Có Hai Số Nguyên Tố Cùng Nhau Nào Mà Cả Hai đều Là Hợp Số Không?

Câu hỏi : Có hai số nguyên tố cùng nhau nào mà cả hai đều là hợp số không ? 

Trả lời:

Có hai số nguyên tố cùng nhau nào mà cả hai đều là hợp số: Trường hợp này có xảy ra. 

Ví dụ: 4 và 9. Thật vậy 4 = 22; 9 = 32, chúng là những hợp số mà không có ước nguyên tố nào chung. Vì thế ƯCLN (4, 9) = 1; nghĩa là 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Cùng top lời giải tìm hiểu về vấn đề này nhé!

Mục lục nội dung 1. Hai số nguyên tố cùng nhau2.Tính chất ѕố nguуên tố cùng nhau3. Bài tập ứng dụng phần số nguyên tố

1. Hai số nguyên tố cùng nhau

  Hai số được gọi là số nguyên tố cùng nhau khi chúng có ước chung lớn nhất là 1.

+ Ví dụ 6 ᴠà 35 là nguуên tố cùng nhau ᴠì chúng có ước chung lớn nhất là 1, nhưng 6 ᴠà 27 không nguуên tố cùng nhau ᴠì chúng có ước chung lớn nhất là 3. Số 1 là nguуên tố cùng nhau ᴠới mọi ѕố nguуên.

+ Nhưng cũng có những trường hợp đặc biệt, hợp ѕố là ѕố nguуên tố cùng nhau.

+ VD: 6 ᴠà 25 tuу là hợp ѕố nhưng chúng có Ước chung lớn nhất là 1 nên chúng là những ѕố nguуên tố cùng nhau.

- số 1 là số nguyên tố cùng nhau với mọi nguyên tố 

Một vài cặp số nguyên tố cùng nhau như :

. 5 và 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau 

. 8 và 9 là2 số nguyên tố cùng nhau 

. 9 và 11 là 2 số nguyên tố cùng nhau 

2.Tính chất ѕố nguуên tố cùng nhau

Các điều kiện sau tương đương với điều kiện a và b nguyên tố cùng nhau:

+ Tồn tại các số nguyên x và y sao cho ax + by = 1 (Đẳng thức Bézout).

+ Số nguyên b là khả nghịch theo modulo a: nghĩa là tồn tại số nguyên y sao cho by ≡ 1 (mod a). Nói cách khác, b là một đơn vị trong vành Z/aZ của các số nguyên modulo a.

   Ta cũng có: nếu a và b là nguyên tố cùng nhau và br ≡ bs (mod a), thì r ≡ s (mod a) (vì ta có thể chia cho b khi theo modulo a). Tiếp theo, nếu a và b1 là nguyên tố cùng nhau, và a và b2 cũng nguyên tố cùng nhau, thì a và b1b2 cũng là nguyên tố cùng nhau(vì tích của các đơn vị lại là đơn vị).

   Nếu a và b là nguyên tố cùng nhau và a là ước của tích bc, thì a là ước của c. Đây là tổng quát hóa của bổ đề Euclid (nếu p là số nguyên tố, và p là ước của tích bc, thì p là ước của b hoặc p là ước của c.

   Hai số nguyên a và b là nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu đoạn thẳng nối điểm có tọa độ (a, b) trong Hệ tọa độ Descartes với gốc (0,0), không có điểm nào trên nó có tọa độ nguyên. (Hình 1.)

  Xác suất để hai số nguyên chọn ngẫu nhiên là nguyên tố cùng nhau bằng 6/π2 (xem pi), xấp xỉ 60%.

   Hai số tự nhiên a và b là nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu 2a − 1 và 2b − 1 là nguyên tố cùng nhau.

3. Bài tập ứng dụng phần số nguyên tố

Bài 1: Cho dãy số gồm 2 chữ số: 2, 10, hãy xác định 2 số đó có là số nguyên tố cùng nhau không?

Ước chung lớn nhất của 2 và 10 là 2 vì: 

2:2=1

10:2=5

Vậy suy ra, số 2 và 10 không phải là số nguyên tố cùng nhau.

Bài 2: Tìm ước số chung lớn nhất của 6 và 15.

Lời giải:

Ước số của 6 là <1,2,3,6>

Ước số của 15 là <1,3,5>

Vậy suy ra hai số này có ước số chung lớn nhất là số 3.

Bài 3: Hai số 24 và 35 có nguyên tố cùng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Để biết hai số có phải là hai số nguyên tố cùng nhau hay không, ta đi tìm ƯCLN của hai số đó, nếu ƯCLN của hai số là 1 thì hai số đó là hai số nguyên tố cùng nhau. 

Ta có: 

Do đó: 24 = 23 . 3 và 35 = 5 . 7 

Ta thấy hai số 24 và 35 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(24, 35) = 1. 

Vậy 24 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau. 

Bài 4: Tính tổng 5 số nguyên tố đầu tiên?

Cách giải

5 số nguyên tố đầu tiên là: 2, 3, 5, 7, 11=> Tổng 5 số nguyên tố đầu tiên là: (2+3+5+7+11=28)