CHUYÊN ĐỀ ƯỚC - BỘI – UCLN – BCNN

 CHUYÊN ĐỀ ƯỚC - BỘI – UCLN – BCNN

 

1. Các kiến thức có liên quan.

a) Kiến thức ở sách giáo khoa toán 6 có liên quan.

- Bội – ước: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.

* Ước chung (ƯC): Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

* Bội chung (BC): Bội chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

* ƯCLN của 2 hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ƯC của các số đó.

* Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

b) Kiến thức nâng cao:

+ Cho ƯCLN (a, b) = d. Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau.

* Mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN của 2 số a, b (kí hiệu (a,b)) và BCNN của 2 số a, b (kí hiệu [a, b]) với tích của 2 số a và b là:

                              a . b = (a, b) . [a, b].

* Chứng minh: Đặt (a, b) = d => a = md và b = nd. Với \(m,n \in N*\),    (m. n) = 1. Từ (I)  => ab = mnd2; [a, b] = mnd => (a, b) . [a, b] = d . (mnd) = mnd2 = ab.

Vậy ab = (a, b) [a, b].       (ĐPCM)

2. Giải một số bài toán mẫu:

Dạng 1:  Biết (a, b) và [a, b] tìm a và b.

Bài 1:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết (a, b) = 15; [a, b] = 300

Giải

          Sử dụng mối quan hệ giữa a.b = (a, b) . [a, b] ta có:

                              Ab = 300 . 15 = 4500      (1)

* Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b. Vì (a, b) = 15 nen a = 15m, b = 15n (m, n) = 1 và m < n.

          Từ (1) suy ra:  15m . 15n = 4500 nên m . n = 20.

          Lập bảng ta có:

m	n	a	b
1	20	15	300
4	5	60	75

Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là:  15 và 300; 60 và 75

Dạng 2:  Biết tích của 2 số a và b và [a, b] hoặc (a, b).

Bài 2:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: ab = 216 và (a, b) = 6

Giải

Giả sử a >b vì (a, b) = 6 Þ a = 6m;  b = 6n với \(m,n \in N*\), (m, n) = 1; m < n khi đó ab = 6m . 6n = 36mn, do ab = 216 nên 216 = 36mn => mn = 6

          Lập bảng

m	n	a	b
1	6	6	36
2	3	12	18

Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là:  6 và 36;  12 và 18

          Bài 3:  Tìm 2 số tự nhiên a và ba biết: ab = 180; [a, b] = 60

Giải

          Từ ab = (a,b) [a, b] Þ (a, b) =

          Giả sử a < b, vì (a, b) = 3 nên a = 3m, b = 3n với \(m,n \in N*\)

          (m, n) = 1 và m < n. Suy ra ab = 3m . 3n = 9mn vì ab = 180 nên 180 = 9mn => mn = 20.

          Lập bảng:

m	n	a	b
1	20	3	60
4	5	12	15

          Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 3 và 60;  12 và 15.

          Dạng 3:  Biết tổng hoặc hiệu của 2 số a, b và [a, b] hoặc (a, b)

          Bài 4:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 128 và (a, b) = 16

Giải

          Giả sử a < b khi đó a = 16m; b = 16n với \(m,n \in N*\), (m, n) = 1; m < n vì a + b = 128 nên 16m + 16n = 128 => 16 (m + n) = 128 => m + n = 8.

          Lập bảng:

m	n	a	b
1	7	16	112
3	5	48	80

 

          Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 16 và 112;  48 và 80

          Bài 5:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.

          Đặt (a, b) = d suy ra a = md,  b = nd với \(m,n \in N*\); (m, n) = 1. Giả sử a < b khi đó m < n. Do đó a + b = d(m + n) = 42 (1)

                    [a, b] = dmn = 72                                 (2)

          Từ (1) và (2) => d thuộc ƯC (42, 72) mà ƯCLN (42, 72) = 6 => d thuộc Ư(6) nên d thuộc {1; 2; 3; 6}.

          Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn.

          Suy ra:  m + n = 7 và m . n = 12

          Chỉ có m = 3 và n = 4 là thoả mãn. Khi đó a = 18 và b = 24. Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là:  18 và 24.

          Bài 6:   Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a,b < 200 và a-b = 90; (a, b) = 15.

Giải

          Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n với (m, n) = 1 và m > n

          Do a = 15m < 200 nên m < 14.

          Ta lại có a – b = 90 => 15 (m – n) = 90 => m – n = 6

          Lập bảng:

m	n	a	b
13	7	195	105
11	5	165	75
7	1	105	15

          Vậy hai số tự nhiên cần tìm là:   a = 195; b = 105       hoặc        a = 165, b = 75      hoặc         a = 105, b = 15

                                                                              

          Bài 7:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a – b = 7 và [a, b] = 140

Giải

          Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với \(m,n \in N*\); (m, n) = 1

          Do đó:         a – b = d (m – n) = 7        (1)     (a > b Þ m > n)

                              [a, b] = mnd = 140           (2)

          Từ (1) và (2) => d thuộc ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) = 7 => d thuộc Ư(7) = {1, 7}.

 Thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta được kết quả duy nhất:  d = 7 và 

\(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 1\\m.n = 20\end{array} \right. =  > \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\end{array} \right. =  > \left\{ \begin{array}{l}a = 35\\b = 28\end{array} \right.\)

          Vậy 2 số tự nhiên cần tìm là:  a = 35;  b = 28

          Dạng 4:  Biết thương của a, b và ƯCLN hoặc BCNN

          Bài 8:   Tìm 2 số tự nhiên a và b biết \(\frac{a}{b}=2,6\)  và (a, b) = 5

          Do (a, b) = 5 => a = 5m, b = 5n với \(m,n\in N*\), (m, n) = 1 nên \(m,n\in N*\) nên \(\frac{a}{b}=\frac{m}{n}=2,6=\frac{13}{5}=>\frac{m}{n}=\frac{13}{5}\).  Vì (m,n) = 1 nên m = 13, n = 5. Khi đó a = 13.5 = 65; b = 5.5 = 25

          Vậy 2 số cần tìm là:  a = 65; b = 25

          Bài 9:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: \(\frac{9}{b}=0,8\) và [a, b] = 140

Giải

          Đặt (a, b) = d => a = m.d, b = nd với (m, n) = 1, \(m,n\in N*\)

                    \(\frac{a}{b}=\frac{md}{nd}=\frac{m}{n}=0,8=\frac{4}{5}\)

          Và (m,n) = 1 => m = 4; n = 5

          Mặt khác:  [a, b] = m.nd Þ 140 = 4.5.d Þ d = 7

          Lúc đó a = 4.7 = 28;  b = 5.7 = 35

          Vậy 2 số cần tìm là a = 28;  b = 35

Dạng 5:  Tổng hợp

Bài 10:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + 2b = 48 và (a, b) + 3 [a, b] = 114.

Giải

          Đặt (a, b) = d => a = dm; b = dn với (m, n) = 1 và [a, b] = dmn.

                              a + 2b = 48 => d (m + 2n) = 48                      (1)

                              (a, b) + 3 [a, b] => d (1 + 3mn) = 144           (2)

          => Từ (1) và (2) => d thuộc ƯC (48, 144) mà ƯCLN (48, 144) = 6

          => d thuộc Ư(6) = {1; 2; 3; 6} lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và 92) ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn.

          Lập bảng:

m	n	a	b
2	3	12	18
6	1	36	6

 

          Vậy 2 số cần tìm là: a = 12 và b = 18; a = 36 và b = 6

          Bài 11:  Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: [a, b] + (a, b) = 55

Giải

          Đặt (a, b) = d khi đó: a = dm, b = dn (m, n) = 1

          Giả sử a < b Þ m < n

          Từ ab = (a, b) [a, b] => [a, b] = \(\frac{ab}{(a,b)}=\frac{ab}{s}=\frac{{{d}^{2}}mn}{d}=dmn\)

          Theo bài ra ta có: dmn + d = 55 hay d(mn + 1) = 55 => mn + 1 thuộc Ư(55).

          Mặt khác mn + 1 > 2. Ta có bảng

d	mn + 1	mn	m	n	a	b
11	5	4	1	4	11	44
5	11	10	1	10	5	50
			2	5	10	25
1	55	54	1	54	1	54
			2	27	2	27

 

          Vậy các cặp số tự nhiên a và b cần tìm là: (11, 44), (5, 10); (10, 25), (1, 54), (2, 27)

          Bài 12:   Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + b = 30, [a, b] = 6(a, b)

Giải

          Đặt (a, b) = d thì a = em, b = dn với (m,n) = 1. Do đó ab = d2mn

          => d.6d = d2mn => m.n = 6

          Giả sử a < b thì m < n

          Ta có bảng:

m	n
1	6
2	3

 

          Mặt khác: a + b = d(m + n) nên

                    30 = d(m+n) do đó m + n là ước của 30.

          Nên chỉ có m = 2, n = 3 khi đó 30 = d (2 + 3) => d = 6

          Do đó a = 6 . 2 = 12;  b = 6 . 3  = 18

          Vậy 2 số cần tìm là 12 và 18.

Bài tập tự giải

          (1) tìm 2 số tự nhiên a và b, biết.

                    a) 1 b = 360,   [a, b] = 60

                    b) (a, b) = 12, [a, b] = 72

                    c) (a, b) = 6,   [a, b] = 180

                    d) (a, b) = 15, [a, b] = 2100 (a, b)

                    e)  ab = 180,   [a, b] = 20 (a, b)

          (2). Tìm phân số  có giá trị bằng

                    a) , biết BCNN (a,b) = 300

                    b) , biết ƯCLN (a, b) = 30

                    c) , biết ƯCLN (a, b) BCNN (a, b) = 3549

          (3). Tìm 2 số tự nhiên a và b biết:

                    a) [a, b] – (a, b) = 5

                    b) [a, b] – (a, b) = 35