Con Lắc Lò Xo Treo Thẳng đứng - Hoc24

CON LẮC LÒ XO TREO THẲNG ĐỨNG

1. Mô tả hiện tượng

1 2 3 O x O x l 0 l CB P → F → dh x Δl 0 -Δl 0

- Dao động của con lắc lò xo treo thẳng đứng được mô tả qua 3 giai đoạn như hình vẽ trên.

+ Giai đoạn 1: Khi chưa treo vật, lò xo không biến dạng và có chiều dài tự nhiên ℓ0

+ Giai đoạn 2: Khi treo vật, vật ở vị trí cân bằng, lò xo dãn Δℓ0

+ Giai đoạn 3: Kích thích cho vật dao động thì vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O

- Tần số góc giống như con lắc lò xo nằm ngang: \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\)

2. Phân tích hiện tượng

- Ở giai đoạn 2: Vật ở VTCB, lò xo dãn \(\Delta \ell_0\)

+ Chiều dài của lò xo: \(\ell_{CB}=\ell_o+\Delta \ell_0\)

+ Vật ở VTCB nên: \(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F_{dh}} = \overrightarrow{0} \Rightarrow P = F_{dh} \Rightarrow mg = k\Delta \ell_0 \Rightarrow\Delta \ell_0 = \frac{mg}{k}\) (1)

- Giai đoạn 3: Vật dao động điều hòa quanh O, khi vật có li độ x, ta có:

+ Chiều dài lò xo: \(\ell=\ell_{CB}+x= \ell_0+\Delta \ell_0+x\)

+ Độ biến dạng của lò xo: \(\Delta \ell = |\Delta \ell_0+x|\)

+ Lực đàn hồi: \(F_{dh} = k\Delta \ell = k|\Delta \ell_0+x|\) (2)

+ Lực hồi phục: \(F_{hp} = k|x|\)

- Nhận xét:

+ Để nhớ các công thức trên, các bạn chỉ cần nhớ hình vẽ biểu thị 3 giai đoạn ở trên rồi tự suy ra.

+ Từ (1) ta suy ra: \(\dfrac{k}{m} = \dfrac{g}{\Delta \ell _ 0}\Rightarrow \omega = \sqrt{\dfrac{g}{\Delta \ell_0}}\)

+ Từ (2) ta suy ra: \(F_{dhmax}=k(\Delta \ell_0+A)\) (khi vật ở vị trí thấp nhất)

+ Nếu \(\Delta \ell_0 > A\): Trong quá trình dao động, lò xo luôn dãn, khi đó: \(F_{dhmin}=k(\Delta \ell_0 - A)\) (khi vật ở vị trí cao nhất)

+ Nếu \(\Delta \ell_0 \leq A\): Trong quá trình dao động, lò xo dãn khi \(x>-\Delta \ell_0\), lò xo nén khi \(x<\Delta \ell_0\): \(F_{dhmin} = 0\) tại vị trí: \(x= -\Delta \ell_0\)

3. Năng lượng dao động

* Chọn mốc tính thế năng tại VTCB của vật, khi đó thế năng vẫn được tính giống như thế năng của con lắc lò xo nằm ngang.

- Động năng: \(W_đ=\dfrac{1}{2}mv^2\)

- Thế năng đàn hồi: \(W_t=\dfrac{1}{2}kx^2\)

- Cơ năng: \(W = W_đ+W_t= W_đ=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}kx^2=W_{đmax}= W_{tmax} = \dfrac{1}{2}mv_{max}^2=\dfrac{1}{2}kA^2\)

4. Bài tập ví dụ

Bài tập: Con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên ℓ0=50cm, độ cứng k = 100N/m, treo vật nặng khối lượng m = 400g. Kích thích cho vật dao động điều hòa quanh VTCB với biên độ 8cm. Lấy g = 10m/s2. Chọn trục tọa độ có gốc ở VTCB, chiều dương hướng xuống, mốc thời gian khi vật qua VTCB theo chiều dương.

a) Tìm chiều dài của lò xo khi vật ở VTCB.

b) Viết phương trình dao động.

c) Tìm vận tốc và gia tốc tại vị trí lực đàn hồi có độ lớn cực tiểu.

d) Tìm thời gian ngắn nhất từ thời điểm ban đầu đến khi lò xo không biến dạng.

e) Tìm thời gian lò xo bị nén trong 1 chu kì.

f) Tìm cơ năng của hệ.

g) Tìm động năng của vật và thế năng của lò xo khi lò xo có chiều dài 56cm.

h) Tại vị trí Wđ = 3 Wt. Tính chiều dài của lò xo.

i) Tìm lực đàn hồi cực đại, cực tiểu.

k) Tìm li độ tại vị trí độ lớn lực hồi phục bằng lực đàn hồi.

Hướng dẫn giải:

1 2 3 O x O x l CB P → F → dh x Δl 0 50cm = 4cm -4cm -8cm 8cm

a) Ở VTCB: \(\Delta \ell_0 = \dfrac{mg}{k}=\dfrac{0,4.10}{100}=0,04m = 4cm\)

Chiều dài của lò xo: \(\ell_{CB}=\ell_0+\Delta \ell_0=50 + 4 = 54cm\)

b) Tần số góc: \(\omega = \sqrt {\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{100}{0,4}}=5\pi(rad/s)\)

Mốc thời gian lúc vật qua VTCB theo chiều dương nên pha ban đầu \(\varphi = -\frac{\pi}{2}\)rad

Phương trình dao động: \(x= 8\cos(5\pi t - \frac{\pi}{2})\)(cm).

c) Do \(A > \Delta \ell_0 (8 > 4)\) nên lực đàn hồi đạt cực tiểu tại \(x=-\Delta \ell_0 = -4cm\)

Áp dụng công thức độc lập ta có:

Vận tốc: \(v=\pm\omega\sqrt{A^2-x^2}=\pm5\pi\sqrt{8^2-4^2}=\pm20\sqrt 3\pi\)(cm/s)

Gia tốc: \(a=-\omega^2x= -(5\pi)^2.(-4)=1000\)(cm/s2) = 10m/s2

d) Lò xo không biến dạng tại li độ: \(x=-\Delta l_0 = -4cm.\) Bài toán trở thành tính thời gian ngắn nhất khi vật qua VTCB theo chiều dương đến khi li độ bằng -4cm. Biểu diễn bằng véc tơ quay ta có:

x 8 -8 o -4 M N

Véc tơ quay xuất phát tại M và kết thúc ở N, nên góc quay được: \(\alpha = 180+30 = 210^0\)

Thời gian: \(t=\dfrac{210}{360}T = \frac{7T}{12}\)

Chu kì: \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{5\pi}=0,4s\)

Suy ra: \(t= \dfrac{7.0,4}{12}=\dfrac{7}{30}s\)

e) Lò xo nén khi \(x < -\Delta l _0 \Rightarrow x < - 4cm\), biểu diễn bằng véc tơ quay ta được:

x 8 -8 o -4 M N nén

Góc quay: \(\alpha = 2.60 = 120^0\)

Thời gian: \(t=\dfrac{120}{360}T = \dfrac{T}{3}=\dfrac{0,4}{3}=\dfrac{4}{30}s\)

f) Cơ năng: \(W=\dfrac{1}{2}kA^2=\dfrac{1}{2}.100.0,08^2=0,32J\) g) Áp dụng: \(\ell=\ell_{CB}+x\Rightarrow x = \ell-\ell_{CB}=56-54=2cm\) Thế năng: \(W_t=\dfrac{1}{2}k.x^2=\dfrac{1}{2}.100.0,02^2=0,02J\) Động năng: \(W_đ=W-W_t=0,32-0,02=0,3J\) h) Tại vị trí \(W_đ=3W_t \Rightarrow W = 4W_t \Rightarrow A^2 = 4x^2\Rightarrow x= \pm\dfrac{A}{2}=\pm\dfrac{8}{2}=\pm 4cm\) Chiều dài lò xo: \(\ell=\ell_{CB}+x = 54\pm4\) =>\(\ell=50cm\) hoặc \(\ell=58cm\) i) Lực đàn hồi cực đại: \(F_{dhmax}=k.(\Delta \ell_0+A)=100.(0,04+0,08)=12N\) Lực đàn hồi cực tiểu: \(F_{dhmin}=0\) (Do \(A>\Delta \ell_0\)) k) Độ lớn lực hồi phục bằng lực đàn hồi suy ra: \(k|x|=k|\Delta \ell_0+x|\Rightarrow|x|=|4+x|\Rightarrow -x=4+x\Rightarrow x=-2cm.\) Như vậy, tại li độ x = -2cm thì độ lớn lực đàn hồi và lực hồi phục bằng nhau.