Công Thức Cấp Số Cộng đầy đủ, Chi Tiết Nhất | Toán Lớp 11

Công thức cấp số cộng

I. Lý thuyết Cấp số cộng

1) Định nghĩa

(un) là cấp số cộng khi un+1=un+d, n∈ℕ* (d gọi là công sai)

Nhận xét:

- Cấp số cộng (un) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.

- Cấp số cộng (un) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

2) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n∈ℕ*,n≥2.

3) Tính chất

Ba số hạng là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi uk=uk−1+uk+12.

II. Công thức cấp số cộng

- Công thức tính công sai: d = un+1 – un với n∈ℕ*.

- Công thức tìm số hạng tổng quát: un = u1 + (n – 1)d với n∈ℕ*,n≥2.

- Tính chất của 3 số hạng uk−1,uk,uk+1 k≥2 liên tiếp của cấp số cộng: uk=uk−1+uk+12.

- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: Sn=nu1+un2=n2u1+n−1d2.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: u2−u3+u5=10u4+u6=26

a) Xác định công sai và số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

c) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

d) Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

u2−u3+u5=10u4+u6=26⇔(u1+d)−(u1+2d)+(u1+4d)=10(u1+3d)+(u1+5d)=26⇔u1+3d=10u1+4d=13⇔u1=1d=3

Vậy công sai d = 3 và số hạng đầu tiên u1 = 1.

b) Số hạng tổng quát: un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1).3 = 3n – 2.

c) Số hạng thứ 100 là: u100 = 3.100 – 2 = 298.

d) Tổng 15 số hạng đầu tiên:

S15=n2u1+n−1d2=15.2.1+14.32=330

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: un = 2n – 3.

a) Xác định công sai của cấp số cộng.

b) Số 393 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

c) Tính S = u1 + u3 + u5 + … + u2021.

Lời giải

a) Ta có: un + 1 = 2(n + 1) – 3 = 2n – 1

Công sai của cấp số cộng: d = un+1 – un = (2n – 1) – (2n – 3) = 2

b) Gọi số hạng thứ k của cấp số cộng là 393, ta có uk = 393.

Khi đó: 2k – 3 = 393. Suy ra k = 198.

Vậy số 393 là số hạng thứ 198 của cấp số cộng.

c) Ta có: u1 = 2 . 1 – 3 = – 1

Dãy số là (vn): u1; u3; u5; … u2021 là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u1 = – 1 và công sai d’ = u3 – u1 = 2d = 4

Dãy (vn) có: (2021 – 1) : 2 + 1 = 1011 số hạng

Vậy tổng S=u1+u3+u5+…+u2021=1011.2.−1+1010.42=2 041 209.

IV. Bài tập

Bài 1: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 1 và d = – 3.

a) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng

b) Tìm số hạng thứ 2021 của cấp số cộng

c) Số – 488 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Lời giải

a) Số hạng tổng quát:

un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1).(– 3) = – 3n + 4.

b) Số hạng thứ 2021 của cấp số cộng:

u2021 = – 3.2021 + 4 = – 6059.

c) Gọi số hạng thứ k là số – 488, ta có: uk = – 3k + 4 = – 488. Suy ra k = 164.

Vậy số – 488 là số hạng thứ 164.

Bài 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn

a) Tìm u1; d?

b) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.

c) Số –1372,5 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Lời giải

a) Ta có:

Vậy

b) Số hạng tổng quát:

c) Gọi số hạng thứ k là số – 1372,5, ta có:

Vậy số – 1372,5 là số hạng thứ 200.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Công thức cấp số nhân

Công thức tính công bội của cấp số nhân