Công Thức Giải Nhanh Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân | Tăng Giáp

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Tài liệu > Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

Thảo luận trong 'Tài liệu' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 5/10/17.

Tags:

• cấp số cộng và cấp số nhân
• công thức giải nhanh toán học

1. 

   Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 16/11/14 Bài viết: 4,633 Đã được thích: 282 Điểm thành tích: 83 Giới tính: Nam

   Lý thuyết về cấp số cộng và cấp số nhân môn toán lớp 11 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng. ​Đề thi tham khảo nào của bộ cũng có vài câu về cấp số cộng và cấp số nhân đúng không? Chưa kể đề thi chính thức các năm trước đều có => muốn đạt điểm cao bắt buộc học bài này Vậy giờ học như nào để đạt điểm tuyệt đối phần này? Làm như nào để giải nhanh mấy câu phần này? (tất nhiên là giải nhanh phải đúng chớ giải nhanh mà chệch đáp án thì tốt nhất nghỉ ). Ok, tôi đoán chắc rằng bạn không hiểu và thuộc những CHÍNH XÁC những kiến thức cơ bản => Hoang mang đúng rồi. Kế nữa bạn không biết những công thức cấp số cộng giải nhanh hay công thức tính tổng cấp số nhân giải nhanh => Hoang mang đúng rồi. Hãy để tôi hệ thống giúp bạn:

   • Hãy xem lại lý thuyết như định nghĩa, tích chất
   • Hãy xem và NHỚ công thức giải nhanh dưới đây
   • Hãy xem thật CẨN THẬN các ví dụ kèm lời giải

   Nào chúng ta bắt đầu: Cấp số cộng 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai. Công thức tính tổng cấp số cộng: $\forall n \in N*,{U_{n + 1}} = {U_n} + d$ Giải thích:

   • Kí hiệu d được gọi là công sai
   • ${U_{n + 1}} – {U_n}$ = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn ${U_{n + 1}};{U_n}$ là hai số liên tiếp của dãy số CSC
   • Khi hiệu số ${U_{n + 1}} – {U_n}$ phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng.

   + Tính chất:

   • ${U_{n + 1}} - {U_n} = {U_{n + 2}} - {U_{n + 1}}$
   • ${U_{n + 1}} = \frac{{{U_n} + {U_{n + 2}}}}{2}$
   • Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n

   + Số hạng tổng quát: ${U_n} = {U_1} + d(n - 1)$ + Nếu muốn tính tổng n số hạng đầu thì ta dùng công thức:

   • ${U_n} = \frac{{({a_1} + {a_n})n}}{2}$
   • ${U_n} = \frac{{2{a_1} + d(n - 1)}}{2}n$

   Cấp số nhân Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội. Công thức tổng quát: ${U_{n + 1}} = {U_n}.q$ Trong đó

   • n ∈ N*
   • công bội là q
   • hai số liên tiếp trong công bội là ${U_n},{U_{n + 1}}$

   Tính chất

   • $\frac{{{U_{n + 1}}}}{{{U_n}}} = \frac{{{U_{n + 2}}}}{{{U_{n + 1}}}}$
   • ${U_{n + 1}} = \sqrt {{U_n}.{U_{n + 2}}} $ , U$_n$ > 0
   • Ta thấy: $\left\{ \begin{array}{l} {U_{n + 1}} = {U_n}.q\\ {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},\,\left( {n \ge 2} \right) \end{array} \right. \Rightarrow u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}},\,\left( {n \ge 2} \right)$

   + Số hạng tổng quát: ${U_n} = {U_1}.{q_{n - 1}}$ + Tổng n số hạng đầu tiên: ${S_n} = {U_1} + {U_2} + ... + {U_n} = {U_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$ + Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 thì ${S_n} = {U_1} + {U_2} + ... + {U_n} = \frac{{{U_1}}}{{1 - q}}$ Lưu ý: Công thức tổng cấp số nhân thường xuyên xuất hiện trong đề thi, tương đối dễ học nên em cần phải nhớ kĩ và chính xác. Bài tập vận dụng Bài tập cấp số cộng minh họa Câu 1. [ Đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Cho cấp số cộng (u$_n$) với u$_1$ = 3, u$_2$ = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng Hướng dẫn giải​ Câu 2. [ Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội] Cho một cấp số cộng có ${u_1} = - 3;\,\,{u_6} = 27$. Tìm d ? Hướng dẫn giải​Dựa vào công thức cấp số cộng ta có: $\begin{array}{l} {u_6} = 27 \Leftrightarrow {u_1} + 5d = 27\\ \Leftrightarrow - 3 + 5d = 27 \Leftrightarrow d = 6 \end{array}$ Câu 3: [ Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An] Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120. Hướng dẫn giải​ Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có: $\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {a - 3x} \right) + \left( {a - x} \right) + \left( {a + x} \right) + \left( {a + 3x} \right) = 20}\\ {{{\left( {a - 3x} \right)}^2} + {{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {a + x} \right)}^2} + {{\left( {a + 3x} \right)}^2} = 120} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4a = 20}\\ {4{a^2} + 20{x^2} = 120} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 5}\\ {x = \pm 1} \end{array}} \right. \end{array}$ Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8. Câu 4. [ Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ? Hướng dẫn giải​ Ta có: $\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\\ d = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{{n - 1}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + {u_8} = 2{S_8}:8\\ {u_8} - {u_1} = 7d \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_8} + {u_1} = 18\\ {u_8} - {u_1} = - 14 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {u_1} = 16. \end{array}$ Câu 5. [ Đề thi thử sở GD Hà Nội] Xác định a để 3 số : $1 + 3a;{a^2} + 5;1 - a$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? Hướng dẫn giải​ Ba số : $1 + 3a;{a^2} + 5;1 - a$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi $\begin{array}{l} {a^2} + 5 - \left( {1 + 3a} \right) = 1 - a - \left( {{a^2} + 5} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} - 3a + 4 = - {a^2} - a - 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - a + 4 = 0 \end{array}$ PT vô nghiệm Bài tập cấp số nhân (CSN) Câu 1. Cho CSN $\left( {{u_n}} \right)$ với${u_1} = - 2;{\text{ q = - 5}}$. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u$_n$ ? Hướng dẫn giải​Từ công thức cấp số nhân: $\begin{array}{l} {u_2} = {u_1}.q = \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) = 10;{\rm{ }}\\ {{\rm{u}}_3} = {u_2}.q = 10.\left( { - 5} \right) = - 50;{\rm{ }}\\ {{\rm{u}}_4} = {u_3}.q = - 50.\left( { - 5} \right) = 250 \end{array}$. Số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = \left( { - 2} \right).{\left( { - 5} \right)^{n - 1}}$. Câu 2. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = - 1;{\text{ }}q = \frac{{ - 1}}{{10}}$. Số $\frac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ mấy của $\left( {{u_n}} \right)$ ? Hướng dẫn giải​$\begin{array}{l} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{{10}^{103}}}} = - 1.{\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}\\ \Rightarrow n - 1 = 103 \Rightarrow n = 104 \end{array}$ Câu 3: Xét xem dãy số sau có phải là CSN hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. ${u_n} = - \frac{{{3^{n - 1}}}}{5}$ Hướng dẫn giải​Dựa vào công thức cấp số nhân ở trên ta thấy: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3 \Rightarrow ({u_n})$ là CSN với công bội q = 3 Câu 4: Cho cấp số nhân: $\frac{{ - 1}}{5};{\text{ }}a;{\text{ }}\frac{{ - {\text{1}}}}{{{\text{125}}}}$. Giá trị của a là: Hướng dẫn giải​Dựa vào công thức cấp số nhân: ${a^2} = \left( { - \frac{1}{5}} \right).\left( { - \frac{1}{{125}}} \right) = \frac{1}{{625}} \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{{25}}$ Câu 5. Hãy tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (u$_n$) với ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$ Hướng dẫn giải​Ta có:

   • n = 1 => ${u_1} = \frac{1}{{{2^1}}} = \frac{1}{2}$
   • n = 2 =>${u_2} = \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{4}$

   Như vậy, công sai là $q = \frac{1}{2}$ Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn nêu ở trên, ta có: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1$ Xem thêm: cách tính công bội của cấp số cộng Tải file bài tập​

   Bài viết mới nhất

   • Giải chi tiết gần 300 bài tập xác xuất thống kê hay và khó30/01/2026
   • [HOT] Đề Toán Thi Thử 2025 trường Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai10/04/2025
   • 72 Phương pháp tọa độ trong không gian11/10/2018
   • 39 chuyên đề số phức hay11/10/2018
   • Công thức mũ và công thức logarit25/06/2018
   Last edited by a moderator: 13/1/25 Tăng Giáp, 5/10/17 #1
2. 

   Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 16/11/14 Bài viết: 4,633 Đã được thích: 282 Điểm thành tích: 83 Giới tính: Nam

   Các bài tập sẽ được bổ sung!

   Tăng Giáp, 10/9/20 #2

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,074 Bài viết: 12,738 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: DuyChien

Chủ đề mới nhất

• Giải chi tiết gần 300 bài tập... Tăng Giáp posted 30/1/26 lúc 15:51
• 82 Bài Tập Khí Lý Tưởng Vật Lí... Tăng Giáp posted 26/4/25
• [HOT] Đề Toán Thi Thử 2025... Tăng Giáp posted 10/4/25
• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
• Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Tài liệu >