Chuyên đề Phân Tích đa Thức Thành Nhân Tử - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (72 trang)

Trang chủ

Giáo Dục - Đào Tạo

Trung học cơ sở - phổ thông

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 72 trang )

Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Phần I. lời nói đầuPhân tích đa thức thành nhân tử là một phần quan trọng cả về mặt kiếnthức lẫn kĩ năng thực hiện đối với học sinh bậc THCS.Nội dung này đ-ợc giới thiệu trong ch-ơng trình Toán lớp 8 và có thểcoi là nội dung nòng cốt của ch-ơng trình. Vì nó đ-ợc vận dụng rất nhiều ởcác ch-ơng sau, trong các phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu cácphân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, giải ph-ơng trình, bấtph-ơng trình. Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần nàykhông nhiều nên đa số học sinh còn lúng túng và đối với học sinh khá giỏithì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức ch-a đ-ợc đề cập tới .Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năngcơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì họcsinh có khả năng giải quyết đ-ợc nhiều vấn đề trong ch-ơng trình Đạisố lớp 8 và lớp 9 cũng nh- nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan,tìm đ-ợc lời giải hay và ngắn gọn cho một bài toán. Nh-ng nhiều lúcviệc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, nhất làtrong tr-ờng hợp các đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phứctạp.Để giúp cho tất cả học sinh đại trà và để bồi d-ỡng học sinh khá giỏiđạt kết quả tốt trong việc phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề cầnđ-ợc quan tâm. Nh-ng hiện nay trên thị tr-ờng có rất ít sách dành riêng chochuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Đó chính là lý do tôi đ-a ra đềtài này. Về nội dung đề tài, sau khi giới thiệu những ph-ơng pháp cơ bảncó ví dụ cụ thể, tôi đÃ giới thiệu các bài tập có lời giải vận dụng tổng hợpcác ph-ơng pháp trên.Tất cả các phần đều đ-ợc trình bày theo lôgic. Giới thiệu ph-ơng phápcác b-ớc làm, ví dụ minh hoạ và một số bài tập t-ơng tự để làm thêm.Với nội dung và cách trình bày trên, hy vọng đề tài này không chỉ là tàiliệu h-ớng dẫn đối với học sinh THCS mà còn là tài liệu tham khảo bổ íchcho các bạn trong việc giảng dạy ở các tr-ờng THCS sau này.Sinh viên:Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang 1 Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Phần II. NộI DUNGA.Phân tích đa thức thành nhân tửMột số khái niệm cơ bản :1. Đa thứcĐa thức là một biểu thức đại số trong đó phép tính thực hiện đốivới các biến chỉ là phép cộng, trừ, nhân. (đa thức là một biĨu thøcnguyªn ).VÝ dơ:BiĨu thøc: f(x) = 5x3- x2 + 3x + 7 là một đa thức của biến (ẩn) x.BiĨu thøc: g(y) = 7y2+ 3y - 6 lµ mét ®a thøc cđa biÕn (Èn) y.BiĨu thøc: h(x,y) = 5x3y - 3x2y2- 2y3 + 7 là một đa thức của haibiến (ẩn) x và y.2. Phân tích đa thức thành nhân tửPhân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đóthành một tích của các đơn thức và đa thức có bậc nhỏ hơn.Ví dô:a) x2 – xy + x – y =(x – y)(x + 1).b) x5 + x4 + 1 = (x2 + x + 1)(x 3 – x + 1).I. C¸c ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửĐể phân tích một đa thức thành nhân tử có rất nhiều ph-ơng phápkhác nhau, nh-ng chúng ta th-ờng sử dụng một số ph-ơng pháp thông dụngnh- sau:- Đặt nhân tử chung.- Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.- Nhóm các hạng tử.- Phối hợp nhiều ph-ơng pháp.- Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.- Đổi biến số (hay đặt ẩn phụ).- Thêm bớt cùng một hạng tử.- Ph-ơng pháp hệ số bất định.- Tìm nghiệm của đa thức.Sinh viên:Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang 2 Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Trừ một số tr-ờng hợp các bài toán đơn giản, còn đối với nhiều bàitoán nhất là những bài toán phức tạp, có bậc cao ta phải vận dụng tổng hợpcác ph-ơng pháp trên một cách linh hoạt để giải.1. Ph-ơng pháp đặt nhân tử chunga) Ph-ơng pháp :+ Tr-ớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt trong tất cả các hạng tử củađa thức.+ Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung vàmột nhân tử khác.+ Đ-a nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. Các hạng tử trong dấungoặc là th-ơng của phép chia các hạng tử của đa thức cho nhân tử chung.b) Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :1) A = 5x 2y – 10xy 22) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y)3) C = (y 2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x 2z(y2– z).Gi¶i :221)A = 5x y – 10xyTa thÊy các hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, tacãA = 5x2y – 10xy 2 = 5xy.x – 5xy.2y= 5xy(x - 2y).2)B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z 3y)Đổi dấu hạng tử 6y(7z 3y) = - 6y(3y – 7z), ta cã thõa sè (3y– 7z) chung :B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y)= 2x(3y – 7z) - 6y(3y - 7z)= (3y – 7z)( 2x – 6y)= (3y – 7z).2(x – 3y)= 2(3y – 7z)(x – 3y).3)C = (y 2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2 ) + 6x2z(y 2 z)Sinh viên:Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang 3 Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó 2Đổi dấu (4yx + yz2)(z – y2) = (4yx 2 + yz2)( y2 – z), ta cãthõa sè (y 2 – z) chung:C = (y 2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2 ) + 6x2z(y 2 –z)= (y 2 – z)(2x2y – yz) + (4yx2 + yz2)( y 2 – z) + 6x 2z(y 2 –z)= (y 2 – z)[( 2x 2y – yz ) + (4yx 2 + yz2) + 6x2z]= (y 2 – z)[ 2x2y + 4yx2 + 6x2z]= (y 2 – z)[ 2xy 2 + 4yx2 + 6x2 z]= (y 2 – z)[ 2x2(y + 2y + 3z)]= (y 2 – z)[ 2x2(3y + 3z)]= (y 2 – z) 2x2 .3(y + z)= 6x2(y2 – z)(y + z).Khai thác bài toán:Nếu chú ý đến các hạng tử của các biểu thức và bằng cách đặt thừasố chung , ta có thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau:Bài toán 1.1: Phân tích đa thứcQ = (x + 2z)(3x 2 + 5x2y) – (7x2 – 3x2y)(2z + x)Bài toán 1.2: Phân tích đa thứcP = 3a(b 2 2c) (a 4)(2c b2)Bài toán 1.3: Phân tích đa thứcH = 3xmy 9xny2 + 15xn+1 với m, n N, m > n.2. Ph-ơng pháp dùng hằng đẳng thức.a) Ph-ơng pháp:Để áp dụng ph-ơng pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làmxuất hiện các hằng đẳng thức (nếu có thể). Sau đó dùng các hằng đẳng thứcđáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.b) Ví dụ :Phân tích đa thức sau thành nhân tử.1) D = x2 x +1422) E = 9(x + 5) – (x +7)23) F = x3 + 9x2 27x + 27Sinh viên:Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang 4 Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó 3 64) G = 8 27a bGiải :Ta thấy mỗi hạng tử của đa thức trên đều không có nhân tửchung nên không thể phân tích các đa thức đó thành nhân tử bằng cáchđặt nhân tử chung. Mặt khác ta thấy các biểu thức đêù có dạng hằngđẳng thức. Vì thế có thể áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phântích các đa thức đó thành nhân tử.1)1D = x2 – x +42=2)3)x22 .x .112221x2E = 9(x + 5) 2 – (x + 7) 2= [3(x + 5)] 2 – (x + 7) 2= [3(x+5) + x +7][3(x+5) – (x+7)]= (4x + 22)(2x + 8)= 4(2x + 11)(x + 4)F = - x3 + 9x2 – 27x + 273223= ( x)3 .3 .( x )3 .( x ) .333= (-x +3) .4)G = 8 – 27a3b6= 23- (3ab2)3= (2- 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4).Khai thác bài toán:Bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ , ta có thể giải các bàitoán t-ơng tự nh- sau:Bài toán 1.1: Phân tích đa thức1M=x281y225Bài toán 1.2: Phân tích đa thứcN=x6y6(x42x y24y )Bài toán 1.3: Phân tích đa thứcSinh viên:Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang 5 Đề tài:K=x61Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó .3) Ph-ơng pháp nhóm nhiều hạng tử:a)Ph-ơng pháp:Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng cácđơn thức, ta có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. Trongmỗi nhóm này, ta áp dụng liên tiếp các ph-ơng pháp đặt nhân tử chunghoặc dùng hằng đẳng thức để tiếp tục phân tích.L-u ý: Th-ờng thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhaub)Ví dụ :Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :1) x2 – xy + x – y2) x2 - 2xy - z2 + y 2 + 2zt – t23) 9 x2 + 2xy y2Giải :Ta thấy các hạng tử đều không có thừa số chung cũng khôngthấy có dạng hằng đẳng thức. Vì thế ta sẽ nhóm hạng tử với nhau đểlàm xuất hiện nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức để phân tíchtiếp:1)x2 xy + x y* Cách 1: Nhóm hạng tử thø nhÊt víi h¹ng tư thø hai, h¹ng tưthø ba víi h¹ng tư thø t- ta cã :x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)= x(x – y) + (x – y)=(x – y)(x + 1).* Cách 2: Nhóm hạng tử thứ nhất víi h¹ng tư thø 3, h¹ng tư thø haivíi h¹ng tö thø t-, ta cã :x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x(x + 1) – y(x + 1)= (x + 1)(x y).Nhận xét : ở ví dụ trên ta đÃ nhóm các hạng tử thích hợp để sử dụngph-ơng pháp đặt nhân tử chung. Đối với một đa thức có thể có nhiều cáchnhóm khác nhau những hạng tử thích hỵp.2)x2 - 2xy - z2 + y 2 + 2zt t2Sinh viên:Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang 6 Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Nhóm hạng tử thứ nhÊt, thø hai víi h¹ng tư thø t-, h¹ng tư thứba, thứ năm với hạng tử thứ sáu để có dạng hằng đẳng thức và tiếp tụcphân tích, ta có :x2 - 2xy - z2 + y2 + 2zt – t2= (x2 – 2xy + y 2) – (z2 – 2zt + t) 2= (x – y)2 – (z – t)2= (x – y + z – t)(x – y – z + t).3)9 – x2 + 2xy – y2 = 9 – (x2 – 2xy + y2 )= 32 – (x – y2)=(3 +x – y)( 3 – x + y)Nhận xét : Trong cách giải trên, ta đÃ nhóm 3 hạng tử cuối của đathức v đưa vo trong dấu ngoặc đằng trước có dấu để phân tích đathức bằng ph-ơng pháp dùng hằng đẳng thức.Khai thác bài toán:Nếu chú ý đến ph-ơng pháp nhóm các hạng tử, ta có thể giải cácbài toán t-ơng tự nh- sau:Bài toán 1.1: Phân tích đa thứcE = 3x3 75x + 6x 2 150Bài toán 1.2: Phân tích đa thức32F= x(abc)x(abBài toán 1.3: Phân tích đa thứcG=x(y22z )y(z22x )acz( xbc)x2abc2y ).4. Ph-ơng pháp phối hợp các ph-ơng pháp.a) Ph-ơng pháp:Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiềuph-ơng pháp, ta nên chú ý chọn các ph-ơng pháp theo thứ tự -u tiên nhsau :B-ớc 1: Đầu tiên ta xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chunghay không?Có nhân tử chung: áp dụng ph-ơng pháp đặt nhân tử chung.Sau đó ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại vớib-ớc 1 và tiếp tục thực hiện đến kết quả cuối cùng.Sinh viên:Phạm Thị ThàLớp : CĐSP To¸n – Tin K48Trang 7 Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Nếu không có nhân tư chung, chun sang b-íc 2.B-íc 2: NÕu ®a thøc có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụngph-ơng pháp hằng đẳng thức. Nếu không thì chuyển qua b-ớc 3.B-ớc 3: Dùng ph-ơng pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất hiệnhằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.b) Ví dụ :Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :1) 2x2 + 4x + 2 – 2y22) 2a2 – 12ab + 18b23) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2 .Giải:1)Ta thấy các hạng tử đều có thừa số chung, ta đặt thừa số chung rangoài và tiếp tục phân tích đa thức ở trong ngoặc:2x2 + 4x + 2 – 2y2= 2(x2 + 2x + 1 y2)Đặt nhân tử chung22= 2 [(x + 2x + 1) y ]Nhóm các hạng tử thích hợp của đathức trong ngoặc.= 2[(x + 1)2 y2]Xuất hiện hằng đẳng thức= 2(x + 1 y)(x + 1 + y)Dùng hằng đẳng thứcNh- vậy thứ tự -u tiên là: Đặt nhân tử chungdùng hằng đẳngthứcnhóm hạng tử.Vậy 2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2(x + 1 – y)(x + 1 + y).2)2a2 – 12ab + 18b2C¸ch giải t-ơng tự câu a) :2a2 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2)= 2(a – 3b)23)5x3z – 10x2z – 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2= 5xz(x2 – 2x – z2 – y2 + 1 + 2yz)= 5xz[ (x2 – 2x + 1) – (y2 – 2yz + z2)]= 5xz[(x – 1)2 – (y – z)2]= 5xz(x – 1 – y + z)(x – 1 + y z).Khai thác bài toán:Bằng ph-ơng pháp phối hợp các ph-ơng pháp để phân tích đa thứcthành nhân tử, ta có thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau:Sinh viên:Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang 8 Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Bài toán 1.1: Phân tích đa thức22I = 3n 12 n 27 3mBài toán 1.2: Phân tích đa thứcK = 3x3y 6x2y 3xy3 6axy2 3a2xy + 3xyBài toán 1.3: Phân tích đa thứcL = 7a 5c314a c7ac228c7ac28.5. Ph-ơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.a) Ph-ơng pháp:Có một số đa thức không có nhân tử chung cũng không có dạng hằngđẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử là rất khó. Vì thế ta nên táchmột hạng tử thành hai hoặc nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơnrồi dùng ph-ơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để ph©n tÝchtiÕp.b) VÝ dơ:VÝ dơ 1:Ph©n tÝch: x2 – 6x + 8Nhận xét:Đa thức trên không chứa thừa số chung. Không có dạng một hằngđẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng. Ta biến đổi đa thứcnày thành đa thức có nhiều số hạng hơn sau đó nhóm các hạng tử lại vớinhau một cách phù hợp:Cách 1: Tách số hạng thứ haix2 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8= x(x – 2) – 4( x – 2)= (x – )(x – 4).Cách 2: Tách số hạng thứ 3x2 - 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1= (x – 3)2 – 1 = ( x – 3 – 1)(x – 3 + 1)= (x – 4)( x – 2).C¸ch 3: x2 – 6x + 8 = x2 – 4 – 6x + 12= ( x – 2)(x + 2) – 6(x – 2)= (x – 2)(x – 4)C¸ch 4: x2 – 6x + 8 = x2 – 16 6x + 24Sinh viên:Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán – Tin K48Trang 9 Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó = ( x 4)(4 + x) – 6(x – 4)= (x – 4)( x + 4 – 6)= (x – 4) ( x – 2).2C¸ch 5 : x – 6x + 8 = x2 – 4x + 4 – 2x + 4= (x – 2)2 – 2( x – 2)= (x – 2)( x – 2 – 2)= ( x – 2)(x – 4).Mặc dù có nhiều cách tách nh-ng thông dụng nhất là cách sau:* Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng ph-ơngpháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.Tổng quát: Để phân tÝch tam thøc bËc hai ax2 + bx + c thành nhân tử talàm nh- sau:+ Tìm tích ac+ Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên b»ng mäi c¸ch.+ Chän hai thõa sè cã tỉng b»ng b.Khi đó hạng tử bx đÃ đ-ợc tách thành 2 h¹ng tư bËc nhÊt.VÝ dơ 2: 4x2 – 4x – 3Ta cã tÝch: ac = 4.( –3) = – 12Ph©n tÝch : – 12 = –1.12 = 1.( –12) = – 2.6 = –3.4 = 3.( – 4)Chän 2 thõa số có tổng là : 4 đó là 2 vµ (–6)4x2 – 4x – 3 = 4x2 + 2x – 6x – 3= 2x(2x + 1) – 3(2x + 1)= (2x + 1)(2x 3)* Cách 2: Tách hạng tử thứ ba thành 2 hạng tử rồi đ-a đa thức vềdạng hiệu hai bình ph-ơng.4x2 4x 3 = 4x2 – 4x +1 – 4 = ( 2x – 1) – 22= ( 2x – 1 – 2)( 2x – 1 + 2)= (2x + 1)(2x – 3)VÝ dô 3: 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2= (2x – 2)2 – x2= ( 2x – 2 – x)(2x – 2 + x)= (x 2)(3x 2)Sinh viên:10Phạm Thị ThàLớp : CĐSP To¸n – Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Ví dụ 4: Phân tÝch x2 – 5x + 6NhËn xÐt : §a thøc trên có dạng a x 2 + bx + c ta phải táchbx = mx + nx .Trong đómmnnbacx2 - 5x + 6 = x2 + x – 6x + 6= (x2 + x) –(6x + 6)= x(x + 1) – 6(x +1)= (x + 1)(x – 6).Qua c¸c vÝ dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số hạngkhác th-ờng nhằm mục đích:+ Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung(theo cách 1).+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình ph-ơng (cách 2)Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệng-ời ta th-ờng dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức.Khai thác bài toán:Bằng ph-ơng pháp tách hạng tử (chủ yếu là hạng tử tự do và cáchạng tử bậc thấp), ta có thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau:Bài toán 1.1: Phân tích đa thứcH = x2 21x + 38Bài toán 1.2: Phân tích đa thứcI = x4 + 5x2 14Bài toán 1.3: Phân tích đa thứcK = x2 + 4x 216. Ph-ơng pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ).a) Ph-ơng pháp:Trong một số bài toán, ta nên đ-a một biến phụ vào để việc giải bàitoán đ-ợc gọn gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt ẩn phụ để đ-a về dạng tam thứcbậc hai rồi sử dụng các ph-ơng pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích.b) Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tửSinh viên:11Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó 21)1) f(x) = (x + x + 1)(x2 + x + 2) – 122) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 243) g(x) = 4x( x + y)( x + y + z)( x + z) + y2x2Gi¶i:f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12Đặt x2 + x + 1 = yx2 + x + 2 = y + 1f(x) = y(y + 1) – 12= y2 + y – 12= y2 – 3y + 4y – 12= y(y – 3) + 4(y – 3)= (y – 3)(y + 4)Thay y = x2 + x + 1 , ta đ-ợc:f(x) = (x2 + x 2)(x2 + x + 5)Đến đây ta phân tích tiÕp:x2 + x – 2 = x2 – x + 2x – 2= x(x – 1) + 2(x – 1)= (x 1)(x + 2)222x +x+5=x +x+21122252Vìx1x1192420x, x2Rnênx11919244Và x2 +x + 5 không thể phân tích đ-ợc nữa.Kết quả: f(x) = (x –1)(x + 2)(x2 + x +5).2)h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24= (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24= (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) 24Đặt y = x2 + 5x + 4x2 + 5x + 6 = y + 2 vµ ta ®-ỵc:h(x) = y(y + 2) – 24= y2 + 2y – 24= y2 - 4y + 6y – 24= y(y – 4) + 6(y – 4)= (y – 4)(y +6)Thay y = x2 +5x + 4 , ta đ-ợc:Sinh viên:12Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử2và ứng dụng của nó 2h(x) = (x +5x)(x + 5x + 10)= x(x + 5)(x2 + 5x + 10)KÕt qu¶: h(x) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10).3)g(x) = 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) + y2z2= 4x(x + y + z)(x + y)( x + z) + y2z2= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2Đặt : x2 + xy + xz = m, ta cã:g(x) = 4m(m + yz) + y2z2= 4m2 + 4myz + y2z2= ( 2m + yz)2Thay m = x2 + xy + xz, ta đ-ợc :g(x) = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2KÕt qu¶: g(x) = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2Dạng đặc biệtXét Q(x) = ay2 + by + c. NÕu cã c¸c sè m, n sao cho m.n = a.c, m + n= b th× ay2 + by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y+ n/a) (*).NÕu a = 1 th× y2 + by + c = (y + m)(y + n). Trong tr-êng hỵp nàya, b, c nguyên thì tr-ớc hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệtđối của m và n nhỏ hơn b. Sau đó chọn m, n thoả mÃn m + n = b. Đa thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + cCách giải: đặt biến phụ y = x2 và áp dụng HĐT (*).Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử.Giải:Đặt y = x2 , ta có:Q(y) = 6y2 + 19y + 15T×m m, n sao cho m.n = 90 vµ m + n = 19 víi m < 19, n < 19Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chän m = 9, n = 10, ta cã:6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15= 3y(2y + 3) + 5(2y +3)= (2y + 3)(3y + 5)Do ®ã :P(x) = 6x4 + 19x2 + 15= ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)Sinh viên:13Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Đa thức dạng: P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e víi a + b = c + dCách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) cã thÓ y = (x + c)(x + d)hc y2 = x2 + (a + b) xVÝ dơ: Ph©n tÝch P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) 15 thành nhân tử.Giải:Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 th× a + b = 5 =c + d.BiÕn ®ỉi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) 15Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thànhQ(y) = y(y + 2) 1= y2 +2y – 15= y2 – 3y + 5y – 15= y(y – 3) + 5( y – 3)= (y – 3)(y + 5)Do ®ã: P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9)Tổng quát: Nếu đa thức d¹ng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x +d2) thoả mÃn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x+ b2 )rồi biến đổi nh- trên. Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)víi a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x + 2)( 3x – 5)( x – 9)( 9x + 10) + 24x2thành nhân tử.Giải:Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 9.1 = c1d1 vµ a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2Đặt y = (3x +2)(3x 5) = 9x2 9x 10 thì P(x) trở thành:Q(y) = y(y + 10x) = 24x2Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn đ-ợc m = 6x , n = 4xTa đ-ợc: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2= (y + 6x)(y + 4x)Do ®ã: P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).Sinh viên:14Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Đa thức dạng : P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = 1Cách giải: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) vỊ d¹ng chøa h¹ng tưay2 + bxy råi sư dơng HĐT(*).Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 9x2 3x + 2 thành nhân tử.Giải:224Đặt y = x – 1 suy ra y = x – 2x2 + 1BiÕn ®ỉi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x= 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5xTõ ®ã Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2T×m m, n sao cho m.n = - 10x2 vµ m + n = 3x chän m = 5x , n = - 2xTa cã: Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2= 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2= 2y(y – x) + 5x(y – x)= ( y – x)( 2y – 5x)Do ®ã: P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2). §a thøc d¹ng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi(x) về dạng chứa hạngtử y2+ bxy rồi sử dụng HĐT (*).Ví dơ: Ph©n tÝch P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử.Giải:Dễ thấy b = 1, d = 2, e = 4 đặt y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 4BiÕn ®ỉi P(x) = x4 – 4x2 + 4 – x3 – 6x2 + 2x= (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2Tõ ®ã Q(y) = y2 – xy – 6x2T×m m, n sao cho m.n = - 6x2 vµ m + n = - x chän m = 2x, n = -3xTa cã: Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2= y(y + 2x) – 3x(y + 2x)= (y + 2x)(y – 3x)Do ®ã: P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2).* NÕu ®a thøc P(x) cã chøa ax4 th× cã thĨ xÐt đa thức Q(x) = P(x)/a theocách trên. Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +cSinh viên:15Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Cách giải: Đặt biến phơ y = x + ( a + b)/2 vµ biến đổi P(x) về dạngmx4 + nx2 + pVí dụ: Ph©n tÝch P(x) = (x – 3)4 + ( x 1) 4 16 thành nhân tử.Giải:Đặt y = x 2 lúc đó P(x) trở thànhQ(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16= 2y4 + 12y2 – 14= 2(y2 + 7)( y2 – 1)= 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1)Do ®ã: P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1).Khai thác bài toán:Bằng cách đặt ẩn phụ , ta có thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau:Bài toán 1.1: Phân tích đa thức6423x3x1A= xBài toán 1.2: Phân tích đa thức22B = (xx) 14(xx) 24Bài toán 1.3: Phân tích đa thứcC = (x23x2 )( x23x6)247. Ph-ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.a) Ph-ơng pháp :Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạnghằng đẳng thức rồi dùng ph-ơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tửchung để tiếp tục phân tích. Thông th-ờng hay đ-a về dạng các hằng đẳngthức đáng nhớ sau khi thêm bớt.b) Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:1) a3 + b3 + c3 – 3abc2) x5 – 13) 4x4 + 814) x8 + x4 + 1Giải:Sinh viên:16Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán – Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Các hạng tử của các đa thức đÃ cho không chứa thừa số chung,không có một dạng hằng đẳng thức nào, cũng không thể nhóm các số hạng.Vì vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để cóthể vận dụng các ph-ơng pháp phân tích đÃ biết.1)a3 + b3 + c3 3abcTa sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếpa3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c)= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab ac bc)2)x5 1Ta sẽ thêm và bớt x sau đó dùng ph-ơng pháp nhóm:x5 1 = x5 – x + x – 1= (x5 – x) + (x – 1)= x(x4 – 1) + ( x – 1)= x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1)= x(x +1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1)= (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1].3)4x4 + 81Ta sẽ thêm và bớt 36x2 sau đó nhóm các hạng tử phù hợp để có dạnghằng đẳng thøc:4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2= ( 2x2 + 9)2 – (6x)2= (2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)4)x8 + x4 + 1Ta sẽ thêm và bớt x4 sau đó nhóm các hạng tử sử dụng các hằng đẳngthức để phân tích tiếp:x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 – x4 = (x4 + 1)2 – x4= (x4 + 1 – x2)(x4 + 1 + x2)=(x4 – x2 + 1)(x4 + 2x2 – x2 + 1)=(x4 – x2 + 1)[(x2 + 1)2 – x2 ]=( x4 – x2 + 1)(x2 + 1 + x2)(x2 + 1 – x2)= (x4 x2 + 1)(2x2 + 1).Sinh viên:17Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Khai thác bài toán:Bằng ph-ơng pháp thêm bớt hạng tử, ta có thể giải các bài toánt-ơng tự nh- sau:Bài toán 1.1: Phân tích đa thứcM = x4 + 4y 4Bài toán 1.2: Phân tích đa thứcN = x4 + x2 + 1Bài toán 1.3: Phân tích đa thứcP = (1 + x 2 )2 4x(1 + x2)8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph-ơng pháp hệ số bất định:a)Ph-ơng pháp :Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai ®a thøc f(x) vµ g(x) ®ång nhÊtvíi nhau, tøc lµ ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đÃ cho màf(x) và g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tư cïng bËclµ b»ng nhau.nf (x)anxg (x)bn xf (x)g (x)nan 1xbn 1 xann 1n 1...a1 x...bn ; a nb1 x1a0b0b n 1 ; ....; a1b1 ; a 0b0b) VÝ dô :Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:1) f(x) = x2 + 3x + 22) g(x) = x3 – 19x – 303) h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 14) k(x) = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3Gi¶i:1)f(x) = x2 + 3x + 2Vì hệ số của hạng tử có bậc cao nhất là (x2) là 1 nên f(x) có thểphân tích thành hai nh©n tư x + a, x + b, ta cã:x2 + 3x + 2 = (x + a)(x + b)x2 + 3x + 2 = x2 + (a + b)x + abSinh viên:18Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang Đề tài:ababCác ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó 32Từ a + b = 3 => a= 3 b. Đem thế vào ab = 2, ta đ-ợc:ab = 2 => b(3 b) = 2–b2 + 3b – 2 = 0–b2 + b + 2b -2 = 0–b(b – 1) + 2(b – 1) = 0(b – 1)(b – 2) = 0b1b2Cho b = 1 => a = 2 hc b = 2 => a = 1.Trong cả hai tr-ờng hợp này ta đều đ-ợc kết quả:f(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).VËy f(x) = (x +1)(x + 2).Chú ý: Có thể phân tích đa thức trên thành nhân tử bằng cách tách vànhóm các hạng tö:x2 + 3x + 2 = x2 + x+ 2x + 2= x(x + 1) + 2(x + 1)= (x + 1)(x + 2).32)g(x) = x – 19x – 30KÕt quả phải tìm có dạng:(x + a)(x2 + bx + c = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac. Ta phải tìm a, b, c thoảmÃn:x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + acVì hai đa thức đồng nhất, nên ta có:ab0abc19ac30Vì a,c thuộc số nguyên và tích ac = 30, do đó a, c là -ớc của 30hay a, c ={ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }a = 2, c = 15 khi ®ã b = 2 thoả mÃn hệ trên.Vậy g(x) = x3 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15)3)h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1Sinh viên:19Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Dễ thấy 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thứckhông có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỷ. Nh- vậy nếu đathức đÃ cho phân tích thành nhân tử thì phải có dạng:(x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd§ång nhÊt hƯ số đa thức này với đa thức đÃ cho, ta cã:4x + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bdaacc6baddbcbd761Từ hệ ph-ơng trình trên ta tìm đ-ợc: a = b = d = 1, c = 5VËy h(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5).4)k(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3Thö: x= 1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không cónghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích đ-ợcthành thừa số thì phải có d¹ng:(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd= x4– 6x3+ 12x2– 14x +3ac6acbadbcbd3d1214* bd =3 mµ b,d Z => baVíi b =3 => d =1acaSinh viên:20Phạm Thị Thà1; 3c6a2c483c14Lớp : CĐSP To¸n – Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó a2bVậy:3c4d1Vậy k(x) = x4 – 6x3 +12x2 – 14x + 3 = (x2 – 2x + 3)(x2 4x +1).Khai thác bài toán:Bằng ph-ơng pháp hệ số bất định và với cách giả nh- trên, ta có thểgiải các bài toán t-ơng tự nh- sau:Bài toán 1.1: Phân tích đa thức329x26 x24f(x) = xBài toán 1.2: Phân tích đa thức4326x12 x14 xg(x) = xBài toán 1.3: Phân tích đa thứch(x) =x48x3639. Ph-ơng pháp tìm nghiệm của đa thức:a) Ph-ơng pháp:Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Nh- vậynếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x a) thì a phải là nghiệm của đa thức. TađÃ biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là -ớc của hệ số tự do. Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x)thành tích của hai thừa số lµ (x – a) vµ Q(x).P(x) = (x – a)Q(x)Muèn t×m Q(x), ta h·y chia P(x) cho (x – a). Sau đó lại áp dụng đểphân tích tiếp Q(x). Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x= b thì ta cóthể phân tích ®a thøc P(x) thµnh tÝch cđa ba thõa sè lµ (x – a), (x – b) vµQ(x).P(x) = (x – a)(x b) Q(x)Sinh viên:21Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán – Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Muốn tìm Q(x), ta h·y chia P(x) cho tÝch sè (x – a)(x – b) = x2 + (a +b)x + ab, ta cã th-ơng đúng của phép chia là Q(x). Sau đó lại áp dụng đểphân tích tiếp Q(x). Nếu đa thức P(x) cã nghiƯm kÐp x1 = x2 = a th× sao?ThÕ nào là nghiệm số kép?Giả sử P(x) có một nghiệm lµ x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x).Q(x) l¹i cã mét nghiƯm x = a suy ra Q(x) = (x – a)R(x).Do ®ã, ta cã : P(x) = (x – a)2R(x).Ta nãi ®a thøc P(x) cã nghiƯm kÐp x1 = x2 = aVËy nÕu ®a thøc P(x) cã nghiƯm kÐp x1 = x2 = a th× P(x) = (x a)2R(x).b) Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:1) P(x) = x3 2x 42) P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 43) P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 34) P(x) = x3 + 3x – 4Gi¶i:31)P(x) = x – 2x – 4Ta thÊy ®a thøc P(x) = x3 – 2x – 4 cã mét nghiƯm lµ x = 2.Do ®ã, ta cã :P(x) = (x – 2)Q(x)Chia ®a thøc P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhÞ thức x 2, ta đ-ợc th-ơnglàQ(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1Ta thÊy Q(x) 0x . nên Q(x) không thể phân tích đ-ợc nữa.Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2)VËy P(x) = x3 – 2x – 4 = ( x - 2)(x2 + 2x + 2)2)P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4Ta nhËn thÊy ®a thøc P(x) có hai nghiệm phân biệt là -1 và 2. VìP(-1) = 0 và P(2) = 0.Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x)Chia ®a thøc P(x) cho tam thøc (x + 1)(x – 2) = x2 – x – 2 , tađ-ợc th-ơng đúng của phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1Ta thấy Q(x) 0x . nên Q(x) không thể phân tích đ-ợc nữa.Sinh viên:22Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán – Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2)VËy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2).3)P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3NghiƯm h÷u tỷ nếu có của đa thức P(x) trên là:( 1); 1; (–1/2); 1/2 ; (–3/2); 3/2 ; –3…Sau khi kiÓm tra ta thấy x = 1/2 là nghiệm nên đa thøc chøa nh©n tư( x – 1/2) hay (2x – 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thứcđể xuất hiện nhân tử chung (2x 1).2x3 - 5x2 + 8x – 3 = 2x3- x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3= x2( 2x – 1) – 2x( 2x – 1) + 3(2x – 1)= ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3).Hc chia P(x) cho (x 1) ta đ-ợc th-ơng đúng là: x2 – 2x + 3P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3)VËy P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3)4)P(x) = x3 + 3x 4Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử ( x a) thìnhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra – ac = – 4 suy ra a là -ớc của4Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là-ớc của hạng tử không đổi.Ước của ( 4) là 1; 1; – 2; 2; – 4; 4. Sau khi kiÓm tra ta thấy 1là nghiệm của đa thức. Suy ra ®a thøc chøa nh©n tư ( x – 1).Do vËy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung( x 1)* Cách 1:P(x) = x3 + 3x2 – 4= x3 – x2 + 4x2 – 4= x2(x – 1) + 4(x – 1)(x + 1)= ( x – 1)(x2 + 4x + 4)= (x – 1)(x + 2)2* C¸ch 2:P(x) = x3 + 3x2 – 4= x3 – 1 + 3x2 – 3= (x3 1) + 3(x2 1)Sinh viên:23Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó 2= (x 1)( x + x + 1) + 3(x2 – 1)= ( x – 1)( x + 2)2* C¸ch 3:Chia P(x) cho (x 1) ta đ-ợc th-ơng đúng là: (x2 + 4x + 4) = (x +2)2P(x) = x3 + 3x2 – 4 = ( x – 1)( x + 2)2.Chó ý:+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x 1).+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổngcác hạng tử bậc lẻ thì ®a thøc chøa nh©n tư ( x + 1).VÝ dơ:* §a thøc : x3 – 5x2 + 8x – 4 cã 1 – 5 + 8 – 4 = 0Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức cã chøa thõa sè ( x – 1)* §a thøc: 5x3 – 5x2 + 3x + 9 cã (– 5) + 9 = 1+ 3Suy ra ®a thøc cã nghiƯm là -1 hay đa thức chứa thừa số ( x + 1).+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nh-ng ®a thøc cã nghiƯm h÷utØ. Trong ®a thøc víi hƯ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p/qtrong đó p là -ớc của hạng tử không đổi, q là -ớc d-ơng của hạng tử caonhất.Khai thác bài toán:Bằng ph-ơng pháp tìm nghiệm đa thức và với cách giả nh- trên, tacó thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau:Bài toán 1.1: Phân tích đa thứcf(x)=x3 6x2 +11x 6Bài toán 1.2: Phân tích đa thức543g(x) = x + 6 x + 1 3 x + 1 4 xBài toán 1.3: Phân tích đa thứch(x) =2x4+ 7x3- 2x22+ 12x + 8- 13x + 6.***Mở rộng:Định lý Bơdu (Bezout)Định lý Bơdu (Bezout) về nghiệm của một đa thức.Sinh viên:24Phạm Thị ThàLớp : CĐSP Toán Tin K48Trang Đề tài:Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng của nó Nếu đa thức f(x) có thể phân tích thành nhân tử có nghĩa là có thểviết d-ới dạng f(x) = g(x) . h(x) thì ta cịng cã thĨ nãi f(x) chia hÕt cho®a thøc g(x) (hoặc đa thức h(x)) và khi đó nghiệm của g(x) hoặc h(x)cũng chính là nghiệm của f(x).Định lý (Bezout): D- trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thứcx - a đúng bằng f(a) (là giá trị của đa thức f(x) tại x = a.)Quy tắc hớt nơ (horner)Quy tắc Hớt Nơ sẽ giúp chúng ta chia nhanh một đa thức cho mộtnhị thức bậc nhấtBài toán: Giả sử chúng ta chia đa thứcP(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + ….. + an cho nhÞ thøc x – aBËc của đa thức th-ơng Q(x) nhỏ hơn bậc của P(x) một đơn vịQ(x) = b0xn 1 + b1xn 2 + b2xn – 3 + ……+ bn – 1Sè d- r là một hằng số vì bậc r < bËc (x – a)Ta cã: a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ….. + an= (x – a)(b0xn -1 + b1xn – 2 + …. + bn – 1) + rC©n b»ng hƯ sè, ta cã:b0 = a0b1 = a1 + ab0b2 = a2 + ab1b3 = a3 + ab2…………………………..bn – 1 = an – 1 + abn - 2r = an + abn -1Ta s¾p xÕp thành bảng sau:a0a b0=a0a1b1. an-1a2a1a b0 b2a2a b1bnan1an1a bn2rana bnVí dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x4 4x3 + 1 thành nhân tử.Sinh viên:25Phạm Thị ThàLớp : CĐSP To¸n – Tin K48Trang1