Cơ Học Lagrange – Phần 2 | Minh-cly

Trang chủ » Công Thức Lagrange Loại 2 » Cơ Học Lagrange – Phần 2 | Minh-cly

Có thể bạn quan tâm

Trong phần trước, chúng ta đã có những khái niệm cơ bản về cơ học. Trong phần này, chúng ta sẽ nói đến cách nhìn của Lagrange về cơ học và chứng minh phương trình chuyển động tổng quát.

  • Cơ học Lagrange – Phần 1
  • Cơ học Lagrange – Phần 3

Triệu tiêu lực ràng buộc

Chúng ta xem xét định luật 2 Newton với hai thành phần lực tác động vào hệ: thành phần lực ràng buộc \boldsymbol{F_c} và thành phần lực gây ra chuyển động tự do \boldsymbol{F}.

m\ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F} + \boldsymbol{F_c}

Do lực ràng buộc không tạo công tại một thời điểm nhất định nào, chúng ta sẽ nhân thêm độ dời ảo (vi phân của tọa độ không phụ thuộc thời gian) \delta \boldsymbol r để triệt tiêu lực ràng buộc. Chúng ta có:

\begin{array}{crcl} & \sum\limits_{i=1}^N m_i\ddot{\boldsymbol r_i} &=& \sum\limits_{i=1}^N (\boldsymbol F_i + \boldsymbol F^c_i) \\ \Leftrightarrow & \sum\limits_{i=1}^N (m_i\ddot{\boldsymbol r_i} - \boldsymbol F_i) &=& \sum\limits_{i=1}^N \boldsymbol F^c_i \\ \Leftrightarrow & \sum\limits_{i=1}^N (m_i\ddot{\boldsymbol r_i} - \boldsymbol F_i)\delta \boldsymbol r_i &=& \sum\limits_{i=1}^N \boldsymbol F^c_i \delta \boldsymbol r_i \\ \Leftrightarrow & \sum\limits_{i=1}^N (m_i\ddot{\boldsymbol r_i} - \boldsymbol F_i)\delta \boldsymbol r_i &=& 0 \\ \end{array}

Với N là tổng số chất điểm trong hệ cần xét. Phương trình trên gọi là nguyên lý D’Alembert. Chúng ta đã triệt tiêu được lực ràng buộc, tuy nhiên vẫn còn quá nhiều tọa độ mà chúng ta cần phải xem xét.

Các tọa độ tổng quát

Để giảm đi số phương trình cần thiết, chúng ta cần giảm số biến của hệ. Chúng ta cần chuyển hệ tọa độ Decartes thông thường thành một hệ tọa độ tổng quát \boldsymbol q, nơi các thành phần q_1, q_2, ... q_f đặc trưng cho f bậc tự do của hệ. Nếu hệ có 2 bậc tự do, \boldsymbol q có hai thành phần. Nếu hệ có 6 bậc tự do, \boldsymbol q có 6 thành phần. Chúng ta có thể viết lại hệ tọa độ thông thường \boldsymbol r dưới dạng một hàm của các biến mới \boldsymbol q:

\boldsymbol r_i = \boldsymbol r_i(q_1, q_2, ..., q_f, t)

Với f là số bậc tự do của hệ. Phương trình trên còn được viết như sau:

\boldsymbol r_i = \boldsymbol r_i(q_j, t)

Từ đây, chúng ta có thể suy ra độ dời ảo và đạo hàm của r_i:

\delta \boldsymbol r_i = \sum\limits_{j=1}^f \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j}\delta q_j

\dot{\boldsymbol r_i} = \sum\limits_{j=1}^f \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j} \dot q_j + \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial t}

Bởi vì vận tốc của một phương theo tọa độ tổng quát là độc lập với phương khác (do các phương đặc trưng cho bậc tự do riêng của chúng), nếu chúng ta lấy đạo hàm từng phần \dot {\boldsymbol r_i} theo \dot q_j, chúng ta sẽ có:

\dfrac{\partial \dot{\boldsymbol r_i}}{\partial \dot q_j} = \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j}

Thay phương trình độ dời ảo vào phương trình nguyên lý D’Alembert chúng ta có:

\begin{array}{crcl} & \sum\limits_{i=1}^N (m_i\ddot{\boldsymbol r_i} - \boldsymbol F_i)\delta \boldsymbol r_i &=& 0 \\ \Leftrightarrow & \sum\limits_{i=1}^N (m_i\ddot{\boldsymbol r_i} - \boldsymbol F_i)\sum\limits_{j=1}^f \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j}\delta q_j &=& 0 \\ \Leftrightarrow & \sum\limits_{j=1}^f \left( \sum\limits_{i=1}^N m_i\ddot{\boldsymbol r_i} \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j} - \sum\limits_{i=1}^N \boldsymbol F_i \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j} \right) \delta q_j &=& 0 \\ \end{array}

Sử dụng quy tắc nhân trong đạo hàm, chúng ta có:

\dfrac{d}{dt}\left( \dot{\boldsymbol r_i} \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j} \right) = \ddot{\boldsymbol r_i} \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j} + \dot{\boldsymbol r_i} \dfrac{\partial \dot{\boldsymbol r_i}}{\partial q_j}

Áp dụng vào phương trình trên, chúng ta có:

\begin{array}{crcl} & \sum\limits_{j=1}^f \left( \sum\limits_{i=1}^N m_i\dfrac{d}{dt}\left( \dot{\boldsymbol r_i} \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j} \right) - \sum\limits_{i=1}^N m_i\dot{\boldsymbol r_i} \dfrac{\partial \dot{\boldsymbol r_i}}{\partial q_j} - \sum\limits_{i=1}^N \boldsymbol F_i \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j} \right) \delta q_j &=& 0 \\ \end{array}

Bước tiếp theo chúng ta sẽ thay các đại lượng vô hướng vào phương trình trên.

Các đại lượng vô hướng

Lagrange nghĩ rằng các đại lượng vô hướng có thể đặc trưng cho chuyển động của toàn hệ, ví dụ như động năng. Động năng của hệ được định nghĩa như sau:

T = \sum\limits_{i=1}^N \dfrac{1}{2} m_i \dot{\boldsymbol r_i}^2

Đạo hàm từng phần của động năng theo các tọa độ tổng quát là:

\dfrac{\partial T}{\partial q_j} = \sum\limits_{i=1}^N m_i \dot{\boldsymbol r_i} \dfrac{\partial \dot{\boldsymbol r_i}}{\partial q_j}

\dfrac{\partial T}{\partial \dot q_j} = \sum\limits_{i=1}^N m_i \dot{\boldsymbol r_i} \dfrac{\partial \dot{\boldsymbol r_i}}{\partial \dot q_j} = \sum\limits_{i=1}^N m_i \dot{\boldsymbol r_i} \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j} (nhờ biến đổi trong chương 2)

Khi so sánh với phương trình cuối chương hai, chúng ta đã loại được đi hai thành phần. Chúng ta định nghĩa tiếp thành phần cuối cùng gọi là lực tổng quát như sau:

Q_j = \sum\limits_{i=1}^N \boldsymbol F_i \dfrac{\partial \boldsymbol r_i}{\partial q_j}

Ghép tất cả vào phương trình cuối chương hai, chúng ta có:

\sum\limits_{j=1}^f \left( \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial T}{\partial \dot q_j} - \dfrac{\partial T}{\partial q_j} - Q_j \right) \delta q_j = 0

Do các tọa độ tổng quát q_j là các tọa độ tự do và không chịu bất kỳ sự chi phối nào, để phương trình trên bằng 0, chúng ta cần phải đáp ứng yêu cầu sau cho từng bậc tự do j:

\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial T}{\partial \dot q_j} - \dfrac{\partial T}{\partial q_j} - Q_j = 0

Phương trình trên được gọi là phương trình chuyển động tổng quát. Để giải một hệ chuyển động có f bậc tự do, chúng ta chỉ cần lập f phương trình, mỗi phương trình ứng với một bậc tự do j. Phương trình trên là tổng quát cho mọi chuyển động, bởi vì Q_j có thể là bất kỳ lực nào tác động vào hệ như lực hấp dẫn, đàn hồi, thậm chí là các lực không bảo toàn như lực ma sát. Trong phần sau, chúng ta sẽ nói về biến đổi của phương trình trên với trường hợp lực bảo toàn và phương trình Euler-Lagrange. Cảm ơn các bạn đã theo dõi.

Chia sẻ:

  • X
  • Facebook
  • Email
  • In
  • Thêm
  • Reddit
Thích Đang tải...

Từ khóa » Công Thức Lagrange Loại 2