Chuyên đề Quỹ Tích Hình Học 9 - 123doc

Chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi,

QUỸ TÍCH PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH I) Định nghĩa:

Một hình H được gọi là tập hợp điểm ( Quỹ tích) của những điểm M thỏa mãn tính chất A khi và chỉ khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất A

II) Phương pháp giải toán:

Để tìm một tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo các bước sau:

Bước 2: Trình bày lời giải:

A Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H

B Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M để chứng minh điểm Mchỉ thuộc một phần B của hình H( Nếu có)

C Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ thuộc B Ta chứng minh điểm M thoả mãn các tính chất A

D Kết luận: Tập hợp các điểm M là hình B (Nêu rõ hình dạng và cách dựng hình B)

III) MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS

I) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC

Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A B,

cho trước là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Ví dụ 1: Cho góc xOy cố định và điểm A cố định nằm trên tia Ox

B là điểm chuyển động trên tia Oy, Tìm tập hợp trung điểm M của AB

a) Phần thuận:

+ Xét tam giác vuông OAB ta có :

OM =MA MB= nên

tam giác OAM cân tại M Mặt khác OA cố định

suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn

thẳng OA

b) Giới hạn:

+ Khi B trùng với O thì M ≡M1 là trung điểm OA

+ Khi B chạy xa vô tận trên tia OB thì M chạy xa vô tận trên tia M z1

c) Phần đảo

Lấy M bất kỳ thuộc tia M z , 1 AM cắt Oy tại B Suy ra MO MA= ⇒MAO MOA· =· Mặt khác ·OBM =BOM· (cùng phụ với góc ·MAO MOA=· ) ⇒ MO MB= Suy ra MO MA MB= = Hay M là trung điểm của AB

d) Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của AB là đường trung trực của đoạn OA

II) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ TIA PHÂN GIÁC

Tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy khác góc bẹt và cách đều hai cạnh của góc

xOy là tia phân giác của góc xOy

Ví dụ 1) Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A cố định B là điểm chuyển động trên tia Oy Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C

suy ra C∈tia phân giác Oz của góc xOy

b) Giới hạn, Phần đảo: Dành cho học sinh

c) Kết luận:Tập hợp điểm C là tia phân giác Oz của góc xOy

III) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG THẲNG , ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

Ta thường gặp các dạng tập hợp cơ bản như sau:

1 Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cố định A B, là đường thẳng AB

2 Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua điểm cố định A tạo với đường thẳng ( )d một góc không đổi

3 Tập hợp các điểm M cách đường thẳng ( )d cho trước một đoạn không đổi h là

các đường thẳng song song với ( )d và cách đường thẳng ( )d một khoảng bằng

Vậy điểm M nằm trên đường thẳng ( )d cố định đi qua A D,

Phần còn lại dành cho học sinh

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và điểm K chuyển động trên

cạnh AC P, là điểm chuyển động trên trung tuyến BD của

tam giác ABC sao cho S APK =S BPC Gọi M là giao điểm của

Vậy tập hợp điểm M là đường trung bình song song với cạnh AC của tam giác ABC

trừ hai trung điểm M M của tam giác ABC1, 2

điểm I

Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau Mộtđiểm Mchuyển động trên đoạn thẳng AB( M không trùng với O,A ,B) Đường

thẳng CM cắt (O) tại giao điểm thứ 2 là N Đường thẳng vuông góc với AB tại

M cắt tiếp tuyến tại N của (O) ở điểm P Chứng minh rằng điểm P luôn chạy

trên một đoạn thẳng cố định:

Hướng dẫn:

Điểm M ,N cùng nhìn đoạn OP dưới

một góc vuông nên tứ giác MNPO nội

tiếp suy ra MNO MPO MDO· =· =· Từ đó

Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm giữa hai tiếp tuyến tại A ,B của (O)

Ví dụ 4: Cho nữa đường tròn đường kính BC trên nữa đường

tròn lấy điểm A ( Khác B,C) Kẻ AH vuông góc với

∈

BC(H BC) Trên cung AC lấy điểm D bất kỳ (khác A ,C)

Đường thẳng BD cắt AH tại điểm I.Chứng minh rằng tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác AID luôn nằm trên một

đường thẳng cố định khi D thay đổi trên cung AC

BAI ADI suy ra AB là tiếp tuyến của

đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI Mặt khác AC cố định AC AB ⊥ nên tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI luôn thuộc đường thẳng AC

IV TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRÒN, CUNG CHỨA GÓC.

1 Nếu A B, cố định Thì tập hợp các điểm M sao cho ·AMB=900 là đường tròn đường kính AB ( Không lấy các điểm A B, )

2 Nếu điểm O cố định thì tập hợp các điểm M cách O một khoảng không đổi

R là đường tròn tâm O bán kính R

3 Tập hợp các điểm M tạo thành với 2 đầu mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc MAB · = α không đổi (0 < α < 180 0) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB.Gọi tắt là ‘’cung chứa góc ‘’

Ví dụ 1 Cho tam giác cân ABC (AB AC = ) và D là một điểm trên cạnh BC Kẻ

DM / /AB (M AC ∈ ) DN / /AC N AB( ∈ ) Gọi D' là điểm đối xứng của D qua MN Tìm quỹ tích điểm D' khi điểm D di động trên cạnh BC

Hướng dẫn giải:

Phần thuận: Từ giả thiết đề ra ta thấy NB ND ND' = = , do đó ba điểm B,D,D' nằm trên đường tròn tâm N Từ đó BD'D· =1BND· =1·BAC

2 2 (1) Tương tự ta có ba điểm D',D,Cnằm trên đường tròn tâm M Nên DD'C· =1DMC· =1BAC·

Ví dụ 2 Cho đường tròn ( )O và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động

trên cung lớn BC của đường tròn ( )O (A khác B, A khác C) Tia phân giác của

·ACB cắt đường tròn ( )O tại điểmD khác điểm C Lấy điểm I thuộc đoạn CDsao cho DI DB = Đường thẳng BI cắt đường tròn ( )O tại điểm K khác điểm B

a) Chứng minh rằng tam giác KAC cân

b) Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định

c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM AC = Tìm quỹ tích các điểm Mkhi A di động trên cung lớn BC của đường tròn ( )O

b) Từ kết quả câu a, ta thấy I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC nên đường thẳng AIluôn đi qua điểm J (điểm chính giữa của cung »BC không chứa A) Rõ ràng J là điểm

cố định

c) Phần thuận: Do ∆ AMC cân tại A, nên BMC· =1·BAC

2 Giả sử số đo ·BAC là 2 α (không đổi) thì khi A di động trên cung lớn BC thì M thuộc cung chứa góc α dựng trên đoạn BC về phía điểm O

Phần đảo: Tiếp tuyến Bx với đường tròn ( )O cắt cung chứa góc α vẽ trên đoạn BCtại điểm X Lấy điểm M bất kỳ trên »Cx (một phần của cung chứa góc αvà vẽ trên đoạn BC M #X;M #C( ) Nếu MBcắt đường tròn ( )O tại A thì rõ ràng A thuộc cung lớn

BC của đường tròn ( )O Vì ·BAC 2 ;AMC= α · = αsuy ra ∆ AMC cân tại A hay AC AM =

Kết luận: Quỹ tích các điểm M là cung »Cx, một phần của cung chứa góc α vẽ trênđoạn BC về phía O trừ hai điểm C và X

Ví dụ 3 Cho đường tròn (O R; ) và dây BC cố định A là điểm di động trên đoạn thẳng BC D là tâm của đường tròn đi qua A B, và tiếp xúc với (O R; ) tại B; E là

tâm của đường tròn đi qua A C, và tiếp xúc với (O R; ) tại C Tìm tập hợp các giao điểm M khác A của hai đường tròn ( )D và ( )E .

Gọi I là giao điểm của DE và AM

IK là đường trung bình của

c) Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ trên cung chứa góc ·BOC Dựng đường tròn ( )D qua

M và tiếp xúc ( )O tại B , đường tròn ( )D cắt BC tại A Dựng đường tròn ( )E qua

ABx=ACy (vì NB =NC ) Suy ra BMA· =ACy· , suy ra Bx Cy MA, , đồng quy tại N Do

đó AMC· =ACy· , suy ra CN là tiếp tuyến của ( )E qua N A C, , Vậy ( )E và ( )O tiếp

xúc nhau tại C

d) Kết luận: Tập hợp các điểm M là cung chứa góc ·BOC dựng trên đoạn BC

Ví dụ 4 Cho ba điểm A B C, , cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó Vẽ đường

thẳng ( )d vuông góc với AC tại C D, là điểm di động trên đường thẳng ( )d Từ B

vẽ đường thẳng vuông góc AD tại H H( Î AD) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

ACD tại M N, Tìm tập hợp các điểm M N, .

Hướng dẫn:

a) Phần thuận: ·ACD =900Þ AD là đường kính của đường tròn (ACD)

¼ ¼ ,

AM AN AM AN

Þ = = Xét DAMB và DACM có ¶M chung, AMB· =ACM AN· æççè¼ =AM¼ ö÷÷÷ø.

Do đó DAMB : DACM , suy ra AM AB AM2 AB AC AM AB AC

AHM = nên ·AMD =900Þ M thuộc đường tròn ngoại tiếp DACD.

Tương tự N cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp DACD

d) Kết luận: Tập hợp các điểm M là đường tròn (A AB AC; )

Ví dụ 5 Cho đường tròn (O R; ) hai đường kính AB và CD vuông góc M là

điểm di động trên ¼CAD H là hình chiếu của M trên AB Gọi I là tâm đường

tròn nội tiếp tam giác HMO Tìm tập hợp các điểm I

Hướng dẫn:

a) Phần thuận:

OA Þ OIA = Vẽ tia OM M, Î ( )O sao cho OI là tia phân giác của ·AOM

Xét DIMO và DIAO có OM =OA=R IOM,· =IOA· , OI (cạnh chung) Do đó

Ví dụ 6 Cho đường tròn ( )O điểm A cố định trên đường tròn Trên tiếp tuyến tại

A lấy một điểm B cố định Gọi đường tròn ( )O' là đường tròn tiếp xúc với AB tại

B có bán kính thay đổi Tìm tập hợp các trung điểm I của dây chung CD của ( )O

(chung), MAD· =MCA·

(góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung

và góc nội tiếp cùng chắn cung ¼AD )

OIM = OM cố định Do đó I thuộc đường tròn đường kính OM

b) Giới hạn: Điểm I là trung điểm dây cung CD của ( )O Þ I nằm trong đường tròn

( )O Þ I chuyển động trên đường tròn đường kính OM nằm trong đường tròn ( )O c) Phần đảo: Lấy điểm I bất kỳ trên đường tròn đường kính OM (phần nằm trong đường tròn ( )O )

Câu 1 Cho đường tròn ( )O , Alà điểm cố định nằm ngoài đường tròn ( )O OBC

là đường kính quay quanh O Tìm tập hợp tâm I đường ngoại tiếp tam giác

ABC

Hướng dẫn:

a) Phần thuận:

Gọi D là giao điểm của AO

Khi BOC qua A thì I ® (I1 I là trung điểm của 1 AD)

Khi BOC không qua A thì I chạy xa vô tận trên đường thẳng ( )d

Vậy I chuyển động trên đường thẳng ( )d (trừ điểm I là trung điểm 1 AD là đường trung trực của đoạn thẳng AD

c) Phần đáo: Lấy điểm I bất kỳ thuộc đường thẳng ( )d (I ¹ I1) Vẽ đường tròn (I IA; )

cắt đường tròn ( )O tại B BO cắt (I IA; ) tại C Ta có: IA =IDÞ D thuộc đường tròn tâm I bán kính IA

2 OA R

d) Kết luận: Tập hợp các điểm I là đường trung trực của đoạn thẳng AD (với D

thuộc tia đối của tia OA và OD R2

OA

= )trừ điểm I ( 1 I là trung điểm của đoạn thẳng1

AD)

Câu 2 Cho đường tròn (O R; ) đường kính AB Vẽ đường thẳng ( )d vuông góc

với AB tại I I( Î AB) Gọi M là điểm chuyển động trên đường tròn (O R; ) MA

và MB lần lượt cắt ( )d tại C và D Tìm tập hợp các tâm J của đường tròn qua

ba điểm A D C, ,

Hướng dẫn:

a) Phần thuận: Gọi E là điểm đối xứng của B qua ( )d Þ E cố định.

EDC =BDC AMB = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

CAI =BDC (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Suy ra ·EDC =CAI· Þ tứ giác EDCA nội tiếp Þ

đường tròn qua ba điểm A D C, ,

đi qua hai điểm cố định A E,

Vậy tâm I của đường tròn

qua ba điểm A D C, , thuộc

đường thẳng cố định là đường

trung trực xy của đoạn thẳng AE

b) Giới hạn:

+ Khi M º M1 thì J º J 1 (M là trung điểm »AB ; 1 J M1 1^OM J1, 1Î ( )d

+ Khi M º M2 thì J º J 2 (M là trung điểm »AB ; 2 J M2 2^OM J2, 2Î ( )d

Do đó J chuyển động trên hai tia J x J y của đường trung trực của đoạn thẳng 1 , 2 AE

c)Phần đảo: Lấy điểm J bất kỳ trên tia J x (hoặc 1 J y ) Vẽ đường tròn 2 (J J A; ) cắt ( )d

tại C D,

AC cắt BD tại M

Ta có: J E =J A (J thuộc trung trực của AE ) Þ E Î (J J A, ).

ACI =DEA (EDCA nội tiếp ( )J ); DBE· =DEA· (B E, đối xứng qua ( )d )

Suy ra ACI· =DBE· Þ tứ giác ICMB nội tiếp đường tròn

Mà ·CIB =900Þ CMB· =900Þ M thuộc đường tròn ( )O

d)Kết luận: Tập hợp các tâm J đường tròn qua ba điểm A D C, , là hai tia J y của 1

đường trung trực của đoạn thẳng AE

Câu 3 Cho ba điểm cố định A B C, , thẳng hàng theo thứ tự đó Trên đường

thẳng d vuông góc AB tại B lấy điểm bất kỳ D Gọi H là trực tâm của tam

giác DAC Tìm tập hợp các tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác DAH.

Þ = Suy ra: BD BH =AB BC (không đổi) (1)

Xét DBAD và DBHE có: µB chung, BAD· =BHE· (tứ giác ADHE nội tiếp) Do đó:

là đường trung trực của đoạn thẳng AE

b) Giới hạn: D chuyển động trên cả đường thẳng ( )d nên O chuyển động trên cả đường thẳng ( )m (loại trừ điểm m là giao điểm của AC và ( )m ).

c) Phần đảo: Lấy O bất kỳ trên đường thẳng ( )m Vẽ đường tròn (O OA; ) cắt đường

thẳng ( )d lần lượt tại H D,

OA =OE nên E Î (O OA; ) Xét DBAD và DBHE có: µB chung; BAD· =BHE· (tứ giác

ADHE nội tiếp) Suy ra: BAD BHE BA BD BA BE BD BH

d) Kết luận: Tập hợp các tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác DAH là đường trung trực ( )m của đoạn thẳng AE (trừ điểm M là giao điểm của AC với ( )m (với E

là điểm đối xứng của C qua B )

Câu 3 Cho tam giác cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O R; ) có

2

AB =AC =R M là điểm chuyển động trên cung nhỏ AC

đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D Tìm tập hợp các điểm I

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD

Khi M º A thì I chạy xa vô tận trên tia Cx

Vậy I chuyển động trên tia Cx vuông góc với AC tại C

c) Phần đảo: Lấy I bất kỳ thuộc tia Cx Vẽ đường tròn (I IC; ), đường tròn này cắt BC

tại B, cắt ( )O tại M (M ¹ C D; ¹ C) Tứ giác BAMC nội tiếp

· · 1800 · 1350

D có IC =ID( )=r Þ IDC· =450Þ CID· =900 · 1· · 0

452

Câu 4 Cho đường tròn (O R; ) và điểm A cố định Đường tròn

tâm I di động qua A cắt ( )O tại B C, Gọi M là giao điểm

của BC và tiếp tuyến tại A của đường tròn ( )I Tìm tập hợp

các điểm M

Hướng dẫn:

a) Phần thuận: Vẽ tiếp tuyến MD với ( )O (DÎ ( )O )

Xét DMAC và DMBA có ¶M chung,

MAC =MBA,(góc tạo bởi tia

tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp

D có D =µ 900 nên theo định lý Pitago, ta có: MD2=MO2- OD2=MO2- R2 Do

đó MA2=MO2- R2, suy ra MO2- MA2=R2 DHMA MHA(· =900) Þ MA2=MH2+AH2

Þ cố định H cố định, OA cố định, MH ^AO tại H Vậy M thuộc đường thẳng

( )d vuông góc với OA tại H

b) Giới hạn: O chuyển động trên cả đường thẳng ( )d .

c) Phần đảo: Lấy M bất kỳ thuộc đường thẳng ( )d Vẽ cát tuyến MBC với ( )O

( )

(B C, Î O ), vẽ đường tròn ( )I qua A B C, , vẽ tiếp tuyến MDvới ( )O (DÎ ( )O ) .

Xét DMCDvà DMDB có ¶M (chung), MDC· =MBD· (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây

cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CD của ( )O )

Þ = , do đó MA là tiếp tuyến của ( )I

d) Kết luận: Tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với OA tại H (với

suy ra DO là trung trực của BC Þ DO ^BC

Xét DOMA và DOHD có Oµ chung, ·OMA =OHD· (=900) Do đó DOMA : DOHD

= Þ = (không đổi) Þ H cố định Vậy D thuộc đường thẳng

cố định ( )d vuông góc với đường thẳng OA tại H

b) Giới hạn: BC quay quanh A nên D chuyển động trên đường thẳng ( )d

c) Phần đảo: Lấy D bất kỳ trên đường thẳng ( )d Vẽ dây BC qua A và vuông góc

với OD tại M M( Î OD) Xét OMA OHD OA OM OAOH OM OD

suy ra OMB· =OBD· ; mà OMB =· 900 nên ·OBD =900Þ DB là tiếp tuyến của ( )O

Tương tự DC là tiếp tuyến của ( )O

d) Kết luận: Tập hợp các điểm D là đường thẳng ( )d vuông góc với OA tại H (với

Câu 6 Cho đường tròn (O R; ) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn Cát

tuyến ( )m qua A cắt đường tròn ( )O tại B và C Tiếp tuyến tại B và C với

đường tròn ( )O cắt nhau tại D Tìm tập hợp các điểm D.

có ·MOA chung; ·OMA =OHD· (=900)

= không đổi Þ H cố định Vậy D thuộc đường thẳng ( )d cố định vuông góc

với đường thẳng OA tại H

b) GIới hạn: D nằm ngoài đường tròn (O R; ), do đó D chuyển động trên đường thẳng

( )d trừ đoạn thẳng D D (với 1 2 D D là giao điểm của 1, 2 ( )d và đường tròn (O R; ).

c) Phần đảo: Lấy điểm D bất kỳ trên đường thẳng ( )d trừ đoạn thẳng D D Vẽ 1 2

đường thẳng ( )m qua A vuông góc với OD cắt đường tròn (O R; ) tại B C, cắt OD tại

M

Xét DOMA và DOHD có ·MOA chung; ·OMA =OHA· (=900) ,

do đó OMA OHD OA OM OAOH OM OD

OD OH

Mà OAOH =R2 nên OM OD =R2 , suy ra OM OB

OB =OD.

Xét DOMB và DOBD có Oµ chung; OM OB

OB =OD, do đó DOMB : DOBD, suy ra

OMB =OBD mà OMB =· 900 nên ·OBD =900Þ DB là tiếp tuyến của ( )O

Tương tự DC là tiếp tuyến của ( )O

d) Kết luận: Tập hợp các điểm D là đường thẳng ( )d (trừ đoạn thẳng D D ) vuông 1 2

góc với OA tại H (với OH R2

OA

Câu 7 Tam giác ABC cân tại A cố định nội tiếp trong đường tròn (O R; ) Điểm

M di động trên cạnh BC Gọi D là tâm đường tròn đi qua M và tiếp xúc với

AB tại B Gọi E là tâm đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AC tại C Tìm

tập hợp các điểm I là trung điểm của DE

Hướng dẫn: