Chuyên đề Tìm M để Hai đường Thẳng Song Song, Cắt Nhau, Vuông ...

Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, vuông góc và trùng nhau

1. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông góc

+ Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b

- Hai đường thẳng cắt nhau (d cắt d’) khi \(a\ne a'\)

- Hai đường thẳng song song với nhau (d // d’) khi \(\left\{ \begin{array}{l} a = a'\\ b \ne b' \end{array} \right.\) 

- Hai đường thẳng vuông góc (\(d\bot d'\)) khi a.a’

- Hai đường thẳng trùng nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l} a = a'\\ b = b' \end{array} \right.\) 

+ Nếu bài toán cho 2 hàm số bậc nhất y = ax + b và y = a’x + b’ thì phải thêm điều kiện \(a\ne 0,a'\ne 0\) 

2. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông góc

Bài 1: Cho hai hàm số y = kx + m -2 và y = (5 - k).x + (4 - m). Tìm m, k để đồ thị của hai hàm số:

a, Trùng nhau

b, Song song với nhau

c, Cắt nhau

Lời giải:

Để hàm số y = kx + m - 2 là hàm số bậc nhất khi \(k\ne 0\)

Để hàm số y = (5 - k)x + (4 - m) là hàm số bậc nhất khi \(5-k\ne 0\Leftrightarrow k\ne 5\) 

a, Để đồ thị của hai hàm số trùng nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = 5 - k\\ m - 2 = 4 - m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2k = 5\\ 2m = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = \frac{5}{2}\left( {tm} \right)\\ m = 3\left( {tm} \right) \end{array} \right.\) 

Vậy với \(k=\frac{5}{2};m=3\) thì đồ thị của hai hàm số trùng nhau

b, Để đồ thị của hai hàm số song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = 5 - k\\ m - 2 \ne 4 - m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = \frac{5}{2}\\ m \ne 3 \end{array} \right.\)    

Vậy với \(k=\frac{5}{2};m\ne 3\) thì đồ thị của hai hàm số song song với nhau

c, Để đồ thị của hai hàm số cắt nhau \(\Leftrightarrow k\ne 5-k\Leftrightarrow 2k\ne 5\Leftrightarrow k\ne \frac{5}{2}\) 

Vậy với \(k\ne \frac{5}{2}\) thì hai đồ thị hàm số cắt nhau

Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 5. Tìm m để đồ thị hàm số:

a, Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân

b, Cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên Oy

c, Cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên Ox

Lời giải:

Để hàm số là hàm số bậc nhất \(\Leftrightarrow 2m-3\ne 0\Leftrightarrow m\ne \frac{3}{2}\) 

Gọi giao điểm của hàm số với trục Ox là A. Tọa độ của điểm A là \(A\left( \frac{5-m}{2m-3};0 \right)\) 

Độ dài của đoạn \(OA=\left| \frac{5m}{2m-3} \right|\)

Gọi giao điểm của hàm số với trục Oy là B. Tọa độ của điểm B là \(B\left( 0;m-5 \right)\)

Độ dài của đoạn \(OB=\left| m-5 \right|\)  

Ta có tam giác OAB là tam giác vuông tại A

Để tam giác OAB là tam giác vuông cân \( \Leftrightarrow \left| {\frac{{5 - m}}{{2m - 3}}} \right| = \left| {m - 5} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\left( {tm} \right)\\ m = 2\left( {tm} \right) \end{array} \right.\) 

Vậy với m = 1 hoặc m = 2 thì đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân

b, Gọi A là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên trục Oy (trục tung) \(\Rightarrow A\left( 0;b \right)\) 

Thay tọa độ điểm A vào đồ thị hàm số y = 3x - 4 ta có b = 4

Điểm A(0; 4) thuộc đồ thị hàm số y = (2m - 3)x + m - 5 nên ta có

\(4=\left( 2m-3 \right).0+m-5\Leftrightarrow m-5=4\Leftrightarrow m=9\left( tm \right)\)   

Vậy với m = 9 thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên trục tung

c, Gọi B là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - x - 3 tại một điểm trên trục Ox (trục hoành) \(\Rightarrow B\left( a;0 \right)\)

Thay tọa độ điểm B vào đồ thị hàm số y = - x - 3 ta có a = - 3

Điểm B(-3; 0) thuộc đồ thị hàm số y = -x - 3 nên ta có:

\(0=\left( -3 \right)\left( 2m-3 \right)+m-5\Leftrightarrow -5m+4=0\Leftrightarrow m=\frac{4}{5}\left( tm \right)\) 

Vậy với \(m=\frac{4}{5}\) thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên trục hoành

Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1): y = (m + 1)x + 2 và (d2): y = 2x + 1. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ trái dấu

Lời giải:

Để hai đường thẳng cắt nhau thì \(m+1\ne 2\Leftrightarrow m\ne 1\) 

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x + 2 = 2x + 1\\  \Leftrightarrow mx + x + 2 = 2x + 1\\  \Leftrightarrow x\left( {m + 1 - 2} \right) =  - 1\\  \Leftrightarrow x\left( {m - 1} \right) =  - 1\\  \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{{m - 1}} \end{array}\) 

Với \(x=\frac{-1}{m-1}\Rightarrow y=2.\left( \frac{-1}{m-1} \right)+1=\frac{m-3}{m-1}\) 

Để hoành độ và tung độ trái dấu thì x.y < 0

\(\Leftrightarrow \frac{-1}{m-1}.\frac{m-3}{m-1}