Công Thức Euler – Wikipedia Tiếng Việt
Có thể bạn quan tâm
Một phần của loạt bài về |
hằng số toán học e |
---|
Tính chất |
|
Ứng dụng |
|
Định nghĩa e |
|
Con người |
|
Chủ đề liên quan |
|
|
Công thức Euler là một công thức toán học trong ngành giải tích phức, được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Công thức chỉ ra mối liên hệ giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức.
Cụ thể, với mọi số thực x, ta có:
Ở đây e là cơ số logarit tự nhiên, i là đơn vị của số phức, và cos và sin lần lượt là các hàm số lượng giác cosin và sin. Học sinh Anh, Mỹ còn viết là cis x vì các chữ cái c, i, s nhắc nhở đến cos, i, sin.
Khai triển từ công thức trên, các hàm số: và: có thể được viết dưới dạng sau:
Trường hợp đặc biệt: khi: , ta có:, từ đó dẫn đến công thức rút gọn nổi tiếng:
Chứng minh
[sửa | sửa mã nguồn]Bằng cách sử dụng chuỗi Taylor
[sửa | sửa mã nguồn]Sau đây là một cách chứng minh công thức Euler bằng cách sử dụng khai triển chuỗi Taylor cũng như các tính chất cơ bản về lũy thừa của số i:
Các hàm ex, cos(x) và sin(x) (với giả sử x là số thực) có thể được viết như sau:
Do bán kính hội tụ của mỗi chuỗi nêu trên là vô hạn, chúng ta có thể thay thế x bởi iz, với z là số phức. Khi đó:
Việc sắp xếp lại các số hạng là thích hợp do mỗi chuỗi đều là chuỗi hội tụ tuyệt đối. Lấy z = x là một số thực sẽ dẫn đến đẳng thức nguyên thủy mà Euler đã khám phá ra.
Bằng cách sử dụng phép tính vi tích phân
[sửa | sửa mã nguồn]Xét hàm số xác định bởi:
Ta sẽ chứng minh rằng khác 0 với mọi x
Thật vậy; giả sử thì ; do đó ; vậy (vô lý)
Do đó mẫu của: khác 0
Bây giờ tính đạo hàm của: theo quy tắc chia; dễ thấy
Vì vậy: phải là hàm hằng; có nghĩa là với mọi: thì
Bây giờ cho: ta thấy:; do đó:
vậy
Bằng cách sử dụng phương trình vi phân thường
[sửa | sửa mã nguồn]Xét hàm số xác định bởi
Chú ý rằng là hằng số, đạo hàm bậc nhất và bậc hai của sẽ là
do theo định nghĩa. Từ đó chúng ta xây dựng phương trình vi phân thường tuyến tính có bậc 2 như sau:
hay
Đây là một phương trình vi phân thường bậc 2, do đó nó sẽ có hai nghiệm độc lập tuyến tính là:
Cả và đều là các hàm số thực có đạo hàm bậc hai đồng nhất với giá trị âm của chính nó. Ngoài ra, bất kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm của một phương trình vi phân thuần nhất cũng sẽ lại là một nghiệm của nó. Do vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã nêu là
với mọi hằng số và Tuy nhiên, không phải mọi giá trị của các hằng số này đều thỏa mãn điều kiện ban đầu của hàm :
.Các điều kiện ban đầu giống nhau này (áp dụng cho nghiệm tổng quát) sẽ dẫn đến kết quả sau
Từ đó cho
và sau cùng là
Xem thêm
[sửa | sửa mã nguồn]- Đơn vị ảo
- Hàm mũ với số phức
Các chủ đề chính trong toán học |
---|
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng | Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê |
Liên kết ngoài
[sửa | sửa mã nguồn]Elements ò Algebra
Từ khóa » Công Thức Sin Mũ 3
-
Các Công Thức Lượng Giác Toán 10 Đầy Đủ Nhất - Kiến Guru
-
Bảng Công Thức Lượng Giác đầy đủ,chi Tiết,dễ Hiểu - DeThiThu.Net
-
Sin3x = ? - Công Thức Lượng Giác
-
Công Thức Hạ Bậc Sin, Cos, Tan Và Thủ Thuật Lượng Giác
-
Lượng Giác: Công Thức Nhân Ba, Công Thức Nhân Bốn - Mathvn
-
Xem Bảng Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ - Mathvn
-
Tìm Nguyên Hàm (sin(x))^3 | Mathway
-
Rút Gọn Cos(x)^3-sin(x)^3 | Mathway
-
Cac Cong Thuc Luong Giac Day Du Chinh Xac - SlideShare
-
Bảng Công Thức Lượng Giác Sin Cos, Cơ Bản, Nâng Cao đầy đủ Lớp 9 ...
-
BÀI GIẢNG 5. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC CAO Biên Soạn
-
Các Công Thức Lượng Giác Cần Nhớ
-
Sin Mũ 3