What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
Members Current visitors New profile posts Search profile posts
Đăng nhậpCó gì mới?Tìm kiếm
Tìm kiếm
Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề NoteBy:SearchTìm nâng cao…
New posts
Search forums
Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS
Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.
Note: This feature may not be available in some browsers.
Home
Forums
Lớp 11
Toán học 11
Chủ đề 2: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
Bài 3. Các bài toán về khai triển nhị thức Newton
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG
Thread starterThread starterDoremon
Ngày gửiNgày gửi 9/12/14
Doremon
Moderator
Thành viên BQTA.LÍ THUYẾT: 1.Các hằng đẳng thức $\begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^0} = 1\\ {\left( {a + b} \right)^1} = a + b\\ {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\\ {\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\\ {\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\\ ... \end{array}$ 2.Nhị thức Newton( Niu-tơn) a.Định lí: ${\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} $ Kết quả: *${\left( {a - b} \right)^n} = {\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^n} = {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}\left( { - b} \right)} ^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} $ *${\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{x^k}} = C_n^0 + C_n^1.x + ... + C_n^n.{x^n}$ b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn ${\left( {a + b} \right)^n}$: • Số các số hạng của công thức là n+1 • Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n - k) + k = n • Số hạng tổng quát của nhị thức là: ${T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$ (Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển ${\left( {a + b} \right)^n}$) • Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau. • ${2^n} = C_n^n + C_n^{n - 1} + ... + C_n^0$ • $0 = C_n^0 - C_n^1 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$ • Tam giác pascal: • Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n - 1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi $C_n^k = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k$ (Với 1 < k < n) 3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng: • ${2^n} = {\left( {1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k = } C_n^n + C_n^{n - 1} + ... + C_n^0$ • $0 = {\left( {1 - 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_n^k = } C_n^0 - C_n^1 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$ • ${\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}} = } C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + ... + C_n^n{x^0}$ • ${\left( {1 - x}\right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^k{x^k} = } C_n^0{x^0} - C_n^1{x^1} + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n{x^n}$ • ${\left( {x - 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_n^k{x^{n - k}} = } C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + ... + {\left({ - 1} \right)^n}C_n^n{x^0}$ 4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton. a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có $\sum\limits_{i = 1}^n {C_n^i} $ với i là số tự nhiên liên tiếp. b. Trong biểu thức có $\sum\limits_{i = 1}^n {i\left( {i - 1} \right)C_n^i} $ thì ta dùng đạo hàm $\left( {i \in N} \right)$ • Trong biểu thức có $\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {i + k} \right)C_n^i} $ thì ta nhân 2 vế với x$^k$ rồi lấy đạo hàm • Trong biểu thức có $\sum\limits_{i = 1}^n {{a^k}C_n^i} $ thì ta chọn giá trị của x = a thích hợp. • Trong biểu thức có $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{i - 1}}C_n^i} $ thì ta lấy tích phân xác định trên [a, b] thích hợp. • Nếu bài toán cho khai triển ${\left( {{x^a} + {x^b}} \right)^n} = {\sum\limits_{i = 1}^n {C_n^i{{\left( {{x^a}} \right)}^{n - i}}\left( {{x^b}} \right)} ^i} = \sum\limits_{i = 1}^n {C_n^i{x^{a\left( {n - i} \right) + ib}}} $ thì hệ số của x$^m$ là C$^i_N$ sap cho phương trình a(n - 1) + bi = m có nghiệm $i \in N$ • C$^i_N$ đạt MAX khi $i = \frac{{n - 1}}{2}$ hay $i = \frac{{n + 1}}{2}$ với n lẽ, $i = \frac{n}{2}$ với n chẵn. B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON. I.Các bài toán về hệ số nhị thức. 1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton. Ví dụ 1: Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000 Khai triển và rút gọn đa thức: $Q\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^9} + {\left( {1 + x} \right)^{10}} + ... + {\left( {1 + x} \right)^{14}}$ Ta được đa thức: $Q\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{14}}{x^{14}}$ Xác định hệ số a$_9$.GiảiHệ số x$^9$ trong các đa thức ${\left( {1 + x} \right)^9},{\left( {1 + x} \right)^{10}},...,{\left( {1 + x} \right)^{14}}$lần lượt là: $C_9^9,C_{10}^5,...,C_{14}^9$ Do đó: ${a_9} = C_9^9 + C_{10}^5 + ... + C_{14}^9 = 1 + 10 + \frac{1}{2}.10.11 + \frac{1}{6}.10.11.12 + \frac{1}{{24}}.10.11.12.13 + \frac{1}{{20}}.10.11.12.13.14$=11+ 55 + 220 + 715 + 2002 = 3003 Ví dụ 2:ĐHBKHN-2000 Giải bất phương trình: $\frac{1}{2}A_{2x}^2 - A_x^2 \le \frac{6}{x}C_x^3 + 10$GiảiĐiều kiện: x là số nguyên dương và $x \ge 3$ Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với: $\begin{array}{l}\frac{{\left( {2x - 1} \right)2x}}{2} - \left( {x - 1} \right)x \le \frac{{6\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{3!x}} + 10\\ \Leftrightarrow 2x\left( {2x - 1} \right) - x\left( {x - 2} \right) \le \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) + 10\\ \Leftrightarrow 3x \le 12\Leftrightarrow x \le 4\end{array}$ Vì x là nghiệm nguyên dương và $x \ge 3$ nên $x \in \left\{ {3;4} \right\}$ Ví dụ 3: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x$^8$ trong khai triển đa thức của: $\left[ {1 + {x^2}{{\left( {1 - x} \right)}^8}} \right]$GiảiCách 1: Ta có: $f\left( x \right) = {\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]} ^k} = {\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{x^{2k}}\left[ {\sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( { - 1} \right)}^i}} C_k^i{x^i}} \right]} ^k}.$ Vậy ta có hệ số của x$^8$ là: ${\left( { - 1} \right)^i}C_8^kC_k^i$ thoã $\left\{ \begin{array}{l}0 \le i \le k \le 8\\2k + i = 8\\i,k \in \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}i = 0\\k = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} i = 2\\k = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$ Hệ số trong khai triển của x$^8$ là: ${\left( { - 1} \right)^0}C_8^4C_4^0 + {\left( { - 1} \right)^2}C_8^3C_3^2$=238 Cách 2: Ta có: $f\left( x \right) = C_8^0 + ... + C_8^3{\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^3} + C_8^4{\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^4} + ... + C_8^8{\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^8}$ Nhận thấy: x$^8$ chỉ có trong các số hạng: • Số hạng thứ 4: $C_8^3{\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^3}$ • Số hạng thứ 5: $C_8^4{\left[ {{x^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^4}$ Với hệ số tương đương với: ${A_8} = C_8^3C_3^2 + C_8^4C_4^0 = 238$ Ví dụ 4: (ĐH HCQG, 2000) a) Tìm hệ số x8 trong khai triển ${\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^{12}}$ b) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}$ bằng 1024. Hãy tìm hệ số a $\left( {a \in N*} \right)$ của số hạng ax$^{12}$ trong khai triển đó.( ĐHSPHN, khối D,2000)Giảia) Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là: ${a_k} = C_{12}^k{x^{12 - x}}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^k} = C_{12}^k{x^{12 - 2k}}$ $\left( {0 \le k \le 12} \right)$ Ta chọn 12 – 2k = 8 → 2 Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x$^8$ và có hệ số là: $C_{12}^2 = 66$ b) Ta có: $\left( {1 + {x^2}} \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{2n}}} = C_n^k + C_n^1{x^2} + ... + C_n^k{x^{12 - 2k}}$ Với x = 1 thì: ${2^n} = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = 1024 \leftrightarrow {2^n} = {2^{10}} \leftrightarrow n = 10$ Do đó hệ số a (của x$^{12}$) là: $C_{10}^6 = 210$ Ví dụ 5:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: $P\left( x \right) = {(1 + 2x)^{12}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{12}}{x^{12}}$ Tìm max$\left( {{a_0},{a_1},{a_2},...,{a_{12}}} \right)$GiảiGọi a$^k$ là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: ${a_k} > {a_{k - 1}}$ Từ đây ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{2^k}C_{12}^k \ge {2^{k - 1}}C_{12}^{k - 1}\\{2^k}C_{12}^k \ge {2^{k + 1}}C_{12}^{k + 1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{k} \ge \frac{1}{{12 - k + 1}}\\\frac{1}{{12 - k}} \ge \frac{2}{{k + 1}}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow m{\rm{ax}}\left( {{a_0},{a_1},{a_2},...,{a_{12}}} \right) = {a_8} =C_{12}^8{2^{18}} = 126720$ 2.Bài toán tìm sô hạng trong khai triển newton. Ví dụ 6: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: ${\left( {2 - 3x} \right)^{25}}$GiảiSố hạng thứ 21 trong khai triển là: $C_{25}^{20}{2^5}{\left( { - 3x} \right)^{20}} = C_{25}^{20}{2^5}{3^{20}}{x^{20}}$ Ví dụ 7: a. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau ${\left( {{x^3} + xy} \right)^{21}}$ b. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau ${\left( {x\sqrt[4]{x} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {xy} \right)}^2}}}}}} \right)^{20}}$Giảia. Khai triển ${\left( {{x^3} + xy} \right)^{20}}$ có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 11 và 12. • Số hạng thứ 11 là: $C_{21}^{10}{\left( {{x^3}} \right)^{11}}{\left( {xy} \right)^{10}} = C_{21}^{10}{x^{43}}{y^{10}}$ • Số hạng thứ 12 là: $C_{21}^{11}{\left( {{x^3}} \right)^{10}}{\left( {xy} \right)^{11}} = C_{21}^{10}{x^{41}}{y^{11}}$ b. Khai triển ${\left( {x\sqrt[4]{x} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {xy} \right)}^2}}}}}} \right)^{20}}$ có 20 + 1 = 21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2 số là số hạng thứ $\left[ {\frac{{21}}{2}} \right] + 1 = 16:C_{20}^{10}{\left( {{x^{\frac{7}{4}}}} \right)^{10}}{\left( {{{\left( {xy} \right)}^{ - \frac{2}{3}}}} \right)^{10}} = C_{20}^{10}{x^{\frac{{65}}{6}}}{y^{ - \frac{{20}}{3}}}$ ( Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn nhất không vượt quá x). Ví dụ 8: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển. $f\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7}$vớiGiảiSố hạng tổng quát trong khai triển: ${T_{k + 1}} = C_7^k{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^{7 - k}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^k} = C_7^k{x^{\frac{7}{3} - \frac{7}{{12}}k}}\left( {k \in N,k \le 7} \right)$ Ứng với số hạng không chứa x ta có: $\frac{7}{3} - \frac{7}{{12}}k = 0 \Leftrightarrow k = 4$ Vậy số hạng không chứa x trong khai triển $f\left( x \right)$ là: $C_7^4 = 35$ Ví dụ 9: (ĐH SPHN - 2001) Cho khai triển nhị thức: ${\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}.$ Hãy tìm số hạng a$_k$ lớn nhất.GiảiTa có: ${\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{10}} = \frac{1}{{{3^{10}}}}{\left( {1 + 2x} \right)^{10}} = \frac{1}{{{3^{10}}}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_{10}^k{{\left( {2x} \right)}^k} \Rightarrow {a_k} = \frac{1}{{{3^{10}}}}C_{10}^k{2^k}} $ Ta có a$_k$ đạt được max $\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k + 1}}\\{a_k} \ge {a_{k - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{10}^k{2^k} \ge C_{10}^{k + 1}{2^{k + 1}}\\C_{10}^k{2^k} \ge C_{10}^{k - 1}{2^{k - 1}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{2^k}10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}} \ge \frac{{{2^k}10!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {9 - k} \right)!}}\\ \frac{{{2^k}10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}} \ge \frac{{{2^k}10!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {11 - k} \right)!}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{10 - k}} \ge \frac{2}{{k + 1}}\\\frac{2}{k} \ge \frac{2}{{11 - k}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{19}}{3} \le k \le \frac{{22}}{3}\\ \Rightarrow k = 7\left( {k \in ,k \in \left[ {0,10} \right]} \right)\end{array}$ Vậy max ${a_k} = {a_7} = \frac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7$ Bài tập rèn luyệnBài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a$_1$, a$_2$,…, a$_{11}$ là các hệ số trong khai triển sau: $\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^{11}} + {a_1}{x^{10}} + ... + {a_{11}}$ Hãy tìm hệ số a$_5$ Bài 2: Tìm hệ số của x$^5$ trong khai triển $x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}$ ( Khối D-2007) Bài 3: Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức \[{\left( {x + y + z + t} \right)^{20}}\] ( Đề 4 “TH&TT” -2003) Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x$^{11}$ trong khai triển đa thức: ${\left( {{x^2} + 2} \right)^n}{\left( {3{x^3} + 1} \right)^n}$ biết: $C_{2n}^{2n} - 3C_{2n}^{2n - 1} + ... + {\left( { - 1} \right)^k}{3^k}C_{2n}^{2n - k} + ... + {3^{2n}}C_{2n}^0 = 1024$ Bài 5: (LAISAC) Khai triển $P\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^n}$ ta được $P\left( x \right) = {a_0}{x^{3n}} + {a_1}{x^{3n - 5}} + {a_2}{x^{3n - 10}} + ...$ Biết rằng ba hệ số đầu a$_0$, a$_1$, a$_2$,lập thành cấp số cộng. Tính số hạng thứ x$^4$ II. Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp. 1. Thuần nhị thức Newton Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng $C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$ thì ta sẽ dùng trực tiếp nhị thức Newton: ${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} $. Việc còn lại chỉ là khéo léo chọn a,b. Ví dụ 10: Tính tổng ${3^{16}}C_{16}^0 - {3^{15}}C_{16}^1 + {3^{14}}C_{16}^2 - ... + C_{16}^{16}$GiảiDễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a=3, b= - 1. Khi đó tổng trên sẽ bằng (3-1)$^{16}$=2$^{16}$=16 Ví dụ 11: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng: $C_{2n}^0 + {3^2}C_{2n}^2 + {3^4}C_{2n}^4 + ... + {3^{2n}}C_{2n}^{2n} = {2^{2n - 1}}\left( {{2^{2n}} + 1} \right)$Giải$\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + ... + C_{2n}^{2n - 1}{x^{2n - 1}} + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\left( 1 \right)\\{\left( {1 - x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 - C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + ... - C_{2n}^{2n - 1}{x^{2n - 1}} + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\left( 2 \right)\end{array}$ Lấy (1) + (2) ta được: ${\left( {1 + x} \right)^{2n}} + {\left( {1 - x} \right)^{2n}} = 2\left[ {C_{2n}^0 +C_{2n}^2{x^2} + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}} \right]$ Chọn x=3 suy ra: $\begin{array}{l}{\left( 4 \right)^{2n}} + {\left( { - 2} \right)^{2n}} = 2\left[ {C_{2n}^0 + C_{2n}^2{3^2} + ... + C_{2n}^{2n}{3^{2n}}} \right]\\\Leftrightarrow\frac{{{2^{4n}} + {2^{2n}}}}{2} = C_{2n}^0 + C_{2n}^2{3^2} + ... + C_{2n}^{2n}{3^{2n}}\\\Leftrightarrow \frac{{{2^{2n}}\left( {{2^{2n}} + 1} \right)}}{2} = C_{2n}^0 + C_{2n}^2{3^2} + ... + C_{2n}^{2n}{3^{2n}}\\\Leftrightarrow {2^{2n - 1}}({2^{2n}} + 1) = C_{2n}^0 + C_{2n}^2{3^2} + ... + C_{2n}^{2n}{3^{2n}}\\\Rightarrow {\rm{PCM}}\end{array}$ 2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2. a.Đạo hàm cấp 1. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng $kC_n^k$ hoặc $kC_n^k{a^{n - k}}{b^{k - 1}}$ thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính. Cụ thể: ${\left( {a + x} \right)^n} = C_n^0{a^n} + 2C_n^1{a^{n - 1}}x + ... + nC_n^na{x^n}$ Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: $n{\left( {a + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1{a^{n - 1}} + 2C_n^2{a^{n - 2}} + ... + nC_n^na{x^{n - 1}}\left( 1 \right)$ Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm. Ví dụ 12: (ĐH BKHN-1999) Tính tổng $C_n^1 - 2C_n^2 + 3C_n^3 - 4C_n^4 + ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}nC_n^n$GiảiTa thấy tổng cần tính có dạng như VP(1). Việc còn lại chỉ cần chọn a=1,x= - 1 ta tính được tổng băng 0. Cách khác: Sử dụng đẳng thức $kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}$ ta tính được tổng bằng: $nC_{n - 1}^0 - nC_{n - 1}^1 + nC_{n - 1}^2 + ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}nC_{n - 1}^{n - 1} = n{\left( {1 - 1} \right)^{n - 1}} = 0$ Ví dụ 13:Tính tổng: $2008C_{2007}^0 + 2007C_{2007}^1 + ... + C_{2007}^{2007}$GiảiHệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008, 2007,…,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu: ${\left( {x + 1} \right)^{2007}} = C_{2007}^0{x^{2007}} + C_{2007}^1{x^{2006}} + ... + C_{2007}^{2007}$ Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được $2007C_{2007}^0{x^{2006}}$ trong khi đó đề đến 2008 do đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm: $\begin{array}{l}x{\left( {x + 1} \right)^{2007}} = C_{2007}^0{x^{2008}} + C_{2007}^1{x^{2007}} + ... + C_{2007}^{2007}x\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^{2006}}\left( {2008x + 1} \right) = 2008C_{2007}^0{x^{2007}} + 2007C_{2007}^1{x^{2006}} + ... + C_{2007}^{2007}\end{array}$ Thay x = 1 vào ta tìm được tổng là 2009.2$^{2006}$ b.Đạo hàm cấp 2. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n - 1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 1$^2$,2$^2$,…,n$^2$ (không kể dấu) tức có dạng $k(k - 1)C_n^k{a^{n - k}}$ hay tổng quát hơn $k\left( {k - 1} \right)C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$ thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Xét đa thức ${\left( {a + bx} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1{a^{n - 1}}bx + ... + C_n^n{b^n}{x^n}$ Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được: $bn{\left( {a + bx} \right)^{n - 1}} = C_n^1{a^{n - 1}}b + 2C_n^2{a^{n - 2}}{b^2}x... + nC_n^n{b^n}{x^{n - 1}}$ Đạo hàm lần nữa: ${b^2}n\left( {n - 1} \right)\left( {a + b{x^{n - 2}}} \right) = 2.1C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + n\left( {n - 1} \right)C_n^n{b^n}{x^{n - 1}}\left( 2 \right)$ Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi. Ví dụ 14: (ĐH AN-CS Khối A 1998) Cho $f\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^n},\left( {2 \le n \le Z} \right)$ a.Tính f”(1) b.Chứng minh rằng: $2.1C_n^2 + 3.2C_n^3 + ... + \left( {n - 1} \right)nC_n^n = n\left( {n - 1} \right){2^{n - 2}}$Giảia. $f''\left( x \right) = n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} \Rightarrow f''\left( x \right) = n\left( {n - 1} \right){\left( {1 + x} \right)^{n - 2}} \Rightarrow f''(1) = n{(1 + x)^{n - 2}}$ b. Ta có $\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 1}^n{C_n^k{x^k} = C_n^0 + C_n^1x} + \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{x^k}} \\f'\left( x \right) = C_n^1 + \sum\limits_{k = 2}^n {kC_n^k{x^{k - 1}}} \\f''\left( x \right) = \sum\limits_{k = 2}^n {k\left( {k - 1} \right)C_n^k{x^{k - 2}}} \\\Rightarrow f''\left( 1 \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k - 1} \right)C_n^k = {2^{n - 2}}} \\\Rightarrow 2.1C_n^1 + 3.2C_n^2 + ... + \left( {p + 1} \right)C_n^p + ... + \left( {n + 1} \right)nC_n^n = n\left( {n + 1} \right){2^{2n - 1}}\left( {{\rm{PCM}}} \right)\end{array}$ Từ câu b thay (n - 1) = (n + 1) thì ta có một bài toán khác: b’. Chứng minh rằng: $2.1C_n^1 + 3.2C_n^2 + ... + \left( {n + 1} \right)pC_n^p + ... + \left( {n + 1} \right)nC_n^n = n\left( {n + 1} \right){2^{n - 2}}$ Với bài toán này ta giải như sau: Xét nhị thức: ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + ... + C_n^n{x^n}$ Nhân 2 vế của đẳng thức với $x \ne 0$đồng thời lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến x ta được: $2n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} + n\left( {n - 1} \right)x{\left( {1 + x} \right)^{n - 2}} = 2C_n^1x + 3.2C_n^2x + ... + \left( {n + 1} \right)nC_n^n{x^{n - 1}}$ Cho x = 2 ta được ĐPCM Bài tập rèn luyệnBài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: $C_{20}^1 + C_{20}^1 + ... + C_{20}^{19} = {2^{19}}$ Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : $C_{2004}^0 + {2^2}C_{2004}^1 + ... + {2^{2004}}C_{2004}^{2004} = \frac{{{3^{2004}} + 1}}{2}$ Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh: ${\left( {2 + x} \right)^n} = {1.2^{n - 1}}.C_n^1 + {2.2^{n - 2}}.C_n^2 + {3.2^{n - 2}}.C_n^2 + ... + nC_n^n = n{.3^{n - 1}}\left( {\forall 1 \le n \in Z} \right)$ Bài 4: Rút gọn tổng: ${1^2}C_{2009}^1{2^{2008}} + {2^2}C_{2009}^2{2^{2007}} + ... + {2009^2}C_{2009}^{2009}$ III.Một số phương pháp khác: Ví dụ 15: (ĐHQG TP.HCM 1997) Cho $\left\{ \begin{array}{l}0 \le m \in k \le n\\k,m,n \in Z\end{array} \right.$ Chứng minh: $C_n^k.C_m^0 + C_n^{k - 1}C_m^1 + ... + C_n^{k - m}C_m^m = C_{n + m}^k$Giải${\rm{Ta c}}\'o :\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^m} = C_m^0 + C_m^1x + ... + C_m^m{x^m}\\{\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + ... + C_n^n\\ {\left( {1 + x} \right)^{m + n}} = C_{m + n}^0 + C_{m + n}^1x + ... + C_{m + n}^{m + n}{x^{m + n}}\end{array} \right.$ Suy ra hệ số xk trong (1+x)$^n$ .(1+x) $^m$ là $C_m^0C_n^k + C_m^1C_n^{k - 1} + ... + C_m^mC_n^{k - m}$ Và hệ số x$^k$ trong khai (1+x)¬¬$^{m+n}$ là $C_{m + n}^k$ Đồng nhất thức: (1+x) )$^n$ .(1+x) )$^m$ = (1+x)$^{n+m}$ Ta được: $C_n^k.C_m^0 + C_n^{k - 1}C_m^1 + ... + C_n^{k - m}C_m^m = C_{n + m}^k \Rightarrow $ĐPCM Ví dụ 16: (Đề2-TH&TT-2008) S$_2$=${\left( {C_n^1} \right)^2} + 2{\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + n{\left( {C_n^n} \right)^2}$ với n là số tự nhiên lẽGiảiTa có: $S = \left( {{{\left( {C_n^1} \right)}^2} + \left( {n - 1} \right){{\left( {C_n^{n - 1}} \right)}^2}} \right) + ... + {\left( {\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right)\left( {C_n^{\frac{{n - 1}}{2}}} \right)} \right)^2} + {\left( {\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)\left( {C_n^{\frac{{n + 1}}{2}}} \right)} \right)^2} + n{\left( {C_n^n} \right)^2}$ $\begin{array}{l}n\left( {{{\left( {C_n^1} \right)}^2} + {{\left( {C_n^2} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^{n - 1}} \right)}^2}} \right) + n\\ = n\left( {{{\left( {C_n^{n + 1}} \right)}^2} + {{\left( {C_n^2} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^{n - 1}} \right)}^2}} \right) + n\\ \Rightarrow 2{S_n} = n\left[ {{{\left( {C_n^1} \right)}^2} + {{\left( {C_n^2} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^n} \right)}^2}} \right] + n\end{array}$ Mặt khác ta có: ${\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}} \Rightarrow $hệ số của xn là: $C_{2n}^n(*)$ Trong khi đó: ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + ... + C_n^n{x^n}$ Nên hệ số của x$^n$ là ${\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2}$ (**) Từ (*) và (**) $ \Rightarrow C_{2n}^n - 1 = n\left[ {{{\left( {C_n^1} \right)}^2} + {{\left( {C_n^2} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^n} \right)}^2}} \right]$ $ \to {S_n} = \frac{n}{2}C_{2n}^n \to {\rm{PCM}}$ Bài tập rèn luyệnBài 1: Chứng minh rằng: a) $C_n^1{3^{n - 1}} + 2C_n^2{3^{n - 1}} + ... + nC_n^n = n{.4^{n - 1}}$ (ĐH Luật-2001) b) ${1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {n^2}C_n^n = n\left( {n + 1} \right){2^{n - 2}}$ ( Đề 1-TH&TT-2008) Bài 2: Tính các tổng sau: a) $C_{30}^1 + {3.2^2}C_{30}^3 + {5.2^4}C_{30}^5 + ... + {29.2^{28}}C_{30}^{29}$ b) $C_n^0 - \frac{{C_n^1}}{2} + \frac{{C_n^2}}{3} - ... + {\left( { - 1} \right)^n}\frac{{C_n^n}}{{n + 1}}$ Bài 3: Đặt ${T_k} = {\left( { - 1} \right)^{k + 1}}{3^k}C_{6n}^{2k + 1}$. Chứng minh $\sum\limits_{k = 1}^{3n} {{T_k}} = 0$ Last edited by a moderator: 4/10/19 C
Chuột kon
Mới đăng kí
Giúp em bài này ạ! tìm hệ số của x^26 trong khai triễn (1/x^4 +x^7)^n. Biết (2n+1)C1 +(2n+1)C2 +(2n+1)C3......+(2n+1)Cn=2^10 -1
AnhNguyen
Mới đăng kí
Thành viên BQT Những bài như thế này khó ở chỗ tìm được giá trị n. Sau đây là cách làm. Có gì chưa rõ e cứ trao đổi nhé. Chúc em học tốt ! B
Bá thắng
Mới đăng kí
cho e hỏi với ạ! Công thức khi a=b=1 dùng để làm gì ạ (2^n) You must log in or register to reply here. Share:BlueskyLinkedInRedditPinterestTumblrWhatsAppEmailShareLink
Trending content
Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
Tăng Giáp
8/12/18
Trả lời: 0
H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số'
Huy Hoàng
22/2/16
Trả lời: 179
Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp'
Minh Toán
10/11/17
Trả lời: 148
V Thread 'Bài 2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU'
Vật Lí
19/9/16
Trả lời: 98
Thread 'Giải phương trình logarit'
Doremon
2/12/14
Trả lời: 96
V Thread 'Bài 5. CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU'
Vật Lí
19/9/16
Trả lời: 100
Thread 'Mặt trụ tròn xoay'
Doremon
24/1/15
Trả lời: 97
H Thread 'Chuyên đề mặt nón tròn xoay'
Huy Hoàng
22/1/15
Trả lời: 102
V Thread 'Bài 3. Chuyển động thẳng biến đổi đều'
Vật Lí
19/9/16
Trả lời: 172
Thread 'SỰ ĐỒNG BIẾN ,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ'
Doremon
4/12/14
Trả lời: 165
Latest posts
Sóng dừng
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Sóng cơ
Giao Thoa Sóng Cơ
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Sóng cơ
Sóng điện từ
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Bài 22: Sóng điện từ
Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Sóng cơ
Mô tả sóng
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Sóng cơ
Dao động tắt dần - dao động cưỡng bức
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Dao động cơ
Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Dao động cơ
Bài 5. Điện thế
Latest: Tăng Giáp
25/11/25
Chương 1. Điện tích - Điện trường
Bài 6. Tụ Điện
Latest: Tăng Giáp
25/11/25
Chương 1. Điện tích - Điện trường
Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
Latest: Tăng Giáp
22/11/25
Bài 01. Phương trình
Members online
No members online now. Total: 27 (members: 0, guests: 27)
Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.' 
Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp' 
Thread 'Giải phương trình logarit'