Chuyên đề Phép Tịnh Tiến Và Tâm đối Xứng - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (6 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo Dục - Đào Tạo
>>
3. Đề thi

Chuyên đề phép tịnh tiến và tâm đối xứng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (115.8 KB, 6 trang )

Nguyễn Phú Khánh – Đà LạtBài 5 : PHÉP TỊNH TIẾNVÀ TÂM ĐỐI XỨNG5.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT1. Điểm uốn của đồ thị :Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một liên tục trên khoảng a;b chứa điểm( )() ()x 0 và có đạo hàm cấp hai trên khoảng a; x 0 vì x 0 ;b .Nếu f '' đổi dấu khi(( ) ) là một điểm uốn của đồ thị của hàm sốx qua điểm x 0 thì I x 0 ; f x 0( )y=f x .(( ) ) là một điểmNếu hàm số f có đạo hàm cấp hai tại điểm x 0 thì I x 0 ; f x 0( )uốn của đồ thị hàm số thì f '' x 0 = 02. Phép tịnh tiến hệ tọa độ :Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tình tiến theo vectơ OI làx = X + x o, I x 0; f x 0 .y = Y + y0(( ))5.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶPDạng 1 : Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI .Ví dụ 1: Tìm tham số thực m để điểm I thuộc đồ thị(C ) : y = x3()+ 3mx 2 + m + 2 x + 1 nằm trên trục hoành , biết rằng hoành( )độ của điểm I nghiệm đúng phương trình f '' x = 0 .Giải :* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên » .* Ta có : y ' = 3x 2 + 6mx + m + 2y '' = 6x + 6m và y '' = 0 ⇔ x = −m .Dễ thấy y '' đổi dấu khi x qua điểm x 0 = −m . Suy ra()I −m;2m 3 − m 2 − 2m + 1 là điểm uốn của đồ thị đã cho.117Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt)(()Vì I ∈ Ox ⇔ 2m 3 − m 2 − 2m + 1 = 0 ⇔ m − 1 2m 2 + m − 1 = 01.211Ví dụ 2:Cho hàm số f x = x 3 − x 2 − 4x + 6321. Giải phương trình f ' sin x = 0⇔ m = 1 hoặc m = −1 hoặc m =( )( )Giải phương trình f '' ( cos x ) = 02.3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành( )độ là nghiệm của phương trình f '' x = 0 .Giải :* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên » .1 ± 17.2Cả hai nghiệm x đều nằm ngoài đoạn  −1;1 . Do đó phương trình( )( )1. f ' x = x 2 − x − 4 ⇒ f ' x = 0 ⇔ x =()f ' sin x = 0 vô nghiệm.( )( )2. f '' x = 2x − 1 ⇒ f '' x = 0 ⇔ x =1. Do đó phương trình21π⇔ x = ± + k 2π , k ∈ » .231  1  473. f '' x = 2x − 1 ⇒ f '' x = 0 ⇔ x = , f   =,f2  2  12Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :17 1  4717145y = − x −  +hay y = − x +4 2  12424()f '' cos x = 0 ⇔ cos x =( )( )( )117'  = −42( )Ví dụ 3 : Cho hàm số f x = x 3 − 3x 2 + 1 có đồ thị là C( )1. Xác định điểm I thuộc đồ thị C của hàm số đã cho , biết rằng hoành( )độ của điểm I nghiệm đúng phương trình f '' x = 0 .2. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI và( )viết phương trình đường cong C đối với hệ IXY . Từ đó suy ra rằng I là118Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt( )tâm đối xứng của đường cong C .( )tọa độ Oxy .Chứng minh rằng trên khoảng ( −∞;1) đường cong (C ) nằmphía dưới tiếp tuyến tại điểm I của (C ) và trên khoảng (1; +∞ ) đường cong(C ) nằm phía trên tiếp tuyến đó.3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong C tại điểm I đối với hệGiải :* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên » .( )( )( )thuộc (C ) là x = 1, f (1) = −1. Vậy I (1; −1) ∈ (C ) .1. Ta có f ' x = 3x 2 − 6x , f '' x = 6x − 6Hoành độ điểm If '' x = 0 ⇔ x = 1 .2. Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI làx = X + 1y = Y − 1( )Y − 1 = ( X + 1) − 3 ( X + 1)Phương trình của C đối với hệ tọa độ IXY là :32+ 1 ⇔ Y = X 3 − 3X .( )Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị C của nó nhận gốc toạ độ I làm tâm đốixứng .3. f ' x = 3x 2 − 6x ⇒ f ' 1 = −3 . Phương trình tiếp tuyến của đường( )()cong (C ) tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy :y = f ' (1)( x − 1) + f (1) = −3 ( x − 1) − 1 ⇔ y = g ( x ) = −3x + 2 .Xét hàm h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = ( x − 3x + 1) − ( −3x + 2 ) = ( x − 1) trên »h ( x ) < 0, x < 1Dễ thấy . Điều này chứng tỏ trên khoảng ( −∞;1) đườnghx>0,x>1()cong (C ) nằm phía dưới tiếp tuyến tại điểm I của (C ) và trên khoảng(1; +∞ ) đường cong (C ) nằm phía trên tiếp tuyến đó.323119Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt()()Ví dụ 4 : Cho hàm số y = x 3 − m + 3 x 2 + 2 + 3m x − 2m có đồ thị là(C ) , mmlà tham số thực. Gọi I là điểm có hoành độ là nghiệm đúng( )phương trình f '' x = 0 .Tìm tham số m để đồ thị của hàm số có cực trị vàđiểm I nằm trên trục Ox .Giải:Hàm số đã cho xác định và liên tục trên » .Ta có : y ' = 3x 2 − 2 m + 3 x + 2 + 3m và y '' = 6x − 2 m + 3()()Đồ thị của hàm số có cực trị và điểm I nằm trên trục Ox m + 3 2 − 3 2 + 3m > 0∆ ' , > 02⇔ y⇔  m + 3 3m + 3m + 3y=0 (xu ) − m + 3 . + 2 + 3m .  − 2m = 0 3  3  3 ()(())()m 2 − 3m + 3 > 03⇔ 3⇔m = 0∨m = 3∨m = .222m − 9m + 9 = 0Dạng 2 : Tâm đối xứng của đồ thị.Ví dụ 1 :Cho hàm số y = x 4 − mx 3 + 4x + m + 2 . Tìm tất cả tham số thựcm để hàm số đã cho có 3 cực trị A, B,Cvà trọng tâm G của tam giác ABC trùng với tâm đối xứng của đồ thị hàm4xsố y =.4x − mGiải :4xmĐồ thị của hàm số y =có tâm đối xứng là I ( ; 1)4x − m443Hàm số : y = x − mx + 4x + m + 2 , liên tục trên R .Ta có : y ' = 4x 3 − 3mx 2 + 4Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệmphân biệt , nghĩa là phương trình 4x 3 − 3mx 2 + 4 = 0 có 3 nghiệm phânbiệt.Xét hàm số g x = 4x 3 − 3mx 2 + 4 liên tục trên R và( )lim g(x ) = +∞ , lim g(x ) = −∞x →+∞x →−∞120Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạtx = 0, g(0) = 4 > 03Ta có : g ′(x ) = 12x − 6mx ⇒ g ′(x ) = 0 ⇔ x = m , g(m ) = 16 − m2242( )( )g ' x đổi dấu 2 lần qua nghiệm , và g x = 0 có 3 nghiệm phân biệt khim > 0⇔m >2322316−m