Chuyên đề Số Chính Phương Nhóm Toán THCS Việt Nam - Tài Liệu Text

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.docx) (16 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Toán học

Chuyên đề số chính phương nhóm toán THCS việt nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (316.23 KB, 16 trang )

TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNGCHUN ĐỀ 2: SỐ CHÍNH PHƯƠNGA. KIẾN THỨC CẦN NHỚI.Định nghĩa: Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.2 Tức là, nếu A là số chính phương thì A  k ( k ��). Ví dụ một số số chính phương là:22 11 36  622 42 49  79  3216  4225  52121  112144  12264  82169  13281  92196  142100  102255  152II.Tính chất1. Số chính phương có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 , khơng có chữsố tận cùng là 2 ; 3 ; 7 ; 8 .2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với sốmũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.Chứng minh2Giả sử A  k với k ��.x y zPhân tích k ra thừa số nguyên tố ta có: k  a .b .c ... (trong đó: a , b , c ,... là các số nguyên tố đôi*một khác nhau và x , y , z , ... �� )A   a x .b y .c z   a 2 x .b 2 y .c 2 z ...2Khi đó:Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:(đpcm).2a) Nếu A là một số chính phương, p là số nguyên tố và AMp thì AMp .b)Tích của các số chính phương là một số chính phương.3. Số các ước của một số chính phương (khác 0 ) là số lẻ. Ngược lại, một số có số các ước làlẻ thì số đó là số chính phương.Chứng minhGọi A là số tự nhiên khác 0 .- Nếu A  1 thì A là số chính phương có một ước.- Nếu A  1 thì A có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là:A  a x .b y .c z ... ( a , b , c , ... là các số nguyên tố đôi một khác nhau)� Số lượng các ước của A là S   x  1  y  1  z  1 ... Nếu A là số chính phương thì x , y , z , ... là các số chẵn, nên x  1 , y  1 , z  1 , ... làcác số lẻ, do đó S là số lẻ. x  1  y  1  z  1 ... là số lẻ � các thừa số x  1 , y  1 ,Đảo lại, nếu S là số lẻ thìz  1 , ... đều là số lẻ � x, y , z , ... là các số chẵn.2A  a x ' .b y ' .c z ' Đặt x  2 x ' , y  2 y ' , z  2 z ' , ... ( x ' , y ' , z ' , ... ��) thìnên A là sốchính phương (đpcm).4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n  1 . Khơng có số chínhphương nào có dạng 4n  2 hoặc 4n  3 ( n ��).Trang 1 TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG5. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n  1 . Khơng có số chínhphương nào có dạng 3n  2 ( n ��).6. Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chínhphương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2. Số chính phương tận cùng bằng 6 thìchữ số hàng chục là chữ số lẻ.7. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.2a 2  2ab  b 2   a  b 8. Chú ý : Hai đẳng thức thường dùng:(1)222a  2ab  b   a  b (2)Chứng minhChứng minh đẳng thức (1)Ta có:2a  2ab  b 2   a 2  ab    ab  b 2   a  a  b   b  a  b    a  b   a  b    a  b 2.Chứng minh tương tự ta cũng có đẳng thức (2).B. MỘT SỐ DẠNG TỐN ỨNG DỤNGI.Dạng 1. Tốn chứng minh một số là số chính phương: Phương pháp giải:2A là số chính phương thì A  k ( k ��).Số chính phương có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 , khơngcó chữ số tận cùng là 2 ; 3 ; 7 ; 8 .Nếu số A nẵm giữa bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp thì A khơng thể là sốn 2  A   n  1chính phương. Nghĩa là: nếuthì A khơng là số chính phương.Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n  1 . Khơng có sốchính phương nào có dạng 4n  2 hoặc 4n  3 ( n ��).Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n  1 . Không có sốchính phương nào có dạng 3n  2 ( n ��).Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.21. Dạng 1.1. Chứng minh một số là số chính phươngVí dụ 1. Các số sau có phải là số chính phương hay khơng? Vì sao?20a) P  10  8 .b) P  100! 7 .Chứng minha) Ta có P  10  8  10000.....0008 có chữ số tận cùng là 8 nên P khơng phải là số chínhphương.b) Ta có P  100! 7 có chữ số tận cùng là 7 nên P khơng phải là số chính phương.20Trang 2 TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNGn Nhận xét: Các số sau: A  10  2 ; B  15 ! 3 ;... khơng phải là số chính phương.Ví dụ 2. Các số sau có phải là số chính phương hay khơng? Vì sao?2320a) A  3  3  3  ...  3 .10b) B  10  5 .10050c) C  10  10  1 .Chứng minh 32  33  ...  320  M9na) Ta có 3 M9 với mọi n �2 nên� A  3  32  33  ...  320 chia hết cho 3 và chia cho 9 dư 3 .Vì A chia hết cho 3 nhưng khơng chia hết cho 9 nên A không phải là số chính phương.10b)Ta có 10  5 có chữ số tận cùng là 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 (vì cóhai chữ số tận cùng là 05 ) nên B khơng phải là số chính phương.10050c) Ta có 10  10  1 có tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9nên C khơng phải là số chính phương. Nhận xét: Chứng minh tương tự: các tổng sau:A  2  22  23  24  ...  2 n chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 4, nên Akhơng phải là số chính phương.234n A  5  5  5  5  ...  5 chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 25, nên Akhơng phải là số chính phương.P  10n  10m  1 n  m có tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng không chiahết cho 9 nên P không phải là số chính phương.123100Ví dụ 3. Cho F  3  3  3  ...  3 . Chứng minh rằng 2 F  3 khơng là số chính phươngChứng minhTa có: F  3  3  3  ...  3234101101Nên 3F  3  3  3  ...  3 � 3F  F  3  3 .1231002 F  3  3101  3  3  3101  3100.3   350  .32Do đókhơng là số chính phương, vì 3 khơng phải là sốchính phương.Ví dụ 4. Chứng minh rằng mọi số nguyên x ; y thì:A   x  y   x  2 y   x  3y   x  4 y   y4là số chính phương.Chứng minhTa có:A   x  y   x  2 y   x  3y   x  4 y   y4  x 2  5 xy  4 y 2   x 2  5 xy  6 y 2   y 422Đặt: t  x  5xy  5 y , t �� thì:A=(A   t  y 2   t  y 2   y 4  t 2  y 4  y 4  t 2   x 2  5 xy  5 y 2 2222Vì x; y �� nên x ��, 5 xy ��,5 y �� x  5 xy  5 y ��.Trang 32. TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNGVậy A là số chính phương.Ví dụ 5. Chứng minh các số sau là số chính phương:A  224 99...9100...09{{n2na)B  11...155...56{ {nn1b)Chứng minh:2nn2 10n 1  9a) A  224.10  99.9.10 224.10 2n  10n 2  1 .10n 2  10n1  9 224.102 n  102 n  10n  2  10n 1  9 225.102 n  90.10 n  9 15.10 n  3b)2Vậy A là số chính phươngnB  111...1555...5 5.11...1{{ 11 2 3 1 2 3  1  11...1.10nnnnnn10  1 n10  1.10  5.199102 n  10n  5.10n  5  992102n  4.10n  4 �10n  2 ��� 3 ��9��Vậy B là số chính phương2. Dạng 1.2. Chứng minh một số khơng là số chính phương Phương pháp giải:Chứng minh số A khơng là số chính phương ta thường sử dụng một trong các cách sau: Cách 1: chứng minh chữ số tận cùng của A là một trong các số 2 ; 3 ; 7 ; 8 .2 Cách 2: chứng minh AMp (với p là số nguyên tố) nhưng A MpCách 3: chứng minhn 2  A   n  12.22Ví dụ 6. Chứng minh rằng không tồn tại hai số tự nhiên x và y khác 0 sao cho x  y và x  y là sốchính phương.Chứng minhxKhơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử �y .2x 2  x 2  y �x 2  x  x  x  1   x  1Khi đó, ta có:� x 2  y khơng thể là số chính phương.2(nếu x �y thì chứng minh tương tự ta có x  y khơng là số chính phương).22Vậy khơng tồn tại hai số tự nhiên x và y sao cho x  y và x  y là số chính phương. Nhận xét: Chứng minh rằng tích của bốn chữ số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương.Chứng minhGọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a , a  1 , a  2 , a  3 ( a ��)T  a  a  1  a  2   a  3  1XétTrang 4 TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG�a  a  3 � a  1  a  2  �� 1  a 2  3a   a 2  3a  2   12Đặt x  a  3a , ta có:T  x  x  2   1  x 2  2 x  1   x  12T   a 2  3a  12hay.TVậy là số chính phương (đpcm) Nhận xét: Trong ví dụ trên ta khơng chỉ biết được T là một số chính phương mà cịn biết được nócịn là bình phương của số nào. Ví dụ:2 1.2.3.4  1  25  5 .2 2.3.4.5  1  121  11 .2 3.4.5.6  1  361  19 .2 4.5.6.7  1  841  29 .Ví dụ 7. Giả sử N  1.3.5.7...2007 . Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2 N  1, 2 N và 2 N  1khơng có số nào là số chính phương.Chứng minh2N12.1.3.5....200712 N  1  3k  2  k ��Ta có 2 N M3 � 2 N  1 khơng chia hết cho 3 và.� 2 N  1 không là số chính phương. 2 N  2.1.3.5....2007Vì N lẻ � N không chia hết cho 2 và 2 N M2 nhưng 2N không chia hết cho 4.2N chẵn nên 2N không chia hết cho 4 dư 1 � 2N khơng là số chính phương. 2 N  1  2.1.3.5....2007  12 N  1 lẻ nên 2 N  1 không chia hết cho 4.2N không chia hết cho 4 nên 2 N  1 không chia hết cho 4 dư 1.� 2 N  1 không là số chính phương.Ví dụ 8.Cho a = 11…1 ; b = 100…052008 chữ số 12007 chữ số 0Chứng minh là số tự nhiên.Chứng minhCách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 102008 + 52008 chữ số 12007 chữ số 0ab+1 = + 1 = ===Ta thấy 102008 + 2 = 100…02 3 nên �� hay là số tự nhiên.2007 chữ số 0Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – 1 + 6 = 99…9 + 6 = 9a +62007 chữ số 02008 chữ số 0ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2Trang 52008 chữ số 92008 chữ số 0 TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG= = 3a + 1 ��Ví dụ 9. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp khơng thể là một số chìnhphương.Chứng minh n  �, n 2  .Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n  2, n  1, n, n  1, n  2 n  2  2   n  1 2  n 2   n  1 2   n  2  2  5  n 2  2 Ta có :22Vì n khơng thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n  2 khơng thể chia hết cho 5.� 5 n2  2II. khơng là số chính phương.Dạng 2. Lập số chính phương từ các chữ số đã choVí dụ 10. Tìm số chính phương có bốn chữ số là 3 , 6 , 8 , 8 .Chứng minhGọi A là số chính phương phải tìm.Vì số chính phương không tận cùng bằng 3 , 8 nên do đó A phải tận cùng bằng 6 .� hai chữ số tận cùng của A là 86 hoặc 36 .- Nếu A có hai chữ số tận cùng là 86 thì A chia hết cho 2 nhưng khơng chia hết cho 4 nênA khơng phải là số chính phương (loại).- Nếu A có hai chữ số tận cùng là 36 thì A  8836 .2Thử lại, ta có: 8836  94 là số chính phương.Vậy số cần tìm là 8836 .Ví dụ 11. Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì tađược số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.Hướng dẫn giải:2Gọi A  abcd  k . Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có sốB   a  1  b  1  c  1  d  1  m 2 và 32  k  m  100với k , m��2��A  abcd  k��a, b, c, d ��; 1 �a � 9 ; 0 �b, c, d � 9 . �B  abcd  1111  m 2m2 – k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111Nhận xét thấy tích mk  m k 0(*)nên m  k và m  k là hai số nguyên dương. * có thể viết  m  k   m  k   11.101 .Và m  k  m  k  200 nên� m – k  11 �m  56 �A  2025��m  k  101� n  45 �B  3136 Do đó �Ví dụ 12. Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương cácchữ số của số đó.Hướng dẫn giải: 0  a �9, 0 �b �9, a, b �� .Gọi số có hai chữ số cần tìm là abTrang 6 TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNGab  a  b   a 3  b3Ta có :� 10a  b  a 2  ab  b 2� 10a  b   a  b   3ab2� 3a  3  b    a  b   a  b  1 a  bvà a  b  1 nguyên tố cùng nhau do đó�a  b  3a�a4��a  b 1  3  b �b8��a  b  1  3aa3��a b  3bb7��Vậy ab  48 hoặc ab  37 .Ví dụ 13. Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương khơng?Chứng minhCách 1:Gọi A là số gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 .- Nếu A có chữ số tận cùng là 0 thì A có hai chữ số tận cùng là 60� A chia hết cho 5 nhưng A không chia hết cho 52  25 (vì 60 M25 )� A khơng là số chính phương.- Nếu A có chữ số tận cùng là 6 � A có hai chữ số tận cùng là 06 hoặc 66� A chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 , do vậy A khơng phải là số chính phương.Vậy A khơng phải là số chính phương.Cách 2: Sử dụng kết quả “Số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.III. Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phươngVí dụ 14. Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:2a) n  2n  12 .b) 13n  3 .Chứng minhHướng dẫn giải: Ta chuyển bài toán về dạng “ giải phương trình nghiệm nguyên”2n 2  2n  12  k 2  k ��a) Vì n  2n  12 là số chính phương nên đặt. n 2  2n  1  11  k 2 � k 2   n  1  11 �  k  n  1  k  n  1  112Nhận xét thấy k  n  1  k  n  1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết:k  n  1  11 �k 6��k  n 1  1n4�� k  n  1  k  n  1  11 � �b) Đặt13n  3  y 2  y �� � 13  n  1  y 2  16� 13  n  1  y 2  16   y  4   y  4 �  y  4  y  4 M13mà 13 là số nguyên tố nên y  4  M13� y  13k � 4 (với k ��)Trang 7hoặc y  4  M13 TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG� 13  n  1   13k �4   16  13k. 13k � 8 2� n  13k 2 � 8k  1 .2Vậy n  13k � 8k  1 (với k ��) thì 13n  3 là số chính phương.Ví dụ 15. Tìm số tự nhiên n �1 sao cho tổng P  1! 2!  3!  �  n ! là một số chính phương.Chứng minhHướng dẫn : Sử dụng ý tưởng miền giá trị (xét những giá trị đặc biệt thỏa mãn, những trường hợp cònlại chứng minh khơng thỏa)2 Với n  1 thì P  1!  1  1 là số chính phương.Với n  2 thì P  1! 2!  1  1.2  3 khơng là số chính phương.2Với n  3 thì P  1! 2! 3!  1  2  6  9  3 là số chính phương.Với n �4 ta có 1! 2! 3! 4!  1  1.2  1.2.3  1.2.3.4  33 còn 5!;6!;�; n ! đều tận cùngbởi 0 do đó P  1! 2!  3!  �  n ! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó khơng phải làsố chính phương.Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n  1 ; n  3 .Ví dụ 16. Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì được một số chính phương.Chứng minh32Gọi số phải tìm là n , ta có 135n  a ( a ��) hay 3 .5.n  a .22Vì số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n  3.5.k ( k ��).10 �3.5.k 2 � k 2 � 1; 4Vì n là số có hai chữ số nên.2- Nếu k  1 thì n  152- Nếu k  4 thì n  60 .Vậy số cần tìm là 15 hoặc 60 .Ví dụ 17. Tìm số chính phương có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giốngnhau.Chứng minhGọi số chính phương cần tìm là n  aabb ( a , b �� và 1 �a �9 , 0 �b �9 ).n 2  aabb  1100a  11b  11 100a  b   11 99a  a  b Ta có(1)�  99a  a  b  M11 �  a  b  M11 � a  b  11.2n1199a11  112  9a  1Thay a  b  11 vào (1) ta được.� 9a  1 phải là số chính phương22Ta thấy chỉ có a  7 thì 9a  1  64  8 là số chính phương.2 22Vậy a  7 � b  4 và số cần tìm là: 7744  11 .8  88 .Ví dụ 18.Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.Chứng minhGiả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m N)Trang 8 TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNGTừ đó suy ra m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn(m + n)(m - n) 4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4Điều giả sử sai.Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.Ví dụ 19.x  x  1 .x  x  1   x  2  xx  x  1Biết x �� và x  2 . Tìm x sao choGiải:2Đẳng thức đã cho được viết lại như sau:x  x  1   x  2  xx  x  1Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương .Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ cóthể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0. (1)Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x �� và 2  x �9 . (2)Từ (1) và (2) x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7.Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776Ví dụ 20.(Đề HSG Tốn 9 – Tỉnh Bình Dương – 2016 - 2017) Xác định số điện thoại của THCS Xthành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương.Chứng minhTa có: xxyy  11x0 y là số chính phương nênx0 y M11 � 100 x  y M11 � 99 x  x  y M11x  y  11�� x  y M11 � �x y 0�x y0��x  y  11�2Ta có: xxyy  11x0 y  11(99 x  x  y )  11(99 x  11)  11 (9 x  1)� 9 x  1 là số chính phương.�x 7� y 4Vậy xxyy  7744; xxyy  0000 .C. BÀI TẬP VẬN DỤNG:Bài 1.Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n  1 và 3n  1 đều là các số chính phương.Hướng dẫn giải:Trang 9 TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNGTa có 10 �n �99 nên 21 �2n  1 �199 . Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n  1 bằng25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.Số 3n  1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.Vậy n  40 .Bài 2.43(Đề HSG Tốn 9 – Hà Giang – 2017 - 2018) Tìm các số nguyên dương n sao cho n  n  1là số chính phương.Hướng dẫn giải:43Đặt A  n  n  1.Với n  1 thì A  3 khơng thỏa mãn.43Với n �2 ta có 4 A  4n  4n  4.Xét4 A   2n 2  n  1  3n 2  2n  3  0 � 4 A   2n 2  n  1 .Xét4 A   2n 2  n   4 n 2 �0Vậy4 A   2n 2  n  � n  2.2224A 2n2n .22Bài 3.2(Đề HSG Toán 9 – Hậu Giang – 2017 - 2018) Tìm số tự nhiên n sao cho A  n  2n  8 là sốchính phương.Hướng dẫn giải:Đặtn 2  2n  8  a 2 �  a  n  1  a  n  1  7với a nguyên dương.a  n  1  7 �a  4��an11n  2.an1an1��Vìnên22Với n  2 � A  2  2.2  8  16  4 là số chính phương.Bài 4.(Đề HSG Toán 9 – Hưng Yên – 2017 - 2018) Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3,..., 625 chọnra 311 số sao cho khơng có hai số nào có tổng bằng 625 . Chứng minh rằng trong 311 số đượcchọn, bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương.Hướng dẫn giải:Ta phân chia 625 số tự nhiên đã cho thành 311 nhóm như sau:+) nhóm thứ 1 gồm năm số chính phương 49; 225; 400;576; 625+) và 310 nhóm cịn lại mỗi nhóm gồm hai số có tổng bằng 625 (khơng chứa các số của nhóm 1).Nếu trong 311 số được chọn khơng có số nào thuộc nhóm thứ 1 , thì 311 số này thuộc các nhóm cịnlại. Theo ngun tắc Dirichle phải có ít nhất hai số thuộc cùng một nhóm. Hai số này có tổngbằng 625 (vơ lí). Vậy chắc chắn trong 311 số được chọn phải có ít nhất một số thuộc nhóm thứ1 . Số này là số chính phương.Trang 10 TỐN THCS VIỆT NAMBài 5.Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG(Đề HSG Tốn 9 – Khánh Hịa – 2017 - 2018) Cho p là một số nguyên tố thỏa33mãn p  a  b với a, b là hai số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng : Nếu lấy 4 pchia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được số là bình phương của một số nguyên lẻ.Hướng dẫn giải:3322Ta có p  a  b  (a  b)(a  ab  b ) là số nguyên tố mà a, b là số nguyên dương a  b  13322� a  b  1 � p  (b  1)  b  3b  3b  1 � 4 p  12b  12b  4 �1(mod 3)A  4b 2  4b  1   2b  1Nếu lấy 4 p chia 3 và loại bỏ phần dư ta đượclà số chính phương lẻ.2Bài 6.(Đề HSG Toán 9 – Nghệ An – 2017 - 2018) Tìm một số chính phương có bốn chữ số biết rằngchữ số hàng đơn vị là số nguyên tố và căn bậc hai của số cần tìm có tổng các chữ số là một sốchính phương.Hướng dẫn giải:2 n � *abcd�abcdnGọi số cần tìm có dạng.� d  0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 mà d là số nguyên tố nên d  5 .Do d  5 nên n có tận cùng là 5 hay n  e5 ; mà e  5 là số chính phương nên e  4 .� n  45 � abcd  2045 .2(Đề HSG Toán 9 – Ninh Bình – 2017 – 2018) Tìm các số tự nhiên n sao cho n  12n  1975là số chính phương.Hướng dẫn giải:2222n  12n  1975  m � m   n  6   1939Đặt:.�  m  n  6   m  n  6   1939( m ��).�  m  n  6  � m  n  6 Donên ta có:� m  n  6   1939 � n  963�� m  n  6  1Trường hợp 1: �.� m  n  6   277 � n  129�� m  n6  7Trường hợp 2: �.Bài 8.(Đề HSG Toán 9 – Quảng Bình – 2017 – 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n  1 và2n  1 đồng thời là hai số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 24 .Hướng dẫn giải:Bài 7. 2n  1 �1 mod 8  � 2nM8 � nM4 .Vì 2n  1 là số chính phương lẻ nên n  1 �1 mod 8 � nM8 ,  1 .Nên n là số chẵn, suy ra n  1 là số chính phương lẻ. NênMặt khácDo đóTừ 1 n  1   2n  1   3n  2  �2  mod 3 n  1 � 2n  1 �1 mod 3 � nM3 ,  2  .và 2ta có nM24 .Trang 11mà n  1 và 2m  1 là các số chính phương lẻ. TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG(Đề HSG Tốn 9 – Quảng Nam – 2017 – 2018) Cho số nguyên tố p ( p  3 ) và hai số nguyên2222  p  a  1dương a,b sao cho p  a  b . Chứng minh a chia hết cho 12 vàlà số chínhphương.Hướng dẫn giải:Bài 9.Ta cóp2 = b2 - a2 = ( b - a) ( b + a).�b + a = p2�� 2a = p2 - 1��b- a = 1�Vì b + a > b - a > 0 nên �.Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 .22Nếu p = 3k + 1 thì p - 1 = 9k + 6k chia hết cho 3 nên 2a chia hết cho 3 . Mà( 2,3) = 1 nên a chia hết cho 3 .22Mặt khác p là số lẻ nên p có dạng p = 2m + 1. Khi đó 2a = p - 1 = 4m + 4ma = 2m( m + 1). Vìm( m + 1)( 3,4) = 1chia hết cho 2 nên a chia hết cho 4 . Vìnênnên achia hết cho 12 .22( p + a + 1) = 2p + 2a + 2 = p2 + 2p + 1Theo chứng minh trên có 2a = p - 1 nên= ( p + 1)Bài 10.2. Vậy2( p + a + 1)là số chính phương.47n(Đề HSG Toán 9 – Quảng Ninh – 2017 – 2018) Tìm số tự nhiên n để 2 + 2 + 2 là sốchính phương.Hướng dẫn giải:47n2*Đặt 2 + 2 + 2 = k với k �NTa có16 +128 + 2n = k 2 � 2n = ( k - 12) ( k +12)�k +12 = 2 x��2 x - 2 y = 24 � 2 y ( 2 x- y - 1) = 24k - 12 = 2 yy�Nx+y=nx�Khi đó, với ,,. Suy rax- yVì x > y nên 2 - 1 là số lẻ. Suy ra�x- y = 2 �x =52 x- y - 1 = 3 �� n =8� y�� y =3�y = 3�� 2 =84782Khi đó 2 + 2 + 2 = 20Vậy n = 8 là số cần tìm.Bài 11. (Đề HSG Tốn 9 – Vĩnh Long – 2017 – 2018) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho70  4n  n 2 là số chính phương.Hướng dẫn giải:22Đặt 70  4n  n  k , k ��.Trang 12 TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG74  k 2  n 2  4n  4 � k 2   n  2   742Ta có:0 �k 2 ,  n  2  �742Suy ra:với k ��, n ��*Các số chính phương bé hơn 74 là: 0;1; 4;9;16; 25;36; 49; 64 .k 2   n  1  742Vìnên ta có các trường hợp sau:2�k 7��k  49��2 n  2   25 �n  7 (nhận).* TH1: �2��k  5�k  25��2 n  2   49 �n  9 (nhận).* TH2: �Bài 12.(Đề TS Chuyên Toán 9 – Hải Dương – 2017 – 2018) Tìm tất cả các số nguyên dương22thỏa mãn x  3 y và y  3 x là số chính phương.Hướng dẫn giải:Giả sử x �y ,222Ta có x  x  3 y �x  3 xx 2  3x   x  2   x  4   x  2 2Mà� x2  x2  3 y   x  2222� x 2  3 y   x  1 � 3 y  2 x  1Do x  3 y là số chính phương2� y2 4x2  4x  14 x 2  31x  1� y 2  3x 99.22Để y  3 x là số chính phương thì 4 x  31x  1 là số chính phương. 2 x  1Ta có2�4 x 2  31x  1   2 x  8   x  63   2 x  8 2� 4 x 2  31x  1   2 x  a 22với 1 �a �7, a �Z, a  0a2 1�x31  4a2(L)y33823 (L) 19 (L)2x  134512411 (L)1(L)� có 2 nghiệm  x; y  là  1;1 và  16;11 . x; y  là  1;1 và  11;16  .Nếu x �y , tương tự như trên ta có 2 nghiệmTrang 13 x; y  TỐN THCS VIỆT NAMVậy, có tất cả các cặp sốBài 13.Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG x; y thỏa mãn là 1;1 ;  16;11và 11;16  .(Đề TS Chuyên Toán 9 – TP Hồ Chí Minh – 2017 – 2018) Cho biểu thứcA  (m  n) 2  3m  n với m, n là các số nguyên dương. CMR nếu A là một số chính phương3thì n  1 chia hết cho m .Hướng dẫn giải:Ta có: A  (m  n)  3m  n là số chính phương(m  n) 2  3m  n  k 22� k 2  (m n) 2  3m  n� (k  m  n)(k  m  n)  3m  nVới k , m, n là các số nguyên dương vàk mn  k mnnêntacó thểviết:� km�� 2��k  m  n  3m  n��k  1  n��kmn1�2�11k k 2  6k kn3  1  (k  2)3  1  ( k 3  6k 2  12k  8  8)  ()M88242� n3  1 Mm .(k  m  n)(k  m  n)  (3m  n).1Bài 14.2(Đề TS Chuyên Toán 9 – TP Phú Thọ – 2017 – 2018) Tìm các số nguyên m sao cho m  12là số chính phương.Hướng dẫn giải:2Xét phương trình x  mx  3  0 (1) . Ta thấy x  0 không là nghiệm của (1) nên x �0.2Do đó m  12 ( m ��) là số chính phương khi và chỉ khi (1) có nghiệm ngunx0 .Suy ra3  x0 ( x0  m)Mx0 � x0 � 1; 3;1;3 .Ta có) x0  1 � 1  m  3  0 � m  2;) x0  1 � 1  m  3  0 � m  2;) x0  3 � 9  3m  3  0 � m  2;) x0  3 � 9  3m  3  0 � m  2.Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn bài toán là m  �2.Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số H  1234...1112 . Số H có thể có 81 ước được khơng?Hướng dẫn giải:81HGiả sửcóước.Vì số lượng các ước của H là 81 (là số lẻ) nên H là số chính phương (1)mặt khác, tổng của các chữ số của H là:1  2  3  ...  9   1  0    1  1   1  2   51.Bài 15.Trang 14 TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG3 ; 51 M9 nên H chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 , do đó H khơng là số chínhVì 51Mphương: mâu thuẫn với (1) !Vậy H khơng thể có 81 ước.2Bài 16. Có hay khơng số tự nhiên n để 2010  n là số chính phương.Hướng dẫn giải:22010  n 2  m 2  m ��2010nGiả sửlà số chính phương thì.Từ đó suy ram 2  n 2  2010 �  m  n   m  n   2010Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1).Mặt khác m  n  m  n  2m � 2 số m  n và m  n cùng tính chẵn lẻ (2).Từ (1) và (2)  m  n và m  n là 2 số chẵn. m  n   m  n  M4nhưng 2010 không chia hết cho 4 Điều giả sử sai.2Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2010  n là số chính phương.Bài 17. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n  1 và 2n  1 đều là các số chính phương thì n làbội số của 24.Hướng dẫn giải:22  k , m ��Vì n  1 và 2n  1 là các số chính phương nên đặt n  1  k và 2n  1  m ,.� m  2a  1 � m2  4a  a  1  1Ta có m là số lẻMànm 2  1 4a(a  1)2a(a  1)222� n chẵn � n  1 lẻ � k lẻ  đặt k  2b  1 (với b ��) � k  4b  b  1  1� n  4b  b  1 � n M8(1)22Ta có: k  m  3n  2 2 (mod 3).22Mặt khác k chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m chia cho 3 dư 0 hoặc 1222Nên để k  m � 2 (mod3) thì k �1 (mod3)m 2 �1 (mod3) 3� m 2  k 2 � 3 hay  2n  1   n  1 M3 � n MMà 8; 3  1(3)Trang 15(2) TỐN THCS VIỆT NAMChun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNGTừ (1), (2), (3) � n M24 .TÀI LIỆU THAM KHẢO.1. Sách giáo khoa, sách bài tập Toán 6 - Tập I.2. Các chuyên đề chọn lọc Toán 6 – Tập I3. Một số đề thi học sinh giỏi lớp 6, 9.4. Một số đề thi chuyên Tuyển sinh vào lớp 10.4. Một số chuyên đề liên quan đến số chính phương được đăng trên tạp chí Tốn học & tuổi trẻ vàtrên tạp chí Tốn tuổi thơ 2.Trang 16