Chuyển Vị Ma Trận

Chuyển vị ma trận

Chuyển vị ma trậnđược gọi là thay thế các hàng của ma trận bằng các cột của nó trong khi vẫn giữ nguyên thứ tự của chúng (hoặc tương đương, thay thế các cột của ma trận bằng các hàng của nó).

Cho ma trận ban đầu được NHƯNG:

Sau đó, theo định nghĩa, ma trận chuyển vị NHƯNG" giống như:

Một dạng viết tắt của phép toán chuyển vị ma trận: Ma trận chuyển vị thường được ký hiệu là

Ví dụ 3. Cho các ma trận đã cho A và B:

Khi đó các ma trận chuyển vị tương ứng có dạng:

Có thể dễ dàng nhận thấy hai quy luật của hoạt động chuyển vị ma trận.

1. Ma trận chuyển vị hai lần bằng ma trận ban đầu:

2. Khi hoán vị ma trận vuông, các phần tử nằm trên đường chéo chính không thay đổi vị trí của chúng, tức là. đường chéo chính Ma trận vuông không thay đổi khi chuyển vị.

Phép nhân ma trận

Phép nhân ma trận là một phép toán cụ thể tạo thành cơ sở của đại số ma trận. Hàng và cột của ma trận có thể được xem như vectơ hàng và vectơ cột có kích thước tương ứng; nói cách khác, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được hiểu là một tập hợp các vectơ hàng hoặc vectơ cột.

Cho hai ma trận: NHƯNG- kích thước t X P và TẠI- kích thước p x k. Chúng ta sẽ xem xét ma trận NHƯNG như một bộ t vectơ hàng một) kích thước P mỗi, và ma trận TẠI - như một bộ đến vectơ cột b Jt chứa đựng P tọa độ mỗi:

Vectơ hàng ma trận NHƯNG và vectơ cột của ma trận TẠIđược thể hiện trong biểu diễn của các ma trận này (2.7). Độ dài hàng ma trận NHƯNG bằng chiều cao của cột ma trận TẠI, và do đó tích vô hướng của các vectơ này có ý nghĩa.

Định nghĩa 3. Tích của ma trận NHƯNG và TẠIđược gọi là ma trận C, có các phần tử Su bằng tích vô hướng của vectơ hàng một ( ma trận NHƯNG thành vectơ cột bj ma trận TẠI:

Sản phẩm của ma trận NHƯNG và TẠI- ma trận C - có kích thước t X đến, vì độ dài l của vectơ hàng và vectơ cột sẽ biến mất khi tính tổng các tích của tọa độ của các vectơ này trong sản phẩm chấm, như thể hiện trong công thức (2.8). Vì vậy, để tính các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận C, cần phải liên tiếp lấy các tích vô hướng của hàng đầu tiên của ma trận. NHƯNGđến tất cả các cột của ma trận TẠI hàng thứ hai của ma trận C nhận được dưới dạng tích vô hướng của vectơ hàng thứ hai của ma trận NHƯNGđến tất cả các vectơ cột của ma trận TẠI, vân vân. Để thuận tiện cho việc ghi nhớ kích thước của tích các ma trận, bạn cần chia tích các kích thước của các thừa số ma trận: -, sau đó các tích còn lại tương ứng với số lượng sẽ cho kích thước của tích đến

dsnia, t.s. kích thước của ma trận C là t X đến.

Hoạt động của phép nhân ma trận có tính năng nổi bật: sản phẩm của ma trận NHƯNG và TẠI có ý nghĩa nếu số lượng cột trong NHƯNG bằng số dòng trong TẠI. Sau đó nếu A và B - ma trận hình chữ nhật, sau đó là sản phẩm TẠI và NHƯNG sẽ không còn có ý nghĩa nữa, vì các tích vô hướng tạo thành các phần tử của ma trận tương ứng phải liên quan đến các vectơ với Cùng một số tọa độ.

Nếu ma trận NHƯNG và TẠI hình vuông, kích thước l x l, có nghĩa là tích của ma trận AB, và sản phẩm của ma trận VA, và kích thước của các ma trận này giống như kích thước của các yếu tố ban đầu. Đồng thời, trong trường hợp chung phép nhân ma trận, quy tắc hoán vị (tính giao hoán) không được quan sát, tức là AB * BA.

Hãy xem xét các ví dụ về phép nhân ma trận.

Vì số cột ma trận NHƯNG bằng số hàng ma trận TẠI, sản phẩm ma trận AB có ý nghĩa. Sử dụng công thức (2.8), chúng tôi thu được ma trận 3x2 trong tích:

Công việc VA ns có ý nghĩa, vì số cột của ma trận TẠI không khớp với số hàng ma trận NHƯNG.

Ở đây chúng tôi tìm thấy các sản phẩm của ma trận AB và VA:

Như có thể thấy từ kết quả, ma trận sản phẩm phụ thuộc vào thứ tự của các ma trận trong sản phẩm. Trong cả hai trường hợp, các tích của ma trận có cùng kích thước với các thừa số ban đầu: 2x2.

TẠI trường hợp này ma trận TẠI là một vectơ cột, tức là một ma trận có ba hàng và một cột. Nói chung, vectơ là trường hợp đặc biệt của ma trận: vectơ hàng có độ dài P là một ma trận có một hàng và P cột và vectơ cột chiều cao P- ma trận với P hàng và một cột. Kích thước của các ma trận rút gọn lần lượt là 2 x 3 và 3 x I, do đó tích của các ma trận này được xác định. Chúng ta có

Sản phẩm cho ra ma trận 2 x 1 hoặc vectơ cột có chiều cao 2.

Bằng phép nhân ma trận liên tiếp, chúng ta thấy:

Thuộc tính của tích của ma trận. Để cho được A, B và C - ma trận có kích thước tương ứng (để tích của ma trận được xác định), và - số thực. Sau đó, có các thuộc tính sau sản phẩm ma trận:

• 1) (AB) C = A (BC);
• 2) C A + B) C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) a (AB) = (aA) B = A (aB).

Khái niệm về ma trận nhận dạng Eđã được giới thiệu trong khoản 2.1.1. Dễ dàng xác minh rằng trong đại số ma trận, nó đóng vai trò của một đơn vị, tức là Chúng ta có thể lưu ý thêm hai thuộc tính liên quan đến phép nhân với ma trận này từ bên trái và từ bên phải:

• 5 ) AE = A;
• 6) EA = NHƯNG.

Nói cách khác, tích của bất kỳ ma trận nào bằng ma trận đơn vị, nếu nó có ý nghĩa, không thay đổi ma trận ban đầu.

TẠI toán học cao hơn một khái niệm như một ma trận chuyển vị được nghiên cứu. Cần lưu ý rằng nhiều người nghĩ rằng như vậy là đủ chủ đề khó mà không thể làm chủ được. Tuy nhiên, không phải vậy. Để hiểu chính xác cách thực hiện một phép toán dễ dàng như vậy, bạn chỉ cần làm quen một chút với khái niệm cơ bản - ma trận. Bất kỳ sinh viên nào cũng có thể hiểu được chủ đề nếu anh ta dành thời gian nghiên cứu nó.

Ma trận là gì?

Ma trận trong toán học khá phổ biến. Cần lưu ý rằng chúng cũng xảy ra trong khoa học máy tính. Nhờ họ và với sự giúp đỡ của họ, việc lập trình và tạo phần mềm trở nên dễ dàng.

Ma trận là gì? Đây là bảng trong đó các phần tử được đặt. Cô ấy chắc chắn có xem hình chữ nhật. Nói một cách dễ hiểu, ma trận là một bảng số. Nó được biểu thị bằng bất kỳ vốn nào Chữ cái la tinh. Nó có thể là hình chữ nhật hoặc hình vuông. Ngoài ra còn có các hàng và cột riêng biệt, được gọi là vectơ. Các ma trận như vậy chỉ nhận một dòng số. Để hiểu kích thước của một bảng, bạn cần chú ý đến số lượng hàng và cột. Chữ cái đầu tiên được ký hiệu bằng chữ m, và chữ cái thứ hai - n.

Bắt buộc phải hiểu đường chéo ma trận là gì. Có một phụ và chính. Thứ hai là dải số đi từ trái sang phải từ phần tử đầu tiên đến phần tử cuối cùng. Trong trường hợp này, đường bên sẽ từ phải sang trái.

Với ma trận, bạn có thể làm gần như tất cả những điều đơn giản nhất. các phép tính toán học nghĩa là cộng, trừ, nhân với nhau và riêng với một số. Chúng cũng có thể được hoán vị.

Quá trình chuyển vị

Ma trận chuyển vị là ma trận trong đó các hàng và cột được đảo ngược. Điều này được thực hiện dễ dàng nhất có thể. Nó được ký hiệu là A với chữ cái trên T (A T). Về nguyên tắc, cần phải nói rằng trong toán học cao hơn, đây là một trong những hoạt động đơn giản qua ma trận. Kích thước bàn được giữ nguyên. Một ma trận như vậy được gọi là chuyển vị.

Thuộc tính của ma trận chuyển vị

Để thực hiện chính xác quá trình chuyển vị, cần phải hiểu các thuộc tính của phép toán này tồn tại.

• Phải có một ma trận ban đầu cho bất kỳ bảng chuyển vị nào. Các yếu tố quyết định của chúng phải bằng nhau.
• Nếu có đơn vị vô hướng thì khi thực hiện thao tác này có thể lấy ra.
• Khi một ma trận được hoán vị hai lần, nó sẽ bằng ma trận ban đầu.
• Nếu chúng ta so sánh hai bảng xếp chồng với các cột và hàng đã thay đổi, với tổng các phần tử mà thao tác này đã được thực hiện, thì chúng sẽ giống nhau.
• Tính chất cuối cùng là nếu bạn hoán vị các bảng nhân với nhau, thì giá trị phải bằng kết quả thu được trong quá trình nhân các ma trận đã chuyển vị theo thứ tự ngược lại.

Tại sao phải chuyển vị?

Ma trận trong toán học là cần thiết để giải quyết một số vấn đề với nó. Một số người trong số họ cần phải tính toán bảng đảo ngược. Để làm được điều này, bạn cần tìm ra một yếu tố quyết định. Tiếp theo, các phần tử của ma trận tương lai được tính toán, sau đó chúng được hoán vị. Nó vẫn còn để tìm bảng nghịch đảo trực tiếp. Chúng ta có thể nói rằng trong những vấn đề như vậy, bắt buộc phải tìm X và điều này khá dễ thực hiện bằng cách sử dụng kiến thức cơ bản lý thuyết về phương trình.

Các kết quả

Trong bài viết này, nó được coi là ma trận chuyển vị là gì. Chủ đề này sẽ hữu ích cho các kỹ sư tương lai, những người cần có khả năng tính toán chính xác các cấu trúc phức tạp. Đôi khi ma trận không dễ giải đến mức bạn phải vỡ đầu. Tuy nhiên, trong quá trình học toán của học sinh, phép toán này được thực hiện dễ dàng nhất có thể và không tốn nhiều công sức.

Khi làm việc với ma trận, đôi khi bạn cần chuyển đổi chúng, nghĩa là bằng những từ đơn giản, lật. Tất nhiên, bạn có thể ghi đè dữ liệu theo cách thủ công, nhưng Excel cung cấp một số cách để thực hiện dễ dàng hơn và nhanh hơn. Chúng ta hãy xem xét chúng một cách chi tiết.

Chuyển vị ma trận là quá trình hoán đổi các cột và các hàng. TẠI Chương trình Excel Có hai khả năng chuyển vị: sử dụng hàm GIAO THÔNG và sử dụng công cụ Dán Đặc biệt. Hãy xem xét từng tùy chọn này chi tiết hơn.

Phương pháp 1: Toán tử TRANSPOSE

Hàm số GIAO THÔNG thuộc loại nhà khai thác "Tham chiếu và Mảng". Điểm đặc biệt là nó, giống như các hàm khác hoạt động với mảng, kết quả của việc phát hành không phải là nội dung của ô mà là toàn bộ mảng dữ liệu. Cú pháp hàm khá đơn giản và trông như thế này:

TRANSPOSE (mảng)

Đó là, đối số duy nhất của toán tử này là một tham chiếu đến một mảng, trong trường hợp của chúng ta là một ma trận, cần được chuyển đổi.

Hãy xem cách chức năng này có thể được áp dụng bằng cách sử dụng một ví dụ với một ma trận thực.

1. Chúng tôi chọn một ô trống trên trang tính, ô này được lên kế hoạch là ô trên cùng bên trái của ma trận đã biến đổi. Tiếp theo, nhấp vào biểu tượng "Chèn chức năng", nằm gần thanh công thức.



2. Ra mắt Trình hướng dẫn chức năng. Mở một danh mục "Tham chiếu và Mảng" hoặc "Danh sách đầy đủ theo thứ tự bảng chữ cái". Sau khi tìm thấy tên "VẬN CHUYỂN", chọn nó và nhấp vào nút ĐƯỢC RỒI.



3. Cửa sổ đối số hàm được khởi chạy GIAO THÔNG. Đối số duy nhất của toán tử này tương ứng với trường "Mảng". Bạn cần nhập tọa độ của ma trận được lật vào đó. Để thực hiện việc này, hãy đặt con trỏ vào trường và giữ chuột trái, chọn toàn bộ phạm vi của ma trận trên trang tính. Sau khi địa chỉ của khu vực được hiển thị trong cửa sổ đối số, hãy nhấp vào nút ĐƯỢC RỒI.



4. Tuy nhiên, như bạn có thể thấy, trong ô được thiết kế để hiển thị kết quả, một giá trị không chính xác được hiển thị dưới dạng lỗi "#GIÁ TRỊ!". Điều này là do đặc thù của hoạt động của các toán tử mảng. Để sửa lỗi này, chúng ta chọn một dải ô trong đó số hàng phải bằng số cột của ma trận ban đầu, và số cột phải bằng số hàng. Sự tương ứng này rất quan trọng để kết quả được hiển thị chính xác. Trong trường hợp này, ô chứa biểu thức "#GIÁ TRỊ!" phải là ô trên cùng bên trái của mảng được chọn và chính từ ô này, quy trình lựa chọn sẽ được bắt đầu bằng cách giữ chuột trái. Sau khi bạn đã chọn xong, hãy đặt con trỏ vào thanh công thức ngay sau biểu thức toán tử GIAO THÔNG, mà sẽ được hiển thị trong đó. Sau đó, để thực hiện phép tính, bạn cần bấm không vào nút đi vào, như thường lệ trong các công thức thông thường và quay số kết hợp Ctrl + Shift + Enter.



5. Sau những hành động này, ma trận được hiển thị khi chúng ta cần, có nghĩa là, ở dạng chuyển đổi. Nhưng có một vấn đề khác. Vấn đề là bây giờ ma trận mới là được liên kết bởi công thức một mảng không thể sửa đổi. Nếu bạn cố gắng thực hiện bất kỳ thay đổi nào đối với nội dung của ma trận, một lỗi sẽ xuất hiện. Một số người dùng khá hài lòng với trạng thái này, vì họ sẽ không thực hiện thay đổi đối với mảng, nhưng những người khác cần một ma trận mà họ có thể hoạt động hoàn toàn.

   Để giải quyết vấn đề này, chọn toàn bộ phạm vi chuyển vị. Đã chuyển đến tab "Nhà" bấm vào biểu tượng "Sao chép", nằm trên dải băng trong nhóm "Bảng tạm". Thay vì hành động được chỉ định, sau khi chọn, bạn có thể đặt phím tắt tiêu chuẩn để sao chép ctrl + c.



6. Sau đó, không xóa vùng chọn khỏi phạm vi đã hoán vị, chúng ta nhấp vào nó bằng nút chuột phải. Trong menu ngữ cảnh trong một nhóm "Tùy chọn dán" bấm vào biểu tượng "Giá trị", có dạng một biểu tượng với hình ảnh của các con số.

   

   Sau đây, công thức mảng GIAO THÔNG sẽ bị xóa và chỉ một giá trị sẽ vẫn còn trong các ô mà bạn có thể làm việc theo cách tương tự như với ma trận ban đầu.

Phương pháp 2: Chuyển vị ma trận với Dán đặc biệt

Ngoài ra, ma trận có thể được chuyển đổi bằng cách sử dụng một mục menu ngữ cảnh duy nhất được gọi là "Dán đặc biệt".

Sau những hành động này, chỉ ma trận đã biến đổi sẽ còn lại trên trang tính.

Theo hai cách tương tự đã thảo luận ở trên, bạn có thể chuyển đổi không chỉ ma trận mà còn cả bảng chính thức trong Excel. Thủ tục sẽ gần như giống hệt nhau.

Vì vậy, chúng tôi phát hiện ra rằng trong chương trình Ma trận Excel có thể được hoán vị, nghĩa là, được lật bằng cách hoán đổi các cột và hàng, theo hai cách. Tùy chọn đầu tiên liên quan đến việc sử dụng hàm GIAO THÔNG, và thứ hai là Dán Công cụ Đặc biệt. Nhìn chung, kết quả cuối cùng thu được khi sử dụng cả hai phương pháp này là không khác nhau. Cả hai phương pháp đều hoạt động trong hầu hết mọi tình huống. Vì vậy, khi chọn một tùy chọn chuyển đổi, sở thích cá nhân của một người dùng cụ thể là ưu tiên hàng đầu. Tức là, phương pháp nào trong số những phương pháp này thuận tiện hơn cho cá nhân bạn, hãy sử dụng nó.