Công Thức Euler–Maclaurin – Wikipedia Tiếng Việt

Trong toán học, công thức Euler-Maclaurin là một công thức cho sự khác biệt giữa một tích phân và tổng có liên quan chặt chẽ. Nó có thể được sử dụng để tính gần đúng các tích phân bằng các tổng hữu hạn hoặc ngược lại để đánh giá các tổng hữu hạn và chuỗi vô hạn bằng cách sử dụng các tích phân và máy móc tích phân. Ví dụ, nhiều mở rộng tiệm cận có nguồn gốc từ công thức này và công thức Faulhaber cho tổng số lũy thừa là một hệ quả ngay lập tức.

Công thức được Leonhard Euler và Colin Maclaurin phát hiện độc lập vào khoảng năm 1735. Euler cần nó để tính toán chuỗi hội tụ vô hạn một cách chậm chạp trong khi Maclaurin sử dụng nó để tính tích phân. Sau đó, nó đã được khái quát hóa thành công thức Darboux.

Công thức

[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu m {\displaystyle m} và n {\displaystyle n} là các số tự nhiên và f ( x ) {\displaystyle f(x)} là một hàm liên tục có giá trị thực hoặc phức cho các số thực x {\displaystyle x} trong khoảng [ m , n ] {\displaystyle [m,n]} , thì tích phân

I = ∫ m n f ( x ) d x {\displaystyle I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx}

có thể được xấp xỉ bằng tổng (hoặc ngược lại)

S = f ( m + 1 ) + ⋯ + f ( n − 1 ) + f ( n ) {\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)}

(xem phương pháp hình chữ nhật). Công thức Eluler-Maclaurin cung cấp các biểu thức cho sự khác biệt giữa tổng và tích phân theo các đạo hàm cao hơn f ( k ) ( x ) {\displaystyle f^{(k)}(x)} đượcđánh giá tại các điểm cuối của khoảng, có nghĩa là khi x = m {\displaystyle x=m} và x = n {\displaystyle x=n} .

Một cách cụ thể hơn, cho p {\displaystyle p} một số nguyên dương và một hàm f ( x ) {\displaystyle f(x)} đó là p {\displaystyle p} lần khả vi liên tục trên khoảng [ m , n ] {\displaystyle [m,n]} , chúng ta có

S − I = ∑ k = 1 p B k k ! ( f ( k − 1 ) ( n ) − f ( k − 1 ) ( m ) ) + R p , {\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m))}+R_{p},}

Ở đâu B k {\displaystyle B_{k}} là k {\displaystyle k} số Bernoulli (với B 1 = 1 / 2 {\displaystyle B_{1}=1/2} ) và R p {\displaystyle R_{p}} là một thuật ngữ lỗi phụ thuộc vào n {\displaystyle n} , m {\displaystyle m} , p {\displaystyle p} và f {\displaystyle f} và thường nhỏ cho các giá trị phù hợp của p {\displaystyle p} .

Công thức thường được viết với chỉ mục con chỉ lấy các giá trị chẵn, vì các số Bernoulli lẻ bằng 0 ngoại trừ B 1 {\displaystyle B_{1}} . Trong trường hợp này, chúng ta có [1][2]

∑ i = m n f ( i ) = ∫ m n f ( x ) d x + f ( n ) + f ( m ) 2 + ∑ k = 1 ⌊ p / 2 ⌋ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( m ) ) + R p , {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_{p},}

Hay cách khác

∑ i = m + 1 n f ( i ) = ∫ m n f ( x ) d x + f ( n ) − f ( m ) 2 + ∑ k = 1 ⌊ p / 2 ⌋ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( m ) ) + R p . {\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_{p}.}

Số hạng còn lại

[sửa | sửa mã nguồn]

Số hạng còn lại phát sinh vì tích phân thường không chính xác bằng tổng. Công thức có thể được bắt nguồn bằng cách áp dụng tích hợp lặp đi lặp lại bởi các phần cho các khoảng tiếp theo [ r , r + 1 ] {\displaystyle [r,r+1]} cho r = m , m + 1 , … , n − 1 {\displaystyle r=m,m+1,\ldots ,n-1} . Các cận biên trong các tích hợp này dẫn đến các hệ số chính của công thức và các tích phân còn lại tạo thành "phần còn lại".

Phần còn lại có một biểu thức chính xác với các hàm Bernoulli được định kỳ P k ( x ) {\displaystyle P_{k}(x)} . Đa thức Bernoulli có thể được định nghĩa đệ quy bởi B 0 ( x ) = 1 {\displaystyle B_{0}(x)=1} va cho k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} ,

B k ′ ( x ) = k B k − 1 ( x ) , ∫ 0 1 B k ( x ) d x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}}

Các hàm Bernoulli định kỳ được định nghĩa là

P k ( x ) = B k ( x − ⌊ x ⌋ ) , {\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}(x-\lfloor x\rfloor ),}

Ở đâu ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x {\displaystyle x} (vậy nên x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle x-\lfloor x\rfloor } luôn luôn nằm trong khoảng [ 0 , 1 ) {\displaystyle [0,1)} ).

Với ký hiệu này, phần còn lại R p {\displaystyle R_{p}} bằng

R p = ( − 1 ) p + 1 ∫ m n f ( p ) ( x ) P p ( x ) p ! d x . {\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}

Khi nào k > 0 {\displaystyle k>0} , có thể chỉ ra rằng

| B k ( x ) | ≤ 2 ⋅ k ! ( 2 π ) k ζ ( k ) , {\displaystyle |B_{k}(x)|\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}

Ở đâu ζ {\displaystyle \zeta } biểu thị hàm zeta Riemann; một cách tiếp cận để chứng minh sự bất bình đẳng này là thu được chuỗi Fourier cho đa thức B k ( x ) {\displaystyle B_{k}(x)} . Các ràng buộc đạt được cho thậm chí k {\displaystyle k} khi nào x {\displaystyle x} bằng không. Thuật ngữ ζ ( k ) {\displaystyle \zeta (k)} có thể được bỏ qua cho số lẻ k {\displaystyle k} nhưng chứng minh trong trường hợp này phức tạp hơn (xem Lehmer).[3] Sử dụng bất đẳng thức này, kích thước của số hạng còn lại có thể được ước tính là

| R p | ≤ 2 ζ ( p ) ( 2 π ) p ∫ m n | f ( p ) ( x ) | d x . {\displaystyle |R_{p}|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}|f^{(p)}(x)|\,dx.}

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ Apostol, T. M. (ngày 1 tháng 5 năm 1999). "An Elementary View of Euler's Summation Formula". The American Mathematical Monthly. Quyển 106 số 5. Mathematical Association of America. tr. 409–418. doi:10.2307/2589145. ISSN 0002-9890. JSTOR 2589145.
2. ^ "Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences". National Institute of Standards and Technology.
3. ^ Lehmer, D. H. (1940). "On the maxima and minima of Bernoulli polynomials". The American Mathematical Monthly. Quyển 47 số 8. tr. 533–538. doi:10.2307/2303833.

x t s Vi tích phân
Tiền vi tích phân	Định lý nhị thức Hàm lõm Hàm liên tục Giai thừa Sai phân Biến tự do và biến bị chặn Đồ thị của hàm số Hàm tuyến tính Radian Định lý Rolle Cát tuyến Độ dốc Tiếp tuyến
Giới hạn (toán học)	Dạng vô định Giới hạn của hàm số Giới hạn một bên Giới hạn của một dãy Bậc của xấp xỉ Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn
Vi phân	Đạo hàm Đạo hàm bậc hai Đạo hàm riêng Vi phân Toán tử đạo hàm Định lý giá trị trung bình Ký hiệu Ký hiệu Leibniz Ký hiệu Newton Quy tắc đạo hàm Tuyến tính Đa thức Cộng tính Nhân tính Hàm hợp l'Hôpital Hàm tích Quy tắc tổng quát Leibniz Hàm thuơng Hàm ngược Đạo hàm logarit Điểm dừng Phép thử cấp một Phép thử cấp hai Định lý Weierstrass Cực trị Ứng dụng Phương pháp Newton Định lý Taylor Phương trình vi phân ODE PDE SDE
Tích phân	Nguyên hàm Arc length Tích phân Hằng số tích phân Định lý cơ bản của giải tích Quy tắc tích phân Leibniz Tích phân từng phần Phép đổi biến tích phân Trigonometric substitution Euler substitution Weierstrass substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Disc integration Shell integration
Tích phân vectơ	Derivatives Rot (toán tử) Directional derivative Toán tử div Gradient Toán tử Laplace Basic theorems Gradient theorem Định lý Green Stokes' theorem Định lý Gauss
Vi tích phân đa biến	Định lý Gauss Vi tích phân hình học Ma trận Hesse Ma trận Jacobi Phương pháp nhân tử Lagrange Tích phân đường Vi tích phân ma trận Tích phân bội Đạo hàm riêng Tích phân mặt Tích phân khối Advanced topics Differential forms Exterior derivative Định lý Stokes Tensor calculus
Dãy và chuỗi	Cấp số cộng nhân Các chuỗi Chuỗi đan dấu Chuỗi nhị thức Chuỗi Fourier Chuỗi hình học Chuỗi điều hòa Chuỗi (toán học) Chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor Chuỗi ống nhòm Dấu hiệu hội tụ Dấu hiệu Abel Tiêu chuẩn Leibniz Tiêu chuẩn cô đọng Cauchy Dấu hiệu so sánh trực tiếp Dấu hiệu Dirichlet Tiêu chuẩn hội tụ tích phân Tiêu chuẩn so sánh giới hạn Dấu hiệu tỉ số Dấu hiệu căn Dấu hiệu số hạng
Các hàm và số đặc biệt	Số Bernoulli e (số) Hàm mũ Logarit tự nhiên Xấp xỉ Stirling
Lịch sử vi tích phân	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Generality of algebra Gottfried Leibniz Vô cùng bé Vi tích phân Isaac Newton Fluxion Law of continuity Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Danh sách	Differentiation rules Danh sách tích phân với hàm mũ Danh sách tích phân với hàm hypebolic Danh sách tích phân với hàm hyperbolic ngược Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược List of integrals of irrational functions Danh sách tích phân với hàm lôgarít Danh sách tích phân với phân thức Danh sách tích phân với hàm lượng giác Tích phân của hàm secant Integral of secant cubed List of limits Danh sách tích phân
Chủ đề khác	Differential geometry Độ cong Differentiable curve Differential geometry of surfaces Công thức Euler–Maclaurin Gabriel's Horn Integration Bee Chứng minh 22/7 lớn hơn π Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid