Chuyên đề Phương Trình Chứa ẩn ở Mẫu Lớp 8: Lý Thuyết Và Cách Giải

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là gì?

Định nghĩa phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là dạng phương trình có biến ở mẫu số

Tổng quát phương trình chứa ẩn mẫu

Phương trình chứa ẩn ở mẫu có dạng tổng quát là:

\(\frac{a}{bx + c}\)

Điều kiện xác định của một phương trình

Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0. Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 8

• Bước 1: Tìm điều kiện xác của phương trình
• Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4: Kiểm tra và kết luận. Với những giá trị của ẩn tìm trong bước 3, các giá trị thỏa mãn được ĐKXĐ ở bước 1 chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: \(\frac{2x – 5}{x + 5} = 3\)

Cách giải:

• Bước 1:
  • Tìm điều kiện cho phương trình mẫu: Mẫu số ở đây là \(x + 5 \)
  • \(⇒ \)Điều kiện là \(x≠−5\)
• Bước 2:
  • Quy đồng mẫu 2 vế phương trình cho mẫu chung là \(x + 5\) ta được:
  • \(\frac{2x – 5}{x + 5} = \frac{3(x + 5)}{x+5}\)
  • \(\Leftrightarrow 2x – 5 = 3x + 15\)
  • \(\Leftrightarrow 2x – 3x = 15 + 5\)
  • \(\Leftrightarrow – x = 20 \Rightarrow x = -20\) ( quy tắc đổi dấu )
  • Vì \( x=−20≠−5\) ( điều kiện ở bước 1 )
  • Nên \( x=−20\) thỏa mãng điều kiện và \( x=−20\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

Các dạng toán phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 10

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Phương pháp: Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0

Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp:

• Tìm ĐKXĐ của phương trình.
• Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Giải phương trình vừa nhận được.
• Chọn các giá trị của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ rồi viết tập nghiệm.

Ngoài ra, có thể sử dụng các hằng đẳng thức và các quy tắc đổi dấu, phá ngoặc… để biến đổi.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: \(\frac{2x + 1}{3x + 2} = \frac{x+1}{x-2}\) (2)

Cách giải:

ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} 3x + 2 \neq 0\\ x – 2 \neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq \frac{-2}{3}\\ x \neq 2 \end{matrix}\right.\)

Phương trình (2) tương đương \((2x+1)(x-2) = (x+1)(3x+2)\)

\(\Leftrightarrow 2x^{2} – 4x + x – 2 = 3x^{2} + 2x + 3x + 2\)

\(\Leftrightarrow x^{2} + 8x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = -4 \pm 2\sqrt{3}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = -4 \pm 2\sqrt{3}\)

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: \(\frac{x+1}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{2x+1}{x+1}\) (3)

Cách giải:

ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} x+2 \neq 0\\ x-2 \neq 0\\ x+1 \neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq \pm 2\\ x \neq -1 \end{matrix}\right.\)

Phương trình (3) tương đương \((x+1)^{2}(x-2) + (x-1)(x+1)(x+2) = (2x+1)(x-2)(x+2)\)

\(\Leftrightarrow (x^{2} + 2x + 1)(x – 2) + (x^{2} – 1)(x + 2) = (2x + 1)(x^{2} – 4)\)

\(\Leftrightarrow x^{3} – 2x^{2} + 2x^{2} – 4x + x – 2 + x^{3} + 2x^{2} – x – 2 = 2x^{3} – 8x + x^{2} – 4\)

\(\Leftrightarrow x^{2} – 4x = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x = -4 \end{array}\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=−4 \) và \(x=0\)

Ví dụ 4: Giải phương trình sau: \(\frac{4}{2x+1} + \frac{3}{2x+2} = \frac{2}{2x+3} + \frac{1}{2x+4}\)

Cách giải:

ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} 2x+1 \neq 0\\ 2x+2 \neq 0\\ 2x+3 \neq 0\\ 2x+4 \neq 0 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x \neq -2\\ x\neq \frac{-3}{2}\\ x\neq -1\\ x\neq \frac{-1}{2} \end{matrix}\right.\)

Phương trình (4) tương đương:

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{-5\pm \sqrt{3}}{4}\) và \(x = \frac{-5}{2}\)

Dạng 3: Đưa về phương trình bậc cao

Ví dụ 5: Giải phương trình \(\frac{2x}{3x^{2} -5x+2} + \frac{13x}{3x^{2}+x+2} = 6\) (5)

Cách giải:

ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} 3x^{2} -5x +2 \neq 0\\ 3x^{2} + x+ 2 \neq 0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x\notin \left \{ 1;\frac{2}{3} \right \}\)

Phương trình (5) tương đương \(2x(3x^{2} +x+2) + 13x(3x^{2}-5x+2) = 6(3x^{2} -5x+2)(3x^{2}+x+2)\)

\(\Leftrightarrow 54x^{4} -117x^{3}+105x^{2}-78x+24=0\)

\(\Leftrightarrow (2x-1)(3x-4)(9x^{2}-3x+6) =0\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \frac{1}{2}\\ x = \frac{4}{3} \end{matrix}\right.\)

m của phương trình là \(x = \frac{1}{2} ,x = \frac{4}{3}\)

DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề phương trình chứa ẩn ở mẫu. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Định nghĩa, Ví dụ và Cách giải

Xem thêm >>> Phương trình bậc nhất một ẩn là gì? Lý thuyết và Cách giải