CHUYÊN ĐỀ PHÉP CHIA ĐA THỨC - ĐỀ LUYỆN THI HSG TOÁN 8

Đăng nhập / Đăng ký

• trang chủ
• trang cá nhân
• thành viên
• quản trị

Đăng nhập

Tên truy nhập Mật khẩu Ghi nhớ   Quên mật khẩu ĐK thành viên

Tài nguyên dạy học

Điều tra ý kiến

Bạn thấy trang này như thế nào? Đẹp Đơn điệu Bình thường Ý kiến khác

Thành viên trực tuyến

1 khách và 0 thành viên

Các ý kiến mới nhất

Đề nên cho thêm đáp án! ...

có đáp án không, em có rất nhiều bài em...

cảm ơn thầy rất nhiều!...

CAM ON BAN, RAT HAY ...

Cám ơn thầy!Nhờ vào trang west của thầy em có...

cau3 :A= 1.2+2.3+3.4 +4.5+5.6+6.7+7.8+8.9+9.10 tại sao phải nhân 2 vế...

BN=AH ( hai cạnh đối của hình bình hành)...

tại sao BN =AH vậy ...

thầy có hết tất cả các vòng khoog? thầy cho...

Chào bạn Trung Văn Đức. Tặng bạn hình ảnh quê...

Thăm thầy Trung Đức!...

ĐÓN CHÀO NGÀY 20-11, CHÚC THẦY TRUNG ĐỨC CÙNG GIA...

CHÚC THẦY ĐỨC NGÀY NGHĨ CUỐI TUẦN THẬT VUI VÀ...

Mời các Thày cô ghé thăm ...

Đưa đề thi lên Gốc > ĐỀ LUYỆN THI HSG TOÁN 8 >

• CHUYÊN ĐỀ PHÉP CHIA ĐA THỨC
• Cùng tác giả
• Lịch sử tải về

CHUYÊN ĐỀ PHÉP CHIA ĐA THỨC

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 0 / 0
• 

Nhấn vào đây để tải về Báo tài liệu có sai sót Nhắn tin cho tác giả (Tài liệu chưa được thẩm định) Nguồn: Người gửi: Trung Văn Đức (trang riêng) Ngày gửi: 17h:47' 10-09-2011 Dung lượng: 134.0 KB Số lượt tải: 679 Số lượt thích: 0 người PHÉP CHIA ĐA THỨCĐỊNH LÝ BÉZOUT & ÁP DỤNGHAI ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 1- CÁC KHÁI NIỆM_ Giả sử f(x) là đa thức bậc n với biến x_ Ta đặt f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 (x(R, ai là hệ số các hạng tử)( Khi đó f(x) = 0 ,(x ( ai = 0 (i = 0,…,n f(x) khác 0 ( có ít nhất ai = 0_ Giả sử g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b1x + b0( Khi đó f(x) = g(x) (x ( ai = bi ,(i = 0,…,n2- ĐỊNH NGHĨA3- ĐỊNH LÝ► Liên quan đến phép chia hết giữa các đa thức ta cần biết hai định lý sau : (1730-1783, Nhà Toán học Pháp) Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức (x – a) là f(a)) ■ Hệ quả : a là nghiệm của đa thức f(x) ( f(x) chia hết cho (x – a))Và như vậy khi phân tích f(x) thành nhân tử, f(x) chứa nhân tử x – a ■ Sơ đồ Horner : Xét phép chia f(x) cho x – a_ Số dư trong phép chia là f(a), điều này ta đã biết !_ Như vậy, ta có thể viết : f(x) = (x – a).q(x) + f(a)_ Vấn đề ở đây là ta cần xác định hệ số của q(x). Việc xác định này có thể làm theo cách xếp phép chia ra và thực hiện phép chia để tìm._ Ở đây ta sẽ làm quen một thuật toán để tìm hệ số của q(x), ta gọi là sơ đồ Horner. Giả sử f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 q(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + … + b2x + b1 Các hệ số bi được tính như sau : anan-1an-2…a1abn = anbn-1 = a.bn + an-1bn-2 = a.bn-1 + an-2…b1 = a.b2 + a1■ Ví dụ : Phân tích f(x) = 3x4 – 4x3 + 1 thành nhân tử _ Nhận xét x = 1 là nghiệm đa thức f(x) _ Dùng sơ đồ Horner, tìm thương phép chia f(x) cho x – 1 3-400113-1-1-10 _ Vậy f(x) = (x – 1)(3x3 – x2 – x – 1)_ Tiếp tục, ta có x = 1 là nghiệm của đa thức 3x3 – x2 – x – 13-1-1-113210_ Kết quả : f(x) = (x – 1)2(3x2 + 2x + 1)a) Ký hiệu : Q[x] là tập hợp các đa thức có hệ số là các số hữu tỉZ[x] là tập hợp các đa thức có hệ số là các số nguyênb) Đặt vấn đề :Thực tế, việc tìm nghiệm của một đa thức là công việc “rộng và khó”. Thông thường các dạng toán tìm nghiệm đa thức chúng ta gặp đều dựa vào các phương trình chuẩn để giải (lớp 8 có pt tích; lớp 9 có pt trùng phương, đối xứng), tuy nhiên bấy nhiêu thế cũng chưa giải quyết được vấn đề tìm nghiệm các đa thức.Việc tìm nghiệm đa thức trong phần này nhằm chỉ nói lên một khía cạnh của việc tìm nghiệm tổng quát – đó là tìm nghiệm nguyên của đa thức trong Z[x]._ Trước hết ta thấy rằng nếu f(x)(Q[x] thì ta có thể đưa về dạng f(x)(Z[x] để tìm nghiệm._ Như vậy việc tìm nghiệm của f(x)(Q[x] ta có thể đưa về việc tìm nghiệm của g(x) = m.f(x)(Z[x] (m là mẫu chung của các hệ số trong f(x))c) ĐỊNH LÝ CƠ BẢN :(việc chứng minh định lý này không khó, các bạn cố gắng nhé !)HỆ QUẢd) Ví dụ : Tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức f(x) = x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – 6 _ Nghiệm hữu tỉ của đa thức trên (nếu có) phải là số nguyên và ước của -6_ Thử lần lượt các ước của -6, ta có f(2) = 0 và f(-3) = 0 ( 2; -3 là nghiệm của f(x)_ Chia f(x) cho x – 2; x – 3 theo sơ đồ Horner12-4-5-6214430-31110_ Khi đó f(x) = (x – 2)(x + 3)(x2 + x + 1) ( f(x) có 2 nghiệm.(không cần thử 6; -6 vì x2 + x + 1 > 0 với mọi x)---oOo---ÁP DỤNG – TỰ LUYỆN TÌM HỆ SỐ ĐỂ f(x) CHIA HẾT CHO g(x)1- Ví dụ :Xác định các hệ số a, b sao cho x4 + ax3 + b chia hết cho x2 – 1.Hướng dẫnCách 1 (Tìm số dư và cho dư bằng 0)x4+ax3+bx2 – 1–x4-x2x2 + ax + 1ax3+x2+b–ax3-axx2+ax+b–x2-1ax+b+1Như vậy, để x4 + ax3 + b chia hết cho x2 – 1 thì ax + b + 1 = 0 ,(x( a = 0 và b + 1 = 0 hay a = 0 ; b = -1Cách 2 (Đồng nhất hệ số)Đặt x4 + ax3 + b = (x2 – 1)(x2 + cx + d) = x4 + cx3 + (d – 1)x2 – cx – d ,(xDo đó :c = ad – 1 = 0c = 0b = -d( a = 0 ; b = -1 ; c = 0 ; d = 1Vậy với a = 0 ; b = -1 ta có x4 + ax3 + b chia hết cho x2 – 1Cách 3 (Thay 1 giá trị đặc biệt của biến - giá trị riêng)Gọi Q là đa thức thương trong phép chia x4 + ax3 + b cho x2 – 1( x4 + ax3 + b = (x2 – 1).Q = (x – 1)(x + 1).Q (*)Vì (*) đúng với mọi x nên khi cho x = 1 , x = -1 ta có :1 + a + b = 01 – a + b = 0( a = 0 ; b = -1(các bạn nghĩ thử xem, tại sao chọn x = 1; -1)2- Tương tự :Tìm hệ số a, b sao cho x4 + ax2 + b chia hết cho x2 – 3x + 2 (a = -5, b = 4)DÙNG ĐỊNH LÝ BÉZOUT ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ1- Ví dụ 1 :Phân tích đa thức f(x) = x3 – x2 – 8x + 12 thành nhân tử Hướng dẫn_ Thử các ước của 12 ta thấy f(2) = 0. Ta xem f(x) = (x – 2).Q_ Tới đây có thể lấy f(x) chia cho x – 2 ( thương là x2 + x – 6_ Phân tích tiếp tục thương có được, cuối cùng ta có f(x) = (x – 2)2(x + 3).2- Ví dụ 2 :Phân tích đa thức A = a3 + b3 + c3 – 3abc thành nhân tửHướng dẫnCách 1 (Dùng phương pháp thông thường)_ Ta có (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 ( a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)_ Thay a3 + b3 vào A, ta có : A = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)= (a + b + c)[ (a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)Cách 2 (Định lý Bézout)_ Xem A là đa thức bậc 3 đối với biến a_ Đặt A = f(a) = a3 – 3abc + b3 + c3. Dễ dàng tính được f(-b-c) = 0( f(a) chia hết cho a – (-b-c) = a + b + c_ Thực hiện phép chia đa thức f(a) cho a + b + c, hoặc dùng sơ đồ Horner tìm hệ số đa thức thương :10-3bcb3 + c3-b-c1-b-cb2 + c2 – bc0_ Đa thức thương là : q(a) = a2 – (b + c)a + b2 + c2 – bc( f(a) = (a + b + c)[a2 – (b + c)a + b2 + c2 – bc] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)3- Tương tự :1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :a) 3x3 + 5x2 – 14x + 4 (x =
là nghiệm)b) 2x3 – x2 – 3x – 1 (x = -½ là nghiệm)2) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ac) + c(a2 + b2 + ab)b) (a + b + c)(ab + bc + ac) – abc 3) Dùng định lý về nghiệm đa thức, định lý Bézout, phân tích các đa thức sau thành nhân tử :a) x3 – 9x2 + 15x + 25b) x3 – 4x2 – 11x + 30c) 2x4 + x3 – 22x2 + 15x – 36 d) 3x3 + 5x2 – 14x + 4e) 2x3 – x2 – 3x – 1 .1- Cho biết đa thức 4x3 + ax + b chia hết cho đa thức x – 2 và x + 1. Tính 2a – 3b ?2- Xác định các hằng số a, b sao cho :a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 – x + 1b) ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho x2 + 3x – 10 c) ax3 + bx – 24 chia hết cho (x + 1)(x + 3)3- Xác định các hằng số a, b để đa thức f(x) = 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6 và khi chia f(x) chia cho x – 2 dư 21.4- Xác định các hằng số a, b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7 và khi chia cho x – 3 thì dư -5.5- Xác định các hằng số a, b, c sao cho ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2 và khi chia cho x2 – 1 thì dư x + 5. 6- Chứng minh rằng nếu x4 – 4x3 + 5ax2 – 4bx + c chia hết cho x3 + 3x2 – 9x – 3 thì tổng a + b + c = 0.7- Tìm đa thức dư trong phép chia x54 + x45 + x36 + … + x9 + 1 cho x2 – 1.8- Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để giá trị của n6 – n4 – 2n2 + 9 chia hết cho giá trị của biểu thức n4 + n29- Tìm số nguyên n sao cho :a) n3 – 2 chia hết cho n – 2 b) n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1c) n4 – 2n3 + 2n2 – 2n + 1 chia hết cho n4 – 1 10- Không xếp phép chia, xét xem x3 – 9x2 + 6x + 16 có chia hết cho :a) x + 1b) x – 3 11- Tìm dư khi chia x + x3 + x9 + x27 cho :a) x – 1 b) x2 – 1 12- Tìm dư khi chia x99 + x55 + x11 + x + 7 cho :a) x + 1b) x2 + 113- Chứng minh rằng :a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1b) x2 – x9 – x1945 chia hết cho x2 – x + 1c) x10 – 10x + 9 chia hết cho (x – 1)2d) (x2 – 3x + 1)31 – (x2 – 4x + 5)30 + 2 chia hết cho x – 2 14- Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n :a) (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia hết cho x(x + 1)(2x + 1)b) x4n + 2 + 2x2n + 1+ 1 chia hết cho (x + 1)2c) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia hết cho x2 + 1d) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)215- Tìm số dư khi chia f(x) = x50 + x49 + … + x2 + x + 1 cho x2 – 1 .   ↓ ↓ Gửi ý kiến TRUNG VĂN ĐỨC CHÂN THÀNH CÁM ƠN SỰ GHÉ THĂM CỦA QUÝ THẦY CÔ GIÁO.CHÚC QUÝ THẦY CÔ LUÔN VUI KHOẺ VÀ HẠNH PHÚC! Website được thừa kế từ Violet.vn, người quản trị: Trung Văn Đức