Cơ Học Lý Thuyết – Phần 2: Làm Tí Bài Tập Cho Nó Phấn Khởi

Có thể bạn quan tâm

Bài 1: một con lắc phẳng B khối lượng m2, có điểm treo A với khối lượng m1, chuyển động ko ma sát theo một đường thẳng nằm ngang. Chiều dài của con lắc này là l. Viết các phương trình Lagrange của hệ. bai 1 Giải:

Số bậc tự do của hệ s=2 với 2 toạ độ suy rộng là $x$ và $\varphi$ .

$\displaystyle L = T_A + T_B - U_A - U_B = \frac{m_1}{2} (\dot{x_A}^2 + \dot{y_A}^2) + \frac{m_2}{2} (\dot{x_B}^2 + \dot{y_B}^2) - U_A - U_B$

Thay $x_A = x$ $\Rightarrow$ $\dot{x_A} = \dot{x}$ $y_A = 0$ $\Rightarrow$ $\dot{y_A} = 0$ $x_B = x + l \, sin \varphi$ $\Rightarrow$ $\dot{x_B} = \dot{x} + l\,cos \varphi \, \dot{\varphi}$ $y_B = l \, cos \varphi$ $\Rightarrow$ $\dot{y_B} = -l\,sin \varphi \, \dot{\varphi}$ $U_A = 0$ (vì vật A chỉ chuyển động trên phương ngang Ox) và $U_B = -m_2\,g\,l\,cos \varphi$ vào biểu thức trên ta được:

$\displaystyle L = \frac{m_1}{2} \dot{x}^2 + \frac{m_2}{2} \bigg[ (\dot{x} + l\,cos \varphi \, \dot{\varphi})^2 + (l\,sin \varphi \, \dot{\varphi})^2 \bigg] + m_2\,g\,l\,cos \varphi$

$\iff$ $\displaystyle L = \frac{(m_1+m_2)}{2} \dot{x}^2 + \frac{m_2}{2} \bigg( l^2 \dot{\varphi}^2 + 2\,l\, \dot{\varphi} \,\dot{x} \,cos \varphi \bigg) + m_2\,g\,l\,cos \varphi$

Bây giờ viết các phương trình Lagrange $\frac{d}{dt} ( \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} ) = \frac{\partial{L}}{\partial{q}}$ cho các toạ độ $x$ , $\varphi$ :

$\displaystyle \frac{d}{dt} \bigg[ (m_1+m_2)\dot{x} + m_2\,l\, cos \varphi \,\dot{\varphi} \bigg] = 0$

$\iff$ $\displaystyle (m_1+m_2)\ddot{x} - m_2 l sin \varphi \dot{\varphi}^2 + m_2 l cos \varphi \ddot{\varphi} = 0$

$\displaystyle \frac{d}{dt} \bigg[ m_2 \,( l^2 \dot{\varphi} + l\, cos \varphi \, \dot{x}) \bigg] = -m_2 \, l \, sin \varphi \,(\dot{\varphi}\dot{x} + g)$

$\iff$ $\displaystyle l \ddot{\varphi} + cos \varphi \ddot{x} + g sin \varphi = 0$

Bài 2: Con lắc kép như hình vẽ. Viết các phương trình Lagrange. Bai 2 Giải:

Số bậc tự do là s=2 với 2 toạ độ suy rộng là $\varphi_1$ và $\varphi_2$ .

Ta có: $x_A = l_1 \, sin \varphi_1$ $\Rightarrow$ $\dot{x_A} = l_1 \, cos \varphi_1 \, \dot{\varphi_1}$ $y_A = l_1 \, cos \varphi_1$ $\Rightarrow$ $\dot{y_A} = -l_1 \, sin \varphi_1 \, \dot{\varphi_1}$ $x_B = l_1 \, sin \varphi_1 + l_2 \, sin \varphi_2$ $\Rightarrow$ $\dot{x_B} = l_1 \, cos \varphi_1 \, \dot{\varphi_1} + l_2 \, cos \varphi_2 \, \dot{\varphi_2}$ $y_B = l_1 \, cos \varphi_1 + l_2 \, cos \varphi_2$ $\Rightarrow$ $\dot{y_B} = -l_1 \, sin \varphi_1 \, \dot{\varphi_1} - l_2 \, sin \varphi_2 \, \dot{\varphi_2}$ $U_A = -(m_1+m_2) \, g \, l_1 \, cos \varphi_1$ $U_B = -m_2 \, g \, l_2 \, cos \varphi_2$

Hàm Lagrange: $\displaystyle L = T_A + T_B - U_A - U_B = \frac{m_1}{2} (\dot{x_A}^2 + \dot{y_A}^2) + \frac{m_2}{2} (\dot{x_B}^2 + \dot{y_B}^2) - U_A - U_B$

$\iff$ $\displaystyle L = \frac{m_1}{2} \bigg[ l_1^2 \, \dot{\varphi_1}^2 \bigg] + \frac{m_2}{2} \bigg[ l_1^2 \, \dot{\varphi_1}^2 + l_2^2 \, \dot{\varphi_2}^2 + 2 \, l_1 \, l_2 \, cos(\varphi_1-\varphi_2) \, \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2} \bigg] + \newline + (m_1+m_2) \, g \, l_1 \, cos \varphi_1 + m_2 \, g \, l_2 \, cos \varphi_2$

$\iff$ $\displaystyle L = \frac{(m_1+m_2)}{2} \, l_1^2 \, \dot{\varphi_1}^2 + \frac{m_2}{2} \, l_2^2 \, \dot{\varphi_2}^2 + m_2 \, l_1 \, l_2 \, cos(\varphi_1 - \varphi_2) \, \dot{\varphi_1} \, \dot{\varphi_2} + \newline + (m_1+m_2) \, g \, l_1 \, cos \varphi_1 + m_2 \, g \, l_2 \, cos \varphi_2$

Phương trình Lagrange đối với toạ độ $\varphi_1$ :

Chờ chút, do biểu thức L ở bài này phức tạp hơn bài trên nhiều, nên mình cần diễn đạt một chút bằng lời trước khi viết tiếp phương trình Lagrange. Phương trình $\frac{d}{dt} ( \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} ) = \frac{\partial{L}}{\partial{q}}$ hiểu là: vi phân theo thời gian của đạo hàm theo đại lượng $\dot{q}$ của hàm L, thì bằng đạo hàm theo đại lượng $q$ của hàm L. Lưu ý rằng phải lấy vi phân toàn phần, ví dụ tí nữa bạn sẽ thấy có một thành phần chứa $\varphi_1$ , $\varphi_2$ và $\dot{\varphi_2}$ , bạn cần phải vi phân theo cả 3 đại lượng này, chứ đừng nhầm chỉ vi phân mỗi $\dot{\varphi_2}$ . Theo kí hiệu, cứ d/dt của một đại lượng nào đó thì chuyển thành thêm dấu chấm trên đầu. $\frac{d}{dt}q$ thì thành $\dot{q}$ , $\frac{d}{dt}\dot{q}$ thì thành $\ddot{q}$ .

$\displaystyle \frac{d}{dt} \bigg[ (m_1+m_2) l_1^2 \dot{\varphi_1} + m_2 l_1 l_2 cos(\varphi_1-\varphi_2) \dot{\varphi_2} \bigg] = - m_2 l_1 l_2 sin(\varphi_1-\varphi_2) \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2} - (m_1+m_2) g l_1 sin \varphi_1$

$\iff$ $\displaystyle (m_1+m_2) l_1 \ddot{\varphi_1} + m_2 l_2 sin(\varphi_1-\varphi_2) \dot{\varphi_2}^2 + m_2 l_2 cos(\varphi_1-\varphi_2) \ddot{\varphi_2} + (m_1+m_2) g sin \varphi_1 = 0$

Phương trình Lagrange đối với toạ độ $\varphi_2$ :

$\displaystyle \frac{d}{dt} \bigg[ m_2 l_2^2 \dot{\varphi_2} + m_2 l_1 l_2 cos(\varphi_1-\varphi_2) \dot{\varphi_1} \bigg] = m_2 l_1 l_2 sin(\varphi_1-\varphi_2) \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2} - m_2 g l_2 sin \varphi_2$

$\iff$ $\displaystyle l_2 \ddot{\varphi_2} - l_1 sin(\varphi_1-\varphi_2) \dot{\varphi_1}^2 + l_1 cos(\varphi_1-\varphi_2) \ddot{\varphi_1} + g sin \varphi_2 = 0$

Bài 3: Hai hạt có khối lượng m1 và m2 được mắc như trong hình vẽ, trượt ko ma sát trên đường thẳng nằm ngang, các lò xo ở giữa lần lượt là L1 và L2. Vị trí cân bằng của 2 hạt (tức là vị trí mà lò xo ko căng) tương ứng là c1 và c2. Viết các pt Lagrange của hệ. Biết rằng thế năng sinh bởi các lò xo tính theo công thức: $U = \frac{1}{2} K \, \Delta{x}^2$ trong đó K là hằng số đàn hồi của lò xo. Bai-3 Giải:

Số bậc tự do s=2 với 2 toạ độ suy rộng là $x_1$ và $x_2$ .

Hàm Lagrange: $\displaystyle L = \frac{1}{2} m_1 \dot{x_1}^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{x_2}^2 - \frac{1}{2} K_1 x_1^2 - \frac{1}{2} K_2 (x_2 - x_1)^2$ (viết $x$ thay $\Delta{x}$ cho gọn)

Các phương trình Lagrange:

$\displaystyle m_1 \ddot{x_1} + K_1 x_1 - K_2 (x_2 - x_1) = 0$

$\displaystyle m_2 \ddot{x_2} + K_2 (x_2 - x_1) = 0$

Bài 4: Cho một con lắc đơn, nhưng điểm treo có thể chuyển động theo trục thẳng đứng theo hàm $h(t)$ phụ thuộc vào thời gian. Cũng viết pt chuyển động, rồi chỉ ra rằng con lắc đơn trong bài hành xử như một con lắc đơn trong trọng trường $g+\ddot{h}$ .

Giải:

Số bậc tự do s=1 với 1 toạ độ suy rộng là $\theta$ .

$x = l \, sin\theta$ $\Rightarrow$ $\dot{x} = l \, cos\theta \, \dot{\theta}$ $y = l \, cos\theta - h$ $\Rightarrow$ $\dot{y} = -l \, sin\theta \, \dot{\theta} - \dot{h}$ $U = -mgl \, cos\theta$

Hàm Lagrange: $\displaystyle L = \frac{m}{2} \left( l^2 \dot{\theta}^2 + \dot{h}^2 + 2l \, sin\theta \, \dot{\theta} \, \dot{h} \right) + mgl \, cos\theta$

Pt Lagrange: $\displaystyle \frac{d}{dt} \left[ m l^2 \, \dot{\theta} + ml \, sin\theta \, \dot{h} \right] = ml \, cos\theta \, \dot{\theta} \, \dot{h} - mgl \, sin\theta$ $\iff$ $l \, \ddot{\theta} + sin\theta \, \ddot{h} + g \, sin\theta = 0$ $\iff$ $l \, \ddot{\theta} + \left( g + \ddot{h} \right) sin\theta = 0$

Nếu ko có yếu tố $h(t)$ , pt Lagrange của con lắc đơn là $l \, \ddot{\theta} + g \, sin\theta = 0$ . Như vậy khi hệ chuyển động theo chiều thẳng đứng, trường thế chỉ đơn giản là bổ trợ thêm thành phần $\ddot{h}$ , còn dạng của pt Lagrange của chuyển động ko thay đổi.

Bài 5: Cho vật m trượt tự do trên thanh thẳng dài, quay theo kiểu quét thành hình nón với góc nghiêng $\alpha$ và vận tốc góc $\omega$ . Viết các pt Lagrange. Bai-5 Giải:

Đặt khoảng cách từ vật m tới tâm quay của thanh là $l$ . Bạn sẽ nhận ra đây là toạ độ suy rộng duy nhất của hệ.

$x = l \, sin\alpha \, sin(\omega t)$ $\Rightarrow$ $\dot{x} = \dot{l} \, sin\alpha \, sin(\omega t) + l \, sin\alpha \, cos(\omega t) \, \omega$ $y = l \, sin\alpha \, cos(\omega t)$ $\Rightarrow$ $\dot{y} = \dot{l} \, sin\alpha \, cos(\omega t) - l \, sin\alpha \, sin(\omega t) \, \omega$ $z = l \, cos\alpha$ $\Rightarrow$ $\dot{z} = \dot{l} \, cos\alpha$ $U = +mgl \, cos\alpha$ (ở đây gốc toạ độ ở dưới vật, nên thế năng của vật là dương)

Hàm Lagrange: $\displaystyle L = \frac{m}{2} \left( \dot{l}^2 + l^2 \, \omega^2 \, sin^2\alpha \right) - mgl \, cos\alpha$

Pt Lagrange: $\displaystyle \frac{d}{dt} \left[ m \, \dot{l} \right] = m \, l \, \omega^2 \, sin^2\alpha - mg \, cos\alpha$ $\iff$ $\ddot{l} = l \, \omega^2 \, sin^2\alpha - g \, cos\alpha$

Ta sẽ rút ra một điều thú vị, đó là vị trí $l$ mà vật ko thay đổi vị trí trên thanh quay, khi đó $\dot{l}=0$ $\Rightarrow$ $\ddot{l}=0$ .

Bài 6: Biểu diễn các thành phần toạ độ Đề-các và độ lớn của vector moment quán tính $\vec{M}$ theo hệ toạ độ hình trụ $r$ , $\phi$ , $z$ . toadotru Giải:

Đầu tiên, quy đổi từ toạ độ Đề-các sang toạ độ trụ: $x = r \, cos\phi$ $\Rightarrow$ $\dot{x} = \dot{r} \, cos\phi - r \, sin\phi \, \dot{\phi}$ $y = r \, sin\phi$ $\Rightarrow$ $\dot{y} = \dot{r} \, sin\phi + r \, cos\phi \, \dot{\phi}$ $z = z$ $\Rightarrow$ $\dot{z} = \dot{z}$

Áp dụng quy tắc nhân có hướng cho 2 vector $\vec{a}(x_1, y_1, z_1)$ và $\vec{b}(x_2, y_2, z_2)$ : $\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{vmatrix}y_1&z_1\\y_2&z_2\end{vmatrix} , \begin{vmatrix}z_1&x_1\\z_2&x_2\end{vmatrix} , \begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix} \right)$

Phân tích vector moment quán tính sang 3 thành phần x, y, z: $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{p} = m \left[ \vec{r} \times \vec{v} \right]$ $\iff$ $\begin{cases} M_x = m \left(y \dot{z} - \dot{y} z \right) \\ M_y = m \left(z \dot{x} - \dot{z} x \right) \\ M_z = m \left(x \dot{y} - \dot{x} y \right) \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} M_x = m \left(r \dot{z} - \dot{r} z \right) sin\phi - m\,r\,z\, \dot{\phi} \, cos\phi \\ M_y = -m \left(r \dot{z} - \dot{r} z \right) cos\phi - m\,r\,z\, \dot{\phi} \, sin\phi \\ M_z = m \, r^2 \, \dot{\phi} \end{cases}$