sin cos 2 2 t t I dx d x J t t t t 2 0 2 I J dx 4 I 2 2 0 0 sin cos , 4 sin cos sin cos n n n n n n x x d x dx n x x x x 6 3 6 3 5 2 1 os 1 os 6 3cos sin t c x t c x t dt x xdx 1 5 7 13 6 6 2 0 1 2 12 2 1 2 0 7 13 91 cos sin t dt t t d x I t t dt x x x t dx dt 0 , 0 x t x t 0 0 ( ) sin( ) 1 sin 1 sin 1 t d t t I d t t t t 0 0 sin 1 2 sin 1 d t d t I I t t 2 2 0 0 2 4 cos sin cos 2 4 2 2 dt d t t t t 2 0 0 2 4 tan 2 2 2 4 cos 2 4 t d t t 0 0 (sin ) (sin ) 2 xf x d x f x d x 2sin , ; 2 2 x t t 2 x 2 t 2sin 2cos x t d x t d t 2 2 2 2 2 2 0 0 0 4 4 4sin .2cos 4 cos x dx t tdt t d t 3 1 3 t x dt dx 1 2 3 8 x t x t 8 2 1 ( ) 5 2 I f t dt Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 225 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 93. Chọn D. Đặt Khi đó Câu 94. Chọn A. Đặt => => => . Câu 95. Chọn B. Đặt Câu 96. Chọn A. Từ hệ thức Câu 97. Chọn D. Tự luận: và . Tính 1 du dx u x dv f x dx v f x dx f x 1 1 1 1 0 0 0 0 1 10 2 1 0 10 8 I x f x f x dx f f f x dx f x dx . Trắc nghiệm: Cho là một hàm chẵn bất kỳ, ví dụ dùng máy tính tích phân Câu 98. Chọn A. Tự luận: Do là hàm lẻ, nên hay 0, 1 1 1 2 1 2 1, 1 1 x t t x d t d x x t 1 1 1 1 0 1 1 1 1 (2 1) ( 1) 3 ( 1) 6 ( 1) 6 2 f x dx f t d t f t dt f x d x t x 2 2 1 1 a a t x t x a a t e x e I dt dx e e 2 2 3 3 3 2 2 2 9 3 3 3 1 1 a a a a x x x a a a a x x e x a a I dx dx x dx e e 3 a 1 10 3 T a a 2 2 0 0 1 1 sin 2 sin 2 1 2 2 cos 2 sin 2 2 x x x x du e dx u e I e x e xdx dv xdx v x ( )sin ( )cos cos '( ) ( ) ln x x x f x xdx f x x xdx f x f x 1 0 1 ' 10 x f x dx 2 1 0 2 f f 1 0 I f x dx f x 3 4 f x x f x f x f x 3 3 3 3 f x dx f x dx 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) 3 3 ( ) 3 3 2 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 0 ( ) 0 f x dx F F f x dx F F f x dx f x dx f x dx F F F F f x dx Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 226 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Trắc nghiệm: Cho là một hàm lẻ bất kỳ, ví dụ dùng máy tính tích phân Câu 99. Chọn B. Ta có tính chất: là một hàm chẵn, khi đó Câu 100. Chọn C. Cho . Tính Đặt Câu 101. Chọn A. Câu 102. Chọn A. , đặt , khi đó . Câu 103. Chọn C. Ta tìm được , do điều kiện nên Câu 104. Chọn A. Ta có: Câu 105. Chọn C. Đặt , khi đó Đặt , khi đó: . Do đó ta tìm được: Trắc nghiệm: thế đáp án vào đẳng thức trên mà hai vế giống nhau ta được đáp án. Câu 106. Chọn B. Đặt , khi đó Nên f x 3 4 f x x f x 0 2 a a a f x dx f x dx 4 0 16 f x dx 2 0 2 I f x dx 2 t x 2 4 0 0 1 2 8 2 I f x dx f t dt 2 2 4 2 1 2 2 1 4 4 2 4 f x dx F F f t dt F F 4 2 4 2 4 2 2 2 4 1 5 f y dy F F F F F F 2 0 sin (1 2cos ) 1 3cos x x I dx x 1 3cos 2 3sin t x tdt xdx 2 2 1 1 ( 4 2) 9 d t t 1 ( ) 2 sin 2 2 f x x x C ( ) 2 2 f 1 ( ) 2 sin 2 2 f x x x 4 0 ( sin cos ) 4 ln( ) sin cos 4 2 d x x x I x x x 3 3 t x dt dx 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 f t dt f t dt f x dx sin cos t x dt xdx 1 1 0 0 2 ( ) ( ) 2 f t dt f x dx 3 1 3 0 0 1 8 ( ) ( ) ( ) 3 f x dx f x dx f x dx 2 x t 2018 2018 2 2 2018 2018 2018 2018 0 0 cos cos sin cos sin cos t x I dt dx t t x x 2 0 2 4 I dx I Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 227 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 107. Chọn A. Đặt , khi đó I được viết lại : , từ đó tìm được Do đó a.b = 16. Câu 108. Chọn A. Đặt . Do đó: . Từ đó ta tìm được đáp án A. Câu 109. Chọn A. 1 1 1 2 0 0 0 9 6 4 4 10 3 3 2 9 2.6 4 2. ln 9 ln 6 ln 4 ln 3 ln 6 2ln 2 x x x x x x x x x x d d . Câu 110. Chọn B. 2 2 2 2 4 3 2 2 2 3 2 0 0 0 0 2 34 1 1 2 1 2 11 4 3 2 3 3 x x x x x x x x x x x x x x d d d . Câu 111. Chọn C. 2 2 2 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 6 11 6 11 6 6 x x x x x x x x x x x x x x d d d 2 2 1 6 21 6 11.ln 11.ln 2 2 2 x x x x Câu 112. Chọn D. 1 5 1 1 3 3 2 2 2 0 0 0 2 1 3 1 62 2 1 3 1 3 1 3 4 3 15 25 15 x x x x x d d Câu 113. Chọn A. Cách 1: 1 1 1 2 2 2 5 2 2 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1 1 3 9 1 5 10 4 x x x x x d d Cách 2: Đặt 1 x t x t d d Đổi cận: Với 1 3 2 2 x t và 1 1 2 2 x t . Khi đó, 1 1 1 1 2 5 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 1 3 3 2 2 2 2 3 3 1 3 9 1 5 10 4 x x t t t t t d d d Câu 114. Chọn C. 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 3 ln 1 ln 1 1 1 2 8 2 x x x x x dx dx x dx x x x x Câu 115. Chọn D. 4 x t 4 0 2 ln( ) ln 2 1 tan 4 dx I x ln 2 8 I 2 ( ) ( ) tan cos u F x du f x dx dx v x dv x 4 4 0 0 4 t an . ( ) tan ( ) x F x xf x dx Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 228 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 3 ln ln 1 ln ln 1 ln ln ln 3 1 2 2 1 1 m m m m dx dx x x m m x x m x x 2 3 2 3 2 2 1 ln 3 ln 2 3 2 2 3 2 2 1 1 3 2 5 1 m m m m m m m m m m m m m m Câu 116. Chọn A. 3 3 3 3 2 3 3 3 9 3 3 3 3 m m x m m x dx 3 3 9 4 39 3 m m Câu 117. Chọn C. 2 2 3 3 3 2 3 3. 3 3 9 3 3 3 3 3 b b a a b a a b ab ab x b a x dx ab Câu 118. Chọn C. Đặt x x e t e x t d d , : 1 m t e . 0 0 0 0 1 1 ln ln 1 1 1 1 1 1 m m m m e e m x x x x e x e x t t t t t t t t e e e d d d d ln ln 1 ln 2 ln 1 ln 2 m m m e e m e . Câu 119. Chọn A. Đặt 1 1 x x t xe t e x x t d d d , : 1 1 m t me . 1 0 0 1 1 ln ln 1 1 0 m x m me m m x e x me t x t me t xe d d . Câu 120. Chọn D. Đặt sin cos x t x t t d d , : 0 2 t 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 d 1 s in . cos d cos d x x t t t t t . Câu 121. Chọn C. Đặt sin cos x a t x a t t d d , : 0 6 t . 6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 cos cos cos cos sin 1 sin a x a t t a t t a t t t a t a x a a t a t d d d d d . Câu 122. Chọn B. Đặt 2 3 3 1 tan . 5 5 x t x t t d d cos , : 6 4 t . 3 5 4 4 4 2 2 2 2 2 3 6 6 6 5 3 1 3 1 5 5 5 9 9 9 9 3 tan 1 tan 25 25 25 25 x t t t t t x t t d cos cos d d d . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 229 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 123. Chọn C. Đặt 3 2 3 1 1 3 t x t x t t x d d , 3 :1 4 t . 3 3 2 3 3 4 4 2 2 6 3 2 2 3 0 1 1 1 2 1 1 t x x t t t t t t x d 3 d d . Câu 124. Chọn D. Đặt 3 2 3 1 1 3 t x t x t t x d d , :1 1 t . 0 1 1 3 2 6 3 3 1 0 0 1 1 . .3 3 x x x t t t t t t t d d d . Câu 125. Chọn A. Đặt 2 1 ln 1 ln 1 2 t x t x t t x x d d , : 1 2 t . 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 1 1 1 1 2 ln 2 1 2 2 1 ln 1 e t t x x t t t t t t t x x d d d d Câu 126. Chọn C. Đặt 2 1 1 2 t x t x t t x d d , : 1 2 t . 3 2 2 2 2 0 1 1 1 2 2 1 1 x t x t t t t t x d d d . Câu 127. Chọn D. Đặt 2 ln , : 2 3 x x t t t x d d , 3 3 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 ln 2 1 2 2 1 3 ln ln 3 2 2 ln e x t x t t t t t t t x x d d d . Câu 128. Chọn B. Đặt 1 3 3 2 2 0 0 1 tan , : 1 1 3 cos cos 1 tan x x dt x t dt t t x x x d d . . Câu 129. Chọn C. Đặt 2 2 1 2 tan cos x u x u x v x v x d d d d 4 4 4 4 4 2 0 0 0 0 0 cos 2 1 sin 2 1 tan 2 tan 1 2 1 2 2 cos 2 cos cos x x x x x x x x x x x x d d d d . Câu 130. Chọn D. Đặt 2 1 sin 2 cos 2 2 x u x u x x v v x d d d d 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 2 sin 2 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x d d d Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 230 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 131. Chọn B. Đặt cos sin x u x u x x v v x d d d d 4 4 4 4 0 0 0 0 2 cos sin sin sin 8 x x x x x x x x x d d d . Câu 132. Chọn D. Đặt 2 3 x x x u x u e x v v e 2d d d d 0 0 0 0 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 x x x x x x x e e x e e x e d d d . Câu 133. Chọn B. Đặt 3 3 2 1 3 x x x u x u e x v v e 2d d d d 1 1 1 1 3 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 2 1 2 2 3 3 3 3 x x x x e x x x e e x e x e d d d . Câu 134. Chọn A. Đặt x x x u x u e x v v e d d d d ln2 ln 2 ln2 ln 2 ln 2ln 2 1 0 0 0 0 2 ln 2 2ln 2 1 x x x x x x xe e x e e e d d . Câu 135. Chọn C. Đặt 3 2 ln 2 3 x u x u x x x v v x d d d d 3 3 1 3 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 ln ln . 3 3 3 3 e e e e x x x x x x x e x x x d d d . Câu 136. Chọn C. Đặt 3 3 2 3 2 2 3 1 1 1 1 ln 1 1 ln ln . 3 3 3 3 e e e e x u x u x e x x x x x x x x x x x x v x v d d d d d d d Câu 137. Chọn B. Đặt ln 2 1 2 1 x x u u x x v v x 2d d d d 1 1 1 1 0 0 0 0 2 1 ln 2 1 ln 2 1 . ln 3 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x d d d . Câu 138. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 231 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt cos ln sin sin cos sin x x x u u x x x v v x d d d d 2 2 2 2 4 4 4 4 cos 2 2 cos ln sin sin ln sin sin . ln sin sin 2 2 2 2 2 ln 1 2 2 2 x x x x x x x x x x d d Câu 139. Chọn A. Ta có sơ đồ dấu của 2 x x như sau x 0 1 2 x x + 0 -- 0 + Với 0 1 a b thì ta có sơ đồ dấu của 2 x x trên các đoạn ;1 a và 1; b như sau x 0 a 1 b 2 x x + 0 -- 0 + Như vậy, trên đoạn ;1 a thì 2 2 2 0 x x x x x x , trên đoạn 1; b thì 2 2 2 0 x x x x x x 1 1 2 2 2 2 2 1 1 b b b a a a x x x x x x x x x x x x x x x d d d d d . Câu 140. Chọn C. Ta có 2 3 3 1 2 1 f x x f x x f x x d d d 3 3 2 2 3 5 2 f x x f x x d d . Câu 141. Chọn D. ( ) sin '( ) cos 2 '(1) 2 cos 2 f x A x B f x A x f A A 2 2 0 0 ( ) 4 ( sin ) 4 cos 2 2 cos 0 4 2 A A f x dx A x B dx B B Câu 142. Chọn B. 2 2 2 3 2 2 4 1 1 12 (4 4 ) 4 (2 2 ) 3. a a x x dx a x a x x a Câu 143. Chọn A. Đặt 2 tan ; ; (1 tan ) 2 2 x a t t dx a t dt . Đổi cận 0 0 4 x t x a t . Vậy 2 4 4 2 2 2 0 0 (1 tan ) 1 4 tan a t I dt dt a a a t a . Câu 144. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 232 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt sin cos t x dt xdx . Đổi cận : 0 0 3 3 2 x t x t . Vậy 3 3 3 2 2 2 0 0 0 2 cos 1 . 2 cos 2 2 3 3 2 2 x dt dt I dx x t t Đặt 3 3 cos sin 2 2 t u dt udu . Đổi cận : 0 2 3 2 4 t u t u , suy ra 3 2 2 2 4 0 2 2 4 4 4 3 sin 1 1 1 1 2 2 3 2 3 2 2 4 2 1 cos 2 2 udu dt I du u t u Câu 145. Chọn C. Đặt 2 1 1 1 u t dt du t u u . Đổi cận 1 ; 1 1 t x u t u x 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x du dt du du dt dt u t u u t t u Câu 146. Chọn D. 2 2 ln(sin ) cot 1 cot sin u x du xdx dv dx v x x 2 2 2 2 2 6 6 6 2 2 6 6 1 ln(sin ) cot ln(sin ) cot sin 1 3 ln cot 3 ln 2 3 2 3 I x dx x x xdx x x x Câu 147. Chọn B. Xét hiệu số 2 1 x trên đoạn 0; 2] [ để tìm 2 min 1,x . Vậy 2 2 1 2 3 2 2 2 1 0 0 1 0 4 min 1, . 3 3 x I x dx x dx dx x Câu 148. Chọn A. Đặt 2 1 1 2 t x x t dx tdt . Đổi cận 8 3 3 2 x t x t . Vậy 3 3 2 3 3 2 2 2 8 3 2 2 2 2 1 2 2 2 ln ln . 1 3 1 1 1 1 dx tdt tdt dt t I dx t t t t t t x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 233 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 149. Chọn A. 3 2 2 1 1 1 2 2 ln 1 ln 1 ln 2 2 ln 2 2 2 1 1 1 1 2 ln 1 ln 2 2 2 2 2 a a a x x x I dx xdx dx x x a a a a a HD casio: Nhập 2 3 2 1 2 ln 1 ln 2 0 2 x x dx x nên 2 a . Câu 150. Chọn D. 4 2 1 0 1 3 2 2 2 2 0 2 14 cos 3sin 1 3 9 sin 2 1 2 3 2 2 2ln 2 3 (sin 2) t I x x dx dt x I dx dt t x t Câu 151. Chọn A. 2 2 0 0 2 5 6 ( 5 ) 6 5 6 0 1, 6. m m x dx x x m m m m Hướng dẫn casio: Thay 1 m và 6 m vào thấy thỏa mãn. Câu 152. Chọn A. Sử dụng đồng nhất thức, ta thấy 2 2 2 4 1 cos cos cos cos (2 sin ) sin 2 ( ) . 2 2 2 sin (2 sin ) (2 sin ) (2 sin ) 2 0 b a a x b x a x b x x x h x b x x x x a b Vậy 2 2 2 2 0 0 0 4cos 2cos 4 ( ) 2ln 2 sin 2 sin 2 sin (2 sin ) x x h x dx dx x x x x 4 2 3 2 ln 3 2 2ln 2 2ln . 3 3 2 Câu 153. Chọn D. 0 1 2 sin . 0 m f xdx Câu 154. Chọn A. 1 1 0 0 1 1 ln 3 1 ln 4 3 1 3 4 dx I x x 4 4 4 4 0 2 0 2 1 sin cos cos sin 2 J x x dx x x dx 2 2 1 21 3 1 . 2 K x x dx Câu 155. Chọn B. 2 0 0 0 1 1 2 2 ln ln 2 1 1 1 3 2 a a a dx x a dx x x x a x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 234 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 156. Chọn A. 1 1 4 4 2 4 0 0 ( 2) 1 1 1 1 2 3. 0 2 3. 0 2 3 0 3 2 ( 2) ( 2) 12 3 d x m m m m x x . Vậy 2 2 1 2 144 1 144 1 . 3 12 3 m Câu 157. Chọn D. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ( )) 0. b b b f x f x f x f b f a a a a e f x dx e d f x e e e Câu 158. Chọn B. Ta có 5 4 4 2 1 2 2 1 1 1 2 2 ln 3 ln 5 1 1 1 3 1 dx I dt dt t t t x x , suy ra 2, 1 a b . Vậy 2 2 3 4 2 3 5 a ab b . Câu 159. Chọn C. 1 1 2 1 0 0 0 1 1 cos sin 1 1 n n n t I x xdx t dt n n . Câu 160. Chọn B. Đặt 2 t x dx dt 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 (sin ) sin (cos ) (cos ) 2 sin 2 4 cos sin n n n f x dx f t dt f t dt f x dx x dx I dx I x x Câu 161. Chọn D. Do hàm số ( ) 1 cos 2 f x x là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T nên ta có 2 3 0 2 ( 1) 2 0 0 ( 1) 0 2017 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 1 cos 2 2017 1 cos 2 2017 2 sin 4034 2 T T T nT T T n T nT T T nT T T n T f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx n f x dx xdx xdx xdx Câu 162. Chọn C. 2 2 2 1 cos 0 0 0 ln(1 sin ) ln(1 cos ) (1 cos )ln(1 sin ) ln(1 cos ) x x x dx x x dx x dx Đặt 2 x t dx dt . Đổi cận 0 ; 0 2 2 x t x t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 235 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 0 2 2 2 0 0 0 2 ln 1 cos ln 1 cos ln 1 sin ln(1 sin ) 2 I x dx t dt t dt x dx 2 2 2 0 0 0 (1 cos )ln(1 sin ) ln(1 sin ) cos ln(1 sin ) 2ln 2 1 I x x dx x dx x x dx Câu 163. Chọn D. 0 2 3 2 3 2 0 1 (3 12 11) 6 11 6 11 6 0 2 3 b b b x x dx x x x b b b b b . Câu 164. Chọn C. +Ta có 0 6 6 1 b dx b . +Tính 0 a x xe dx . Đặt x x u x du dx dv e dx v e . Khi đó, 0 0 0 1 1 a a a x x x a a xe dx xe e dx e e a a . Vậy 2 3 2 3 2 7 b a a a . Câu 165. Chọn A. +Tính 2 2 0 a dx x a Đặt 2 tan ; ; (1 tan ) 2 2 t a x a dx a t dt Đổi cận : 0 0; 4 x t x a t . Vậy 2 4 4 2 2 2 0 0 (1 tan ) 1 4 tan a t dt dt a a a t a +Tính: 0 2 2 b dx b , suy ra 2 B b Câu 166. Chọn B. 1 ' 0 ( ) ( ) I f x g x dx = 1 ' 0 ( ) ( ) I f x g x dx = 1 0 ( ) '( ) g x f x dx 1 0 '( ) ( ) g x f x dx 1 2 1 Câu 167. Chọn A. Ta có 3 1 3 1 ( ) 3 ( ) 10 2 ( ) ( ) 6 f x g x dx f x g x dx 3 3 3 1 1 1 3 3 3 1 1 1 ( ) 3 ( ) 10 ( ) 4 2 ( ) ( ) 6 ( ) 2 f x dx g x dx f x dx f x dx g x dx g x dx 3 3 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 I f x g x dx f x dx g x dx Câu 168. Chọn D. Ta có 10 2 4 10 0 0 2 4 ( ) 7 ( ) ( ) ( ) 7 f x dx f x dx f x dx f x dx Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 236 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 10 0 4 ( ) 3 ( ) 7 f x dx f x dx 2 10 0 4 ( ) ( ) 4 f x dx f x dx Câu 169. Chọn C. +) 1 0 2 ( ) 6 f x dx 1 0 ( ) 3 f x dx +) 2 0 2 ( ) ( ) f x g x dx 2 0 3 ( ) ( ) 5 35 40 f x g x dx 2 0 2 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 40 f x g x f x g x dx 2 0 5 ( ) 40 f x dx 2 0 ( ) 8 f x dx 1 0 ( ) f x dx 2 1 ( ) 8 f x dx 2 1 3 ( ) 8 5 f x dx I . Câu 170. Chọn A. Đặt 2 2 , : 0 1 : 0 2 x t dx dt x t 2 0 1 ( ) 2 I f t dt . Mặt khác vì ( ) f x là hàm chẵn nên ta có 2 2 ( ) 2 f x dx 2 0 2 ( ) 2 f x dx 1 0 ( ) 1 f x dx Vậy ta có 1 2 I . Câu 171. Chọn A. 3 0 ( ) I f x dx 2 0 ( ) I f x dx 3 2 ( ) f x dx = 2 0 ( ) 5 f x dx Mặt khác Đặt , : 2 0 : 2 0 . x t d x d t x t 0 0 2 2 ( ) 15 ( ) 15 f x dx f t dt 2 0 ( ) 15 f t dt 2 0 ( ) 15 f x dx 2 0 ( ) 15 f x dx 2 0 ( ) 15 f x dx ( Vì ( ) f x là hàm lẻ nên ( ) ( ) f x f x ) 15 5 10 I . Câu 172. Chọn B. +) 1 1 2 I f x dx = 0 1 2 f x dx 1 0 2 f x dx = 0 1 2 f x dx 1 0 2 f x dx +) Đặt 2 2 , : 1 0 : 2 0. x t dx dt x t 0 0 1 2 1 2 ( ) 2 f x dx f t dt 2 0 1 3 ( ) 2 2 f t dt +) Đặt 2 2 , : 0 1 : 0 2. x t dx dt x t 1 2 0 0 1 3 2 ( ) 2 2 f x dx f t dt Vậy 3 3 3 2 2 I . Câu 173. Chọn B. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 237 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Từ ( ) 2 (1 ) 3 ( ) 3 2 (1 ) f x f x x f x x f x 1 0 ( ) . I f x dx 1 1 0 0 3 3 2 (1 ) 2 (1 ) 2 x f x dx f x dx Đặt 1 , : 0 1 : 1 0. x t dx dt x t 1 0 1 0 1 0 2 (1 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 f x dx f t dt f t dt I Vậy ta có 3 1 2 2 2 I I I . Câu 174. Chọn B. 2 1 2 ( ) f x I dx x 2 2 1 1 2 2 1 1 3 9 2 x f f x x dx dx x x Đặt 2 1 1 1 1 , : 2 : 2 . 2 2 t dx dt x t x x 2 1 2 1 f x dx x 1 2 2 2 1 2 2 1 . ( ) x f f t x dx dt t x 2 1 2 ( ) f t dt I t Vậy 9 9 . 2 4 I I I Câu 175. Chọn A. 4 4 0 0 cos 2 sin 4 cos2 2sin cos K f x xdx f x x xdx Đặt cos 2 2sin 2 , : 1 0 x t xdx dt t 0 1 1 1 0 0 3 K f t t dt f t t dt f x x dx . Câu 176. Chọn C. Đặt 2 2 2 2 2 2 x x x dt dt e t e dx dt dx t e , : 0 ln 2 x thì : 1 4 t ln 2 4 4 4 2 0 1 1 1 1 10 10 20 20 2 x f t f x f e dx f t dt dt t t x . Câu 177. Chọn D. Đặt 1 2 x t dx dt x , :1 4 x thì : 1 2 t 4 2 2 2 1 1 1 1 6 2 6 3 3 f x dx f t dt f t dt f x dx x . Đặt cos sin x t x dx dt , : 0 2 x thì :1 0 t 1 1 2 0 0 0 cos sin 1 1 1 f x xdx f t dt f x dx Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 238 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Vậy 2 1 2 0 0 1 1 3 4 K f x dx f x dx f x dx . Câu 178. Chọn C. Đặt 2 1 1 , 2 x t x t dx dt , : 0 3 x thì :1 2 t 3 2 2 2 0 1 1 1 1 8 2 8 4 4 f x dx tf t dt tf t dt xf x dx . Câu 179. Chọn C. Đặt 2 1 2 , : 0 3 t x dt xdx t 2 3 2 1 0 2 1 I x x dx t dt . Câu 180. Chọn B. Đặt 1 ln , : 0 1 x t dx dt t x ; 1 1 1 0 0 ln e f x dx f t dt f x dx x Vì 1 1 0 ln e f x dx e f x dx e x . Câu 181. Chọn A. Đặt , : t a b x dt dx t b a 7 b a b b a b a a I f a b x dx f t dt f t dt f x dx . Câu 182. Chọn B. Đặt 3 3 , : 2 2 x t dx dt x thì 3 3 : 2 2 t 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 K f x dx f t dt f t dt f x dx 3 3 2 2 3 3 2 2 K K f x dx f x dx 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2cos2 2 2 2cos 1 K f x f x dx x dx x dx 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 4 co s 2 c os 2 sin 0 x dx x dx x . Câu 183. Chọn D. Đặt , : 1 0 x t dx dt x thì : 1 0 t Ta có: 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 4 4 4 1 1 1 1 1 x x x t t f x f x f x f t f t dx dx dx dt dt e e e e e 1 1 1 0 0 0 4 4 1 1 1 1 t t t t t t e f t f t e f t f t dt dt dt e e e e 1 0 4 f t dt . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 239 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 184. Chọn A. Đặt: 6 x t dx dt . Với ; x a t b x b t a ( vì 6) a b ln(9 ) ln(3 ) ln(3 ) ln(9 ) ln( 3) ln(3 ) ln(9 ) ln(3 ) ln(9 ) b a b a b a x t t J dx dt dx x x t t t t ln(3 ) ln(3 ) ln(9 ) b a x dx x x ln(9 ) ln(3 ) 1 1 2 ln(9 ) ln( 3) ln(3 ) ln(9 ) b b a a x x J J dx dx x x x x ln(3 ) ln(3 ) ( ) 2 ln(3 ) ln(9 ) ln(3 ) ln(9 ) ln(3 ) ln(9 ) 2 2 2. ln(3 ) ln(9 ) b a b b a a x x dx x x x x x x dx dx b a x x Như vậy ta có: 6 2 2 4 a b a b a b 4 2 .sin .sin ( ) 2 2 12 b a x x I x dx x dx SD Casio Câu 185. Chọn D. Đặt: 2 x t dx dt Với 2 0; 3 5 x t x t Do đó 3 5 2 0 ( 2) 1 ( ) 1 F x dx F t dt Đặt ( ) ( ) x u du dx f x dx dv v F x 5 5 5 0 0 0 . ( ) ( ) 5. (5) ( ) 5.5 ( 1) 26. J x F x F x dx F F t dt Câu 186. Chọn C. Đặt 1 ln ( ) ( ) x u u dx x f x dx dv v F x 1 1 1 1 ln . ( ) ln . ( ) ( ) 3 1 2 e e e I x f x dx x F x F x dx x Câu 187. Chọn D. 2 2 0 0 sin 2 . '(s ) 2sin . . '(s ) I x f inx dx x cosx f inx dx Đặt cos sinx t xdx dt với 1 0 0 0; 1 . '( ) 2 x t x t I t f t dt Đặt '( ) ( ) t u du dt f t dt dv v f t . 1 1 1 0 0 0 2 . ( ) ( ) 2 (1) ( ) 2 1 ( 1) 4. I t f t f t dt f f x dx Câu 188. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 240 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Đặt: 1 '(2 ) (2 ) 2 du dx x u f x dx dv v f x 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 . (2 ) (2 ) (2) (2 ) 1 (2 ) 2 2 2 2 2 I x f x f x dx f f x dx f x dx Đặt 2 2 x t dx dt với 0 0; 1 2 x t x t . 1 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 3 3 7 (2 ) . ( ) ( ) ( 3) 1 ( ) 2 2 2 4 4 4 4 4 f x dx f t dt f x dx I . Câu 189. Chọn D. Đặt 1 '( ) ( ) x u du dx f x dx dv v f x 1 1 1 0 0 0 ( 1 ) ' ( ) 10 ( 1 ) ( ) ( ) 10 x f x dx x f x f x dx 1 1 0 0 2 (1) (0) ( ) 10 ( ) 8 f f f x dx f x dx Câu 190. Chọn C. Đặt ( ) ( ) x u du dx f x dx dv v F x 1 1 1 0 0 0 . ( ) . ( ) ( ) (1) ( 1) 1 1 2 I x f x dx x F x F x dx F . Câu 191. Chọn B. Ta có: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 3 1 3 1 3( 3) 10 3 10 ( ) 3 6 9 ( 3) ( 3) ( 3) x x x dx dx dx dx x x x x x x 1 1 0 0 10 4 5 3ln( 3) 3ln 3 3 6 x x . Đồng nhất 4 5 3ln 3 6 với 5 3ln 4, 3 12 6 a a b ab b Câu 192. Chọn A. Đặt x x x u du dx e dx dv v e 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 2 . . 1 1 x x x x x e dx x e e dx e e e e e . Đồng nhất 2 1 e với 1; 2 2 5 b a a b M a b e . Câu 193. Chọn B. Ta có : 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 x dx x x x dx x x 2 2 2 2 1 1 2 2 1 x dx x x dx 1 2 I I . 2 2 3 2 1 1 1 2 4 2 2 2 3 3 x I x dx . Đặt 2 2 2 1 1 2 2 t x x t xdx tdt . Đổi cận : 1 0; 2 1. x t x t 1 2 1 3 2 2 2 1 0 0 2 2 2 1 2 3 3 t I x x dx t dt 2 1 2 2 1 2 4 2 4 3 1 x dx I I x x 4; 4 0. a b S a b Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 241 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 194. Chọn C. Đặt . x x t e e dx dt Đổi cận : 0 1; 1 x t x t e . 1 0 1 x dx e 1 0 1 x x x e dx e e 1 1 e dt t t 1 1 1 1 e dt t t 1 1 ln ln 1 e e t t 1 ln 1 ln 2 e 1 1 ln 2 e 1; 1 0 a b S . Câu 195. Chọn B. Đặt 2 u x dv cos x dx 1 sin 2 2 dx du v x 1 0 cos 2 x x dx 1 0 1 sin 2 2 x x 1 0 1 sin 2 2 x dx 1 0 1 1 sin 2 2 2 4 cos x 1 1 1 sin 2 2 2 2 4 cos 1 2 sin 2 2 1 4 cos 2, 1, 1 a b c 0 a b c . Câu 196. Chọn A. Đặt 2 3 1 3 1 2 3 t x t x tdt dx . Đổi cận : 0 1; 1 2 x t x t . 1 1 3 0 3 x e dx 2 1 2 . t t e dt . Đặt t t u t dt du dv e dt v e 1 1 3 0 3 x e dx 2 2 2 2 2 1 1 1 2 . 2 2 2 t t t t e e dt e e e e . 10, 0, 0 10. a b c S Câu 197. Chọn D. Đặt 2 1 2 t x dt x dx . Đổi cận : 2 5; 1 2 x t x t . 1 2 2 . 1 I x f x dx 2 5 5 5 2 2 1 1 1 2 2 2 2 m f t dt f t dt f x dx Câu 198. Chọn D. 2 1 2 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 a a x x x dx dx x dx x x x 2 0 0 0 ln 1 2 a a a x x x 2 ln 1 2 a a a 1 3 2 a a . Câu 199. Chọn D. Đặt sin cos t x dt x dx . Đổi cận : 1 0 0; 6 2 x t x t . 1 1 1 6 2 2 1 0 0 0 1 sin . 1 1 .2 n n n n t x cosx dx t dt n n . 6 1 0 1 1 1 sin . 128 1 128 1 1 .2 n n x cosx dx n n n 1 2 128 1 7 6 n n n . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 242 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 200. Chọn D. Đặt sin cos u ax b du a dx dv x dx v x 2 0 sin ax b x dx 2 2 2 0 0 0 . sin ax b cosx a cosx dx b a x b a . 2 0 sin 4 ax b x dx 4 b a . Như vậy ta có 3 2 1 7 18 4 11 a b a P a b a b b . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 243 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Chuû ñeà 3 ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM Trước khi vào lý thuyết của phần ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, ta sẽ chứng minh tính chất được dùng trong phần này. Tính chất: Nếu trên đoạn [ ] ; a b , hàm số ( ) f x không đổi dấu thì: ( ) ( ) * b b a a f x dx f x dx Chứng minh: Hàm số f x không đổi dấu trên đoạn ; a b , nghĩa là f x luôn dương hoặc luôn âm ; x a b . Trường hợp 1: 0 ; f x x a b : Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x . 0 ; F x f x x a b F x luôn đồng biến trên ; a b 0. F b F a F b F a Ta có: ( ) 1 b b b a a a f x dx f x dx F x F b F a ( ) 2 b b a a f x dx F x F b F a F b F a Từ 1 , 2 ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx Trường hợp 2: 0 ; f x x a b : Chứng minh tương tự, suy ra: ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx Qua hai trường hợp, ta suy ra được điều phải chứng minh. 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x liên tục trên đoạn ; a b , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được xác định: ( ) b a S f x dx 0 : y f x y H x a x b b a S f x dx a 1 c 2 c ( ) y f x y O x 3 c bBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 244 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Phương pháp giải: Cách 1: Tính ( ) b a S f x dx theo phương pháp đã trình bày ở phần tích phân hàm trị tuyệt đối. Cách 2: Áp dụng tính chất * đã được chứng minh ở trên. o Giải phương trình ( ) 0 (1) f x trên đoạn ; a b . o Nếu (1) vô nghiệm thì ( ) b b a a S f x dx f x dx . o Nếu (1) có nghiệm thuộc ; a b , giả sử có duy nhất 1 nghiệm là thì: ( ) ( ) ( ) b b b a a a S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x , ( ) y g x liên tục trên đoạn ; a b và hai đường thẳng x a , x b được xác định: ( ) ( ) b a S f x g x dx 1 2 : : : C y f x C y g x H x a x b b a S f x g x dx Phương pháp giải: Cách 1: Tính ( ) ( ) b a S f x g x dx theo pp đã trình bày ở phần tích phân hàm trị tuyệt đối. Cách 2: Áp dụng tính chất * đã được chứng minh ở trên. o Giải phương trình ( ) ( ) (1) f x g x trên đoạn ; a b . o Nếu (1) vô nghiệm thì ( ) ( ) b b a a S f x g x dx f x g x dx . o Nếu (1) có nghiệm thuộc ; a b , giả sử có duy nhất 1 nghiệm là thì: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a S f x g x dx f x g x dx f x g x dx Chú ý: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) x g y , ( ) x h y và hai đường thẳng y c , y d được xác định: ( ) ( ) d c S g y h y dy . 1 ( ) C 2 ( ) C a 1 c y O b x 2 cBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 245 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 1. Một số bài toán về tính diện tích giới hạn bởi các đường cho trước Trong phần này, tôi sẽ trình bày hướng đi hơn là tập trung giải chi tiết các tích phân hàm trị tuyệt đối; vấn đề này đã được đề cập trước đó, các em có thể xem lại trong phần C- IV (chủ đề 2). Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4 y x , đường thẳng 3 x , trục tung và trục hoành là : A. 22 3 B. 32 3 C. 25 3 D. 23 3 Lời giải: Chọn D. Theo công thức ta có 3 2 0 4 S x dx Xét phương trình 2 4 0 x trên đoạn 0; 3 có nghiệm 2 x . Suy ra 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 0 0 2 0 2 23 4 4 4 4 4 3 S x dx x dx x dx x dx x dx . Hoặc 3 2 3 2 2 2 0 0 2 23 4 4 4 3 S x dx x dx x dx . Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 3 4 y x x , trục hoành và hai đường thẳng 3; 4 x x là A. B. C. 201 5 D. 201 4 Lời giải: Chọn D. Xét phương trình 3 4 0 x x trên đoạn 3; 4 có nghiệm 2; 0; 2 x x x . Suy ra 2 0 2 4 3 3 3 3 3 2 0 2 201 4 4 4 4 4 S x x dx x x dx x x dx x x dx Nhận xét: Dùng bảng xét dấu để bỏ trị tuyệt đối, sau đó tính tích phân cơ bản nếu làm tự luận. Đối với trắc nghiệm, các em có thể sử dụng máy tính cầm tay để bấm kết quả. Bài toán 3: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 3 2 2 3 1 y x x và 3 2 4 2 1 y x x x là A. 37 13 B. 37 12 C. 3 D. 4 Lời giải: Chọn B. Phương trình hoành độ giao điểm : 202 3 203 4Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 246 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 1 4 2 1 2 3 1 4 2 1 2 0 2 1 2 0 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Nên 1 0 1 3 2 3 2 3 2 2 2 0 2 ( 2 ) ( 2 ) S x x x dx x x x dx x x x dx 0 1 4 3 4 3 2 2 2 0 37 4 3 4 3 12 x x x x x x . Nhận xét: Áp dụng nếu trên đoạn [ ] ; a b , hàm số ( ) f x không đổi dấu thì: ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx Bài toán 4: Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2 1 , 5 y x y x . Diện tích của (H) bằng A. 71 3 B. 73 3 C. 70 3 D. 74 3 Lời giải: Chọn B. Xét phương trình 2 1 5 x x có nghiệm 3, 3 x x Suy ra 3 3 2 2 -3 0 1 5 2 1 5 S x x dx x x dx (vì hàm số 2 1 5 x x là hàm số chẳn nên đồ thị đối xứng qua trục tung). Bảng xét dấu 2 1 x trên đoạn 0; 3 x 0 1 3 2 1 x - 0 + Vậy 1 3 1 3 2 2 2 2 0 1 0 1 73 2 4 6 2 4 6 3 S x x dx x x dx x x dx x x dx . Hoặc 1 3 1 3 2 2 2 2 0 1 0 1 73 2 4 6 2 4 6 3 S x x dx x x dx x x dx x x dx . Bài toán 5: Hình phẳng H được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2 4 3 , 3 y x x y x . Diện tích của (H) bằng A. 108 5 B. 109 5 C. 109 6 D. 119 6 Lời giải: Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 247 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Xét phương trình 2 4 3 3 x x x có nghiệm 0, 5 x x 5 5 2 2 0 0 4 3 3 4 3 3 S x x x dx x x x dx Ta có 2 1 4 3 0 3 x x x x . Suy ra 5 1 3 5 2 2 2 2 0 0 1 3 109 4 3 3 5 3 6 5 6 S x x x dx x x dx x x dx x x dx . Bài toán 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 2 1 27 ; ; 27 y x y x y x bằng A. 27 ln 2 B. 27 ln 3 C. 28ln 3 D. 29ln 3 Lời giải: Chọn B. Xét các pthđgđ 2 2 2 2 27 27 0 0; 0 3; 0 9 27 27 x x x x x x x x x Suy ra 3 9 2 2 2 0 3 27 27 ln 3 27 27 x x S x dx dx x . Bài toán 7: (CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số 4 2 3 y x x m có đồ thị m C với m là tham số thực. Giả sử m C cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ . Gọi 1 S , 2 S và 3 S là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để 1 2 3 S S S . A. 5 2 m . B. 5 4 m . C. 5 2 m . D. 5 4 m . m C O x y 3 S 1 S 2 SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 248 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Lời giải: Chọn D. Đặt 4 2 ; 3 f x m x x m Giả sử , a b a b là nghiệm dương của phương trình 4 2 3 0 x x m . Khi đó ta có: 4 2 3 0 b b m (1) Vì 4 2 3 0 x x m là hàm trùng phương nên có tính chất đối xứng: 1 2 1 2 3 2 3 3 2 1 2 . 2 S S S S S S S S S 0 0 0 0 , , , , , , 0 , 0 a b a b a a a b b a f x m dx f x m dx f x m dx f x m f x m dx f x m dx f x m dx 5 4 4 2 3 2 0 3 0 0 0 (2) 0 5 5 b b b x x m dx b mb b m do b Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được (do ) 4 2 2 4 5 2 0 0 5 2 b b b b . Thay trở ngược vào (1) ta được 5 4 m . Bài toán 8: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Cho hàm số 4 2 2 2 2 2 x y m x . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng 64 15 là: A. . B. 1 . C. 2 ; 1 2 . D. 1 ; 1 2 . Lời giải: Chọn B. Tập xác định D . 3 2 2 2 2 4 2 2 y x m x x x m ; 0 0 2 2 x y x m x m Đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu 0 m Vì 1 0 2 a nên hàm số đạt cực đại tại 0 x suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là 0; 2 A Đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình là : 2 d y . O x y 3 S 1 S 2 S Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 249 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Phương trình hoành độ giao điểm của m C và d là: 2 4 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 4 2 x x x m x x m x m x m Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý rằng hàm số đã cho là hàm chẵn) 2 2 2 2 4 4 4 5 5 2 2 2 2 2 2 2 3 0 0 2 0 2 64 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 3 15 m m m m m x x x x S m x dx m x dx m x dx m x m Ta có 1 64 1 1 15 m S m m . Bài toán 9: (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Cho hàm số y f x có đồ thị trên đoạn 1; 4 như hình vẽ dưới. Tính tích phân 4 1 ( ) I f x dx A. 5 2 I . B. 11 2 I . C. 5 I . D. 3 I . Lời giải: Chọn A. Gọi 1; 0 A , 0; 2 B , 1; 2 C , 2; 0 D , 3; 1 E , 4; 1 F , 1; 0 H , 3; 0 K , 4; 0 L . Khi đó 4 0 1 2 3 4 1 1 0 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ( do 0 f x , 1; 2 x và 0 f x , 2; 4 x ) ABO OBCH HCD DKE EFLK S S S S S = 1 1 1 5 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 250 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2. Một số bài toán về ứng dụng tích phân tính diện tích trong thực tế Bài toán 1: (CHUYÊN VINH – L2) Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ O x y là 2 2 2 16 25 y x x như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. A. 2 125 6 S m B. 2 125 4 S m C. 2 250 3 S m D. 2 125 3 S m Lời giải: Chọn D. Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy . Từ giả thuyết bài toán, ta có 2 5 1 25 0 0 4 5 x y x x y x x . Góc phần tư thứ nhất 2 1 25 ; 0; 5 4 y x x x Nên d 5 2 3 ( ) 0 1 125 125 25 ( ) 4 12 3 I S x x x S m . Bài toán 2: Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 2 1m . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.) A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. Lời giải: Chọn B. Giả sử elip có phương trình 2 2 2 2 1 y x a b . Từ giả thiết ta có 2 16 8 a a và 2 10 5 b b Vậy phương trình của elip là 2 2 2 1 2 1 5 64 ( ) 8 1 5 64 25 64 ( ) 8 y y E y x y y E x y 8 mBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 251 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường 1 2 ( ); ( ); 4; 4 E E x x và diện tích của dải vườn là 4 4 2 2 4 0 5 5 2 64 64 8 2 S x dx x dx Tính tích phân này bằng phép đổi biến 8sin x t , ta được 3 80 6 4 S Khi đó số tiền là 3 80 .100000 7652891,82 7.653.000 6 4 T . Bài toán 3: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ) A. 2 28 3 m B. 2 26 3 m C. 2 128 3 m D. 2 131 3 m Lời giải: Chọn D. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Ta có Gọi 2 1 : P y ax c là Parabol đi qua hai điểm 4; 0 , 0; 8 A B Nên ta có hệ phương trình sau: 2 1 1 0 .16 1 : 8 2 8 2 8 a c a P y x c c S 4 2 2 4 1 128 8 2 3 x m . Bài toán 4: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình M N E I F ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao 6 BC m , chiều dài 12 CD m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có 4 MN m ; cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ 2 m . Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ? A. 20.400.000 đồng. B. 20.600.000 đồng. C. 20.800.000 đồng. D. 21.200.000 đồng. Lời giải: Chọn D. A B C D F I E N M 4 m 12 m 6 m Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 252 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng - Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN thì parabol có phương trình là 2 1 6 6 y x . - Khi đó diện tích của khung tranh là 2 2 2 2 1 208 6 6 9 S x dx m - Suy ra số tiền là: 208 900.000 20.800.000 9 đồng. Bài toán 5: Một Chi đoàn thanh niên đi dự trại ở một đơn vị bạn, họ dự định dựng một lều trại có dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại được căng thẳng từ trước ra sau, mặt sau trại cũng là parabol có kích thước giống như mặt trước) với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía trong trại để cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp. A. 3 60( ) m B. 3 36( ) m C. 3 40( ) m D. 3 48( ) m Lời giải: Chọn A. Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có 3 AB mét, 6 BC mét, đỉnh của parabol là I . Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB , 3 3 ;0 , ;0 , 0; 3 2 2 A B I , phương trình của parabol có dạng : 2 0 y ax b a , do , , I A B thuộc P nên ta có: 2 4 3 3 y x . Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là : 3 2 2 3 0 4 6.2 3 36( ) 3 V x dx m . Bài toán 6: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100m và chiều rộng là 60m người ta làm một con đường nằm trong sân (Như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m. Kinh phí cho mỗi 2 m làm đường 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 293904000. B. 283904000. C. 293804000. D. 283604000. Lời giải: Chọn A. 2m 100m 60mBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 253 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm của hình Elip. Phương trình Elip của đường viền ngoài của con đường là 2 2 1 2 2 : 1 50 30 y x E . Phần đồ thị của 1 E nằm phía trên trục hoành có phương trình 2 1 2 30 1 50 x y f x . Phương trình Elip của đường viền trong của con đường là 2 2 2 2 2 : 1 48 28 y x E . Phần đồ thị của 2 E nằm phía trên trục hoành có phương trình 2 2 2 28 1 48 x y f x . Gọi 1 S là diện tích của 1 E và bằng hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số 1 y f x . Gọi 2 S là diện tích của 2 E và bằng hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số 2 y f x . Gọi S là diện tích con đường. Khi đó: 50 48 50 2 2 1 48 2 2 2 2 30 2 1 28 1 50 48 dx x x d S S x S . Tính tích phân 2 2 2 1 , , a a dx x I b a a b . Đặt sin , cos 2 2 x a t t dx a tdt . Đổi cận ; 2 2 x a t x a t . Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos co 2 1 s 1 co . 2 s 2 I b ab ab t a t dt t dt t dt 2 2 sin 2 2 ab ab t t . Do đó 1 2 50.30 48.28 156 S S S . Vậy tổng số tiền làm con đường đó là 600000. 600000.156 294053000 S (đồng). Bài toán 7: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng 2 / m . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) A. 8412322 đồng. B. 8142232 đồng. C. 4821232 đồng. D. 4821322 đồng. Lời giải: Chọn D. Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn , khi đó phương trình đường tròn tâm O là 2 2 36 x y . Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình: 2 36 ( ) y x f x 6m OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 254 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị ( ) y f x và hai đường thẳng 3; 3 x x 3 2 3 2 36 S x dx Đặt 6sin 6cos x t dx tdt . Đổi cận : 3 6 x t ; 3 6 x t 6 6 6 2 6 6 6 2 36cos 36 (cos2 1) 18(sin 2 2 ) 18 3 12 S tdt t dt t t Do đó số tiền cần dùng là 70000. 4821322 S đồng. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 255 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng B. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1. Tính thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; ( ) S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , ( ) a x b . Giả sử ( ) S x là hàm số liên tục trên đoạn [ ] ; a b . ( ) b a V S x dx Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: ( ) b a V S x dx 2. Tính thể tích khối tròn xoay - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: : : 0 C y g x Ox y x a x b 2 b x a V f x dx Tương tự: - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) x g y , trục hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy: : : 0 C x g y Oy x y c y d 2 d y c V g y dy c y O d x a ( ) y f x y O b x x O a b ( ) V S ( x ) x x g y Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 256 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x , ( ) y g x và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: 2 2 ( ) ( ) b a V f x g x dx II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 1. Một số bài toán tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường cho trước Bài toán 1: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường 2 4 y x và đường thẳng 4 x . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là: A. 32 B. 64 C. 16 D. 4 Lời giải : Chọn A. Giao điểm của đường 2 4 y x với trục hoành là : 0; 0 . O Phần phía trên Ox của đường 2 4 y x có phương trình 2 y x . Suy ra thể tích khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là: 4 2 0 .(2 ) 32 . V x dx Bài toán 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường ln , 0, 2 y x y x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2 2 ln 2 4 ln 2 2 B. 2 2 ln 2 4ln 2 2 C. 2 2 ln 2 2 ln 2 1 D. 2ln 2 1 Lời giải : Chọn C. Tọa độ giao điểm của hai đường ln y x và 0 y là điểm (1; 0) C . Nên thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 2 2 1 .ln . V xdx Đặt 2 2 ln ln x u x du dx x dv dx v x . Suy ra : 2 2 2 2 1 1 ln 2 ln 2 ln 2 2 V x x xdx I . Tính 2 1 ln I xdx . Đặt ln dx u x du x dx dx v x . Nên 2 2 1 1 ln 2 ln 2 1. I x x dx Vậy 2 2 2 ln 2 2 2 ln 2 1 2 ln 2 2ln 2 1 V . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 257 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài toán 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 . , ( , 0) y a x y bx a b quay xung quanh trục Ox . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 3 3 1 1 . 3 5 b V a B. 5 3 . 5 b V a C. 5 3 . 3 b V a D. 5 3 1 1 . 3 5 b V a Lời giải : Chọn D. Tọa độ giao điểm của hai đường 2 y ax và y bx là các điểm (0; 0) O và 2 ( ; ) b b A a a . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 5 2 2 2 4 3 0 0 1 1 . . . ( ). 3 5 b b a a b V b x dx a x dx a Bài toán 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2 6 9 , 0 y x x x y quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 729 35 B. 27 4 C. 256608 35 D. 7776 5 Lời giải : Chọn A. Tọa độ giao điểm của đường 3 2 6 9 y x x x với 0 y là các điểm (0; 0) O và (3; 0) A . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 3 2 3 2 0 729 6 9 . 35 V x x x dx Bài toán 5: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2 16 x y (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là: A. 256 3 . 3 V B. 256 . 3 V C. 32 3 . 3 V D. 32 . 3 V Lời giải : Chọn A. Giao điểm của thiết diện và Ox là H. Đặt OH x suy ra cạnh của thiết diện là 2 2 16 x . Diện tích thiết diện tại H là 2 3 ( ) 4(16 ) 4 S x x . Vậy thể tích của vật thể là 4 2 4 256 3 3(16 ) . 3 V x dx y x OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 258 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài toán 6: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 2 , 4 y x y x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 88 . 5 V B. 9 . 70 V C. 4 . 3 V D. 6 . 5 V Lời giải : Chọn A. Với 0; 2 x thì 2 4 4 y x y x Tọa độ giao điểm của đường 2 2 y x với 2 4 y x là các điểm (0; 0) O và (1; 2) A . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 1 1 2 2 2 0 0 6 2 4 4 4 . 5 V x x dx x x dx Bài toán 7: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường 2 1 , 0, 0 y x y x và 2 x khi quay quanh trục Ox bằng: A. 8 2 3 . B. 2 . C. 46 15 . D. 5 2 . Lời giải : Chọn A. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường 2 1 , 0, 0 y x y x và 2 x khi quay quanh trục Ox là: 2 2 2 2 2 4 0 0 1 1 2 V x dx x x dx 2 3 5 0 2 46 3 5 15 x x x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 259 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2. Một số bài toán tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong thực tế Bài toán 1: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu 1 S , 2 S có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của 1 S thuộc 2 S và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi 1 ( ) S và 2 ( ) S . A. 3 V R . B. 3 2 R V . C. 3 5 12 R V . D. 3 2 5 R V . Lời giải: Chọn C. Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ Khối cầu , S O R chứa một đường tròn lớn. Đường tròn lớn có phương trình là: 2 2 2 : C x y R 2 2 y x R x C là phương trình nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox . Quay hình phẳng giới hạn bởi phương trình C ; ; 2 R x x R quanh trục hoành ta được 1 2 V tạo thành từ phần chung của 2 quả cầu 1 ( ) S và 2 ( ) S . Vậy thể tích chung của hai quả cầu cần tính là: 3 3 2 2 2 2 2 5 2 2 . 3 12 R R R R x R V R x dx R x Bài toán 2: Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều cạnh 3 . m Chiều cao 6 SO m (SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi dây 1 2 3 4 5 6 , , , , , c c c c c c nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO là một lục giác đều và khi (P) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh bằng 1 . m Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều (H) đó. A. 3 135 3 ( ) 5 m B. 3 96 3 ( ) 5 m C. 3 135 3 ( ) 4 m D. 3 135 3 ( ) 8 m Lời giải: Chọn D. Đặt hệ tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là (0;6), (1; 3), (3;0) A B C nên có phương trình là 2 1 7 6 2 2 y x x O R 2 R 2 2 2 ( ) : C x y R y x O 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 1 m 3 m SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 260 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện là BM Suy ra: 2 2 7 1 7 1 2 7 12 2 2 2 4 2 4 y x x x y x y Vì 7 1 7 1 0; 3 2 2 2 4 2 4 x x y x y Nếu ta đặt t OM thì 7 1 2 2 4 BM t Khi đó diện tích của thiết diện lục giác: 2 2 3 3 3 7 1 ( ) 6. 2 , 4 2 2 4 BM S t t với 0; 6 t ( Diện tích thiết diện lục giác bằng 6 lần diện tích tam giác đều nhỏ tạo nên nó) Vậy thể tích của túp lều theo đề bài là: 2 6 6 0 0 3 3 7 1 135 3 ( ) 2 . 2 2 4 8 V S t dt t dt Bài toán 3: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích 3 V cm của vật thể đã cho. A. 12 V . B. 12 V . C. 72 5 V . D. 72 5 V . Lời giải: Chọn A. Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol . P Vì parabol P đi qua các điểm 2; 6 , 2; 6 A B và 0; 0 I nên parabol P có phương trình 2 3 . 2 y x Ta có 2 2 3 2 2 3 y x x y . Khi đó thể tích của vật thể đã cho là 6 3 0 2 12 . 3 V y dy cm Bài toán 4: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp. HCM năm 2016 – 2017) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng . R Tính thể tích vật thể tạo thành bởi đáy của hình trụ và mặt phẳng qua đường kính đáy, biết mặt phẳng tạo với đáy một góc 0 45 . A. 3 8 3 R V B. 3 2 3 R V C. 3 2 3 R V D. 3 8 3 R V 6 c m A B O 4 cm I Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 261 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Lời giải : Chọn C. Gắn trục tọa độ Ox như hình vẽ. Gọi BC là đường kính đáy Điểm A là điểm thuộc mặt phẳng cắt khối trụ sao cho . OA BC D là hình chiếu vuông góc của A trên BCD Ta có: 0 0 ; 45 45 . ABC BCD AOD Gọi P là mặt phẳng vuông góc với trục Ox , cắt khối vật thể theo một thiết diện là hình chữ nhật ; FGHI ; . M OA IF N OD HG Đặt ON x . Ta có: 0 2 2 2 2 .tan 45 ; 2 2 2 IH FG MN x x HG NH OH ON R x Diện tích hình chữ nhật FGHI bằng: 2 2 . 2 MN HG x R x Diện tích FGHI là một hàm liên tục trên đoạn 0; R Thể tích khối vật thể tạo thành: 2 2 2 2 2 2 0 0 2 R R V x R x dx R x d R x 2 2 2 2 3 0 2 2 3 3 R R x R x R . Nhận xét: Học sinh có thể dùng phương pháp đổi biến số để tính tích phân trên bằng cách đặt: 2 2 . R x t Công thức tổng quát khi mặt phẳng cắt khối trụ tạo với đáy góc thì thể tích tạo thành: 3 2 tan 3 V R Bài toán 5: Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình đó theo R và r . A. 2 2 2 . V r R B. 2 2 2 . V rR C. 2 2 . V r R D. 2 2 . V rR Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 262 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Lời giải: Chọn A. Xét hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Phương trình đường tròn tâm ; 0 I R , bán kính r có phương trình là: 2 2 2 x R y r . 2 2 2 2 2 2 x R r y x R r y x R r y Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn ; I r quanh trục Oy . Thể tích cái phao là: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 r r r r V R r y R r y dy R r y dy . Đặt 2 2 2 2 2 sin cos 4 ( cos ) r r y r t dy r tdt V R r t 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 2 2 (1 cos 2 ) 2 2 2 t r R t dt r R t r R Bài toán 6: Gọi H là phần giao của hai khối 1 4 hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của H . A. 3 2 3 H a V . B. 3 3 4 H a V . C. 3 2 H a V . D. 3 4 H a V . Lời giải: Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó phần giao H là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông có diện tích 2 2 S x a x Thể tích khối H là 0 3 2 0 2 2 3 a a x a S x dx a dx . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 263 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài toán 7: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu ? A. 425,2 lit. B. 425162 lit. C. 212581lit. D. 212,6 lit. Lời giải: Gọi 2 : P y ax bx c là parabol đi qua điểm 0,5; 0,3 A và có đỉnh 0; 0,4 S (hình vẽ). Khi đó, thể tích thùng rượu bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi P , trục hoành và hai đường thẳng 0,5 x quay quanh trụcOx . Dễ dàng tìm được 2 2 : 0,4 5 P y x Thể tích thùng rượu là : (l) 2 2 0,5 0,5 2 2 0,5 0 2 2 203 0,4 2 0,4 425,5 5 5 1500 V x dx x dx x y 0,4m 0,3m 0,5m O S A a aBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 264 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng C. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC LĨNH VỰC KHÁC I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1. Một vật chuyển động theo phương trình vận tốc v t trong khoảng thời gian từ t a đến t b a b sẽ di chuyển được quãng đường là : b a S v t dt 2. Một vật chuyển động có phương trình gia tốc a t thì vận tốc của vật đó sau khoảng thời gian 2 1 T t t là: 2 1 t t v a t dt 3. Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từ độ dài tự nhiên là f x kx , với / k N m là độ cứng của lò xo. Công cần để kéo dãn lò xo từ độ dài 1 l đến độ dài 2 l là: d 2 1 l l A f x x 4. Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn của đoạn mạch trong thời gian từ 1 t đến 2 t là: d 2 1 t t Q I t t II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) 160 10 ( / ) v t t m s . Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm 0( ) t s đến thời điểm mà vật dừng lại là A. 1028 . m B. 1280 . m C. 1308 . m D. 1380 . m Lời giải: Chọn B. Khi vật dừng lại thì 160 10 0 16 v t t t Suy ra: 16 16 16 2 0 0 0 160 10 160 5 1280 . S v t dt t dt t t m Bài toán 2: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc ( / ) v t m s , có gia tốc 2 3 ( ) ( ) , ( / ) 2 1 a t v t m s t . Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là A. 4,6 / m s . B. 7,2 / m s . C. 1,5 / m s. D. 2, 2 / m s . Lời giải: Chọn A. Vận tốc của ô tô sau 10 giây là: 10 10 0 0 3 3 3 ln 2 1 ln 21 4,6 ( / ). 2 1 2 2 v dt t m s t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 265 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài toán 3: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc ( theo 2 / cm s ) là 2 20 ( ) 1 2 a t t (với t tính bằng giây). Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi 0 t thì 30 / v cm s . A. 10 1 2t B. 10 20 1 2t C. 3 1 2 30 t D. 2 20 30 1 2t Lời giải: Chọn B. 2 20 10 1 2 1 2 v t a t dt dt C t t Do 0 30 v , suy ra 10 30 20 1 2.0 C C Vậy, hàm 10 20 1 2 v t t . Bài toán 4: Một vật chuyển động với vận tốc 10 / m s thì tăng tốc với gia tốc 2 ( ) 3 a t t t . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. 4300 . 3 m B. 4300 . m C. 430 . m D. 430 . 3 m Lời giải: Chọn A. Hàm vận tốc 2 3 2 3 3 2 3 t t v t a t dt t t dt C Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc 0 10 10 v C Ta được: 2 3 3 10 2 3 t t v t . Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là: 10 10 2 3 3 4 0 0 3 4300 10 10 . 2 3 2 12 3 t t t t s dt t m Bài toán 5: Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch LC có có biểu thức cường độ là 0 cos 2 i t I t . Biết i q với q là điện tích tức thời ở tụ điện. Tính từ lúc 0 t , điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch đó trong thời gian bằng là A. 0 2I . B. 0. C. 0 2I . D. 0 2 I . Lời giải: Chọn C. Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn của đoạn mạch trong thời gian từ 0 đến là: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 266 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 0 0 0 0 0 0 2 cos sin 2 2 I I Q I t dt I t dt t . Bài toán 6: Gọi h t cm là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng 3 1 8 5 h t t và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến 0,01 cm ) A. 2,67 . cm B. 2,66 . cm C. 2,65 . cm D. 2,68 . cm Lời giải: Chọn B. Hàm 3 3 1 3 8 8 8 5 20 h t t dt t t C Lúc 0 t , bồn không chứa nước. Suy ra 12 12 0 0 0 5 5 h C C Vậy, hàm 3 3 12 8 8 20 5 h t t t Mức nước trong bồn sau 6 giây là 6 2,66 . h cm Bài toán7 : Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N t . Biết rằng 4000 1 0,5 N t t và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số nào sau đây nhất ? A. 251000 con. B. 264334 con. C. 261000 con. D. 274334 con. Lời giải: Chọn B. 4000 8000.ln 1 0,5 1 0,5 N t dt t C t Lúc đầu có 250000 con, suy ra 0 250000 250000 N C Vậy 8000.ln 1 0,5 250000 10 264334,0758 N t t N . Bài toán 8: Để kéo căng một lò xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N . Tính công ( A ) sinh ra khi kéo lò xo có độ dài từ 15cm đến 18cm . A. 1,56 ( ) A J . B. 1 ( ) A J . C. 2,5 ( ) A J . D. 2 ( ) A J . Lời giải: Chọn A. x O M x x . f x k x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 267 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từ độ dài tự nhiên là f x kx , với / k N m là độ cứng của lò xo. Khi lò xo được kéo giãn từ độ dài 10cm đến 15cm, lượng kéo giãn là 5 0.05 cm m . Điều này có nghĩa 0.05 40 f , do đó: / 40 0,05 40 800 0,05 k k N m Vậy 800 f x x và công cần để kéo dãn lò xo từ 15cm đến 18cm là: 0,08 0,08 2 2 2 0,05 0,05 800 400 400 0,08 0,05 1,56 A x dx x J . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 268 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I. ĐỀ BÀI 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ( ) y f x , ( ) y g x liên tục trên [ ] ; a b và hai đường thẳng x a , x b ( ) a b là: A. ( ) ( ). b a S f x g x dx . B. ( ( ) ( )) b a S f x g x dx . C. 2 ( ( ) ( )) . b a S f x g x dx . D. ( ) ( ). b a S f x g x dx . Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , liên tục trên [ ] ; a b trục hoành và hai đường thẳng , x a x b a b cho bởi công thức: A. . b a S f x dx B. . b a S f x dx C. . b a S f x dx D. 2 . b a S f x dx Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2 11 6, 6 y x x y x , 0, 2 x x . (Đơn vị diện tích) A. 4 3 B. 5 2 C. 8 3 D. 18 23 Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 , 4 y x y x là: A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 Câu 5. Cho hàm số ( ) y f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ] ; a b . Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của ( ) y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức A. ( ) . b a S f x dx B. ( ) . b a S f x dx C. 2 ( ) . b a S f x dx D. 2 ( ) . b a S f x dx Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số ( ) y f x , ( ) y g x liên tục trên đoạn [ ] ; a b , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức A. 2 ( ) ( ) . b a S f x g x dx B. [ ] ( ) ( ) . b a S f x g x dx C. ( ) ( ) . b a S f x g x dx D. 2 ( ) ( ) . b a S f x g x dx Câu 7. Cho đồ thị hàm số ( ) y f x . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là: A. 0 1 2 0 ( ) ( ) S f x dx f x dx B. 1 2 ( ) S f x dx C. 2 1 0 0 ( ) ( ) S f x dx f x dx D. 0 1 2 0 ( ) ( ) S f x dx f x dx Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 269 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y x , trục hoành và hai đường thẳng 1 x , 3 x là A. 19 B. 18 C. 20 D. 21 Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và hai đường thẳng 1 x , 4 x là A. 4 B. 14 5 C. 13 3 D. 14 3 Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y x , trục hoành và hai đường thẳng 1 x , 8 x là A. 45 2 B. 45 4 C. 45 7 D. 45 8 Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số sin y x , trục hoành và hai đường thẳng x , 3 2 x là A. 1 B. 1 2 C. 2 D. 3 2 Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số tan y x , trục hoành và hai đường thẳng 6 x , 4 x là A. 3 ln 3 B. 6 ln 3 C. 3 ln 3 D. 6 ln 3 Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2x y e , trục hoành và hai đường thẳng 0 x , 3 x là A. 6 1 2 2 e B. 6 1 2 2 e C. 6 1 3 3 e D. 6 1 3 3 e Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2 3 y x x , trục hoành và hai đường thẳng 1 x , 4 x là A. 53 4 B. 51 4 C. 49 4 D. 25 2 Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 2 3 4 y x x , trục hoành và hai đường thẳng 0 x , 3 x là A. 142 5 B. 143 5 C. 144 5 D. 141 5 Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 2 x y x , trục hoành và đường thẳng 2 x là A. 3 2ln 2 B. 3 ln 2 C. 3 2ln 2 D. 3 ln 2 Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol 2 2 y x và đường thẳng y x là A. 7 2 B. 9 4 C. 3 D. 9 2 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 270 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số cos 2 y x , trục hoành và hai đường thẳng 0, 2 x x là A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 2 3 4 y x x , trục hoành và hai đường thẳng 0 x , 3 x là A. 71 5 B. 73 5 C. 72 5 D. 14 Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 2 x y x , trục hoành và đường thẳng 2 x là A. 3 2ln 2 B. 3 ln 2 C. 3 2ln 2 D. 3 ln 2 Câu 21. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol 2 2 y x và đường thẳng y x là A. 9 2 B. 9 4 C. 3 D. 7 2 Câu 22. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số cos 2 y x , trục hoành và hai đường thẳng 0, 2 x x là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x và 3 y x là A. 1 12 B. 1 13 C. 1 14 D. 1 15 Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2 2 0, 0 y y x x y là A. 9 4 B. 9 2 C. 7 2 D. 11 2 Câu 25. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là A. 8 3 B. 11 3 C. 7 3 D. 10 3 Câu 26. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng 8 , y x y x và đồ thị hàm số 3 y x là a b . Khi đó a b bằng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 271 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. 68 B. 67 C. 66 D. 65 Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 1, y y x và đồ thị hàm số 2 4 x y trong miền 0, 1 x y là a b . Khi đó b a bằng A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng nÕu x 1 nÕu x>1 , 2, x y x và 2 10 3 y x x là a b . Khi đó 2 a b bằng A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 Câu 29. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4 4 ( ) : 1 x x C y x , tiệm cận xiêm của ( ) C và hai đường thẳng 0, ( 0) x x a a có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng A. 5 1 e B. 5 1 e C. 5 1 2e D. 5 1 2e Câu 30. (THPT QUẾ VÕ SỐ 3) Ông X muốn xây một cổng hình Parapol có chiều dài chân đáy của cổng là 3m và chiều cao của cổng là 2m như hình vẽ ở dưới đây. Ông X muốn tính diện tích của cổng để đặt cửa gỗ cho vừa kích thước. Diện tích của cổng là. A. 3,5 2 m . B. 4 2 m . C. 5,5 2 m . D. 6 2 m . Câu 31. Cổng trường ĐHBK Hà nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , chiều cao 12, 5m . Diện tích của cổng là: A. 100 2 m B. 200 2 m C. 2 100 3 m D. 2 200 3 m Câu 32. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường sin , , 2 y x x y x x bằng A. 1 S . B. 3 S . C. 5 S . D. 8 S . Câu 33. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường , , 1, 2 x x y e y e x x bằng A. 2 2 1 1 4 S e e e e . B. 2 2 1 1 4 S e e e e . C. 2 2 1 1 4 S e e e e . D. 2 2 1 1 4 S e e e e . Câu 34. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 1 1 , , , 6 3 sin cos y y x x x x bằng A. 2 4 3 S . B. 3 4 2 S . C. 8 4 3 S . D. 8 4 3 S . Câu 35. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường ln , , 1, y x x y x x x e bằng A. 2 3 4 4 e S . B. 2 4 4 3 e S . C. 2 3 4 4 e S . D. 2 3 4 4 e S . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 272 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 36. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 5 , 3 , 0, 2 x y y x x x bằng A. 24 4 25ln 5 S . B. 24 4 25ln 5 S . C. 24 5 25ln 5 S . D. 24 5 25ln 5 S . Câu 37. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường , 0, 1, 2 x y xe y x x bằng A. 2 2 e S e . B. 2 2 e S e . C. 2 2 2 e S e . D. 2 2 2 e S e . Câu 38. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 , 3, 4 2 y x x x và trục hoành bằng: A. 406 15 S . B. 22 3 S . C. 23 2 S . D. 32 3 S . Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 3 , 3, 4 2 y x x x và trục hoành bằng ? A. ln 8 S . B. ln 9 S . C. ln 2 S . D. ln 5 S . Câu 40. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 2 2 , 4 , 1 y x y x x bằng ? A. 1 S . B. 3 S . C. 12 S . D. 8 S . Câu 41. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng ( 1), (1 ), 1 x y x e y x e x bằng ? A. 3 1 S e . B. 3 1 S e . C. 1 2 S e . D. 2 1 S e . Câu 42. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 2 , 0( ), 1 x y x e y Ox x bằng ? A. 2 S e . B. 2 S e . C. 3 S e . D. 3 S e . Câu 43. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 2 3 y x x , 2 1 y x bằng ? A. 2 3 S . B. 3 1 S . C. 1 6 S . D. 5 6 S . Câu 44. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 1 , 2 3 y y x x bằng ? A. 4 ln 2 3 S . B. 4 ln 2 3 S . C. 3 ln 2 4 S . D. 3 ln 2 4 S . Câu 45. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 2 1 0 , y x y bằng ? A. 2 S . B. 2 S . C. 4 S . D. 2 S . Câu 46. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 3 2 4 6, 0 y x x x y bằng ? A. 45 4 S . B. 7 12 S . C. 71 6 S . D. 5 4 S . Câu 47. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 2 2 , , y x y x y x bằng ? A. 15 4 S . B. 3 7 S . C. 13 6 S . D. 7 3 S . Câu 48. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , 2 y x và trục hoành bằng. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 273 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. d 2 0 2 S x x x . B. d 2 0 2 S x x x . C. d d 1 2 0 1 2 S x x x x . D. d d 2 2 0 0 2 S x x x x . Câu 49. Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm một cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3 dm và nằm phía ngoài hình lục giác, hai đầu mút của cạnh cũng là hai điểm giới hạn của đường parabol đó. Hãy tính diện tích của hình nói trên (kể cả hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp. A. 2 43,39 dm B. 2 34 dm C. 2 34,39 dm D. 2 38,39 dm Câu 50. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A. 33750000 đồng. B. 12750000 đồng. C. 6750000 đồng. D. 3750000 đồng. Câu 51. Tìm m sao cho hàm số 4 2 2 2 2 1 y x m x m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi hàm số với trục hoành phần phía trên Ox có diện tích bằng 96 15 . A. 2 m B. 2 m C. 2 m D. 1 m Câu 52. Cho parabol 2 ( ) : 3 P y x và đường thẳng ( ) d đi qua (1;5) M có hệ số góc là k . Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và ( ) d có diện tích nhỏ nhất. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 53. Hàm số y f x có đồ thị C là đường parabol bậc hai như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi C , trục Ox , đường 3 x có diện tích S . Đường thẳng x k với 0;3 k chia S ra thành hai phần có diện tích là 1 S và 2 S . Nếu 1 2 2 S S thì phát biểu nào sau đây đúng ? A. 2,2;2,3 k . B. 2,3;2,4 k . C. 2,4;2,5 k . D. 2,5;2,6 k . Câu 54. Cho hàm số 2 y f x x có đồ thị là đường parabol như hình bên. Biết đường tròn trong hình có tâm là gốc tọa độ và bán kính 2 . Diện tích phần hình phẳng được tô màu là Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 274 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. 4 2 3 . B. 4 2 3 . C. 1 2 3 . D. 1 2 3 . Câu 55. (THPT TIÊN LÃNG) Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và trục hoành. Xác định để đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc chia thành hai phần có diện tích bằng nhau. A. . B. . C. . D. . Câu 56. (THI THỬ CỤM 6 TP. HỒ CHÍ MINH) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số 2 6 y x x và trục hoành. Hai đường thẳng , y m y n chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính 3 3 (9 ) (9 ) P m n A. 405 P . B. 409 P . C. 407 P . D. 403 P . Câu 57. (CỤM 2 TP.HCM) Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường ln y x và 1 y là b S ae c e với a, b , c là các số nguyên. Tính . P a b c A. 3. P B. 0. P C. 2. P D. 4. P Câu 58. (THPT AN LÃO) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 m y x , 2 m x y 0 m . Tìm giá trị của m để 3 S A. 1 m . B. 2 m . C. 3 m . D. 4 m . Câu 59. (SỞ GD VÀ ĐT TỈNH PHÚ THỌ) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường sin y x , cos y x và 1 S , 2 S là diện tích của các phần được gạch chéo như hình vẽ. Tính 1 2 2 2 S S ?. H 2 4 4 y x x k d 0;4 A k H 4 k 8 k 6 k 2 k y = n O y = m y = 6x – x 2 6 9 y x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 275 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng A. 2 2 1 2 10 2 2 S S . B. 2 2 1 2 10 2 2 S S . C. 2 2 1 2 1 12 2 S S . D. 2 2 1 2 11 2 2 S S . Câu 60. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn 2 2 2, 0 x y y và parabol 2 y x bằng A. 1 2 . B. 1 3 . C. 1 2 3 . D. 2 . Câu 61. (CHUYÊN SƠN LA) Gọi 1 S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi elip 2 2 1 9 1 x y và 2 S là diện tích của hình thoi có các đỉnh là đỉnh của elip đó. Tính tỉ số giữa 1 S và 2 S . A. 1 2 2 S S . B. 1 2 3 S S . C. 1 2 3 S S . D. 1 2 2 S S . Câu 62. (THPT PHAN ĐÌNH TÙNG ) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 1 y x và ,0 1. y k k Tìm k để diện tích của hình phẳng H gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. A. 3 4. k B. 3 2 1. k C. 1 . 2 k D. 3 4 1. k Câu 63. (CHUYÊN ĐH VINH – L4 - 2017) Cho hàm số y f x liên tục trên và hàm số 2 y g x xf x có đồ thị trên đoạn 0;2 như hình vẽ bên. Biết diện tích miền tô màu là 5 2 S , tính 4 1 d I f x x . A. 5 4 I . B. 5 2 I . C. 5 I . D. 10 I . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 276 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 64. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật H có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là 1;0 A và ; C a a , với 0 a . Biết rằng đồ thị hàm số y x chia hình H thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm a. A. 9 a . B. 4 a . C. 1 2 a . D. 3 a . 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH Câu 1. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 , 0 , 1 , 4 y y x x x quanh trục ox là: A. 6 B. 6 C. 12 D. 6 Câu 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ), , , y f x Ox x a x b quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2 ( ) . b a V f x dx B. 2 ( ) . b a V f x dx C. 2 2 . ( ) . b a V f x dx D. 2 ( ) . b a V f x dx Câu 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y x ; trục Ox và đường thẳng 3 x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 3 2 B. 3 C. 2 D. Câu 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 1, 0, 0, 1 y x y x x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 79 63 B. 23 14 C. 5 4 D. 9 Câu 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 , , (0 ) y x x a x b a b quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2 . b a V xdx B. . b a V xdx C. . b a V xdx D. 2 . b a V xdx Câu 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 , 0 y x x y quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 496 15 B. 4 3 C. 64 15 D. 16 15 Câu 7. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 , 0 y x y quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 3 2 B. 2 3 C. 2 D. 4 3 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 277 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 8. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng 0; x x và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm ( ;0; 0) x bất kỳ là đường tròn bán kính sin x là: A. 2. V B. . V C. 4 . V D. 2 . V Câu 9. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường tan , 0, 0, 3 y x y x x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 3 3 V B. 3 3 V C. 3 3 V D. 3 3 V Câu 10. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 , , 0, 4 y x Ox x x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 2 28 3 B. 68 . 3 C. 28 3 D. 2 68 . 3 Câu 11. Một khối cầu có bán kính là 5 dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3 dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. A. 3 100 3 dm B. 3 43 3 dm C. 3 41 dm D. 3 132 dm Câu 12. Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 y x , trụcOx , 1 x , 1 x một vòng quanh trục Ox là: A. . B. 2 . C. 6 7 . D. 2 7 Câu 13. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 ; y x x Ox . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng? A. 16 15 . B. 4 3 . C. 4 3 . D. 16 15 . Câu 14. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường tan ; ; 0; 4 y x Ox x x . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng? A. 1 4 . B. 2 . C. 2 4 . D. 2 4 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 278 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 15. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 ; y x Ox . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng? A. 16 15 . B. 16 15 . C. 4 3 . D. 4 3 . Câu 16. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường 2 y x ; 1 x ; trục hoành. Quay hình (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 5 . B. 3 . C. 2 3 . D. 2 5 . Câu 17. Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường 1 3 2 1 y x , 0 x , 3 y , quay quanh trục Oy là: A. 50 7 . B. 480 9 . C. 480 7 . D. 48 7 . Câu 18. Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường 2 .cos sin y x x x , 0, 0, 2 y x x khi quay quanh trục Ox là: A. 3 4 4 . B. 5 4 4 . C. 3 4 4 . D. 3 4 5 Câu 19. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong 2 1 ( ) : 1 x C y x , trục Ox và trục Oy. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox là: A. 3 . B. 4 ln 2 . C. (3 4 ln 2) . D. (4 3ln 2) . Câu 20. Hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 y x và đường thẳng 4 y quay một vòng quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra bằng: A. 64 5 . B. 128 5 . C. 256 5 . D. 152 5 . Câu 21. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong ( ) : sin C y x , trục Ox và các đường thẳng 0, x x . Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox là : A. 2 . B. 2 2 . C. . D. 2 . Câu 22. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 3 ; y x x Ox . Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 81 11 . B. 83 11 . C. 83 10 . D. 81 10 . Câu 23. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1; ; 4 y x Ox x . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 7 6 . B. 5 6 . C. 2 7 6 . D. 2 5 6 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 279 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 24. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3 ; ; 1 y x y x x . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 8 3 . B. 2 8 3 . C. 2 8 . D. 8 . Câu 25. Cho hình H giới hạn bởi các đường y x ; 4 x ; trục hoành. Quay hình H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 15 2 . B. 14 3 . C. 8 . D. 16 3 . Câu 26. Cho hình H giới hạn bởi các đường 1 y x ; 6 y x ; 1 x ; 0 x . Quay hình H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 13 6 . B. 125 6 . C. 35 3 . D. 18 . Câu 27. Cho hình H giới hạn bởi các đường 4 y x và 5 y x . Quay hình H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 9 2 . B. 15 4 ln 4 2 . C. 33 4 ln 4 2 . D. 9 . Câu 28. Thể tích khối tròn xoay khi cho Elip 2 2 2 2 1 y x a b quay quanh trục Ox . A. 2 4 3 a b . B. 2 4 3 ab . C. 2 2 3 a b . D. 2 2 3 ab . Câu 29. Thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 0 4 x y y , 2 1 3 ( 2); 0 2 x y y y x quay quanh Ox: A. 32 . B. 32 . C. 2 32 . D. 33 . Câu 30. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi 1 : ; : 2 C y x d y x . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 8 . B. 16 3 . C. 8 3 . D. 8 15 . Câu 31. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi 3 : ; : 2; C y x d y x Ox . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 4 21 . B. 10 21 . C. 7 . D. 3 . Câu 32. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi 1 : 2 ; : ; 4 2 C y x d y x x . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 80 3 . B. 112 3 . D. 16 3 . D. 32 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 280 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 33. Hình H giới hạn bởi 2 4 4, 0, 0, 3 y x x y x x . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình H quanh trục Ox . A. 33. B. 33 5 . C. 33 5 . D. 33 . Câu 34. Hình S giới hạn bởi 3 2, , y x Ox Oy . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình S quanh trục Ox . A. 8 3 . B. 4 3 . C. 8 9 . D. 16 3 . Câu 35. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên do quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 y x , 0 y , 0 x , 2 x bằng A. 8 2 3 . B. 2 5 . C. 5 2 . D. 2 . Câu 36. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 cos y x , 0 x và 4 x . A. 2 . B. 3 . C. . D. 2 . Câu 37. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x và y x quay xung quanh trục Ox . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bằng: A. . B. 3 . C. 6 . D. . Câu 38. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x y e , trục Ox và hai đường thẳng 0 x , 1 x . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox , được cho bởi công thức: A. d 2 1 0 x e x . B. d 1 2 0 x e x . C. d 2 1 0 x e x . D. d 1 2 0 x e x . Câu 39. Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 y x , trục Ox , 1 x , 1 x một vòng quanh trục Ox là : A. . B. 2 . C. 6 7 . D. 2 7 . Câu 40. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi ln , 0, y x y x e quay quanh trục ox có kết quả là: A. e . B. 1 e . C. 2 e . D. 1 e . Câu 41. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi ln , 0, 1, 2 y x y x x quay quanh trục ox có kết quả là: A. 2 2 ln 2 1 . B. 2 2 ln 2 1 . C. 2 2ln 2 1 . D. 2 2 ln 2 1 . Câu 42. Thể tích vật thể quay quanh trục Ox giới hạn bởi 3 , 8, 3 y x y x có kết quả là: A. 7 5 3 9.2 7 . B. 7 6 3 9.2 7 . C. 7 7 3 9.2 7 . D. 7 8 3 9.2 7 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 281 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 43. Cho , a b là hai số thực dương. Gọi (K) là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parabol 2 y ax và đường thẳng y bx . Biết thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay (K) xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của a và b . Khẳng định nào sao đây là đúng? A. 4 5 2 b a . B. 4 2 2 b a . C. 3 5 2 b a . D. 5 3 2 b a . Câu 44. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường cos , 0, 0, 4 y x y x x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. 2 8 . B. ( 2) 8 . C. 2 1 4 . D. Kết quả khác. Câu 45. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 , 0, 0 2. x y e y x và x Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. 8 1 2 e . B. 8 1 4 e . C. 8 1 6 e . D. 8 1 9 e . Câu 46. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 sin , 0, 0, y x y x x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. 2 8 . B. 2 4 . C. 2 2 . D. 2 3 8 . Câu 47. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 , 0, 0, 1 x y x x x y e . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. 3 . B. 2 . C. . D. 2 . Câu 48. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 , 0, 0, 1 x y x x x y e . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. e . B. 2 e . C. 4 e . D. ( 1) 2 e . Câu 49. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 1 2 2 , 0, 1, 2. x y x y x x e Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. 2 e e . B. 2 e e . C. 2 e . D. e . Câu 50. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 , 1 – 0, 0 y x y x và 2. x Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. 2 . B. 8 2 3 . C. 5 2 . D. 2 5 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 282 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 51. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 4, 2 – 4, 0, 2 y x y x x x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. 32 5 . B. 6 . C. 6 . D. 32 5 . Câu 52. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường ln , 0, . y x x y x e Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. 3 5 2 25 e . B. 3 5 2 27 e . C. 3 5 2 27 e . D. 3 5 2 25 e . Câu 53. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 1 1 x x y , 0 y , 1 x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. 15 4ln 2 2 . B. 15 2 ln 2 2 . C. 15 4 ln 2 4 . D. 13 4 ln 2 2 . Câu 54. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường cos 4 , 0, 8 0, y x y x x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. 2 2 . B. 2 16 . C. 4 . D. 3 . Câu 55. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 1 x y x , 0, 0, 1 y x x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. (3 4ln 2) 2 . B. ln 2 1 . C. 4 ln 2 . D. 2 . Câu 56. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 , 2 y x y x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: A. 16 15 . B. 21 15 . C. 32 15 . D. 64 15 . Câu 57. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 ; y x Ox . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng ? A. 16 15 . B. 16 15 . C. 4 3 . D. 4 3 . Câu 58. Cho hình H giới hạn bởi các đường 2 y x ; 1 x ; trục hoành; trục tung. Quay hình H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 5 . B. 3 . C. 2 3 . D. 2 5 . Câu 59. Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m, có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 283 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị 3 m ) A. 11,781 3 . m B. 12,637 3 . m C. 1 3 14,923 . m D. 3 8,307 . m Câu 60. Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y x và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm, khi đó thể tích của lọ là: A. 2 8 . dm B. 3 15 . 2 dm C. 2 14 . 3 dm D. 2 15 . 2 dm Câu 61. Cho hình H giới hạn bởi các đường 1 y x ; 6 y x ; 1 x . Quay hình H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 13 6 . B. 125 6 . C. 35 3 . D. 18 . Câu 62. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi 1 : ; : 2 C y x d y x . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 8 . B. 16 3 . C. 8 3 . D. 8 15 . Câu 63. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi 3 : ; : 2; C y x d y x Ox . Quay H xung quanh trục O x ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 4 21 . B. 10 21 . C. 7 . D. 3 . Câu 64. Cho hình H giới hạn bởi đồ thị : (2 1)ln C y x x , trục hoành và đường thẳng 2 x . Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành là A. 3 2 . B. 5 ln 64 2 . C. ln 64 4 . D. 143 9 . Câu 65. Một khối cầu có bán kính 5dm , người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. A. 3 132 dm B. 3 41 dm C. 3 100 3 d m D. 3 43 dm Câu 66. Hình phẳng 1 S giới hạn bởi ( ), 0, , ( ) y f x y x a x b a b quay quanh Ox có thể tích 1 V . Hình phẳng 2 S giới hạn bởi 2 ( ), 0, , ( ) y f x y x a x b a b quay quanh Ox có thể tích 2 V . Lựa chọn phương án đúng: A. 1 2 4 V V . B. 2 1 8 V V . C. 1 2 2V V . D. 1 2 4V V . Câu 67. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 , 0, 1, 8 y x y x x xung quanh trục Ox A. 2 V . B. 9 4 V . C. 18,6 V . D. 93 5 V . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 284 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 68. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 1 4 , 3 y x y x quay xung quanh trục Ox . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 28 2 5 V . B. 28 3 5 V . C. 24 2 5 V . D. 24 3 5 V . Câu 69. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng 0 x và 3 x , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 0 3 x x là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 2 9 x , bằng: A. 3 V B. 20. V C. 22. V D. 18. V Câu 70. Kí hiệu 1 2 , V V lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng 2 2 y x và đường cong 2 2 1 y x xung quanh trục Ox . Hãy so sánh 1 2 , V V . A. 1 2 V V . B. 1 2 V V . C. 1 2 V V . D. 1 2 2 V V . 3. ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN Câu 1: Một tia lửa được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 / m s . Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa ấy cách mặt đất bao nhiêu mét, biết gia tốc là 2 9,8 / m s ? A. 30,625 . m B. 37,5 . m C. 68,125 . m D. 6,875 . m Câu 2: Trong mạch máy tính, cường độ dòng điện (đơn vị mA ) là một hàm số theo thời gian t , với ( ) 0,3 0,2 I t t . Hỏi tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong 0,05 giây là bao nhiêu? A. 0,29975 . mC B. 0,29 . mC C. 0,01525 . mC D. 0,01475 . mC Câu 3: Một vật chuyển động với vận tốc m/s ( ) 1 2sin 2 ( ) v t t . Quãng đường mà vật chuyển động trong khoảng thời gian s 0 ( ) t đến thời điểm s 3 ( ) 4 t là A. 3 1 4 . B. 3 1 4 . C. 3 1 4 . D. 3 1 4 . Câu 4: Hạt electron có điện tích âm là 19 1,6.10 C . Nếu tách hai hạt eletron từ 1pm đến 4pm thì công W sinh ra là A. 28 3,194.10 . J W B. -16 1,728.10 . W J C. 28 1,728.10 . J W D. 16 3,194.10 . J W Câu 5: Trong kinh tế học, thặng dư tiêu dùng của hàng hóa được tính bằng công thức d 0 ( ) . . a I p x P x Với ( ) p x là hàm biểu thị biểu thị giá mà một công ty đưa ra để bán được x đơn vị hàng hóa ; a là số lượng sản phẩm đã bán ra ; ( ) P p a là mức giá bán ra ứng với số lượng sản phẩm là a. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 285 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Cho 2 1200 0,2 0,0001 p x x , (đơn vị tính là USD). Tìm thặng dư tiêu dùng khi số lượng sản phẩm bán là 500. A. 1108333,3 USD. B. 570833,3 USD. C. 33333,3 USD. D. Đáp án khác. Câu 6: Một vật chuyển động với vận tốc m/s 2 2 ( ) 1,5 ( ) 2 t v t t . Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu tiên bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). A. 12,60 m. B. 12,59 m. C. 0,83 m. D. 6,59 m. Câu 7: Một ôtô đang chạy với vận tốc 18 / m s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc 36 18 v t t ( / m s ) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Quãng đường ôtô di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu mét ? A. 5,5 m . B. 3,5 m . C. 6,5 m . D. 4,5 m . Câu 8: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức 3 2 v t t , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m . Biết tại thời điểm 2 t s thì vật đi được quãng đường là 10 m . Hỏi tại thời điểm 30 t s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu? A. 1410m B. 1140m C. 300m D. 240m Câu 9: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20( / ) m s thì người người đạp phanh (còn gọi là “thắng”). Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc 40 20( / ) v t t m s trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bằng đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 10( ) m B. 5( ) m C. 8( ) m D. 15( ) m Câu 10: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 / m s thì tăng tốc với gia tốc 2 2 3 / a t t t m s . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. 4230 ( ) 3 m B. 4100 ( ) 6 m C. 1020( ) m D. 4300 ( ) 3 m Câu 11: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6 / m s . Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A. A. 24 / m s B. 34 / m s C. 30 / m s D. 40 / m s Câu 12: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N t . Biết rằng 4000 ' 1 0,5 N t t và lúc đầu vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu A. 624334 B. 334334 C. 264334 D. 269334 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 286 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 13: Một vật chuyển động với vận tốc / v t m s có gia tốc 2 3 ' / 1 v t m s t . Vận tốc ban đầu của vật là 6 / m s . Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). A. 10 / m s B. 11 / m s C. 15 / m s D. 13 / m s Câu 14: Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5 / m s và có gia tốc được xác định bởi công thức 2 2 / 1 a m s t . Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) A. 10 / m s B. 9 / m s C. 11 / m s D. 12 / m s Câu 15: Một vật di chuyển với gia tốc 2 2 20 1 2 / a t t m s . Khi 0 t thì vận tốc của vật là 30 / m s . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) A. 106 . S m B. 107 . S m C. 108 . S m D. 109 . S m Câu 16: Tập đoàn dầu khí Việt Nam PVC dự định đầu tư một khu sản xuất, chế biến dầu thô tại TP.Quảng Ngãi. Giả sử sau t năm đầu tư, dự án đầu tư lần một sẽ phát sinhlợi nhuận với tốc độ 2 1 50 P t t trăm đôla/năm, tiếp sau đó dự án lần hai sẽ phát sinh lợi nhuận với tốc độ 2 200 5 P t t trăm đôla/năm. Biết sau thời gian t năm thì tốc độ lợi nhuận của dự án hai bằng một nửa với tốc độ lợi nhuận với dự án một. Tính lợi nhuận vượt thực tế cho khoảng thời gian trên A. 6676, 4 đô B. 6576, 4 đô C. 5676, 4 đô D. 6679, 4 đô Câu 17: Trong giờ thực hành môn Vật Lí. Một nhóm sinh viên đã nghiên cứu về sự chuyển động của các hạt. Trong quá trình thực hành thì nhóm sinh viên này đã phát hiện một hạt prôton di chuyển trong điện trường với biểu thức gia tốc (theo 2 / cm s ) là: 2 20 1 2 a t .Với t của ta được tính bằng giây. Nhóm sinh viên đã tìm hàm vận tốc v theo t , biết rằng khi 0 t thì 2 30 / v m s . Hỏi biểu thức đúng là? A. 2 10 25 / 1 2 v cm s t B. 2 10 20 / 1 v cm s t C. 2 10 10 / 1 2 v cm s t D. 2 10 20 / 1 2 v cm s t Câu 18: Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau. Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s. Hỏi biểu thức vận tốc của tia lửa điện là? A. 9,8 15 v t . B. 9,8 13 v t C. 9,8 15 v t D. 9,8 13 v t Câu 19: Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau. Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s . Hỏi sau 2, 5 giây thì tia lửa điện đấy có chiều cao là bao nhiêu? A. 6.235 m B. 5.635 m C. 4.235 m D. 6.875 m Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 287 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 20: Một vật chuyển động có phương trình 5 / v at m s .Hỏi sau thời gian 5 giây thì vật chuyển động quảng đường là? A. 147,5 m B. 157,5 m C. 137,5 m D. 127,5 m Câu 21: Gọi h t cm là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng 3 1 ' 8 5 h t t và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). A. 2,66 m B. 0,55 cm C. 3,14 cm D. 2,66 cm Câu 22: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là F(m), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết 1000 ' 2 1 F m t và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày ( lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không ? A. 5433,99 và không cứu được B. 1499,45 và cứu được C. 283,01 và cứu được D. 3716,99 và cứu được Câu 23: Một ô tô xuất phát với vận tốc 1 2 10 / v t t m s sau khi đi được một khoảng thời gian 1 t thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc 2 20 4 / v t t m s và đi thêm một khoảng thời gian 2 t nữa thì dừng lại. Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4s. Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét. A. 57m B. 64m C. 50m D. 47m Câu 24: Một vật chuyển động với vận tốc / v t m s có gia tốc 2 2 3 / a t t t m s . Vận tốc ban đầu của vật là 2 / m s . Hỏi vận tốc của vật sau 2s A. 10 / m s B. 12 / m s C. 16 / m s D. 8 / m s Câu 25: Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi 0 t s chuyển động thẳng với vận tốc 3 4 / v t t t m s . Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại. A. 130m B. 34m C. 32m D. 28m Câu 26: Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5 / m s và có gia tốc được xác định bởi công thức 2 2 / 1 a m s t . Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) A. 10 / m s B. 9 / m s C. 11 / m s D. 12 / m s Câu 27: Một vật xuất phát từ A chuyển động thẳng và nhanh dần đều với vận tốc 1 2 / v t t m s . Tính vận tốc tại thời điểm mà vật óó cách A 20cm? (Giả thiết thời điểm vật xuất phát từ A tương ứng với 0 t ) A. 6 / m s B. 7 / m s C. 8 / m s D. 9 / m s Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 288 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 28: (THPT THUẬN THÀNH SỐ 2) Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m / s) thì người đạp phanh , từ thời điểm đó , ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + a (m / s) , trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển được 40m thì vận tốc ban đầu a bằng bao nhiêu? A. a = 40 B. a = 80 C. a = 20 D. a = 25 Câu 29: (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT) Một vật chuyển động với vận tốc v t / m s có gia tốc 3 1 a t t / s m . Vận tốc ban đầu của vật là 6 / m s . Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là bao nhiêu? A. 3ln11 6. B. 2ln11 6. C. 3ln11 6. D. 3ln6 6. Câu 30: Một ca nô đang chạy trên hồ Tây với vận tốc 20m / s thì hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + 20 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc ca nô dừng hẳn đi được bao nhiêu mét? A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m Câu 31: Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72km / h , phía trước là đoạn đường chỉ cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72km / h , vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km / h ô tô đã di chuyển quãng đường dài A. 100m B. 125m C. 150m D. 175m Câu 32: Người ta bơm nước vào một bồn chứa, lúc đầu bồn không chứa nước, mức nước ở bồn chứa sau khi bơm phụ thuộc vào thời gian bơm nước theo một hàm số h h t trong đó h tính bằng , cm t tính bằng giây. Biết rằng 3 ' 2 1 h t t và. Mức nước ở bồn sau khi bơm được 13s là A. 243 4 cm B. 243 80cm C. 30cm D. 60cm Câu 33: Tại thành phố Hà Tĩnh nhiệt độ (theo 0 F ) sau t giờ, tính từ 8 20 h h được cho bởi công thức 50 14 sin 12 t f t . Nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian trên là: A. 50 14 B. 14 50 C. 14 50 D. 50 14 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 289 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH 1D 2A 3B 4A 5A 6C 7D 8C 9D 10B 11A 12D 13B 14B 15C 16C 17D 18B 19C 20C 21A 22A 23A 24B 25D 26B 27D 28C 29A 30B 31D 32A 33D 34C 35D 36A 37C 38B 39A 40A 41C 42B 43C 44D 45A 46C 47D 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54A 55C 56A 57B 58A 59D 60C 61D 62D 63C 64D Câu 1. Chọn D. Câu 2. Chọn A. Câu 3. Chọn B. Đặt 3 2 3 2 ( ) ( 11 6) 6 6 11 6 h x x x x x x x ( ) 0 1 2 3 h x x x x (loại). Bảng xét dấu: x 0 1 2 h x 0 1 2 3 2 3 2 0 1 6 11 6 6 11 6 S x x x dx x x x dx 1 2 4 2 4 2 3 3 0 1 11 11 5 2 6 2 6 4 2 4 2 2 x x x x x x x x . Câu 4. Chọn A. Ta có 3 4 2 0 2 x x x x x 0 2 3 3 2 0 4 4 S x x dx x x dx 0 2 4 4 2 2 2 2 8 4 4 2 0 x x x x . Vậy 8 S (đvdt). Chú ý:Nếu trong đoạn ; phương trình ( ) ( ) f x g x không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công thức ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x dx . Câu 5. Chọn A. Theo công thức (SGK cơ bản) ta có ( ) . b a S f x dx Câu 6. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 290 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Theo công thức (SGK cơ bản) ta có ( ) ( ) . b a S f x g x dx Câu 7. Chọn D. Theo định nghĩa ta có 0 1 2 0 ( ) ( ) S f x dx f x dx Câu 8. Chọn C. Ta có 3 0 x trên đoạn [1;3] nên 3 3 3 4 3 3 1 1 1 20 4 x S x dx x dx Câu 9. Chọn D. Ta có 0 x trên đoạn [1;4] nên 4 4 4 3 2 1 1 1 2 14 3 3 S x dx xdx x Câu 10. Chọn B. Ta có 3 0 x trên đoạn [1;8] nên 8 8 8 4 3 3 3 1 1 1 3 45 4 4 S x dx xdx x Câu 11. Chọn A. Ta có sin 0 x trên đoạn 3 ; 2 nên 3 3 2 2 3 2 sin sin cos 1 S x dx xdx x Câu 12. Chọn D. Ta có tan 0 x trên đoạn ; 6 4 nên 4 4 4 6 6 6 6 tan tan ln(cos ) ln 3 S x dx xdx x Câu 13. Chọn B. Ta có 2 0 x e trên đoạn [0; 3] nên 3 3 3 6 2 2 2 0 0 0 1 1 2 2 2 x x x e S e dx e dx e Câu 14. Chọn B. Ta có [ 3 2 3 0 3 1; 4] x x x Khi đó diện tích hình phẳng là 3 4 4 3 4 4 4 3 2 3 2 3 2 3 3 1 1 3 1 3 27 51 3 ( 3 ) ( 3 ) 6 4 4 4 4 x x S x x dx x x dx x x dx x x Câu 15. Chọn C. Ta có [0 4 2 3 4 0 2 ; 3] x x x Khi đó diện tích hình phẳng là 3 2 3 4 2 4 2 4 2 0 0 2 2 3 5 5 3 3 0 2 3 4 ( 3 4) ( 3 4) 48 96 144 4 4 5 5 5 5 5 S x x dx x x dx x x dx x x x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 291 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 16. Chọn C. Ta có 1 0 1 x x nên 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ln 2 3 2ln 2 2 2 x S dx dx x x x x Câu 17. Chọn D. Ta có 2 1 2 2 x x x x và [ 2 2 , 1; 2] x x x Nên 2 2 2 3 2 1 1 9 (2 ) 2 2 3 2 x x S x x dx x Câu 18. Chọn B. Ta có 0; cos 2 0 4 2 x x Nên 2 4 2 4 2 0 0 0 4 4 1 1 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 2 2 S x dx xdx xdx x x Câu 19. Chọn C. Ta có [0 4 2 3 4 0 2 ; 3] x x x Khi đó diện tích hình phẳng là 3 2 3 4 2 4 2 4 2 0 0 2 2 3 5 5 3 3 0 2 3 4 ( 3 4) ( 3 4) 48 96 144 4 4 5 5 5 5 5 S x x dx x x dx x x dx x x x x x x Câu 20. Chọn C. Ta có 1 0 1 x x nên 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ln 2 3 2ln 2 2 2 x S dx dx x x x x Câu 21. Chọn A. Ta có 2 1 2 2 x x x x và [ 2 2 , 1; 2] x x x Nên 2 2 2 3 2 1 1 9 (2 ) 2 2 3 2 x x S x x dx x Câu 22. Chọn A. Ta có [0; ] cos 2 0 4 2 x x Nên 2 4 2 4 2 0 0 0 4 4 1 1 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 2 2 S x dx xdx xdx x x Câu 23. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 292 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Ta có 3 0 1 x x x x Nên 1 1 1 3 3 4 3 3 0 0 0 2 3 1 ( ) 3 4 12 S x x dx x x dx x x Câu 24. Chọn B. Biến đổi về hàm số theo biến số y là 2 2 , x y y x y Xét pt tung độ giao điểm 2 ( 2 ) 0 y y y có nghiệm 0, 3 y y Vậy 3 3 2 2 0 0 9 3 3 2 S y y dy y y dy Câu 25. Chọn D. Ta có 2 1 2 2 y y y y , Nên 2 2 0 10 ( 2 ) 3 S y y dy Câu 26. Chọn B. Ta có 3 3 0 0 8 0 0;8 0 ; 0 1 2 2 x x x x x x x x x x x Nên 1 2 2 3 0 1 63 8 8 4 S x x dx x x dx Câu 27. Chọn D. Ta có 2 2 1 0 1; 0 0;1 0 2 4 4 x x x x x x x Nên 1 2 2 2 0 1 5 1 4 4 6 x x S x dx dx Câu 28. Chọn C. Ta có: 2 2 10 10 0; 2 3 3 3 x x x x x x x x Nên 1 3 2 2 0 1 10 10 13 2 3 3 2 S x x x dx x x x dx Câu 29. Chọn A. Ta có: : 3 TCX y x Nên 0 0 0 1 1 ( ) ln 1 ln(1 ) 1 1 a a a S a dx dx x a x x Suy ra 5 ln(1 ) 5 1 a a e Câu 30. Chọn B. Giả sử parabol có phương trình 2 0 y ax bx c a Đi qua 3 0; 2 , ;0 2 A B nên ta có hệ phương trình : Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 293 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 2 2 8 0 0 2 9 9 8 2 0 4 9 c c b b y x a a 3 2 2 2 0 8 2 2 4 9 S x dx m Câu 31. Chọn D. Giả sử parabol có phương trình 2 0 y ax bx c a Đi qua 25 0; , 4;0 2 C D nên ta có hệ phương trình: 2 25 2 2 25 25 0 0 32 2 25 25 16 0 2 32 c c b b y x a a 4 2 2 0 25 25 200 2 32 2 3 S x dx m Câu 32. Chọn A. Xét phương trình sin , ; sin 0 2 x x x x x x . d d 2 2 2 sin sin cos 1 0 1 S x x x x x x x . Câu 33. Chọn D. Xét phương trình , 1; 2 0 x x e e x x x x . d d d d 0 2 0 2 1 0 1 0 x x x x x x x x S e e x e e x e e x e e x 0 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 x x x x e e e e e e e e e e e e e e e e Câu 34. Chọn C. Xét phương trình 2 2 1 1 , ; sin cos tan 1 6 3 4 sin cos x x x x x x x . 3 4 2 2 2 2 6 4 1 1 1 1 sin cos sin cos S x x x x x x d d 6 4 2 2 2 2 6 3 1 1 1 1 sin cos sin cos x x x x x x d d 4 3 6 4 4 4 8 cot tan cot tan 2 2 4 3 3 3 x x x x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 294 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 35. Chọn D. Xét phương trình ln , 1; ln 1 0 ln 1 x x x x e x x x x e . d d d 1 1 1 ln ln ln 1 e e e S x x x x x x x x x x x Đặt 2 1 ln 1 2 dx du x u x xdx dv x v d . d 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 ln 1 ln 1 2 2 2 4 4 4 e e e e x x x e x x x x x x 2 2 3 3 4 4 4 4 e e S . Câu 36. Chọn A. Xét phương trình 2 5 3 , 0; 2 x x x . Bấm Casio, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất 2 x d d 2 2 2 2 0 0 5 3 5 3 x x S x x x x Ta có: d 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 5 24 5 3 3 4. ln 5 2 25ln 5 x x x x x x Vậy 24 24 4 4 25ln 5 25ln 5 S Câu 37. Chọn C. Xét phương trình 0, 1; 2 0 x xe x x . d d d d 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 x x x x S xe x xe x xe x xe x Đặt x x x u dx du e dx dv e v Suy ra d d 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1 x x x x xe x xe e x e e e d d 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 1 x x x x xe x xe e x e e e 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 S e e e e e e Câu 38. Chọn B. Xét phương trình 2 4 0, 1;1 2, 2 x x x x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 295 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng d d 1 1 1 3 2 2 1 1 1 22 22 4 4 4 3 3 3 x S x x x x x . Câu 39. Chọn A. Phương trình 3 0 2 x vô nghiệm trên đoạn 3; 4 d d d 4 4 4 3 3 3 2 4 3 3 3 3 2 ln 8 3 2 2 2 x s x x ln x x x x Câu 40. Chọn A. Xét phương trình 2 2 2 4 3 0 0 x x x x d d 1 1 2 2 2 3 0 0 1 4 3 1 0 S x x x x x x Câu 41. Chọn C. x x x x S x e x e d xe xe d xe xe d xe d e xd 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 ( ) x x x x x Ta có: x x e e xd e xe d 1 1 2 0 0 1 ; 1 0 2 2 x x ( Bấm Casio hoặc tính trực tiếp bằng phương pháp tích phân từng phần) e e S 1 1 2 2 . Câu 42. Chọn B. Xét phương trình 2 0 0 x x e x d d d 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 x x x S x e x x e x x e x Tính d 1 2 0 x x e x bằng phương pháp tích phân từng phần hai lần ta có kết quả e d 1 2 0 2 x x e x Câu 43. Chọn C. Xét phương trình 2 2 3 2 1 3 2 0 1, 2 x x x x x x x d d d 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 1 3 2 3 2 S x x x x x x x x x x Bấm Casio, ta được d 2 3 2 2 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 6 x x x x x x . Câu 44. Chọn D. Xét phương trình 2 1 1 2 3, 0 2 3 1 0 1, 2 x x x x x x x d d 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 2 3 S x x x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 296 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Ta có 1 2 1 2 1 1 3 1 3 2 3 d ln 3 ln ln 2 1 4 2 4 2 x x x x x x 3 3 ln 2 ln 2 4 4 S Câu 45. Chọn A. Xét phương trình 2 2 1 0 1 1 1 0 1 x x x x d d d 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 s x x x x x x Bấm Casio ta được d 1 2 1 1 2 x x (Nếu tính tay thì đặt sin x t ). Câu 46. Chọn C. Xét phương trình 3 2 4 6 0 x x x ; Bấm Casio ta được 1, 2, 3 x x x d d 2 3 3 2 3 2 1 2 4 6 4 6 S x x x x x x x x d d 2 3 3 2 3 2 1 2 4 6 4 6 x x x x x x x x Bấm Casio ta được d d 2 3 3 2 3 2 1 2 45 7 4 6 , 4 6 4 12 x x x x x x x x 45 7 71 4 12 6 S Câu 47. Chọn D. Trước tiên, ta vẽ đồ thị của ba hàm số 2 2 , , y x y x y x trên cùng một hệ tọa độ. Miền cần tính diện tích là miền gạch sọc ngang trong hình vẽ, nó có diện tích gấp đôi diện tích hình sọc ngang bên phải Oy, tức gấp đôi diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đường 2 2 , , , 0, 1 y x y x x x d d 1 1 2 2 0 0 7 7 2 2 2 2 2. 6 3 S x x x x x x Câu 48. Chọn C. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 297 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng d d d d 1 2 1 2 0 1 0 1 0 2 0 2 S x x x x x x x x d d 1 2 0 1 2 x x x x Câu 49. Chọn C. Giả sử ABCDEF là hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm, ta tính diện tích một cánh hoa: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của cạnh A B , 1; 0 , 1; 0 , 0; 3 A B I và đỉnh I của parabol. Phương trình của parabol có dạng: 2 0 y ax b a , Do , , I A B thuộc P nên ta có: 2 3 3 y x . Do đó: diện tích mỗi cánh hoa là: 1 2 2 1 1 3 3 4 S x dx dm Vậy : Diện tích của hình là: 2 2 2 3 6 4 6 3 24 34,39 4 A dm Câu 50. Chọn C. Gắn parabol P và hệ trục tọa độ sao cho P đi qua (0;0) O Gọi phương trình của parbol là (P): 2 : P y ax bx c Theo đề ra, P đi qua ba điểm (0;0) O , (3;0) A , (1,5; 2,25) B . Từ đó, suy ra 2 : 3 P y x x Diện tích phần Bác Năm xây dựng: 3 2 0 9 3 2 S x x dx Vậy số tiền bác Năm phải trả là: 1500000 675 0 9 . 2 000 (đồng) Câu 51. Chọn C. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 4 2 2 2 2 2 2 ( 2) 1 0 ( 1)( 1) 0 x m x m x x m có 4 nghiệm phân biệt x y A B O 2 y x y x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 298 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 1 1 x x m với 0 m Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số và trục hoành phần phía trên trục hoành là 1 4 2 2 2 0 96 2 2 1 15 S x m x m dx 2 m Câu 52. Chọn C. Phương trình ( ) : 5 d y kx k Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) P và 3 ( ) : 3 5 0 d x kx k (1) Ta có 2 (1) 12 60 0 ( ) k k d luôn cắt ( ) P tại 2 điểm phân biệt , A B có hoành độ là 6 6 A B k x k x 2 2 5 3 ( 12 60) 54 B A x x S kx k x dx k k min 6 S k Câu 53. Chọn C. 2 : 0 C y f x ax bx c c qua 0;1 , 2; 3 , 2; 3 nên 2 1 : 1 2 C y x Khi đó 3 3 3 3 2 2 1 2 0 0 3 3 3 1 1 2 1 2 1 2 2 2 6 6 1 15 2 3 15 0 2,47 6 6 2 k k k k x x S S x dx x dx x x k k k k k k k Câu 54. Chọn A. Phương trình đường tròn: 2 2 2 x y . Phương trình nửa trên trục hoành của đường tròn: 2 2 y x . Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường tròn: 2 2 2 4 2 2 2 2 2 0 1 1 x l x x x x x x . Diện tích phần hình phẳng không được tô đậm bên trong hình tròn là 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 2 2 S x x dx x dx x dx I J Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 299 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2sin . 2 cos 4 cos 2 1 cos 2 2 sin 2 2 I x dx t tdt tdt t dt t t 2 2 3 2 0 0 4 2 2 2 3 3 x J x dx 1 4 2 3 S I J Diện tích cần tìm là 1 4 2 4 2 2 3 3 hp htron S S S Câu 55. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là: . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: , trục tung và trục hoành là: . Phương trình đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc có dạng: . Gọi là giao điểm của và trục hoành. Khi đó . Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích bằng nhau khi và . . Câu 56. Chọn A. Cách 1: (Dùng công thức diện tích theo biến y ) + Gọi 2 : 6 : : 0 0, 6 P y x x H Ox y x x . Suy ra: 6 2 0 6 36 H S S x x dx Ta có: 2 1 2 2 3 9 6 3 9 3 9 x y P y x x x y x y P 2 4 4 y x x 2 4 4 0 2 x x x H 2 4 4 y x x 2 2 2 2 0 0 4 4 d 4 4 d S x x x x x x 2 3 2 0 8 2 4 3 3 x x x d 0;4 A k 4 y kx B d 4 ;0 B k d H B O I 1 4 2 3 OAB S S 4 0 2 2 6 1 1 4 4 6 . .4. 2 2 3 OAB k k k k S OA OB k O B I x y d 4 1Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 300 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng + Gọi 1 1 2 : 3 9 : : 3 9 , 9 P x y H P x y y n y . Suy ra: d 1 9 9 3 1 4 3 9 3 9 2 9 9 3 H n n S S y y dy y y n Mà 1 12 3 S S nên 3 3 4 9 12 9 81 3 n n + Gọi 1 2 2 : 3 9 : : 3 9 , 9 P x y H P x y y m y . Suy ra: d 2 9 3 2 4 2 9 9 3 H m S S y y m Mà 2 2 24 3 S S nên 3 3 4 9 24 9 324 3 n n Vậy 81 324 405 P . Cách 2: (Dùng công thức diện tích theo biến x ) Từ điều kiện bài toán ta có : 0 , 9 m n . Xét các phương trình hoành độ giao điểm : 2 6 0 x x 2 6x x m 3 9 3 9 x m x m và 2 6x x n 3 9 3 9 x n x n Gọi 2 6 0; 6 y x x D Ox x x ; 2 6 3 9 ; 3 9 M y x x D y m x m x m ; 2 6 3 9 ; 3 9 N y x x D y n x n x n Khi đó ta có : d 6 2 0 6 D S x x x 36 . d 3 9 2 3 9 6 M m D m S x x m x d 3 9 2 3 9 9 3 m m m x x = 3 9 3 3 9 3 9 3 m m x m x = 3 4 . 9 3 m Chứng minh tương tự ta có : 3 4 . 9 3 N D S n Theo bài ra ta có : 2 .36 24 3 M D S và 1 .36 12 3 N D S Do đó 3 9 324 m và 3 9 81 n . Vậy 324 81 405 P . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 301 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 57. Chọn B. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:. ln 1 ln 1 1 ln 1 x e x x x x e . d d d 1 1 2 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln e e e e S x x x x x x I I . Tính d 1 1 1 1 ln e I x x . Đặt d = d d =d 1 1 ln u x u x x v x v x . d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln | 1 | 1 1 e e e I x x x x e e .. Tính d 2 1 1 ln e I x x . Đặt d = d d =d 1 1 ln u x u x x v x v x . d 2 1 1 1 1 ln | 1 | 1 1 2 e e e I x x x x e e .. Suy ra 1 2 1 b S e ae c a e e , 1 b , 2 c .. Vậy, 0 P a b c . Câu 58. Chọn A. Toạ độ giao điểm ; x y thoả hệ PT 2 2 my x mx y 2 2 2 x y m x mx m 2 3 4 x y m m x x 2 0 x y m x x m 0 0 x x m y y m . Với 0; , 0 x m m thì đường 2 mx y y mx . Do đó diện tích hình phẳng d 2 0 m x S mx x m 3 3 0 2 3 3 m x m x m 2 1 3 m . Yêu cầu 3 S 2 1 3 3 m 1 m (do 0 m ). Câu 59. Chọn D. Ta có: cos 0 , 2 x x k k Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 302 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng sin cos x x sin 0 4 x , 4 x k k Dựa vào hình vẽ ta có 1 S , 2 S giới hạn bởi các giá trị 2 x , 4 x , 5 4 x . Vậy d 4 1 2 cos sin 1 2 S x x x ; d 5 4 2 4 sin cos 2 2 S x x x Suy ra: 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 11 2 2 S S . Câu 60. Chọn C. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ 2 2 2 4 2 2 2 2 1 2 0 1 2 x y x x x x y x x . Ta có 2 2 2 2 2 0 x y y x y . Diện tích hình phẳng 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 0 2 d 2 d 2 2 d 2 S x x x x x x x x x I J . Tính d 1 1 3 2 0 0 1 3 3 x I x x . Tính d 1 2 0 2 J x x bằng cách đặt d d 2 sin 2 cos x t x t t và 0 0; 1 4 x t x t . Khi đó d d d 4 4 4 4 2 2 0 0 0 0 1 cos 2 1 1 2 2sin . 2 cos 2 cos 2 sin 2 2 2 4 2 t J t t t t t x t t . Vậy 1 1 1 2 3 4 2 2 3 S . Câu 61. Chọn D. Cách 1: Gọi T là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi elip và hai trục tọa độ bên góc phần tư thứ nhất. Khi đó d 3 2 1 0 3 1 4 3 . 9 4 x T x S T y O 3 1 x O a b x y 2 1 9 x y Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 303 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Hơn nữa 2 1 .6.2 6 2 S . Khi đó 1 2 3 6 2 S S . Cách 2( tổng quát): Diện tích của elip ứng với hai bán trục a và b là 1 S ab . Hình thoi có các đỉnh là đỉnh của elip có bán trục a và b có độ dài hai đường chéo là 2a và 2b nên có diện tích là 2 1 .2 .2 2 2 S a b ab . Khi đó 1 2 2 2 S ab S ab . Câu 62. Chọn D. Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 1 , , 0 y x y k x bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 2 2 1 , 1, , 0. y x y x y k x d d d 1 1 1 2 2 2 0 1 1 1 1 1 . k k k x k x k x x k x x 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 k k k k k k k k k k k k k k 2 4 1 1 3 3 k k 3 1 2 k 3 4 1. k Câu 63. Chọn C. Ta có d 2 2 1 S xf x x . Đặt d d 2 1 2 x t x x t . Đổi cận 1 1 x t , 2 4 x t . Khi đó d d 4 4 1 1 1 1 1 2 2 2 S f t t f x x I 2 5 I S . Câu 64. Chọn D. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 304 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Gọi ABCD là hình chữ nhật với AB nằm trên trục Ox , 1; 0 A và ; C a a Nhận thấy đồ thị hàm số y x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và đi qua ; C a a . Do đó nó chia hình chữ nhật ABCD ra làm 2 phần là có diện tích lần lượt là 1 S , 2 S . Gọi 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x và trục Ox , 0, x x a và 2 S là diện tích phần còn lại. Ta lần lượt tính 1 S , 2 S . Tính diện tích d 1 0 a S x x . Đặt d d 2 2 t x t x t t x ; Khi 0 0; x t x a t a . Do đó d 3 2 1 0 0 2 2 2 3 3 a a t a a S t t . Hình chữ nhật ABCD có 1; AB a AD a nên 2 1 2 1 1 3 3 ABCD a a S S S a a a a a Do đồ thị hàm số y x chia hình H thành hai phần có diện tích bằng nhau nên 1 2 2 1 3 3 3 3 a a S S a a a a a a a (Do 0 a ). Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 305 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH 1C 2B 3C 4B 5C 6D 7D 8D 9D 10B 11D 12D 13D 14C 15B 16A 17C 18A 19C 20C 21B 22D 23A 24A 25C 26C 27D 28B 29A 30C 31B 32A 33C 34C 35B 36C 37C 38D 39D 40C 41A 42B 43D 44B 45B 46D 47C 48B 49C 50D 51D 52C 53A 54B 55A 56D 57B 58A 59B 60B 61C 62C 63B 64B 65A 66D 67D 68B 69D 70B Câu 1. Chọn C. Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 4 2 1 4 .( ) 12 . V dx x Câu 2. Chọn B. Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 2 ( ) . b a V f x dx Câu 3. Chọn C. Giao điểm của hai đường 1 y x và 0 y là (1; 0) A . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 3 1 ( 1) 2 . V x dx Câu 4. Chọn B. Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 1 3 2 0 23 ( 1) . 14 V x dx Câu 5. Chọn C. Với ; x a b thì 2 y x y x . Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: . b a V xdx Câu 6. Chọn D. Giao điểm của hai đường 2 2 2 y x x và 0 y là (0; 0) O và (2; 0) A . Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 2 2 2 0 16 ( 2 ) . 15 V x x dx Câu 7. Chọn D. Giao điểm của hai đường 2 1 y x và 0 y là ( 1; 0) B và (1; 0) A . Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 1 2 1 4 (1 ) . 3 V x dx Câu 8. Chọn D. Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường ; 0; ; sin x y x x O x quay trục Ox. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 306 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: x 0 sin 2 . V dx Câu 9. Chọn D. Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: tan x 3 2 0 3 . 3 V dx Câu 10. Chọn B. Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 4 2 0 68 .(1 ) . 3 V x dx Câu 11. Chọn D. Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn 2 2 ( ) : ( 5) 25 C x y . Ta thấy nếu cho nửa trên trục Ox của C quay quanh trục Ox ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng H giới hạn bởi nửa trên trục Ox của C , trục Ox , hai đường thẳng 0, 2 x x quay xung quanh trục Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có 2 2 2 ( 5) 25 25 ( 5) x y y x Nửa trên trục Ox của C có phương trình 2 2 25 ( 5) 10 y x x x Thể tích vật thể tròn xoay khi cho H quay quanh Ox là: d 2 2 3 2 2 1 0 0 52 10 5 3 3 x V x x x x Thể tích khối cầu là: V 3 2 4 500 .5 3 3 Thể tích cần tìm: 3 2 1 500 52 2 2. 132 3 3 V V V dm Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích 5 2 2 2 1 3 52 25 3 R d V R x dx x dx Vậy thể tích của chiếc lu là 3 1 4 52 2 .5 2 132 3 3 c V V V Câu 12. Chọn D. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường 3 y x , trục Ox , 1 x , 1 x một vòng quanh trục Ox là: d d 1 1 1 7 2 3 6 1 1 1 2 . 7 7 x V x x x x Câu 13. Chọn D. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 0 2 0 2 x x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 307 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Suy ra d d 2 2 2 2 2 2 3 4 0 0 2 4 4 V x x x x x x x 2 3 4 5 0 4 4 16 3 4 5 15 x x x Câu 14. Chọn C. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường tan ; ; 0; 4 y x Ox x x là: d d d d 2 4 4 4 4 2 2 2 4 4 0 0 0 0 0 0 tan tan tan 1 tan 4 V x x x x x x x x x Câu 15. Chọn B. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 1 0 1 x x x Suy ra d d 1 1 1 3 5 2 2 2 4 1 1 1 2 16 1 1 2 3 5 15 x x V x x x x x x Câu 16. Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 0 0 x x Suy ra d d 1 1 1 5 2 2 4 0 0 0 5 5 x V x x x x Câu 17. Chọn C. 3 3 3 1 2 1 2 1 2 y y x y x x Phương trình tung độ giao điểm: 3 1 0 1 2 y y Suy ra d d 3 2 3 3 3 6 3 7 4 1 1 1 1 2 1 2 480 2 4 4 7 4 7 y y y y y V y y y Câu 18. Chọn A. d d 2 2 2 2 2 0 0 3 4 .cos sin cos sin 4 V x x x x x x x x Câu 19. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 1 0 1 2 x x x Suy ra d d d 2 2 0 0 0 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 4 1 2 4 1 1 1 1 x V x x x x x x x 0 1 2 1 4 4ln 1 1 2 4ln 2 2 3 4ln 2 1 x x x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 308 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 20. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 4 2 x x Suy ra: d d 2 2 2 5 2 2 2 4 2 2 2 4 16 16 5 x V x x x x x 256 5 Câu 21. Chọn B. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường sin y x , trục hoành và hai đường thẳng 0 , x x là: d d 2 2 0 0 sin sin V x x x x d 2 0 0 1 cos 2 1 1 sin 2 . 2 2 4 2 x x x x Câu 22. Chọn D. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 0 3 0 3 x x x x Suy ra: d d 3 3 2 2 2 3 4 0 0 3 9 6 V x x x x x x x 3 3 4 5 0 9 6 81 81 0 3 4 5 10 10 x x x Câu 23. Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm: 1 0 1 x x . Suy ra: d d 4 4 4 2 2 1 1 1 4 7 1 2 1 2 3 6 x V x x x x x x x x . Câu 24. Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm: 3 0 x x x . Suy ra: d d 1 1 1 2 2 2 3 0 1 0 8 8 3 8 3 3 V x x x x x x . Câu 25. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: 0 0 x x . Suy ra: d 4 4 2 0 0 8 2 V x x x . Câu 26. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 6 1 6 0 2 x x x x x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 309 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Suy ra: d 2 2 2 1 6 35 1 3 V x x x . Câu 27. Chọn D. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 4 5 5 4 0 4 x x x x x x . Suy ra: d 2 2 2 1 4 5 9 V x x x . Câu 28. Chọn B. Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 y x b y a x a a b . Phương trình hoành độ giao điểm: 0 y x a . Suy ra: d 2 2 2 2 2 4 3 a a b V a x x ab a . Câu 29. Chọn A. Ta có: 2 2 1 0 y 2 0; 0 4 1 3 2 3 9 2 0;0 4 2 x y y x x x y y y y x x . Phương trình hoành độ giao điểm: 2 3 9 2 0 x x x . Ta có: d d 4 4 2 1 2 0 0 4 32 ; 3 9 2 4 V x x V x x Suy ra: 1 2 max , 32 V V V . Câu 30. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: 0 1 4 2 x x x x . Suy ra: d 4 2 0 1 8 4 3 V x x x . Câu 31. Chọn B. Phương trình hoành độ giao điểm: 3 3 2 1 0 0 2 0 2 x x x x x x x . Ta có: d d 1 2 2 6 1 2 0 1 1 1 ; 2 7 3 V x x V x x Suy ra: 1 2 10 21 V V V . Câu 32. Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm: 1 2 0 2 x x x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 310 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Ta có: 1 2 0; 0; 4 ; 0; 0; 4 2 x x x x d d 4 4 2 1 2 0 0 1 16 4 32 ; 4 3 V x x V x x Suy ra: 1 2 max , 32 V V V . Câu 33. Chọn C. Ta có: d 3 4 0 33 2 5 V x x . Câu 34. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 3 2 0 3 x x . Suy ra: d 0 2 2 3 8 3 2 9 V x x . Câu 35. Chọn B. Ta có: d 2 4 0 2 1 5 V x x . Câu 36. Chọn C. Ta có: d 4 2 0 1 cos V x x . Câu 37. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: 0 1 x x x x . Suy ra: d 1 2 0 6 V x x x . Câu 38. Chọn D. Ta có x f x e 1 1 2 2 2 0 0 d d e d b x x a V f x x e x x . Câu 39. Chọn D. d 1 1 7 2 3 1 1 2 7 7 x V x x . Câu 40. Chọn C. Xét phương trình ln 0, 0 x x 1 x d 2 1 ln e V x x Đặt 2 2ln ln d d x u x u x x ; d d v x v x Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 311 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng d d 2 1 1 1 1 ln 2 ln 2 ln 2 1 2 e e e e V x x x x e x x x e e e e Câu 41. Chọn A. d 2 2 1 ln V x x d d 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 ln 2 ln 2 ln 2 2 ln 2 ln 2 2 2 ln 2 1 2 ln 2 1 V x x x x x x x Câu 42. Chọn B. Xét phương trình 3 8 2 x x d 3 3 7 6 7 6 2 2 64 64 3 9.2 7 7 x V x x x Câu 43. Chọn D. Gọi 1 V là thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y bx , trục hoành và hai đường thẳng 0, b x x a . Khi đó, d 0 0 3 5 2 2 1 3 . 3 3 b b a a x b V bx x b a Gọi 2 V là thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường 2 y ax , trục hoành và hai đường thẳng 0, b x x a . Khi đó, d 0 0 5 5 2 2 2 2 3 . 5 5 b b a a x b V ax x a a Suy ra, thể tích khối tròn xoay khi quay hình K quanh trục Ox là : 5 5 5 1 2 3 3 3 2 15 3 5 b b b V V V a a a Để thể tích không phụ thuộc vào a và b thì tỉ số 5 3 b a cố định. Câu 44. Chọn B. Thể tích cần tìm là d 4 2 0 ( 2) cos 8 V x x . Câu 45. Chọn B. Thể tích cần tìm là d 2 2 2 8 0 1 4 x V e x e . Câu 46. Chọn D. Thể tích cần tìm là d 2 2 2 0 3 sin 8 V x x . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 312 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 47. Chọn C. Thể tích cần tìm là d 2 1 2 0 x V xe x . Câu 48. Chọn B. Thể tích cần tìm là d d d d 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 x x x x x x x V xe x xe x x e xe x x e xe e x e Câu 49. Chọn C. Thể tích cần tìm là d 2 2 1 2 2 2 1 x V x e x e . (gợi ý: Tích phân từng phần) Câu 50. Chọn D. Thể tích cần tìm là 2 2 2 0 2 1 d 5 V x x . Câu 51. Chọn D. Vẽ hình Suy ra thể tích cần tìm là d d 2 2 2 2 2 0 0 32 4 2 4 5 V x x x x . Câu 52. Chọn C. Giải phương trình ln 0 1. x x x Thể tích cần tìm là d 3 2 1 5 2 ln 27 e e V x x x . (gợi ý: tích phân từng phần hai lần) Câu 53. Chọn A. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 1 1 x x y với 0 y là nghiệm của phương trình: 2 1 1 0 1 2 x x x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng d d 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 4 1 4 1 1 1 x V x x x x x 1 2 1 1 15 4 4 ln 1 4 ln 2 1 2 x x x Câu 54. Chọn B. Thể tích cần tìm là d d 2 8 8 8 2 0 0 0 1 cos8 1 1 cos 4 sin 8 2 2 16 16 x V x x x x x . Câu 55. Chọn A. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 313 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Thể tích cần tìm là d d 2 1 1 2 0 0 2 1 1 1 1 1 x V x x x x x 1 0 3 4ln 2 1 2ln 1 1 2 x x x . Câu 56. Chọn D. Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số 2 y x và 2 y x là nghiệm của phương trình 2 0 2 2 x x x x Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là d d 2 2 2 2 2 0 0 2 V x x x x 2 2 5 3 0 0 4 64 3 5 15 x x Câu 57. Chọn B. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 1 y x với trục Ox là nghiệm của phương trình: 2 1 1 0 1 x x x Thể tích khối tròn xoay tạo thành là: d d 1 1 1 5 2 2 2 4 3 1 1 1 2 16 1 1 2 3 5 15 x V x x x x x x x Câu 58. Chọn A. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là d d 1 1 1 5 2 2 4 0 0 0 5 5 x V x x x x . Câu 59. Chọn B. Thể tích của bồn (hình trụ) đựng dầu là: 2 2 3 .1 .5 5 ( ) V r h m Thể tích phần đã rút dầu ra (phần trên mặt (ABCD)) là: 3 1 3 .5 3,070 ( ) 3 4 V m Vậy thể tích cần tìm là: 3 2 1 5 3,07 12,637 ( ). V V V m C D O O' A B HBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 314 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 60. Chọn B. 1 1 1 1 0 r y x 2 2 2 2 3 r y x Suy ra: 3 3 2 2 3 0 0 0 15 d 1 d 2 2 x V y x x x x Câu 61. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 6 1 6 0 0 3 x x x x x x l x Vì 6 1 0 x x với 1; 2 x nên thể tích cần tính là d d 2 2 2 2 1 1 6 35 1 3 V x x x x . Câu 62. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: 1 0; 4 2 x x x . Vẽ hình Suy ra thể tích cần tìm là d 2 4 4 2 0 0 1 8 2 3 V x dx x x . Câu 63. Chọn B. Giải phương trình 3 3 0 0; 2 0 2; 2 1 x x x x x x x Vẽ hình Suy ra thể tích cần tìm là d d 1 2 2 6 0 1 10 2 21 V x x x x . Câu 64. Chọn B. Giải phương trình (2 1)ln 0 1 x x x Thể tích cần tìm là d 2 2 1 5 (2 1)ln ln 64 2 V x x x Câu 65. Chọn A. Đặt hệ trúc với tâm O , là tâm của mặt cầu ; đường thẳng đứng là O x , đường ngang là Oy ; đường tròn lớn có phương trình 2 2 25 x y Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox , đường cong 2 25 , 3, 3 y x x x quay quanh Ox là 3 2 3 25 132 V x dx . Câu 66. Chọn D. Ta có d d 2 2 2 1 2 ( ) 4 ( ) 4 b b a a V f x x f x x V . Câu 67. Chọn D. x y O 3Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 315 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Thể tích cần tìm là d 8 2 3 1 18,6 V x x . Câu 68. Chọn B. Giải phương trình 2 2 1 4 3 3 x x x Thể tích cần tìm là d d 2 3 3 2 2 2 3 3 28 3 4 3 5 x V x x x . Câu 69. Chọn D. Diện tích thiết diện là 2 2 ( ) . 2 9 2 9 S x x x x x Thể tích cần tìm là d d 3 3 2 0 0 ( ) 2 9 18 V S x x x x x Câu 70. Chọn B. Giải phương trình 2 2 1 2 2 0;1 x x x 3 1 4 4 3 3 V R d d 1 1 2 2 2 2 0 0 4 2 1 2 2 3 V x x x x . 3. ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN 1C 2D 3A 4B 5C 6B 7D 8A 9B 10D 11A 12C 13D 14A 15C 16A 17D 18A 19D 20A 21D 22D 23A 24B 25C 26A 27D 28C 29A 30D 31B 32C 33B Câu 1: Chọn C. Hàm vận tốc 0 15 9,8 v t v at t Quãng đường tia lửa đi được sau 2,5 giây là: d 2,5 2,5 2 0 0 15 9,8 15 4,9 68,125 . s t t t t m Câu 2: Chọn D. d d 0,05 0,05 0,05 2 0 0 0 0,3 0,2 0,3 0,01475 . 10 t q I t t t t t mC Câu 3: Chọn A. Quãng đường cần tìm d 3 3 4 4 0 0 3 1 2 sin 2 cos 2 1 4 s t t t t . Câu 4: Chọn B. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 316 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Áp dụng công thức d 1 2 2 b a kq q A x x . Trong đó: 9 12 12 9.10 ; 1 10 ; 4 4.10 k a pm m b pm m ; 19 1 2 1,6.10 q q C Suy ra: d 12 12 12 12 2 4.10 9 19 4.10 28 16 2 10 10 9.10 . 1,6.10 1 2,304.10 1,728.10 A x J x x . Câu 5: Chọn C. Áp dụng công thức trên với 500; 500 1075 a P p a p . Suy ra d 500 500 2 3 2 0 0 1200 0,2 0,0001 1075 125 33333,3 10 30000 x x I x x x x USD. Câu 6: Chọn B. Quãng đường trong 4 giây đầu tiên (từ 0 t đến 4 t ) là d d 4 4 2 0 0 2 6 1,5 1,5 2 2 2 t s t t t t t 4 2 0 1,5 2 6ln 2 12,59 . 2 t t t t m Câu 7: Chọn D. Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu hãm phanh. Gọi T là thời điểm ô tô dừng. Ta có 0 v T . Suy ra 36 18 0 0,5 T T (s) Khoảng thời gian từ lúc hãm phanh đến lúc dừng hẳn ô tô là 0,5 s. Trong khoảng thời gian đó, ô tô di chuyển được quãng đường là 0,5 0,5 2 0 0 36 18 18 18 4,5( ) s t dt t t m . Câu 8: Chọn A. Quãng đường tại thời gian t : 3 3 3 2 2 2 S t t dt t t c Mà 2 3 2 10 0 2 2 S c S t t t Tại thời điểm 30 : 30 1410 t s S Câu 9: Chọn B. Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được đạp phanh. Gọi T là thời điểm ô tô dừng. Ta có 0 v T suy ra 20 40 0,5 T T Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến y x O b a Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 317 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng khi dừng hẳn của ô tô là 0,5 giây. Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó, ô tô di chuyển được quãng đường là 0,5 0,5 2 0 0 20 40 20 20 5( ) L t dt t t m Câu 10: Chọn D. Gọi v t là vận tốc của vật. Ta có 2 ' 3 v t a t t t .Suy ra 2 3 3 2 3 t t v t C Vì 0 10 v nên suy ra 10 C . Vậy 2 3 3 10 2 3 t t v t Thành thử quãng đường vật đi được là 10 2 3 0 3 4300 10 ( ) 2 3 3 t t S dt m Câu 11: Chọn A. Thời điểm A và B gặp nhau là 20 giây kể từ lúc A xuất phát. Đồ thị vận tốc của A là đường gấp khúc . OMN Quãng đường A đã đi được là diện tích hình thang OMNQ . Diện tích của nó là 6 20 12 96 2 , do đó lúc gặp , B A đi được 96 m . Đồ thị vận tốc của B là đường thẳng HP . Vì B xuất phát cùng vị trí với A nên quãng đường B đi được là 96 m . Mặt khác, quãng đường B đã đi được bằng diện tích hình tam giác HPQ với 8 HQ và PQ chính là vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A . Suy ra 8 96 4 2 PQ PQ nên 24 PQ . Vậy vận tốc của B tại thời điểm nó đuổi kịp A là 24 / m s . Câu 12: Chọn C. Ta có: 4000 8000 ln 1 0,5 1 0,5 N t dt t C t Ta có : 0 250000 250000 N C 8000 ln 1 0,5 250000 N t t 10 8000 ln 6 250000 264334 N . Kết quả : 264334 Câu 13: Chọn D. Ta có: 3 3ln 1 1 v t dt t c t mà 0 6 6 3ln 1 6 v c v t t 10 3ln11 6 13 / v m s . Kết quả: 13 / m s Câu 14: Chọn A. Ta có 2 2ln 1 1 v t dt t c t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 318 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là : 0 5 2 ln 0 1 5 5 v c c . Nên 2ln 1 5 v t t Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là : 10 2 ln 11 5 9,8 v Câu 15: Chọn C. Ta có 10 . 1 2 v t a t dt C t Theo đề ta có 0 30 20 v C Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là : 2 0 10 20 5ln 5 100 108 . 2 1 S dt m t Câu 16: Chọn A. Khoảng thời gian để tốc độ sinh lợi nhuận để dự án hai bằng một nửa dự án lần một khi: 2 2 1 2 5 5 15 2 50 400 10 10 350 0 5 5 15 t P t P t t t t t t 5 5 15 t năm. Lợi nhuận vượt trong khoảng thời gian 0 5 5 15 t sẽ xác định bằng tích phân sau: 5 5 15 5 5 15 2 2 1 0 0 400 10 50 L P t P t dt t t dt 5 5 15 2 0 350 10t t dt 5 5 15 2 3 0 1 350 5 6674,6 3 t t t Câu 17: Chọn D. Trước hết để giải bài toán này ta cũng chú ý. Biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là: . v a dt Áp dụng công thức trên , ta có : 2 20 1 2 v adt dt t Đến đây ta đặt : 1 2 2 2 d u u t d u d t d t 2 10 10 10 10 1 2 v du u du K K u u t Với 0, 30 20 t v K Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian là : 2 10 20 / . 1 2 v cm s t Nhận xét: dựa trên nội dung công thức trên ta có thể tính toán, trả lời các câu hỏi trong Vật Lí ứng dụng và trong đời sống. Ta theo dõi các ví dụ tiếp theo. Câu 18: Chọn A. Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc 2 9,8 / a m s Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là : Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 319 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng 9,8 9,8 v adt dt t C Ở đây, với : 0, 15 / 15 t v m s C Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng : 9,8 15 v t Câu 19: Chọn D. Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc 2 9,8 / a m s Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là : 9,8 9,8 v adt dt t C Ở đây, với 0, 15 / 15 t v m s C Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng: 9,8 15 v t Lấy tích phân biểu thức vận tốc, ta sẽ có được bểu thức quãng đường: 2 9,8 15 4,9 t 15 s vdt t dt t K Theo đề bài, ta được khi 0 0 0. t s K Vậy biểu thức tọa độ của quảng đường là : 2 4,9 15 . s t t Khi 2,5 t s , ta sẽ được 6,875 s m Câu 20: Chọn A. Muốn tìm quãng đường, ta lấy tích phân hàm vận tốc, ta được: 0 5 s vdt v at dt at dt Do đó, quãng đường có biểu thức là : 2 0 1 . 2 s v t at C 1 . Khi 0 0 0 t s C Theo đề bài : 2 5 , 9,8 / . t s a m s Thay vào phương trình của 1 ta được : 2 1 5.5 9,8.5 147.5 2 s m Câu 21: Chọn D. Thời gian bơm nước được 6 giây. Mức nước càn tìm là : 6 6 6 4 4 3 3 3 0 0 0 1 3 3 12 ' 8 8 14 2,66 5 20 20 5 h t h t dt t dt t cm Câu 22: Chọn D. Vi khuẩn HP gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là: 1000 500 ln 2 1 2 1 F m dt t t Suy ra số vi khuẩn trong dạ dày bệnh nhân sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh là: 15 500ln 31 2000 3716,99 4000 F Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 320 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Câu 23: Chọn A. Đến lúc phanh vận tốc của xe là : 1 2 10 t đó cũng là vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp phanh ; sau khi đi thêm 2 t thì vận tốc là 0 nên 1 2 1 2 2 10 20 4 2 5 t t t t Lại có 1 2 4 t t lập hệ được 1 2 3 1 t s t s Tổng quãng đường đi được là: 2 1 0 0 2 10 20 4 57 S t dt t dt m Câu 24: Chọn B. Ta có 2 2 3 3 2 t v t a t dt t t dt t C Vận tốc ban đầu của vật là 2 / 0 2 2 m s v C Vậy vận tốc của vận sau 2s là: 2 12 v Câu 25: Chọn C. Thời điểm vật dừng lại khi đó ta có vận tốc: 0 0 3 4 0 4 t v t t t t Chúng ta nhận giá trị 4 t . Vậy vật chuyển động sau 4s thì dừng. Quãng đường vật đi trong 4s là : 4 0 3 4 32 S t t dt Câu 26: Chọn A. Ta có 2 2ln 1 1 v t dt t c t Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là: 0 5 2 ln 0 1 5 5. v c c Nên 2 ln 1 5. v t t Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là: 10 2ln 11 5 9,8 v Câu 27: Chọn D. Ta có 2 1 2 S t t dt t t c Vật xuất phát từ A tương ứng với thời gian 0 t nên 2 0 0 0 0 0 0 S c c Suy ra : 2 S t t t Vật cách A 20cm ta có : 2 4 20 5 t t t t (nhận 4 t ). Vậy sau 4s thì vật cách A 20m và vận tốc tại thời điểm đó là : 4 9 v Câu 28: Chọn C. Thời điểm vật dừng lại khi vận tốc bằng 0: 0 5 0 5 a v t t a t Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 321 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Ô tô di chuyển được 40 mét: 2 2 2 5 5 2 0 0 5 5 40 2 10 5 10 a a a a a t a dt t at . Câu 29: Chọn A. Ta có hàm vận tốc là nguyên hàm của gia tốc: 3 3ln 1 . 1 v t dt t C t Điều kiện vận tốc ban đầu 6(m/s): 0 6 3ln 0 1 6 6 v C C Vậy hàm vận tốc là: 3ln 1 6 v t t Vận tốc của vật sau 10 giây là : 10 3ln11 6 v Câu 30: Chọn D. Khi ca nô dừng thì 0 5 20 0 4 v t t t Khi đó quãng đường đi được từ khi hết xăng là Ta có 4 4 2 0 0 5 5 20 20 40 2 s t dt t t m Câu 31: Chọn B. Theo đề : 72 / 20 / , v km h m s Ta có : 5 0 30 2 20 5 30 2 125 t t S t dt Câu 32: Chọn C. Ta có 3 3 3 2 1 2 1 2 1 8 h t t dt t t C Lúc đầu 0 t bể không có nước 3 0 0 8 h C 13 30 h . Câu 33: Chọn B. Nhiệt độ TB được tính theo công thức sau: 20 8 1 14 50 14.sin 50 20 8 12 t dt . Xem thêm các chuyên đề của thầy tại toanhocplus.blogspot.com Xem và tải về miễn phí
Tài liệu liên quan ×
Tài liệu này đã sẵn sàng để bạn tải về
Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Bùi Trần Duy Tuấn TẢI NGAY