Công Thức Cấp Số Cộng Hay Nhất - TopLoigiai

Mục lục nội dung 1. Định nghĩa cấp số cộng2. Số hạng tổng quát3. Tính chất4. Tổng n số hạng đầu5. Phân dạng bài tập cấp số cộng6. Bài tập cấp số cộng

1. Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng là gì?

Là dãy 1 dãy số hữu hạn (hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện hai số liền kề nhau sai khác nhau một hằng số (không đổi).

Cơ sở lý thuyết

un là cấp số cộng nếu un+1 = un +d với n ∈ N*, d là hằng số.

Công sai d = un+1 - un

Ví dụ:

Dãy số 3; 6; 9; 12; 15 là một cấp số cộng vì:

6=3+3

9=6+3

12=9+3

15=12+3

Đây là CSC có công sai d=4 và số hạng đầu u1 = 3

2. Số hạng tổng quát

Ví dụ:

Cho CSC (un) biết u1 = -1, d = 3. Tìm u20

Ta có: 

u20 = u1 + (20-1)d

       = u1 + 19d

       = -1 +19.3

       = 56

3. Tính chất

Ví dụ:

Cho ba số 3; x; 9 theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm x.

4. Tổng n số hạng đầu

Ví dụ: Công ty ABC đang thực hiện việc trả lương cho các nhân viên bán hàng theo phương thức: Mức lương của quý làm việc đầu tiên là 4,5 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,3 triệu đồng cho mỗi quý. Yêu cầu hãy tính tổng tiền lương 1 nhân viên nhận được sau 3 năm làm việc tại công ty.

Bài giải:

Với mỗi số nguyên dương n, được kí hiệu (un) (triệu đồng) là mức lương của nhân viên làm việc thứ n cho công ty.

Theo đề bài ta có:

u1 = 4,5: un+1 = un + 0,3 với ∀n ≥ 1

Từ đó ta có dãy số (un) là một cấp số cộng với công sai d = 0,3

Do mỗi năm có 4 quý nên 3 năm sẽ có 12 quý. Như vậy theo yêu cầu của đề bài ta cần phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng .

Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta được: u12 = 4,5 + (12 - 1). 0,3 = 7,8

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên ta được:

Vậy tổng số tiền lương nhân viên nhận được sau 3 năm làm tại công ty là 73,8 triệu đồng.

5. Phân dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: 

Bước 2: Kết luận: d = un - un-1, ∀n ≥ 2

- Nếu d là số không đổi thì dãy là CSC.

- Nếu d thay đổi theo n thì dãy không là CSC.

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un = u1 + (n-1)d

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.

- Tìm công thức cho số hạng tổng quát 

6. Bài tập cấp số cộng

Bài 1. Cho cấp cấp số cộng (un) với u1 =3 và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Hướng dẫn giải

Công sai của cấp số cộng đã cho bằng u2 - u1 =6

Bài 2: Cho một CSC có u1 = -3; u6 = 27. Tìm d ?

Hướng dẫn giải

Bài 3: Cho một CSC có

Tìm d?

Hướng dẫn giải

Bài 4: Cho CSC 

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.

3. Tính S = u4 + u5 +…+u30

Hướng dẫn giải

Bài 5. Cho CSC 

1. Xác định công sai?

2. Tính tổng S = u5 + u7 + … + u2021

Hướng dẫn giải

1. Ta có:

Bài 6: Xác định x để 3 số 1 - x; x2; 1 + x:  theo thứ tự lập thành một CSC?

Hướng dẫn giải

Ba số: 1 - x; x2; 1 + x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 

x2 - (1 - x) = 1 + x - x2 ⇔ 2x2 = 2 ⇔ x = ±1