Chuyên đề Xác định đa Thức - Ôn Thi Học Sinh Giỏi Toán THCS

Trang chủ » định Lý Bơdu Về đa Thức » Chuyên đề Xác định đa Thức - Ôn Thi Học Sinh Giỏi Toán THCS

Có thể bạn quan tâm

Chuyên đề xác định đa thức

Chuyên đề xác định đa thức môn Toán lớp 7, 8, 9 được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 7, 8, 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

  • Đề thi học sinh giỏi lớp 7 môn Toán Phòng GD&ĐT huyện Nho Quan
  • Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán Sở GD&ĐT Hải Dương năm học
  • 200 đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn Toán

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY

1. Định lý Bézout (Bodu) về số dư của phép chia đa thức:

Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức tại x = a Tức là: f(x) = (x - a) \cdot g(x) + f(a)

Chứng minh : Gọi g(x) là đa thức thương và R là số dư thì:

\begin{matrix} & f(x) = (x - a) \cdot g(x) + R \\ & f(a) = (a - a) \cdot g(a) + R = R \end{matrix}

2. Phương pháp hệ số bất định:

Giả sử: f(x) = a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x^{1} + a_{0}

g(x) = b_{3}x^{3} + b_{2}x^{2} + b_{1}x^{1} + b_{0}

Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì: a_{3} = b_{3};a_{2} = b_{2}

a_{1} = b_{1};a_{0} = b_{0}

Chứng minh:

Giả sử 4 giá trị phân biệt x_{1};x_{2};x_{3};x_{4} có:

\begin{matrix} & f\left( x_{1} \right) = g\left( x_{1} \right) \\ & f\left( x_{2} \right) = g\left( x_{2} \right) \\ & f\left( x_{3} \right) = g\left( x_{3} \right) \\ & f\left( x_{4} \right) = g\left( x_{4} \right) \end{matrix}

Đặt c_{3} = a_{3} - b_{3};c_{2} = a_{2} - b_{2};c_{1} = a_{1} - b_{1};c_{0} = a_{0} - b_{0}

Trừ từng vế của (1) và (2) được:

c_{3}\left( x_{1}^{3} - x_{2}^{3} \right) + c_{2}\left( x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \right) + c_{1}\left( x_{1} - x_{2} \right) = 0

Vì x_{1} - x_{2} \neq 0 nên

c_{3}\left( x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} \right) + c_{2}\left( x_{1} - x_{2} \right) + c_{1} = 0

Tương tự từ (1) và (3) có:

c_{3}\left( x_{1}^{2} + x_{1}x_{3} + x_{3}^{2} \right) + c_{2}\left( x_{1} - x_{3} \right) + c_{1} = 0

Trừ theo từng vế của (5) và (6) rồi chia cho x_{2} - x_{3} \neq 0 được:

c_{2} + c_{3}\left( x_{1} + x_{2} + x_{3} \right) = 0

Tương tự từ (1), (2), (4) có:

c_{2} + c_{3}\left( x_{1} + x_{2} + x_{4} \right) = 0

Trừ theo từng vế của (7) và (8) được:

c_{3}\left( x_{3} - x_{4} \right) = 0 \Rightarrow c_{0} = 0\text{~vì~}x_{3} \neq x_{4}x_{3} - x_{4} \neq 0

Thay c_{3} = 0 vào (8) được c_{2} = 0. Từ đó và (6) được c_{1} = 0.

Thay vào (1) được a_{0} = b_{0} suy ra đpcm.

II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Xác định đa thức bậc n(n = 2,3,\ldots) khi biết ( n + 1 ) có giá trị của đa thức:

Ví dụ 1. Cho đa thức: f(x) = ax^{2} + bx + c, Xác định các hệ số a,b,c biết:

f(0) = 2;f(1) = 7;f( - 2) = - 14

Lời giải

Theo bài ra ta có:

\begin{matrix} & f(0) = 2 \Rightarrow 0 + c = 2 \Rightarrow c = 2 \\ & f(1) = 0 \Rightarrow a + b + 2 = 7 \Rightarrow a + b = 5 \\ & f( - 2) = - 14 \Rightarrow 4a - 2b + 2 = - 14 \Rightarrow 2a - b = - 8 \end{matrix}

Từ (1) và (2) suy ra: a = - 1 và b = 6.

Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = - x^{2} + 6x + 2.

Ví dụ 3. Cho hàm số: y = f(x) = ax^{2} + bx + c cho biết f(0) = 2010,f(1) = 2011,f( - 1) = 2012, Tính f( - 2)

Lời giải

Theo giả thiết ta có: f(0) = 2010 \Rightarrow c = 2010,

f(1) = 2011 \Rightarrow a + b + c = 2011 \Rightarrow a + b = 1

và f( - 1) = 2012 \Rightarrow a - b + c = 2012 \Rightarrow a - b = 2 \Rightarrow a = \frac{3}{2},\text{ }b = \frac{- 1}{2}khi đó hàm số có dạng y = f(x) = \frac{3}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x + 2010 \Rightarrow f(2) = 2017

Chú ý: Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa thức, còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số.

--------------------------------------------------------------------------

Đây là tài liệu nâng cao kiến thức về xác định đa thức. Trong các bài tập cơ bản thì bài toán sẽ đưa ra đa thức, việc cần làm của học sinh là sẽ tính giá trị của đa thức đó tại các điểm theo đề bài. Vậy khi bài toán cho giá trị của đa thức tại các điểm và yêu cầu học sinh đi tìm đa thức đó thì bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều lần. Bởi vậy với tài liệu này sẽ hướng dẫn các bạn học sinh để có thể làm được các dạng toán đi xác định đa thức. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và hiểu rõ hơn về Đa thức cũng như ôn luyện thi học sinh giỏi.

Ngoài Chuyên đề về xác định đa thức, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu như Tổng hợp các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán, Chuyên đề số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với chuyên đề này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Từ khóa » định Lý Bơdu Về đa Thức